Đang tải... (xem toàn văn)
Với mục đích giúp các em học sinh trung học phổ thông nói chung, các bạn học sinh đam mê Toán nói riêng có thêm tài liệu để tham khảo và chuẩn bị đầy đủ kiến thức cho kỳ thi THPT Quốc [r]
(1)(2)ời nói đầu
Kỳ thi THPT Quốc gia từ năm 2016 – 2017, thi mơn Tốn chuyển từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm nên cách dạy, cách kiểm tra đánh giá, cách đề thay đổi Sự thay đổi nằm tồn chương trình mơn Tốn nói chung phần tích phân nói riêng Trong phần tích phân cho phần tự luận học sinh dùng máy tính cầm tay kết dễ dàng Do việc đề theo hình thức trắc nghiệm hạn chế việc dùng máy tính cầm tay ưu tiên toán THPT
Trong đề thi THPTQG 2017, ta thấy xuất toán lạ tích phân Nó thú vị giúp ta sâu tìm thêm ứng dụng tích phân Trong tài liệu xin giới thiệu với bạn toán liên quan đến so sánh giá trị hàm số y f x biết đồ thị hàm số y f x Phương pháp chung cho toán này, cách tự nhiên ta thầy để so sánh giá trị hàm số sử dụng bảng biến thiên đơn giản nhất, ta nhìn thấy hàm số đồng biến hay nghịch biến Ngồi ta kết hợp thêm phần diện tích hình phẳng giới hạn đường liên quan Với mục đích giúp em học sinh trung học phổ thơng nói chung, bạn học sinh đam mê Tốn nói riêng có thêm tài liệu để tham khảo chuẩn bị đầy đủ kiến thức cho kỳ thi THPT Quốc gia, nhóm giáo viên Tốn học Bắc Trung Nam sưu tầm biên soạn sách “Chuyên đề Tích phân Số phức vận dụng cao” gồm 10 chuyên đề:
Chuyên đề 1 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN KHI BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Chuyên đề 2 CÁC BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ CỦA MỘT HÀM SỐ KHI CHO TRƯỚC CÁC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN
Chuyên đề 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SO SÁNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề 4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VỚI DỮ KIỆN TỐN THỰC TẾ
Chun đề 5 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ
Chuyên đề 6 ỨNG DỤNG NGUN HÀM, TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TỐN THỰC TIỄN KHÁC
(3)Chuyên đề 10 CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC KHÁC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Chân thành gửi lời cảm ơn quý thầy dành thời gian tâm huyết cho sách này:
1 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội (Chủ biên) Nguyễn Duy Chiến, THPT Phan Bội Châu, Bình Định Trần Quốc Nghĩa, THPT Dĩ An, Bình Dương
4 Lê Thanh Bình, THPT Nguyễn Huệ, Nam Định Hồng Tiến Đơng, THPT Phúc Thọ, Hà Nội Đinh Văn Vang-THPT C Hải Hậu, Nam Định
7 Đặng Thanh Quang, THPT Trần Kỳ Phong, Quảng Ngãi Phạm Văn Ninh, THPT Nguyễn Bính, Nam Định
9 Trần Văn Luật, THPT Thanh Thủy, Phú Thọ
10.Nguyễn Hồng Nhung, THPT Chuyên Tiền Giang, Tiền Giang 11.Mai Ngọc Thi, THPT Hùng Vương, Bình Phước
12.Nguyễn Cao Thiện, THPT Hà Huy Tập, Hà Tĩnh 13.Nguyễn Đức Thắng, GV Toán tự do, Hà Nội 14.Hà Vĩ Đức, THPT Tây Thạnh, TP Hồ Chí Minh 15.Lý Công Hiếu, GV tự do, Huyện Quốc Oai, Hà Nội
16.Trần Dũng, GV tự do, Quận Phú Nhuận, TP Hồ Chí Minh
17.Nguyễn Đỗ Chiến, GV tốn, Hệ thông giáo dục Beta Education, Hà Nội 18.Nguyễn Thị Hương, THPT n Mơ A, Ninh Bình
19.Ninh Cơng Tuấn, THPT TRần Khai Nguyên, Q5, TP Hồ Chí Minh 20.Nguyễn Minh Nhựt, GV tự do, Q Ninh Kiều, Cần Thơ
21.Bùi Quý Minh, GV Tự do, Hải Phòng
22.Dương Cơng Tạo, THPT Nam Kì Khởi Nghĩa, Tiền Giang 23.Lê Quang Vũ, THPT Thọ Xuân 5, Thanh Hóa
24.Vũ Ngọc Thành, THPT Mường So, Phong Thổ, Lai Châu 25.Phạm Đức Quốc, THPT Tứ Kỳ, Hải Dương
26.Nguyễn Tấn Linh, SV Đại Học Sài Gòn, TP Hồ Chí Minh 27.Lê Đăng Khoa, THPT Gia Định, TP Hồ Chí Minh
(4)Mặc dù tập thể tác giả nghiêm túc dành nhiều tâm huyết trình biên soạn, tổng hợp khối lượng kiến thức liệu lớn nên chắn với lần mắt không tránh khỏi thiếu sót, khuyến khuyết Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy giáo, em học sinh bạn đọc xa gần để sách hồn thiện
Mọi đóng góp xin gửi
Email: hoangquan9@gmail.com toanhocbactrungnam@gmail.com
(5)
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN KHI BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN
CHO TRƯỚC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ ; ].a b Hiệu số
( ) ( )
F b F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ; ]a b của hàm số
( ),
f x kí hiệu là ( )d
b a
f x x
Ta dùng kí hiệu F x( )ab F b( )F a( ) để chỉ hiệu số F b( )F a( ). Vậy ( )d ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x xF x F b F a
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )d
b a
f x x
hay ( )d
b a
f t t
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà khơng phụ thuộc vào cách ghi biến số
Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục và khơng âm trên đoạn [ ; ]a b thì tích phân
( )d
b a
f x x
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ), trục Ox và hai đường thẳng xa x, b. Vậy ( )d
b a Sf x x
2. Tính chất tích phân
1. ( )d
a a
f x x
2. ( )d ( )d
b a
a b
f x x f x x
3. ( )d ( )d ( )d
b c c
a b a
f x x f x x f x x
(a b c )
4. ( )d ( )d ( )
b b
a a
k f x xk f x x k
5. [ ( ) ( )]d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
Lưu ý:
1) f x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn a a; , a0 thì
0
( )d ( )d
a a
a
f x x f x x
2) f x là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn a a; , a0thì ( )d
a
a
f x x
Chuyên
(6)3) f x là hàm số liên tục, tuần hồn với chu kì T thì
( )d
a T
a
f x x
0
( )d
T
f x x
2
2
( )d ,
T
T
f x x a R
B. BÀI TẬP
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;
thỏa mãn f 0 0
và
2
2
0
d sin d
4
f x x xf x x
Tính tích phân
2
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
2
2
0
sinxf x dx cosxf x cosx f x dx
Suy ra
2
cos d
4 x f x x
Hơn nữa ta tính được
2 2
2
0 0
1 cos 2 sin
cos d d
2 4
x x x
x x x
Do đó
2 2
2 2
0 0
d cos d cos d cos d
f x x x f x x x x f x x x
Suy ra f x cosx, do đó f x sinx C Vì f 0 0 nên C0. Ta được
2
0
d sin d
f x x x x
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn, f 1 0,
1
2
0
1
d d
4
x e
f x x x e f x x
Tính tích phân
1
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
1
0
1 x d d x
x e f x x f x xe
1
0
0 d
x x
xe f x xe f x x
0 d
x
xe f x x
Suy ra
2 1 d x e
xe f x x
Hơn nữa ta tính được 1 2 2
0 d d
x x
xe x x e x
e
Do đó
1 1
2
0 0
d x d x d
f x x xe f x x xe x
d x f x xe x
(7)
Vì f 1 0 nên C0.
Ta được
1
0
1
f x dx x e dxx e
Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 0 1, d 30 f x x
, 1
2 d
30 x f x x
Tính tích phân
1
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
1
2
0
2x1 f x dx f x d x x
1 1
0
0 d
x x f x x x f x x
1 2
0 x x f x dx
Suy ra 1
1 d
30 x x f x x
Hơn nữa ta tính được 1 2 1 2
0
1
d d
30 x x x x x x x
Do đó
1 1
2
2 2 2 2
0 0
d d d d
f x x x x f x x x x x f x x x x
Suy ra f x x2x, do đó
3
3
x x
f x C. Vì f 0 1 nên C1. Ta được
1
d f x x
1
11 d
3 12
x x x
Câu 4. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0, d f x x
và
1 d 36 x f x x
Tính tích phân
1
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
1
3
0
4x f x dx f x d x
1
0
0 d
x f x x f x x
0x f x dx
Suy ra
1 d
9 x f x x
Hơn nữa ta tính được 1 4
0
1
d d
9 x x x x
Do đó
1 1
2
2 4 4 4
0 0
d d d d
f x x x f x x x x f x x x
Suy ra f x x4, do đó 5 x
f x C. Vì f 1 0 nên C Ta được
1
0
1
d d
5
x
f x x x
(8)Câu 5. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;e thỏa mãn f e 0,
d
e
f x x e
và d e f x x e
x
Tích phân
1
d e
f x x
bằng
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
1
d d ln
e f x
x f x x
x
lnxf x 1e01lnxf x dx
1 ln d e
xf x x
1ln d
e
xf x x e
Suy ra 2 2
1 ln d ln 1 ln d e
e e
x xx x x x
e 2.
Do đó 2
1 1
d ln d ln d ln d
e e e e
f x x x f x x x x f x x x
Suy ra f x lnx, do đó f x xlnx x C. Vì f e 0 nên C0.
Ta được
2
1
3
d ln d
4
e e
e f x x x x x
Câu 6. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;
thỏa mãn f ,
sin cos d
48 x x x f x x
và
3 2 d 48
f x x
Tính tích phân
2
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
2
2
0
sinx xcosx f x dx xsinx f x xsinx f x dx
Suy ra
3
0
sin d
48 x x f x x
Ta có
2
2 2
2 2 2
0 0
1 cos
sin d sin d d
2
x x
x x x x x x x
2 2
2 2
0 0
1 cos cos
d d d
2 2
x x x x x
x x x
48 Do đó
2 2
2 2
0 0
d sin d sin d sin d
f x x x x f x x x x x f x x x x
Suy ra f x xsinx, do đó f x sinxxcosx C Vì
(9)
Ta được
2
0
d sin cos d
f x x x x x x
Câu 7. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0,
2
3
d ln 2
f x x
và
1
2
3 d ln
2
f x x
x
Tính tích phân
1
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
1
1 1
2
0 0
1 1
d d 1 d
1 1
1 f x
x f x f x f x x
x x x
x
Suy ra
1
1
1 d ln
1 f x x x Lại có 1
0 0
1 1
1 d d ln ln
1 x 1 x x x
x x x x
Do đó 2
1 1
2
0 0
1 1
d d d d
1 1
f x x f x x x f x x
x x x
Suy ra 1
f x
x , do đó f x x lnx1C. Vì f 1 0 nên Cln 1
Ta được
1
0
1
d ln ln d ln
2 f x x x x x
Câu 8. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0, d 11 f x x
và
d 55 x f x x
Tính tích phân
1
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
1
1 5
4
0 0
d d
5
x x
x f x x f x f x x
Suy ra
1 d 11 x f x x
Lại có: d 11 x x
Do đó
1 1
2
2 5 5
0 0
d d d
f x x x f x x x x
d
f x x x
Suy ra f x x5, do đó 6
f x x C. Vì f 1 0 nên
(10)Ta được
1
0
1
d d
6
x
f x x x
Câu 9. Cho hàm số y f x liên tục trên và thỏa mãn f 4x f x . Biết
d
xf x x
Tính
d I f x x.
Lời giải
Đặt t4x. Ta có
3 3 3
1 1 1
d d d d d
xf x x xf x x t f t t f t t t f t t
3
1
5
5 d d
2
f t t f t t
Câu 10. Biết
1
2 3
d ln
2
x x x b
x a a b, 0. Tìm các giá trị của k để
8 2017 d lim 2018 ab x k x x x
Lời giải Ta có:
1
2
0
2 3
d d
2
x x x x x
x x
1
0
1
3ln 3ln
3
x x
3 a b 8
d d
ab
x x
Mà
2 2017 d lim 2018 ab x k x x x
1 2017 lim 2018 x k x x
Mặt khác ta có 2 2017 lim 2018 x k x k x
Vậy để
2 2017 d lim 2018 ab x k x x x thì
1k 1 k2 0k 0.
Câu 11. Cho hàm số y f x là hàm lẻ và liên tục trên 4; 4 biết
2
d
f x x
và
2
2 d
f x x
Tính
4
d I f x x.
Lời giải Xét tích phân
0
d
f x x
Đặt x t dx dt.
Đổi cận: khi x 2 thì t2; khi x0 thì t0
Do đó
0
2
d dt
f x x f t
dt f t dt f t d
f x x
(11)
Do đó
2
1
2 d d
f x x f x x
2
2 d
f x x
Xét
1
2 d f x x
Đặt 2xt d 1dt x
Đổi cận: khi x1 thì t2; khi x2 thì t4
Do đó
2
1
1
2 d dt
2
f x x f t
dt f t d
f x x
Do
4
d
I f x x
2
0
d d
f x x f x x
2 6.
Câu 12. Cho hàm số f x xá định trên 0;
thỏa mãn
2
2
2 sin d
4
f x f x x x
Tính tích phân
d f x x Lời giải Ta có: 2
2 sin d
4 x x
1 cos d
2 x x
1 sin 2x dx cos 2 x x 2 Do đó: 2
2 sin d
4
f x f x x x
2
2 sin d
4 x x
2
2 2
2 sin sin d
4
f x f x x x x
2
2 sin d
4
f x x x
Suy ra sin
4 f x x
, hay sin f x x
.
Vậy:
2
0
d sin d
4
f x x x x
2 cos
(12)Câu 13. Cho hàm số y f x thỏa mãn
0
sin x f x dx f
1. Tính
2
cos d I x f x x
Lời giải
Đặt d ( )d
d sin d cos
u f x u f x x
v x x v x
2
2
0
sin x f x dx cos x f x cos x f x dx
cos d I x f x x
2 0
sin x f x dx cos x f x
1 10.
Câu 14. Cho số thực a0. Giả sử hàm số f x( ) liên tục và luôn dương trên đoạn 0;a thỏa mãn
( ) ( )
f x f ax Tính tích phân
d a I x f x ? Lời giải
Đặt t a x dt dx. Thay vào ta được d a I x f x dt a
f a t d a x f a x
Suy ra
0 d 1 a
f a x f x
x
f x f a x
Do hàm số f x( ) liên tục và luôn dương trên đoạn 0;a. Suy ra f a x f x . Mà f x f a( ) ( x)1 f x 1.
Vậy d 2 a a I x
Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục, luôn dương trên 0;3 và thỏa mãn
d
I f x x Tính giá trị của tích phân
3 ln
4 d f x
K e x
Lời giải
Ta có
3 3 3
3
1 ln ln
0
0 0 0
e f x d e f x d 4d e d 4d 4e | 4e 12
K x x x f x x x x Vậy K 4e 12
Câu 16. Cho hàm số f x liên tục trên thỏa 2018
0
d
f x x
Tính tích phân
2018 e 2
ln d
1 x
f x x
x
(13)
Đặt
2018 e
2
0
ln d
1 x
I f x x
x
Đặt
ln
t x d 22 d x t x x
Đổi cận: x0 t 0; x e20181 t 2018.
Vậy
2018
d
I f t t 2018
0
d
2 f x x
Câu 17. Cho f x là hàm liên tục trên thỏa f 1 1 và
1 dt
3 f t
, tính
2
sin sin d
I x f x x
Lời giải
Đặt sinx t f sinx f t cos x fsinxdx f t dt Đổi cận: khi x0 t 0;
2
x t
1
2
0 0
sin sin d 2sin cos sin d d
I x f x x x x f x x t f t t
Đặt: d d d d
u t u t
v f t t v f t
1
2 d
0 3
I t f t f t t
.
Câu 18. Cho f x là hàm số liên tục trên và
d
f x x
,
3
d
f x x
Tính
1
2 d
I f x x
Lời giải Đặt u2x1 d 1d
2
x u
1
x u 1.
x u3.
Nên
3 1
d
2
I f u u
1 d d
2 f u u f u u
1 d d
2 f u u f u u
.
Xét
d
f x x
Đặt x u dx du. Khi x0 thì u0. Khi x1 thì u 1.
Nên
1
4 f x dx
d f u u
0
d
f u u
Ta có
d
f x x
3
d
f u u
(14)Nên 1 d d
I f u u f u u
4
Câu 19. Cho
1
d
f x x
và
2
d
g x x
Tính
2
2 d
I x f x g x x
Lời giải
Ta có:
2
2 d
I x f x g x x
2 2
1 1
xdx f x dx g x dx
2 17 2 x
Câu 20. Cho hàm số y f x liên tục trên , biết
2
d
x f x x
Tính
4
d I f x x
Lời giải
Xét tích phân
2
d
x f x x
Đặt x2 t d d
t x x
Đổi cận: Khi x0 thì t0; khi x2 thì t4. Do đó
2
2
d
x f x x
4
dt 2 f t
dt f t d
f x x
Vậy I 4.
Câu 21. Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa:
1
3 d 10
f x g x x
2f x g x dx6
Tính
3
d f x g x x
Lời giải
Ta có
3 3
1 1
3 d 10 d d 10
f x g x x f x x g x x
Tương tự
3 3
1 1
2f x g x dx62 f x dx g x dx6
Xét hệ phương trình 10
2
u v u
u v v
, trong đó
d
u f x x,
d vg x x.
Khi đó
3 3
1 1
d d d
f x g x x f x x g x x
Câu 22. Cho hàm số y f x( ) liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn f(2) 2,
( )d f x x
Tính tích phân
0
d I f x x.
Lời giải Đặt x t dx2 dt t.
(15)
2
2 '( )d I t f t t.
Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được:
2
0
2 ( ) ( ).d 10
I tf t f t t
Câu 23. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;
. Đồng thời thỏa mãn
2
( )d f x x
,
0
sin ( )d
2 x x x f x
và ( )
2
f Tích phân
3
( ) d f x x
Lời giải
2
0
6 sin ( )d sin 2 ( )d
2
x x
x x f x x f x x
2 0
sin 2x 2x f x( ) sin 2x 2x f x x( )d
2 2
2
0 0
3 cos ( )d sin ( )d sin ( )d
4 x f x x xf x x xf x x
Cách 1:
Ta có
2
d
f x x , 2 sin d xf x x , sin d 16 xf x x
Do đó
2 2
2
0 0
( )d sin d 16 sin d ( ) sin d
f x x x x x x f x x x
Vậy f x( )4sin2x.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức
2
2 2 2
2
0 0
9
sin d sin d d
16 xf x x x x f x x 16
Dấu '''' xảy ra khi f x( )ksin2 xmà 2 sin d 16 xf x x sin d 16 k x x
nên f x( )4sin2x.
Vậy f x( )4sin2x 2 cos 2x nên f( )x 8 cos 2x nên
2
3
0
d 512 cos d
f x x x x
Câu 24. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;8 thỏa mãn:
2
2
3
1 1
2
d d d d
3
f x x f x x f x x x x
Tính tích phân
2
3
' d
f x x
(16)Lời giải Đặt xt3dx3 dt2 t.
Với x 1 t 1; x 8 t 2.
Ta được:
8 2
2 3
1 1
2
d d d
3 f x x t f t t x f x x Thay vào giả thiết ta được:
2 2
2
3 3
1 1
d d d d
f x x f x x x f x x x x
2 2
2
3 3
1 1
d d d d
f x x f x x x f x x x x
2
3 2
1
2 1 d
f x f x x x x
2
1 d
f x x x
f x 3 1x22 0 3 f x x
f x x2 1 2.31
3 f x
x
Do đó :
2
3
1
1
8 8.ln
d d ln
27 27 27
f x x x x
x
Câu 25. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
5
d
f x x
Tính tích phân
2
1 d f x x
Lời giải
Đặt t 1 3xdt 3dx.
Với x 0 t 1 và x 2 t 5.
Ta có
2
1 d f x x
2
0
1 d 9d
f x x x
d t
f t x
d 18 3 f x x
1
.9 18 21
Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 1 và
1
2
0
1
3 d d
9
f x f x x f x f x x
Tính tích phân
1
3
d f x x
: Lời giải Từ giả thiết suy ra: 2
3 f x f x 2.3 f x f x dx
2
3 f x f x dx
Suy ra 3 f x f x 1 f x f x
2
9 f x f x
Vì f3 x 3.f2 x f x nên suy ra 3 f x
3
1 f x x C
(17)
Vì f 0 1 nên f3 0 1C1. Vậy 3
1 f x x
Suy ra
3
d f x x
1 d
3x x
Câu 27. Cho a là hằng số thực và hàm số f x liên tục trên thỏa mãn
1
d 2017 f x a x
Tính
giá trị của tích phân
1
d a
a
I f x x
Lời giải
Xét
2
d 2017 f x a x
Đặt t x a dtdx Đổi cận:
+ x 1 t a + x 2 t a Khi đó
2
d f x a x
d a a
f t t d 2017 a a
f x x
Câu 28. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;5 và f 5 10,
0
d 30 xf x x
Tính
d f x x
Lời giải Đặt
d d
d d
u x u x
v f x x v f x
5 0
d d
x f x x x f x f x x
5
30 5f f x dx
5
d 5 30 20
f x x f
Câu 29. Kí hiệu F x là một nguyên hàm của f x . Biết F 3 3 và
1
1 d
F x x
Tính
d I xf x x
Lời giải Đặt tx 1 dtdx. Đổi cận:
2 x t x t
Khi đó
2 3
1 0
1 F x dx F t dt F x dx
(18)Xét tích phân
d I xf x x Đặt
d d
d d
u x u x
v f x x v F x
Suy ra
3 3
0
0
d d 3
I xf x xxF x F x x F
Câu 30. Cho
4
2
tan x f cos x dx
và
2 ln d ln e e f x x x x
Tính tích phân
2 d f x I x x Lời giải
● Xét
4
2
tan cos d
A x f x x
Đặt tcos2 xdt 2 sin cos dx x x 2 cos2 xtan dx x 2 tan dt x x tan d d t x x t Đổi cận: 1 x t
x t
Khi đó
1 1 d d 2 f t t
A f t t
t t 1 d f t t t
● Xét
2 ln d ln e e f x B x x x Đặt
2 ln ln d d
ln d d d d
ln ln ln
x x t x t
t x t x x x
x x x x x x x t
Đổi cận: 2
4 x e t
x e t
Khi đó
4 1 d d 2 f t t
B f t t
t t d f t t t
● Xét
2 2 d f x I x x Đặt d d 2 t x t x t x Đổi cận: 1 2 x t x t
Khi đó
4
1 1
2
d d d 2
f t f t f t
I t t t
t t t
(19)
Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên đoạn1; thỏa mãn
d
xf x x
và
1 2
f f Tính
2
d x f x x
Lời giải
Đặt
d d d d
u f x x u f x
v x x v x
Khi đó
2 2
2
1
1
1
1 d d
2
xf x x x f x x f x x
2
1
1 d
2 f f x f x x
Theo giả thiết f 1 4f 2 nên
2
1
1 d
2 x f x x
2
d
x f x x
Câu 32. Cho f x , g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện
1
d
g x f x x
,
1
d
g x f x x
Tính tích phân
1
d
I f x g x x. Lời giải
Ta có f x g x f x g x g x f x .
Và đặt
1
1
0
d 1; d
I g x f x x I g x f x x Khi đó
1
1
d
I f x g x xI I
Câu 33. Cho biết
2
d
xf x x
,
3
f z dz2, 16 d f t t t
Tính
0 ( )d I f x x. Lời giải
2
2
0
d t x d d
xf x x f t t f x x
3
2 f z z( )d 2 f(x)dx2
16 3
d d
2 x t
f t
t f x x
t
Vậy 23
2
I
Câu 34. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 và thỏa mãn: 0x f x 2 dx f
Tính
giá trị của
0 d
I f x x.
Lời giải Đặt
d
d d
u x du x
v f x x v f x x
(20)
1
0x f x 2 dx f
1
0
2 ( )d
x f x x f x x x f VậyI 1.
Câu 35. [THPT Nguyễn Khuyến Tp HCM 2017] Cho biết
1
( )d 15 f x x
Tính giá trị của
0
[ (5 ) 7]dx P f x
Lời giải Để tỉnh P ta đặt d d
3 t t x x
0
x t
2
x t
5
d [ ( ) 7]( )
3 t P f t
5 5
1 1
1
[ ( ) 7]d ( )d d
3 f t t f t t t
1.15 1.7.(6) 19
3
Câu 36. [THPT Lạng Giang số 1-2017] Giả sử
d
f x x
và
5
d
f z z
Tính tổng
3
1
d d
f t t f t t
Lời giải
Ta có
1
0
d d
f x x f t t
;
5
0
d d
f z z f t t
5 5
0 3
9 f t dt f t dt f t dt f t dt 3 f t dt f t dt
3
1
d d
f t t f t t
Câu 37. [Sở GD&ĐT Hà Nội 2017] Cho y f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn 6; 6. Biết
2
d
f x x
và
3
2 d
f x x
Tính
6
d
I f x x
Lời giải Vì y f x là hàm số chẵn nên
2
1
d d
f x x f x x
,
3
1
2 d d
f x x f x x
Xét tích phân
1
2 d
K f x x Đặt u2xdu2dx.
(21)
6
2
1
d d
2
K f u u f x x
d
f x x
Vậy
6
1
d d d 14
I f x x f x x f x x
Câu 38. [Chuyên Quang Trung-Bình Phước 2017] Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa:
3
3 d 10
f x g x x
,
3
2f x g x dx6
Tính
3
d f x g x x
Lời giải
Ta có
3 3
1 1
3 d 10 d d 10
f x g x x f x x g x x
Tương tự
3 3
1 1
2f x g x dx62 f x dx g x dx6
Xét hệ phương trình 10
2
u v u
u v v
, trong đó
d
u f x x,
d vg x x.
Khi đó
3 3
1 1
d d d
f x g x x f x x g x x
Câu 39. [Chuyên Đại học Vinh–2018] Cho hàm số f x thỏa mãn
2
15 12 ,
f x f x f x x x x R và f 0 f 0 1. Tính giá trị của 2
1
f Lời giải
2
d 15 12 d
f x f x f x x x x x
(1)
Đặt
d d
d d
u f x u x
v f x
v f x x
(1) f x 2dx f x f x f x 2dx3x56x2C
f x f x x x C Ta có f 0 f 0 CC1
Ta có
1 1
5
0 0
1
d d d
0
2
x
f x f x x x x x f x f x x x
Suy ra
1
2
f x
f2 1 f2 0 7 f2 1 8.
Câu 40. [Sở GD&ĐT Phú Thọ 2018] Cho hàm số f x xác định trên \1;1 thỏa mãn
2 f x
x
, f 2 f 2 0 và
1
2
2
f f
Tính f 3 f 0 f 4
(22)Ta có f x f x dx 22 1dx x
11 11 dx
x x ln 1
ln 1
1 ln 1 khi x C x x x C x x x C x x Khi đó
1 3
1
2
1
2 ln 3 ln 0
0
3
1
1
2
ln ln
2
f f C C
C C
C
f f
C C
Do đó
3
3 ln ln ln
5
f f f C C C
Câu 41. [PTNK ĐHQG HCM 2018] Cho hai hàm số f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1; và thỏa mãn hệ thức
1
;
f g
g x x f x f x x g x
. Tính
1
d I f x g x x.
Lời giải
Cách 1:
Ta có f x g x x f x g x
f x g x
f x g x x d d
f x g x
x x
f x g x x
ln f x g x ln x C Theo giả thiết ta có Cln ln f 1 g 1 Cln 4.
Suy ra
4 f x g x
x f x g x
x
, vì f 1 g 1 4 nên f x g x x
1
d 8ln
I f x g x x
Cách 2:
Ta có f x g x x f x g x f x g x dx x f x g x dx.
d d
f x g x x x f x g x f x g x x
C
x f x g x C f x g x x
Vì f 1 g 1 CC 4
Do đó f x g x x
Vậy
4
(23)
Câu 42. [ĐTK Bộ GD&ĐT 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn
1
f ,
2
d
f x x
và
1 d x f x x
Tích phân
1
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân từng phần ta có
1
1 3
2
0 0
d d
3
x x
x f x x f x f x x
Suy ra d 3 x
f x x
Mặt khác d 63 x x
Do đó
1
2 2
0 0
d 2.21 d 21 d
3
x x
f x x f x x x
7 d
f x x x
Suy ra
f x x , do đó 4
f x x C.
1 0
f
C 7
4
f x x
Ta được
1
4
0
7
d d
4
f x x x x
Câu 43. [HSG Phú Thọ 2018] Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn 3
6
3
f x x f x
x
Tính
d f x x
Lời giải
1 1
2 3
0 0
d 3
6 d dx
3
x
I f x dx x f x x f x
x x 1
2 d
0
I f t t x
1
2 f x dx2 Vậy
1
d
f x x
Câu 44. [THTT-12-2017]Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f tanxcos4x, x .
Tính
1
d
I f x x.
Lời giải Đặt ttanx.
(24) 2 cos x t
22
1 f t t 1 2 0 d d
I f x x x
x
. Đặt xtanudx1 tan udu. Đổi cận: x0u0;
4
x u
4 4 4
2
2 2
2
0 0
2
1 1 1
d tan d cos d sin
cos
1 tan
cos
I u u u u u u
u u u
Câu 45. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;3 thỏa mãn f 3 0, d f x x
và
d f x x x
Tính tích phân
3
d f x x
Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có
3 3
0
0 0
d d 1 1 1 d
1 f x
x f x x x f x x f x x
x
Suy ra
0
7
1 d
6 x f x x
Lại có
3
2
0
7
1 d 2 d
6 x x x x x
Do đó
3 3
2
2
0 0
d 1 d 1 d 1 d
f x x x f x x x x f x x x
Suy ra f x x 1 1, do đó 2 1
f x x x x C. Vì f 3 0 nên
C
Ta được
3
0
2 97
d 1 d
3 30
f x x x x x x
(25)CÁC BÀI TOÁN
ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI CHO TRƯỚC CÁC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tính chất nguyên hàm, tích phân thường sử dụng
1. f x dx f x C 2.u vd uvv ud 3. f u x u x dx f u du 2 d
b
a
f x x f x
Tổng quát: ; , 0, ;
b
a
f x x a b f x dx f x x a b 2. Nhị thức Niuton
1
n n n k n k k n n
n n n n
xy C x C x y C x y C y
Lưu ý:
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho hàm số f x xác định \
thỏa mãn 2
f x x
, f 0 1 f 1 2 Giá trị biểu thức f 1 f 3
Lời giải
Ta có d d ln 2
f x x x x C
x
Hàm số gián đoạn điểm
x
Nếu ln 2 1
x f x x C mà f 1 2C2 Vậy f x ln 2 x12
x
Nếu ln 2
x f x x C mà f 0 1 C1 Vậy f x ln 2 x1
x
Do f 1 f 3 ln ln 2 ln15 3.
Bài 2. Cho hàm số y f x xác định \1;1 thỏa mãn 21
f x x
Biết
3 3
f f Tính T f 2 f 0 f 4
Lời giải
Ta có:
d
f x f x x 21 d x
x
1 d
2 x x x
1 d d
2 x x x x
1
ln
2
x
C x
Chuyên
(26)Do đó: f 3 f 3 0 1ln 1ln1
2 C 2 C
C0
Như vậy: 1ln
2 x f x x 2 1ln
2
f
1 ln
; 0 1ln
f
;
1
4 ln
2
f
1
ln ln
Từ đó: T f 2 f 0 f 4 1ln 1ln ln 3
2
1ln ln
2
Bài 3. Cho hàm số f x xác định \1;1 thỏa mãn 22
f x x
, f 2 f 2 0
1
2
2
f f
Tính f 3 f 0 f 4
Lời giải
Ta có f x f x dx 22
1dx
x
11 11 dx
x x ln 1
ln 1
1 ln 1 khi x C x x x C x x x C x x Khi
1 3
1
2
1
2 ln 3 ln 0
0
1
1
2
ln ln
2
f f C C
C C
C
f f
C C
Do 3 0 4 ln 1 2 ln3 3 ln6
5
f f f C C C
Bài 4. Cho hàm số f x xác định \ 1 thỏa mãn 1
f x x
, f 0 2017, f 2 2018 Tính S f 3 f 1
Lời giải
Ta có d d ln 1
f x x x x C
x
Theo giả thiết f 0 2017, f 2 2018 nên
ln 2017 ln 2018
f x x x
f x x x
Do S f 3 f 1 ln 2018 ln 2017 1
Bài 5. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn điều kiện
1
f , f x f x 3x1 với x0.Tính f 2018
Lời giải
Ta có:
f x f x x
1
f x
f x x
d d
f x x
x
f x x
ln
3
f x x C
3 e x C
f x
(27)Vậy
2
3
3
e x
f x
2 6055 3 2018 e f
Bài 6. Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện 2
f x x f x 1
f Tính tổng
1 2 3 2018 f f f f
Lời giải
Ta có :
2
2
f x x f x
2
f x x f x
2 d d
f x
x x x
f x 2
d f x
x x C
f x
x x C
f x
1
f x
x x C
Mặt khác theo giả thiết ta lại có 1
f 1 1
2
f
C
C0 Vậy 21 1
1
f x
x x x x
Khi f 1 f 2 f 3 f 2018
1 1 1 1
1
2 2018 2017 2019 2018
1
2019
2018
2019
Bài 7. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm thỏa mãn f x( ) 2018 ( ) f x 2018.x2017.e2018x với x (0)f 2018 Tính giá trị (1).f
Lời giải
Ta có:
2017 2018 ( ) 2018 ( ) 2018 x
f x f x x e f x 20182018.x f x 2018.x2017 e 1 2017 2018 0 2018 2018 x
f x f x
dx x dx
e
1
Xét tích phân
2018
2018
x
f x f x
I dx e 1 2018 2018 0
x 2018 x
f x e dx f x e dx
Xét
1
2018
0
2018 x
I f x e dx
Đặt
2018 2018
2018 x x
u f x du f x dx
dv e dx v e
Do
1
2018 2018 2018
1
0
x x x 2018
I f x e f x e dx I f e
Khi 1 f 1 e2018x2018x2018 10 2018 2019
f e
Bài 8. Giả sử hàm số ( )f x liên tục, dương ; thỏa mãn f 0 1
1
f x x
f x x
Tính f 2018
Lời giải
Ta có '( )d ( ) f x
x
f x
d
1
x x
x
2 d d 1 x f x
f x x
ln ln
2
f x x C
(28)Bài 9. Xét hàm số f x liên tục đoạn 0;1 thỏa 2f x 3f 1x 1x2 Tính
0
d
f x x
Lời giải
Ta có:
0
2f x 3f 1x dx
1 x dx
A B C Tính:
1
2
1 d
C x x
Đặt xsint suy dxcos dt t Đổi cận: x 0 t 0;
2
x t
Vậy:
2
cos d
C t t
cos2t d t 1 sin
2t t
Tính:
0
3 d
B f x x
Đặt t 1 x dt dx Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t
Vậy:
0
3 d
B f t t
1
0
3f x dx
Do đó:
0
2 d
4
f x f x x
1
0
5 d
4
f x x
1
0
d 20
f x x
Bài 10.Cho hàm số f x xác định 0;
thỏa mãn
2
2
2 sin d
4
f x f x x x
Tính tích phân
0
d
f x x
Lời giải Ta có: 2 2sin d x x
1 cos d
2 x x
1 sin 2x dx
cos 2 x x 2
Do đó:
2
2 sin d
4
f x f x x x
2
2 sin d
4 x x
2
2 2
2 sin sin d
4
f x f x x x x
2
2 sin d
4
f x x x
Suy sin
f x x
, hay f x sin x
Bởi vậy:
2
0
d sin d
4
f x x x x
2 cos
(29)Bài 11. Cho hàm số f x liên tục, không âm đoạn 0;
, thỏa mãn f 0 3và
2
cos 1
f x f x x f x , 0; x
Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số f x đoạn ;
6 Lời giải
Từ giả thiết 2 cos
f x f x x f x cos
f x f x
x f x d sin
f x f x
x x C
f x
Đặt t 1 f2 x t2 1 f2 x t td f x f x dx
Thay vào ta dtsinx C t sinx C 1 f2 x sinx C Do f 0 C2
Vậy 2 2
1 f x sinx 2 f x sin x4sinx3
sin 4sin
f x x x
, hàm số f x liên tục, khơng âm đoạn 0;
Ta có sin
6 x 2 x
, Do hàm số
4
g t t t đồng biến 1;1 Suy
1 ;1
maxg t g
, ;1 21
g t g
Vậy ;
6
max 2
2
f x f
, ; 21
f x g
Bài 12. Cho hai hàm số f x g x có đạo hàm đoạn 1; 4 thỏa mãn hệ thức
1
;
f g
g x x f x f x x g x
.Tính
1
d I f x g x x
Lời giải
Ta có f x g x x f x g x
1
f x g x
f x g x x
d d
f x g x
x x
f x g x x
ln f x g x ln x C
Theo giả thiết ta có Cln 1ln f 1 g 1 Cln
Khi
4
4 f x g x
x
f x g x x
, f 1 g 1 4nên f x g x x
Vậy
1
d 8ln I f x g x x
(30)
2
d
f x x
1 d
x f x x
Tích phân
0
d
f x x
Lời giải
Ta có:
2
d
f x x
1
- Tính d
x f x x
Đặt
3
d d
u f x v x x
d d
u f x x
x v d x f x x
x f x d
4 x f x x
1 d
4 x f x x
4
d
x f x x
1
18 x f x dx 18
2
Mặt khác 1 0 d 9 x x x
1
81 x xd 3
Cộng vế với vế đẳng thức 1 , 2 3 ta được:
1
2 4 8
0
18 81 d
f x x f x x x
9 d
f x x x
1
4
f x 9x dx
9
f x x
f x 9x4 f x f x dx
5x C
Mà f 1 1 14
C
14
5
f x x
0
d
f x x
14 d 5x x
3 14
10x x
Bài 14. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 1; thỏa mãn 2 1 d x f x x
,
2
f
2
2
d f x x
Tính
2
f
Lời giải
Đặt u f x du f x dx,
2
d d
3 x v x x v
Ta có
2
1
1 d
3 x f x x
2
3 2
1 1 d 3 x x
f x f x x
1 1 d
3 x f x x
2
3
1 d
x f x x
2
3
2.7 x f x dx 14
Tính
6
49 x1 dx7
2
2
d f x x
2
3
2.7 x f x dx
2
6
49 x dx
2 2
3
7 x f x dx
f x 7x13
4
7
4 x
f x C
(31)Do f 2 0
7
4
x
f x
Vậy 105
2 64
f
Bài 15. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 2 f x f x 15x4 12x, x f 0 f 0 1 Tính f2 1
Lời giải
Ta có:
2
15 12
f x f x f x x x
15 12
f x f x x x
1
f x f x x x C
Do f 0 f 0 1 nên ta có C1 1 Do đó:
f x f x x x 2
2 f x x x
2
2
4
f x x x x C
Mà f 0 1 nên ta có C2 1
Vậy f2 x x64x32x1 suy f2 1 8
Bài 16. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 f 0 f 1 0 Biết
1
2
0
1
d , cos d
2
f x x f x x x
Tính
0 lim
x
f x x
Lời giải
Đặt
cos d sin d
d d
u x u x x
v f x x v f x
Khi
1
1
0
cos d cos sin d
f x x x x f x f x x x
1
0
1 sin d
f f f x x x
1
0
1
sin d sin d
2
f x x x f x x x
Ta có
1 1
2 2 2 2
0 0
sin d d sin d sin d
f x k x x f x x k f x x xk x x
2
0
2
k
k k
Do
1
2
sin d sin
f x x x f x x
Vậy lim
x
f x
x
Bài 17. Cho 0 1 2
f
3
0
[ 'f x f ' 3x ].dx5
Tính f (3)
(32)
3
0
[ 'f x dx f ' 3 x d 3 x 5
3 3
0 3 5
f x f x
3 0 0 3 5
f f f f
2f 3 6 f 3 3
Vậy f 3 3
Bài 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 1, thỏa mãn
1
10 f x dx
ln f x dx f x
Biết f x 0, x 1, 2 Tính f 2
Lời giải
Ta có
2 1
2
f x dx f x f f
,
2
1
10 f x dx
f 2 f 1 10 1 ln f x dx f x
ln f x 12 ln
ln ln
1 f f
(Vì f x 0, x 1, 2) 1 2
2
f f
2
Từ 1 2 ta có f 2 20
Bài 19. Cho hàm số f x xác định trên\ 0 thỏa mãn 2 x f x x
, f( 1) 1 f 1 4 Tính giá trị biểu thức f 2 f 2
Lời giải
Ta có 2 x f x x
x 13
x x
nên
2 d x
f x x
x
x 13 dx
x x 2 ln 2 x x C x 2 2
2 ln
2
2 ln
2 x
x C x x
x
x C x x
• Trên khoảng 0;, ta có f 1 4C 4 Do
2
2 ln 2
x
f x x
x
Suy 2 2 ln
f • Trên khoảng ;0, ta có f 1 1 C1
Do
2
2 ln 2
x
f x x
x
Suy 2 2 ln
f
Vậy 2 2 ln
f f
Bài 20. Cho hàm số f x xác định \ 0;1 thỏa mãn
' f x x x
; f 1 f 2 0
2
f
Tính giá trị biểu thức: 2 3
f f f
(33)
Ta có f x d x x x
1 d
1 x x x
ln x 1 ln x C Như f x
ln ln , ;0
ln ln , 0;1
ln ln , 1;
x x C x
x x C x
x x C x
Trên khoảng ;0, ta có f 1 ln 2C1 Trên khoảng 0;1 , ta có
2
f
1
ln ln
2 C
C2 2
Do đó: f x ln 1 xlnx2 Suy ra: ln3 ln1
4 4
f
Trên khoảng 1; , ta có f 2 ln 2C3
Lại có: f 1 f 2 0ln 2C1ln 2C3 0C1C3 0 Khi đó: 2 3
4
f f f
1 3
3
ln ln ln ln ln ln
4
C C C
1
ln C C C ln
Vậy 2 3
f f f
=ln 2
Bài 21. Cho f6 x f ' x 12x13, f 0 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy f x đoạn 0;
Lời giải
Ta có f6 x f ' x 12x13 6
0
. d 12 3 d
t t
f x f x x x x
7
1
6 3
7 f t t t C
hay f7 x 42x2 21x7C Do f 0 2 nên
7
7
C C Do
42 21 f x x x
0;1 Max f x f ,
0;1 Min f x f hay
7 0;1
Max f x 65
7 0;1
Min f x
Bài 22. Cho f x với x thỏa mãn điều kiện f x f ' x 2x f2 x 1, 0 0
f Tính giá trị lớn M , giá trị nhỏ m hàm số y f x [1;3]
Lời giải
Đặt 2
0
' d 2 1d
t t
I f x f x x x f x x
* Ta tính
0
' d t
I f x f x x
0
.d t
f x f x
2
0
1 2
t f x
1 2
2 f t
1
* Ta tính 2
0
2 1d
t
I x f x x
Đặt u f 2 x 1
2
.
d d
1 f x f x
u x
f x
2 dx x
, dv2 dx x chọn
(34)
2
2 1d
t
I x f x x 2
0
1 d
t t
x f x x x
2 t
t f t
2 * Từ 1 2 ta có
4
2 2
1
1
2
t
f t t f t f2 t 2t2 f2 t 1 t4 0 2 2 1 1
f t t
f t t
Do f t 0 với t nên f2 t 1 với t .Vậy f2 t 1 t21 hay
2
f x x x
2
4
2
0 2 x x f x x x
với 1;3 Vậy
1;3 3
Max f x f hay
1;3 11 Max f x ,
1;3 Min f x
Bài 23. Cho hàm số f x thỏa mãn 1
f f x f2 x 2x10 Tính tổng 2018
1
k
S f k
Lời giải
Ta có
2
f x x f x d t f x x f x 1 1 d
t t
t
x x x x
f t 1 t t f t f
f t 21
t t
hay
f x
x x
Khi 1
1 f x x x 2018
1 1 1 1 2018
1
2 3 2018 2019 2019 2019
k
S f k
Bài 24. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;
thỏa mãn f , 2
0 48
f x dx
, sin cos 48
x x x f x dx
Tính
2
f
Lời giải
Bằng cơng thức tích phân phần ta có:
2
2
0
sin cos sin sin
x x x f x dx x x f x x x f x dx
Suy
3 sin 48
x x f x dx
Hơn ta tính
2 2
2 2
0 0
1 cos
sin sin
2
x x dx x x dx x x dx
2 2
2 2
0 0
1 cos cos
2 2
x x dxx dxx xdx
3 48
(35)Do
2 2
2
0 0
2 sin sin
f x dx x x f x dx x x dx
2 sin
f x x x dx
Suy f x xsinx, f x sinxxcosx C Vì
2
f nên C 1
Vậy
2
f
Bài 25. Cho hàm số f x xác định khoảng 0; đồng thời
x f x
x f x
Biết f x 0 với x 0; f 0 1 Tính giá trị f 3
Lời giải
Ta có
1
x
f x f x
x
d d
1
t t
x
f x f x x x
x 0 2 3 t t
f x x x
0 2 3 t t
f x x x
3
2 2
1
3 f t 3 t t
3
2 2
1
3 f t 3 t t
3
2 1 1 3
f t t t
2
3 1 1 6
f t t t
Vậy f 3 100
Bài 26. Cho hàm số y f x có f x liên tục nửa khoảng 0; thỏa mãn
3f x f x 3.e x Tính giá trị biểu thức Ae3f 1 f 0
Lời giải
Ta có
2
2 e
3 3.e
e
x x
x
f x f x e3xf x e2x e2x3 Lấy tích phân từ đến hai vế ta
1
3 2
0
e xf x dx e x e x dx
3 0
e e
3 x x f x 2
3 e e
e
3
f f
Vậy
2
e e
A
Bài 27. Cho hàm số
4 d
x
f x t t t Gọi m M, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f x đoạn 0; Tính Mm
Lời giải
2
1
4 4
x
x
f x t t dt t t x x với x0
f x x , f x 0x 2 1; 0
(36)Bài 28. Tìm hàm số f x asinx b thỏa mãn: f 1 2
0
d
f x x
Lời giải
Ta có: f 1 2asinx b 2b2
1
0
d sin d
f x x a x x
acosx 2x a
Vậy f x sinx2
Bài 29. Cho hàm số y f x xác định , thỏa mãn f x 0, x f x 2f x 0 Tính f 1 , biết f 1 1
Lời giải
Ta có
2 f x
f x f x f x f x
f x
(do f x 0) Lấy tích phân hai vế, ta
1
1 1
1
1
2 ln
f x
dx dx f x x
f x
ln f ln f ln1 ln f
e
ln f f
Bài 30. Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục đoạn 1; , f 1 1
1
d f x x
Tính f 4
Lời giải
Ta có
4 1
( ) ( ) (4) (1)
f x dx f x f f
mà f(1) 1 f(4)3
Bài 31. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương 0; có 3 4, 1
9
f f x x f x Tính f 8
Lời giải
Ta có:
1 f x
f x x f x x
f x
8
3
d 1d
f x
x x x
f x
8
8
3 3
1
1
f x x
8 3 19
3
f f
f 8 72 49
Bài 32. Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục 0; thỏa mãn
0
d cos
x
f t tx x
Tính
4 f
Lời giải
Ta có
2
' d cos
x
f t tF x F x x
Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2
2 x f x cosxx.sinx
4.f cos 2 sin 2
4
4
f
Bài 33. Cho hàm số f x thỏa mãn
2
d cos
f x
t tx x
Tính f 4
(37)Ta có: d cos f x
t tx x cos f x t
x x
f3 x 3 cosx x
3
4 12.cos 12
f
4 12 f
Bài 34. Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục đoạn 1; thỏa mãn f x 0 x1; 2 Biết
2
1
d 10 f x x
1
d ln
f x x f x
Tính f 2
Lời giải
Ta có:
2 1
d 10
f x x f x
f 2 f 1 10 (1) Ta có:
2
2 1
d ln ln
f x
x f x
f x
lnf 2 lnf 1 ln
2 f f
(2)
Từ (1) (2) f 2 20
Bài 35. Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục đoạn 1; ln thỏa mãn e
f
ln
2
d e f x x
Tính I f ln 3
Lời giải
Ta có: ln
2
d e f x x
f ln 3 f 1 9 e2 f ln 39
Bài 36. Cho hàm số y f x liên tục thỏa mãn 2017
3
f x x x x f x , e
f Tính f 0 ?
Lời giải
2017
3
f x x x x f x
2017
3
3
f x
x x x
f x 0 2017 2
3 d
f x
x x x x
f x
Ta có:
0
2017
3
2
3 d
I x x x x
0 2017
3
1 d
x x x
Đặt tx 1 dxdt, đổi cận x 2 t 1,x 0 t
2017 3
I t t
Xét hàm số f t t33t2017 hàm số lẻ nên I 0 f x f x
0
2 ln f x
ln f 0 ln f 2
f e
Bài 37. Cho hàm số e e ln d x x
f x t t t Xác định hoành độ điểm cực đại đồ thị hàm số f x
Lời giải
Tập xác định D
Gọi F t nguyên hàm g t tlnt với t0 Khi
2 e e ln d x x x x e e
f x t t t F t 2 e x ex
F F
2 2
e x e x ex ex
(38)
f x 20
ln 4e x
x x x
Bảng biến thiên hàm số
Vậy hoành độ điểm cực đại đồ thị hàm số x ln
Bài 38. Cho hàm số y f x liên tục 0;
0
d sin
x
f t tx x
Tính f 4
Lời giải Gọi F t nguyên hàm f t
2 0
d sin
x
x
g x f t tF t F x F x x
2
2 sin cos
g x xF x x x x 2xf x 2 sinxxcosx Chọn x2 ta 4f 4 sin 22 cos 2 2 4
2
f
Vậy 4
f
Bài 39. Lấy tích phân hai vế, ta Cho hàm số
3 ln f x x
Giải bất phương trình sau:
sin . t dt f x x Lời giải
Ta có 3ln 3 ; 3 '
3
f x x f x x
x x 0
6 cos
sin sin
2
t t
dt dt t t
Khi
2
3
6 sin
2 3 2
2
3; t
dt
f x x x
x x x
2 2
0
3 1
3
3; 2
x x x x x x x
Vậy nghiệm bất phương trình:
2 x x
Bài 40. Chứng minh
2
1 *
2 2
1 1
,
2 2
n n
n n n n
C C C C n
n n
x ln
y
y
(39)Lời giải
* Nhận xét : Số hạng tổng quát tổng vế trài 2
k n
C
k với k nguyên dương lẻ không xuất 2
1
k n
C
k với k chẵn Do ta phải sử dụng
1x x 1x2n sử dụng phương pháp tích phân hai vế
Ta có 1 x2n C20n C x C x12n 22n C22nn 2x n C x22nn 2n
2 2 2 2
2 2 2
1x n C nC x C xn n C nn x n C xnn n
Suy 1x2n1x2n 2C x C x21n 23n 3C x25n 5 C22nn1 2x n1
Do
2
1
1 3 5 2
2 2
0 1 * n n n n
n n n n
x x
dx C x C x C x C x dx
Mà
1
2 2
1
0
0
1 1
1
2 2
n n n n n
x x x x
dx n n
và
1
1
1 3 5 2 1
2 2 2 2
0
2
n
n n n
n n n n n n n n
x x x x
C x C x C x C x dx C C C C
n
1
2 2
1 1
2
n
n n n n
C C C C
n
Thay (1) (2) vào (*) ta có
2
1
2 2
1 1
2 2
n n
n n n n
C C C C
n n
(đpcm)
Bài 41. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 1 2018
2 2019
n n
n n n n n
C C C C C
n Lời giải Nhận xét:
* Số hạn tổng quát tổng vế trái 1 k n k C k
(k0 k) Số chung với
k n
C phân số nên sử dụng tích phân phù hợp
* Số hạng tổng quát tổng vế trái 1 k n k C k
có mẫu phân số
1
k Do k1 lớn
k đơn vị nên có khả ban đầu Cnk chung với xk tức x Ck nk
* Dấu số hạng thay đổi từ dấu sang dấu ta khai triển nhị thức 1xn Vì chưa khớp dấu đề nên nhân hai vế cho 1
Ta có:
1
1 3
0
1 x n Cn C x C xn n C xn n C xnn n dx
1
1
0 2 3
1
1 1 1
1
n n
n n
n n n n n
x n
C x C x C x C x C x
n n
1
1 1
1
1
n n
n n n n
C C C C
n n
1
1 1
1
n n
n n n n
n
C C C C
n n 2018 2019 n n
n2018
(40)
0
1 1 1
2 2
n n
n n n n n
C C C C C
n n n
Lời giải
Nhận xét:
* Số hạng tổng quát vế trái 1 k k n C k
( k0, k) Số chung với
k n
C phân số nên sử dụng phương pháp tích phân
* Số hạng tổng quát vế trái 1 k k n C k
có mẫu số phân số 1
2
k
k
k2 lớn số chập k đơn vịcó khả ban đầu Cnk chung với xk1, tức xk1Cnk * * Dấu số đổi dấu từ sang
Ta xét 1xn Cn0C x C x1n n2 2C xn3 3 1 nC xnn n
Tới ta nhận thấy số hạng vế phải chưa giống ta đốn * , ta nhân hai vế cho x ta x1xn C x C xn0 n1 C xn2 3C xn3 4 1nC xnn n1
Khi
1
0 2 3
0
1 nd n n n d
n n n n n
x x x C x C x C x C x C x x
Xét
0
1 nd
x x x
Đặt t 1 x dt dx
1
0
1 nd
x x x
1
0
1 t tndt
1 1 n n t t n n 1 n n
Mặt khác
1
0 2 3
0
n n n d
n n n n n
C x C x C x C x C x x
1
0
0
1 1
2
n n n
n n n n n
C x C x C x C x C x
n
1
1 1
2
n n
n n n n
C C C C
n
Vậy
1
1 1 1
2 1
n n
n n n n
C C C C
n n n
Bài 43. Tính tổng 1 1 1
3
n n
n n n n
S C C C C
n
với n nguyên dương
Lời giải
Ta có 2
1 n n n n
n n n n
x C C x C C x
1
2
0
1x ndx Cn C xn Cn 1 nC xnn n dx
* Ta có
1
0
0
n n n d
n n n n
C C x C C x x
1
0
0
1 1
3
n
n n
n n n n n
C x C x C x C x C x
n 1
3
n n
n n n n n
C C C C C
n
(41)Ta tính
2
1 nd
n
I x x
Đặt
1
2
1 d d
d d
n n
u x u nx x x
v x v x
1
1x ndx
1
1 1
2 2
0 0
1 n n d
x x nx x x
1
1
2
0
2n x 1 x n dx
1
1
2
1
0
2n x ndx 2n x n dx n In n In
Do In 2 n In2 n In1
2
n n
n
I I
n
2
n o
n
I I
n
2
n n
Vậy
3
n S
n
(42)ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG
GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN SO SÁNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu Cho hàm số f x liên tục Đồ thị hàm số y f ' x cho hình vẽ bên Diện tích hình phẳng K , H 8,
12 Biết 19
12
f , tính f 2
A 2 11
f B. 2
3
f C f 2 3 D f 2 0
Lời giải Chọn B
1
K
S f x dx
0 1
12 f f
f 0 19
1212
0
H
S f x dx 2 0 f f
f 2 2
3
0
1
S f x dx f x dx
0 1 2 0 12 13 f f f f
Câu Cho hàm số y f x liên tục Đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ
O 1 3 x
2 4
2
3
y Chuyên
(43)Đặt g x 2f x x12 Mệnh đề đúng ?
A
3;3 1
Min g x g
B
3;3 1
Max g x g
C
3;3 3
Max g x g
D. Không tồn giá trị nhỏ g x 3;3
Lời giải Chọn B
Ta có: g x' 2 'f x 2x1; g x' 0 f ' x x 1
Vẽ đồ thị đường thẳng yx1 hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f x
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng yx1 cắt đồ thị hàm số y f ' x ba điểm phân biệt có hồnh độ 3;1;3 Do
3
1
3 x x x
Bảng biến thiên
Vậy
3;3 1
Max g x g
Câu Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hàm số y f x hình vẽ Đặt
2 5
(44)A S6 B S 5 C S5 D S6
Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta có
4
2
2 4 S f x dx f f ,
5
4
5 S f x dx f f
2 5 2
f f S S S S
Câu Cho hàm số f x có đồ thị hình vẽ bên
Xét hàm số
2
d x
g x f t t
đoạn 3; 2 Tìm giá trị lớn giá trị g 3 ,
2
g , g 0 , g 1
A g 3 B g 2 C g 0 D g 1
Lời giải Chọn D
Ta có g x f x Bảng biến thiên:
O x
y
3
(45)Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận
3;2
max x g x g
Vậy giá trị lớn giá trị g 3 , g 2 , g 0 , g 1 g 1
Tiếp theo ta xét Bài toán phức tạp
Câu Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x hình vẽ Đặt
12
g x f x x
Mệnh đề đúng?
A g 1 g 3 g 5 B g 1 g 5 g 3
C g 5 g 1 g 3 D g 3 g 5 g 1
Lời giải Chọn B
Ta có g x 2f x x1; g x 0 f x x
Vẽ đường thẳng y x hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f x
x 3
y
(46)Dựa vào đồ thị ta có nghiệm sau:
1 x x x
Ta có bảng biến thiên
Ngồi dựa vào đồ thị ta có
3
1
1 d d
f x x x x f x x
3
1
1
d d
2 g x x g x x
3 5
1
g x g x
3 1 3 5 g g g g
g 5 g 1 Vậy g 3 g 5 g 1
+ Nhận xét: ta thấy việc nhận định vùng diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f x đường thẳng y x đường thẳng x 1;
3;
x x có vẽ chủ quan Nhưng đa số ý tưởng để giải toán so sánh miền diện tích bảng biến thiên hàm g x
Câu (TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn
0 a b c d hàm số y f x Biết hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Gọi
M m giá trị lớn nhỏ hàm số y f x 0;d Khẳng định sau khẳng định đúng?
A Mm f 0 f c B Mm f d f c
C Mm f b f a D Mm f 0 f a
Lời giải
ChọnA
Gợi ý: Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được:
O
a b c d x
(47)0; 0;
max max , , ;min ,
d
d f x f f b f d f x f a f c
Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích ta có:
d d
b c
a b
f x x f x xf c f a
Tương tự:
0
d d
a b
a
f x x f x x f f b
và d d
c d
b c
f x x f x x f b f d
Vậy
0; 0;
max ;min
d
d f x f f x f c
Câu Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hàm số y f x hình vẽ Đặt
0 6
S f f f a f b
Khẳng định đúng?
A S25 2 a4b B S26 2 a4b C S25 2 a4b D S 26 2 a4b
Lời giải Chọn C.
Xét hai đường thẳng y 2;y4
Ta có
6
0
0 d d
a
b
S f f f a f b f x x f x x;
Ta lại có:
6
6
d 4d b 24
b b
f x x x x b
và 0
0
d 2d 2
a a
a
f x x x x a
Suy
6
0
0 d d
a
b
S f f f a f b f x x f x x25 2 a4b
Câu Cho hàm số y f x có đồ thị f x hình vẽ
y
O x
4
2
a
(48)Xét hàm số 2018
y f x x x x phát biểu i) Hàm số có hai điểm cực trị 1; 2
ii) Giá trị nhỏ hàm số g x 1; 2 g 0 iii) g 0 g 1
iv) Giá trị lớn hàm số g x 1;1 g 1 Số phát biểu sai
A. B. C. D.
Lời giải Chọn A
Ta có g x f x x3 x2 x; g x 0 f x x3 x2 x
Dựng đồ thị hàm số y x3 x2 x hệ trục toạ độ có chứa đồ thị f x
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x x3 x2 x có bốn nghiệm là: x 1;0;1; 2 Ta có bảng biến thiên hàm số g sau
(49)Hàm số có hai điểm cực trị 1; 2
Giá trị nhỏ hàm số g x 1; 2 g 0
0 1 g g Hơn ta lại có
0
1
1 1
g x dx g x dx g g g g g g
Giá trị lớn hàm số g x 1;1 g 1 Vậy bốn mệnh đề
Câu Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm y f x( ) và đồ thị hàm số f( )x cắt trục hoành điểm a b c d, , , (hình vẽ)
Xét mệnh đề sau: (I) f a( ) f b( ); (II) f c( ) f d( )
(III) f a( ) f c( ) f b( ) f d( ); (IV) f a( ) f b( ) f c( ) f d( )
Số mệnh đề sai mệnh đề
A 3 B 4 C 2 D 1
Lời giải ChọnC
Từ đồ thị f( )x suy hàm số f x( ) nghịch biến ( ; ),( ; )a b c d Do f a( ) f b( ), f c( ) f b( ) f c( ) f d( )
Nên mệnh đề (I), (IV) sai, mệnh đề (II) ( )f b f a( ) f c( ) Cũng từ đồ thị f( )x suy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c d c d
b c b c
c d f x dx f x dx f x dx f x dx f x f x
b c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f c f b f c f d f b f d
Nên f a( ) f c( )2 ( )f b f b( ) f d( ) Vậy mệnh đề (II)
(50)A g 1 h 1 f 1 B h 1 g 1 f 1
C h 1 f 1 g 1 D f 1 g 1 h 1
Lời giải Chọn B
+ Nếu 1 đồ thị hàm số yh x g x g x 0 x 0; 2g x đồng biến
0; , hai đồ thị cịn lại khơng có đồ thị thoả mãn đồ thị hàm số
yg x f x
+ Nếu 2 đồ thị hàm số yh x g x g x 0, x 1,5;1,5
g x
đồng biến 1,5;1,5, 1 đồ thị hàm số yg x f x
0, 0; 2
f x x
f x
đồng biến 0; , 3 không thoả mãn đồ thị hàm số y f x + Nếu 3 đồ thị hàm số yh x g x g x 0, x ;1
g x
đồng biến ;1, 2 đồ thị hàm số yg x f x 1 đồ thị hàm số y f x
Dựa vào đồ thị ta có h 1 g 1 f 1
Câu 11 Cho hàm số f x có đạo hàm , đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Hỏi phương trình f x 0 có tất nghiệm biết f a 0?
x y
a b c
f'(x)
O
A 3 B 2 C 1 D 0
Lời giải Chọn D
Ta có
O
x y
2
0,5 1,5
0,5
1
2
(51)Mặt khác
d d
b c
b c a b
a b
f x x f x x f x f x
f b f a f c f b f a f c
Mà f a 0 nên phương trình vơ nghiệm
Câu 12 Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị f x hình vẽ
y
x O
Biết f a f b 0 hỏi đồ thị hàm y f x cắt trục hoành điểm ?
A. B 3 C 2 D 1
Lời giải Chọn C
Từ đồ thị cho ta có BBT sau :
Vì
0
0 f a f b f a f a f b f b
Ta có d d
b c
a b
f x x f x x
d
c a
f x x f c f a f c
(52)Tương tự f x liên tục b c; f b f c 0 phương trình f x 0 có nghiệm thuộc b c; , nghĩa đồ thị hàm sốy f x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ thuộc khoảng b c;
và a b; b c; , đồ thị hàm sốy f x cắt trục hồnh hai điểm
Câu 13 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 3; 3 đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Biết f 1 6
2
1 x
g x f x Kết luận sau đúng?
A Phương trình g x 0 có hai nghiệm thuộc 3;3
B Phương trình g x 0 có nghiệm thuộc 3;3
C Phương trình g x 0 khơng có nghiệm thuộc 3;3
D Phương trình g x 0 có ba nghiệm thuộc 3;3
Lời giải Chọn B
Ta có: g x f x x1
Ta thấy đường thẳng yx1 đường thẳng qua điểm 3; , 1; , 3; Do f 1 6g 1 4
Từ hình vẽ ta thấy:
3
d
f x x
f 1 f 3 6 f 3 0g 3 f 3 2
1
d
f x x
f 3 f 1 6 f 3 8g 3 f 3 8
Từ đồ thị hàm số y f x đường thẳng yx1 với kết ta có bảng biến thiên sau:
(53)A. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu (THPTQG 2017) Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x( ) hình bên Đặt
( ) ( 1)
g x f x x Mệnh đề đúng?
A. g 3 g 3 g 1 B. g 1 g 3 g 3
C. g 3 g 3 g 1 D. g 1 g 3 g 3
Câu (THPT Đồng Quan, Hà Nội – 2017)
Hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a b c hình vẽ bên Mệnh đề đúng?
A. f c f a f b B f b f a f c C f a f b f c D f c f b f a
Câu (Chuyên Đại học Vinh, lần – 2017). Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương 0; thỏa mãn f 1 ,f x f x 3x1, với x0 Mệnh đề sau đúng?
A 1 f 5 2 B 4 f 5 5 C 3 f 5 4 D 2 f 5 3 Câu (THPT Phan Bội Châu – Đắk Lắk – Lần – 2017)
(54)A f 4 f 2 f 0 B f 0 f 4 f 2 C f 0 f 4 f 2 D f 4 f 0 f 2 Câu (Chuyên Đại học Vinh, lần – 2017)
Cho hàm số f x có đạo hàm f x Đồ thị hàm số y f x cho hình bên Biết f 0 f 3 f 2 f 5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn f x đoạn
0;5
A f 0 ,f 5 B f 2 ,f 0 C f 1 ,f 5 D f 2 ,f 5 Câu Cho hàm số y f x( ) Đồ thị hàm số y f( )x hình bên Đặt
2
( ) ( )
h x f x x Mệnh đề ?
A. h(4)h( 2) h(2) B. h(4) h( 2) h(2) C. h(2)h(4) h( 2) D h(2)h( 2) h(4)
Câu Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục R Biết đồ thị hàm số
'
(55)6
4
2
2
x y
3
O 1
-1 -1
2 5
Lập hàm số g x f x x2x Mệnh đề sau đúng?
A g 1 g 1 B g 1 g 1 C g 1 g 2 D g 1 g 2
Câu Cho hàm số y f x liên tục , đồ thị hàm số y f x có dạng hình vẽ bên Số lớn số sau f 0 , f 1 , f 2 , f 3 ?
A f 1 B f 2 C f 3 D f 0
Câu Cho hàm số y f x liên tục có đạo hàm f x liên tục Hình bên đồ thị hàm số f x đoạn 5; 4 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?
A
5;4
min
x f x f B xmin 5;4 f x f 4 C
5;4
min
x f x f D x min 5;4 f x f 4
Câu 10 Cho hàm số f x xác định \1;1 thỏa mãn ' 21 f x
x
Biết 3 3
f f 1
2
f f
(56)A. ln
T B ln
T C 1ln
T D 1ln T
Câu 11 Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Đặt
cos
g x f x x.Mệnh đề đúng?
A. 0
2
g g g
B g g 0 g
C 0
2
g g g
D g g 0 g
Câu 12 Cho hàm số y f x( ) Đồ thị hàm số y f x'( ) hình bên Đặt
2
( ) ( ) ( 1)
g x f x x Mệnh đề ?
A. g(1)g(3)g( 3) B g(1)g( 3) g(3)
C g(3)g( 3) g(1) D g(3)g( 3) g(1)
(57)A g 3 g 3 g 1 B g 1 g 3 g 3 C g 1 g 3 g 3 D g 3 g 3 g 1
Câu 14 Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm Biết đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ bên Xét hàm số
2
2
x
g x f x x Tìm số lớn ba số
1 , ,
g g g ?
2
2
4
x y
2 O 1 -1
-3 -1
A. g 1 B g 1
C g 2 D Không so sánh
Câu 15 Cho hàm số y f x có đồ thị y f x cắt trục Oxtại ba điểm có hồnh độ a b c hình vẽ Mệnh đề đúng?
A f b f a f b f c 0 B f c f b f a
(58)ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VỚI DỮ KIỆN TỐN THỰC TẾ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định lí: Cho hàm số y f x liên tục, không âm đoạn a b; Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng xa x, b
d b
a
S f x x
2. Bài toán 1. Cho hàm số y f x liên tục đoạn a b; Khi diện tích S hình phẳng D
giới hạn đồ thị hàm số y f x ; trục hoành Ox (y0) hai đường thẳng xa x; b
d
b
a
S f x x
3. Bài tốn 2. Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y f x ; yg x hai đường đường thẳng xa x; b d
b a
S f x g x x
Lưu ý:
1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau:
Giải phương trình f x g x tìm nghiệm x x1, 2, ,xn a b; x1x2 xn Chuyên
(59) Tính
d d
x x
a x
S f x g x x f x g x x d
n b x
f x g x x
1
d d
n
x b
a f x g x x x f x g x x
Ngoài cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
2) Trong nhiều trường hợp, tốn u cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị
yf x ; yg x
Khi đó, ta có cơng thức tính sau
1
d
n x
x
S f x g x x
Trong x1 xn tương ứng nghiệm nhỏ nhất, lớn phương trình f x g x B. BÀI TẬP
1. NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM PARABOL
Phương pháp
Bước Chọn hệ trục tọa độ, xác định parabol
Bước 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x đường cho toán
Bước 3. Tùy theo thực tế bài, tính diện tích theo yêu cầu
Chú ý: Mấu chốt vấn đề tính diện tích parabol nằm khâu chọn hệ trục tọa độ phù hợp Nên chọn hệ trục cho đỉnh parabol nằm trùng với gốc O nằm trục Oy Khi hàm số parabol ln có dạng yax2b
Câu 1. Vịm cửa lớn trung tâm văn hóa có dạng hình parabol Người ta dự định lắp cửa kính cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 8m rộng 8m
Hướng dẫn giải
Định hướng: Ở toán này, chất việc xác định đồ thị hàm parabol thõa mãn với vòm cửa, sau tính diện tích
CÁC BÀI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH PARABOL ĐƠN THUẦN
(60)Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ
Vịm cửa đồ thị hàm số parabol có dạng:
2
yax b P Theo đề ra:
4;8 P nên 816ab (1)
0;0 P nên 00ab (2)
Từ (1) (2) suy parabol có dạng 2
y x
Khi đó, vịm cửa giới hạn đường
2
,
2
y x y
Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình:
2
1
4
x x
x
Diện tích vòm cửa
4
2
1
8 d
2
S x x
4
4
1 128
8
6
x x
Câu 2. Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vng 1500000 đồng Tính số tiền bác Năm phải trả
Hướng dẫn giải
Định hướng: Bài tốn hồn tồn tương tự ví dụ Bản chất tốn tính diện tích phần hình phẳng đồ thị hàm số parabol.
Cách 1:
Gắn parabol P hệ trục tọa độ cho P qua O(0; 0)
Gọi phương trình parbol (P): :
P yax bxc
Theo đề ra, P qua ba điểm O(0; 0),A(3; 0),B(1, 5; 2, 25) Từ đó, suy
:
P y x x
Diện tích phần Bác Năm xây dựng:
3
9
2
S x x dx
Vậy số tiền bác Năm phải trả là:9.1500000 675
2 000 (đồng)
Cách 2:
x y
A B
(61)Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Đỉnh I0;2, 25Oy, P qua A(1,5;0) Gọi phương trình parbol (P):
:
P yax b
Dễ dàng tìm y x22, 25
Từ ta tính diện tích hình phẳng bình thường
Bài tập tương tự
Câu 1. Một người làm cổng cổ xưa có dạng Parabol hình vẽ Hãy tính diện tích cổng?
Hướng dẫn giải
Phương trình parabol ( )P có đỉnh I0;4 qua điểm 0;
2
4
y x
Diện tích cổng diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
2
y x
y x
x
Từ ta có
2
2
2
32
4 d d (
3 )
S x x x x đvdt
Câu 2. Gọi S diện tích Ban - Cơng ngơi nhà có hình dạng hình vẽ (S giới hạn parabol P trục O x ) Khi
Lời giải
Tìm phương trình parabol P qua ba điểm: đỉnh A 0;1 , B1;0 C 1;0 giao điểm với trục O x ta P y: x2 1
Diện tích
1
1
2
1
4 d
3
x
S x x x
(62)Câu 1. Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng
bằng 4(m), phần cịn lại khn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)
Hướng dẫn giải
Định hướng: Bản chất tốn tính diện tích phần khơng tơ màu, (được giới hạn bời nửa đường trịn, đồ thị hàm parabol) Ta chuyển tốn tính diện tích hình phẳng hai đồ thị hàm số f x g x , trục Ox việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp
Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn
2
2 2
2 20
y R x x x
Phương trình parabol P có đỉnh gốc O có
dạng
yax Mặt khác P qua điểm M2;4 đó: 4a22a1
Phần diện tích hình phẳng giới hạn P nửa đường trịn.( phần tơ màu)
Ta có cơng thức
2
2 2
2
11,9
20
S x x dx m
Vậy phần diện tích trồng cỏ 119, 47592654
trongco hinhtron
S S S
Vậy số tiền cần có Strongxo 1000001.948.000 (đồng).đồng
4m 4m
4m CÁC BÀI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH XÁC
ĐỊNH BỞI HÀM SỐ
;
y f x y g x
(63)Câu 2. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1 m2 rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm tròn đến hàng nghìn)
Hướng dẫn giải
Định hướng: Bài tốn quy tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y f x hai đường thẳng xa x; b trục Ox
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Trong A2,5;1,5, B2,5;1,5, C0;2
Giả sử đường cong phía Parabol có dạng yax2b , với a b c; ; Do Parabol qua điểm B2,5;1,5, C0;2 nên ta có hệ phương trình
2,52 1,5
25
2 2
a
a b
b b
Khi phương trình Parabol 2 25
y x
Diện tích S cửa rào sắt diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
2
2 25
y x , trục hoành hai đường thẳng x 2, 5, x2,
Ta có
2,5
2,5
2
2,5 2,5
2 55
2 d
25 25
x
S x x x
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cửa sắt
55
700000 700000 6.417.000
(64)Câu 3. Một mảnh vườn tốn học có dạng hình chữ nhật, chiều dài 16 m chiều rộng 8m Các nhà Tốn học dùng hai đường parabol, parabol có đỉnh trung điểm cạnh dài qua
2 mút cạnh dài đối diện; phần mảnh vườn nằm miền hai parabol (phần gạch sọc hình vẽ minh họa) trồng hoa Hồng Biết chi phí để trồng hoa Hồng 45.000 đồng/1m2 Hỏi nhà Toán học tiền để trồng hoa phần mảnh vườn đó?
(Số tiền làm trịn đến hàng nghìn).
Hướng dẫn giải
Định hướng: Bài toán quy tính diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm sô y f x ,
yg x Vì hai đồ thị hàm số đối xứng, nên ta chuyển tốn dạng tính
diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , y4 Lời giải trình bày theo cách thứ
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Hàm số có đồ thị y f x có dạng yax2
Vì O0;0 M8;8 thuộc P nên ta có:
y x
Tương tự ta tìm đồ thị hàm số 8
yg x x
Diện tích phần trồng hoa diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f x ,
yg x
Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình:
2
1
8 8x 8x
2
32 32
x x
(65)Diện tích phần trồng hoa :
32 32
2 2
32 32
1 1
8 d d
8
S x x x x x
32
32
2
32 32
96 32 32
8 d
4 12
x
x x x m
Số tiền để trồng hoa :
3 96 32 32
.45000 2715290
(đồng)
Bài tập tương tự
Câu 1. Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh
O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A, B , C , D tạo thành hình vng có
cạnh m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl, S2 dùng để
trồng hoa, phần diện tích S3, S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích
làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó?
(Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn)
Hướngdẫngiải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Parabol có hàm số dạng yax2bxc có đỉnh gốc tọa độ qua điểm B2;2 nên có phương trình
2
y x
Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính O B2 nên có phương trình
2
8
x y Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh
2
8
(66)Vậy diện tích phần
2
1
1
8 d
2
S x x x
Do đó, diện tích trồng hoa
2
2
1 2
1
2 d 15, 233
2
S S x x x
Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:
15, 233 150.000 2 15, 233 100.0003.274.924 đồng
Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật H có cạnh nằm trục hồnh, có hai đỉnh đường chéo A1;0 C a ; a, với a0 Biết đồ thị hàm số y x
chia hình H thành hai phần có diện tích nhau, tìm a
Hướng dẫn giải
Gọi ABCDlà hình chữ nhật với AB nằm trục O x , A1;0 C a ; a
Nhận thấy đồ thị hàm số y x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ qua
;
C a a Do chia hình chữ nhật ABCD làm phần có diện tích
1
S ,S2 Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y x trục O x , 0,
x x a S2 diện tích phần cịn lại Ta tính S1,S2
Tính diện tích 1
0 d
a
S x x
Đặt
2 d d
t x t x t t x; Khi x 0 t 0;x a t a
Do
3
1
0
2
2 d
3
a a
t a a
S t t
(67)Hình chữ nhật ABCD có AB a 1;AD a nên
2
2
1
3
ABCD
a a
S S S a a a a a
Do đồ thị hàm số y x chia hình H thành hai phần có diện tích nên :
1
2
3
3
a a
S S a a aa a a a (Do a0)
Câu 3. Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC6 m, chiều dài CD12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật cóMN4 m; cung EIFcó hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/m2
Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó?
Hướng dẫn giải
- Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN, trục hồnh trùng với đường thẳng
MN parabol có phương trình 6
y x
- Khi diện tích khung tranh
2
2
2
1 208
6
6
S x dx m
- Suy số tiền là: 208 900.000 20.800.000
9 đồng
Câu 4. Ơng B có khu vườn giới hạn đường parabol đường thẳng Nếu đặt hệ tọa độ Oxy hình vẽ bên parabol có phương trình yx2 đường thẳng y25 Ông B dự định dùng mảnh vườn nhỏ chia từ khu vườn đường thẳng qua O điểm M parabol để trồng loại hoa Hãy giúp ông B xác định điểm M cách tính
độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ
2
(68)Gọi điểm H có hồnh độ a, a0 hình chiếu vng góc điểm M trục Ox
Khi ta có pt đường thẳng OM có dạng ytan x, ( với
MOH )
2
tan MH a a y ax
OH a
Vậy diện tích mảnh vườn cần tính là:
2 3
0
d
2
a a
ax x a
S axx x
3
3
a
a
Suy OM 3292 3 10
Câu 5. Trong đợt hội trại “Khi 18 ” tổ chức trường THPT X, Đồn trường có thực dự án ảnh trưng bày pano có dạng parabol hình vẽ Biết Đồn trường yêu cầu lớp gửi hình dự thi dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần cịn lại trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn 200.000 đồng cho m bảng Hỏi chi phí thấp cho việc hoàn tất hoa văn pano (làm trịn đến hàng nghìn)?
Hướng dẫn giải
Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, phương trình đường parabol có dạng:
yax b
A B
C D
(69)Parabol cắt trục tung điểm 0; cắt trục hoành 2; nên:
2
4
.2
b
a b
1
a b
Do đó, phương trình parabol
4
y x
Diện tích hình phẳng giới hạn đường parabol trục hoành là:
2
2
4 d
S x x
2
2
4
x x
32
Gọi C t ; 0 2 ;
B t t
với 0 t
Ta có CD2t BC4t2 Diện tích hình chữ nhật ABCD
2
S CD BC 2 4t t
2t38t Diện tích phần trang trí hoa văn là:
1
S S S 32
3 t t
32
3
t t
Xét hàm số 32
f t t t với 0 t Ta có f t 6t2 8
2
0;
2
0;
t t
Bảng biến thiên:
x
3
f x –
f x
96 32
4
A B
C D
4 m m
2
x y
(70)Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ 96 32 3m2
, chi phí thấp cho
việc hoàn tất hoa văn pano là: 96 32 3.200000 902000
đồng
2. NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ELIP
Phương pháp
Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ, xác định Elip
Bước 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x đường cho toán
Bước 3. Tùy theo thực tế bài, tính diện tích theo yêu cầu
Chú ý Mấu chốt vấn đề tính diện tích Elip.nằm khâu chọn hệ trục tọa độ phù hợp Nên chọn hệ trục cho tâm Elip ln nằm trùng với gốc O Khi hàm số elip ln có dạng
2
2
x y a b
Câu 1. Anh Tồn có ao hình elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé 100m 80m Anh chia ao hai phần theo đường thẳng từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục bé (Bề rộng không đáng kể) Phần rộng anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống Biết lãi nuôi cá lấy thịt lãi nuôi cá giống năm 20.000 đồng/m2 40.000 đồng/m2 Hỏi năm anh Tồn có tiền lãi từ ni cá ao nói (Lấy làm trịn đến hàng nghìn)
Hướng dẫn giải
Định hướng: Bản chất tốn tính diện tích phần tô màu,đen (được giới hạn bời elip, đồ thị đường thẳng) Ta chuyển tốn tính diện tích hình phẳng hai đồ thị hàm số
,
(71)Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình elip
2
2
x y a b
Phương trình Elip có tâm Elip trùng với gốc tọa độ.( Elip có tính đối xứng nên ta xét góc phần tư thứ Elip phương trình góc phần tư thứ Elip
2 2
2
1
50 40 50
y a bx x
a
Từ ta tìm diện tích
4 ao là:
50
2
2
1
1
50 40 500
50
S x dx m
Sau tìm diện tích tồn phần ao ta tính diện tích phần ni cá Diện tích tồn ao 2
.40.50 2000
S π π m
Diện tích phần ni cá giống 2
1 500 1000
4 OAB
S
S S π m
Diện tích phần ni cá thịt 2
2 1500 1000
S SS π m
Tiền lãi từ nuôi cá 40000.S120000.S2137080000
Câu 2. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m chiều rộng 30m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí để làm
m làm
đường 500.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)
Hướng dẫn giải
Định hướng: Bài toán quy tính diện tích hình phẳng giới hạn hai elip đồng tâm ( tâm trùng với gốc tọa độ) y f1 x y f2 x .
Gọi S diện tích elip
2 2 :x y E
(72)Chứng minh
2
2
1
a
a
x x
S b ab
a a
Xét hệ trục tọa độ Oxy cho trục hoành trục tung trục đối xứng hình chữ nhật trục hồnh dọc theo chiều dài hình chữ nhật
Gọi E1 elip lớn, E2 elip nhỏ ta có:
2 : 2
25 15
x y
E Diện tích S1.25.15 375
2 2 : 2
23 13 x y
E Diện tích S2.23.13 299
Diện tích đường 375299 76
Do số tiền đầu tư 76 *500.000 119320000
Câu 3. Người ta cần trồng hoa phần đất nằm phía ngồi đường trịn tâm gốc toạ độ, bán kính
1
2 phía Elip có độ dài trục lớn 2 trục nhỏ (như hình vẽ)
Trong đơn vị diện tích cần bón
100
2 1 kg phân hữu Hỏi cần sử dụng bao
nhiêu kg phân hữu để bón cho hoa?
x y
O
Hướng dẫn giải
Diện tích hình phẳng giới hạn elip đường trịn diện tích hình elip trừ diện tích hình trịn
x y
2 1
2 O
Phương trình elip có trục lớn 2a 2 , trục nhỏ 2b2
2
:
2
x y
(73)Áp dụng công thức diện tích Selip ab ta Seip
Phương trình đường trịn C tâm O0;0 bán kính
R : 2
C x y
Áp dụng cơng thức diện tích 2
hình trịn
S R
* Vậy diện tích hình phẳng 2
hình trịn elip
S S S
Do khối lượng phân cần bón
100
2 50
2 2 1
+ Chứng minh cơng thức diện tích elip: Selip ab với
2
2
:x y E
a b
2
2 ,
, b
y a x y
a b
y a x y
a
Do tính đối xứng nên 2
0
4 d
a elip
I
b
S a x x
a
Đặt x a sinu dxacos du u; đổi cận sin
0 sin 0
x a u u
x u u
2
2 2
0
sin cos d
I a a u a u u
2
2
0
1 sin cos d
a u u u
2
2
0
cos d
a u u
2
0
1 cos d
a
u u
2 2
0
1 sin
2
a
u u
2 a
Vậy Selip ab
Câu 4. Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng ( hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng /
m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất (số tiền làm trịn đến hàng nghìn).
Hướng dẫn giải
(74)2 64 25 x y
Khi diện tích mảnh vườn cần tìm chia làm qua trục lớn, gọi diện tích
phần S
Khi diện tích S mảnh vườn lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y f x hai đường thẳng x 4;x4
3
2
2 36 x dx S
4
4
25
25 38, 2644591
64
x
S dx
Do số tiền cần dùng 100000.2.38, 26445917653000 đồng
3. NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp
Bước 1. Xác định Phương trình đường trịn : 2 2
xa y b R Diện tích tồn phần
của đường trịn : SR2
Bước 2. Trọn hệ trục tọa độ để đặt đường tròn phác họa phần mặt phẳng cần tính diện tích giới hạn đồ thị hàm số y f x đường tròn
Bước 3. Ta sử dụng cơng thức tính diện tích v d
u f x g x x
để tính diện tích phần cần tính
Bước 4. Tùy thuộc vào câu hỏi để kết luận đưa kết toán
Câu 1. Một bồn hoa “Hội hoa xuân” thiết kế hình vẽ bên Bồn hoa giới hạn hai nhanh đường cong gồm parabol đường tròn Nếu xét hệ trục
thì ta có phương trình hai đường yx2 y 2x2 Diện tích bồn hoa
A
B
2
C
2
D
2
(75)Chọn A
Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 2x2 2
x x
1 x
x 1
Diện tích hình phẳng cần tìm
1
2
2 d
S x x x
1
d
A x x
3 A
Đặt x sintdx cos dt t Đổi cận:
4
x t ;
4 x t
Ta có:
4
4 cos d
A t x
4
4
1 cos dt x
4
4 sin
2 t t
1
Vậy
2 3
S
Câu 2. Một logo quảng cáo hình trịn sơn hai màu Hãy tính diện tích phần sơn màu hình vẽ Biết logo thiết kế lớn hình trịn có bán kính 2m có hai phần giới hạn parabol giống tiếp xúc đỉnh hình vẽ, parabol cắt đường trịn điểm cách 2m
A
B 2
3
C
3
D 2
3
(76)Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ ta có phương trình đường trịn x2y2 2 parabol phía yx2 (do qua điểm 1;1 1;1)
Diện tích hình phẳng cần tìm bằng:
2 1 2
2 2 d
S x x x
1
2 2A x xd
3 A
Đặt x sintdx cos dt t Đổi cận:
4
x t ;
4 x t
Ta có:
4
4 cos d
A t x
4
4
1 cos dt x
4
4 sin
2 t t
Vậy 2
3
S
Câu 3. Một cổng chào thiết kế gồm hai cung trịn có bán kính có tâm cách 3m Phần chân cổng đường thằng qua tâm cung trịn nhỏ vng góc với đoạn nối tâm hai cung trịn (tham khảo hình vẽ) Tính diện tích phần bề mặt cổng
A 9, 61 B 9, 63 C 19, 22 D 18, 22
(77)Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có hai đường trịn chứa hai cung trịn có phương trình 2
3 25
x y 2
1
x y
Giải hệ
2
2
0
3 25
y
x y
ta có x 4
Nửa đường trịn nhỏ bên có diện tích
2
Nửa đường trịn C1 có phương trình
3 25
y x
Diện tích hình phẳng cần tìm
4
2
3 25 d
S x x
Dùng máy tính để tìm kết ta có S 9, 61
Câu 4. Một khoảng đất trồng cỏ có dạng hình trịn bán kinh 3m Một bị cột sợi dây dài cọc cách tâm khoảng đất trồng cỏ đoạn 4m, biết bò vươn người hết cỡ cách cọc khoảng 2m Hỏi diện tích cỏ bị bị ăn bao nhiêu?(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai )
A 3, 98 B 3, C 1, 99 D 1, 94
(78)Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có phương trình hai đường tròn C1 :x2y2 9 C2:x2y42 4
Giải hệ phương trình
2 2
9
4
x y x y
ta có 15
8
x
Nửa đường trịn phía C1 có phương trình
9
y x
Nửa đường trịn phía C2 có phương trình y 4 4x2
Diện tích hình phẳng cần tìm
3 15
2
3 15
9 4 d
S x x x
Dùng máy tính để tìm kết ta có: S1, 99
Câu 5. Cho H hình phẳng giới hạn hai parabol
2 x
y ; y 3x2, cung trịn có phương trình
2
4
y x (với 0x2) (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích H
A
B
3
C 2
3
D 2
3
Lời giải Chọn B
(79)2
2
4
x
x
4
2
4
x
x
3
x x
2
3
x x
3x x
x2 1 x1 Diện tích hình phẳng cần tìm
1
2
0
3 d d
3
x x
S x x x x
1
3
3
2
1
0
3
4 d d
3
x x x
x x x
3
2
3 3
4 d
3 x x 9
3
2
4 x dx
Đặt x2sintdx2 cos dt t Đổi cận:
6
x t ;
3
x t
Ta có:
3
6 cos d
S t x
3
6
1 cos
4 d
2
t x
3
6 sin 2
2 t t
3
2
3
Câu 6. Cho H hình phẳng giới hạn đường thẳng y x 2; cung trịn có phương trình
2
4
y x (với 2x2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích H
bằng
A 2
B 2
4
C 2
2
D 2
2
(80)Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng tiếp tuyến cung trịn điểm có hồnh độ
Diện tích hình phẳng cần tìm
2
2
2
4 d
2
S x x 1 A Đặt x2sintdx2 cos dt t Đổi cận:
4
x t ;
2
x t
Ta có:
2
4 cos d
A t x
2
4
1 cos
4 d
2
t x
2
4 sin 2
2 t t
1
2
2 2
Vậy 1
2
S
Câu 7. Cho tam giác vuông cân ABC A có BC4 Gọi H chân đường cao hạ từ A, dựng đường trịn đường kính AH Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường trịn nằm tam giác
A 1
B 1
2
C 1
2
D 1
2
Lời giải Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có đường trịn có phương trình 2 1
x y ; cạnh AC
(81)Do tính đối xứng hình vẽ ta cần tính lần phần diện tích bên phải trục tung Nửa đường trịn có phương trình y 1 1x2
Phương trình hồnh độ giao điểm 1 1x2 x 2x1 Diện tích hình phẳng cần tìm
1
2
2 1 d
S x x x
1
2
0
2 d
x x x x
1 2A
Đặt xsintdxcos dt t Đổi cận: x 0 t 0;
2 x t
Ta có:
2
cos d
A t x
2
0
1 cos d
t x
2
0
1 sin
2
t t
Vậy S
Câu 8. Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m
nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng
/m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị)
6m O
Hướng dẫn giải
Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O 2
36
x y Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình
36
y x f x
Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị
y f x hai đường thẳng x 3;x3
3
2
2 36 d 18 12
S x x
(82)ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG
BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Thể tích vật thể
Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S x( )
diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, (axb)
Giả sử S x( ) hàm số liên tục đoạn [ ; ]a b
Khi đó, thể tích vật thể B xác định: ( )
b
a
V S x dx
2. Thể tích khối trịn xoay
Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), trục
hoành hai đường thẳng xa, xb quanh trục Ox:
Lưu ý:
- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x g y( ), trục
hoành hai đường thẳng yc, yd quanh trục Oy:
c y
O d
x
( ): ( ) ( ):
C x g y Oy x 0 y c y d
( )2
d y
c
V g y dy
( ) : ( )
( ) :
C y f x
Ox y 0
x a
x b
( )2
b x
a
V f x dx
a
( )
y f x y
O b x
( )
b
a
S x dx V
x
O a b
( )V
S(x)
x
Chuyên
(83)- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), ( )
yg x hai đường thẳng xa, xb quanh trục Ox:
2
( ) ( )
b
a
V f x g x dx
B. BÀI TẬP
Câu 1.Một Elip có phương trình
2
1
9
x y
Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh
trục Ox
Lời giải
Ta có:
2 2
1
9
x y x
y
Elip đối xứng qua trục Ox nên ta cần xét hàm số
2
2
x
y quay quanh Ox
Phương trình hồnh độ giao điểm
2
2
x
y trục Ox:
2
2
9
x
x
Thể tích cần tính:
3
3
4 16 50, 24
9
x
V dx
Câu 2.Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường
0, ln( 1)
y y x x x xung quanh trục Ox
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm:
0
ln( 1) 0
ln
x
x x x
x
Ta có:
1
ln 12 ln
18
V x x dx
Câu 3.Người ta vẽ nửa đường trịn hình vẽ bên, đường kính đường trịn lớn gấp đơi
đường kính nửa đường trịn nhỏ
Nửa hình trịn đường kính AB có diện tích 32 BAC30 Tính thể tích vật thể trịn xoay
được tạo thành quay hình phẳng H (phần tơ đậm) xung quanh đường thẳng AB
Lời giải
(84)Ta có
32 64
2
R
S R R r
2
: 64
: 16
C y x
C y x
30
BAC PTAC: tan 30
3
x
y x y
Vậy
12 16
2
6 12
784
dx 64 dx 16 dx
3
x
V x x
Câu 4.Một bồn hình trụ chứa dầu đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn
đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy
Tính thể tích khối dầu cịn lại bồn
Lời giải
Thể tích bồn (hình trụ) đựng dầu là: V1r h2 .1 52 5 m3
Chọn hệ tục tọa độ hình vẽ, gốc tọa độ gắn với tâm mặt đáy
Đường tròn đáy có bán kính nên có phương trình x2y2 1 Suy
1
(85)Diện tích phần hình trịn đáy bị mất:
1
2
1
2 0, 61
S x dx m
Thể tích phần dầu bị rút ngoài:
1
2
2
1
2 3, 07
V S h x dx m
Vậy thể tích khối dầu cịn lại bồn:
1 12, 637
V V V m
Câu 5.Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ
Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện
chiếc ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích vật thể cho
Lời giải
Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol P
6
2
O
x y
-2
Vì parabol P qua điểm A2; , B2; 6 I0; 0 nên parabol P có phương trình
2
3
y x
Ta có 2
2
y x x y
Thể tích V thể tích vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng H giới hạn
đường: ; 0; 0;
3
y
x x y y quanh quanh trục Oy
Khi thể tích vật thể cho
6
3
2
12 cm
3
V y dy
6 cm
A B
O
4 cm
(86)Câu Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x,
y x4 quanh trục Ox Đường thẳng xa 0a4 cắt đồ thị hàm y x M
(hình vẽ sau)
Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết
1
2
V V Tính a
Lời giải
Ta có x 0 x0 Khi
4
d
V x x
Ta có M a ; a
Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:
Hình nón N1 có đỉnh O, chiều cao h1 OK a, bán kính đáy RMK a;
Hình nón N2 thứ có đỉnh H, chiều cao h2 HK 4a, bán kính đáy
R MK a
Khi
2
2
1
1 1
.(4 )
3 3 3
V R h R h a a a a a
Theo đề 1 2.4
3
V V a a
Câu 7.Một vật thể tạo thành hai mặt cầu S1 , S2 có bán kính R thỏa mãn tính chất:
tâm S1 thuộc S2 ngược lại Tính thể tích phần chung hai khối cầu tạo
S1 và S2
Lời giải
Gắn hệ trục Oxy hình vẽ
O R
2
R
2 2
( ) :C x y R y
x
x y
O
a M
H
4
(87)Khối cầu S O R , chứa đường tròn lớn
2
:
C x y R
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính
2 3
2
5
2 d
3 12
R R
R R
x R
V R x x R x
Câu 8.Một vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục Ox hình giới hạn trục Ox
và đường ysin , 0x xnhư hình vẽ
x y
π 2
π
1
O
Tính thể tích vật thể
Lời giải Ta có:
2
0 0
1 cos sin sin
2 2
x x
V xdx dx x
Câu 9.Gọi H phần giao hai khối
4 hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vng góc với
nhau hình vẽ bên
Tính thể tích H
Lời giải
Gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ
a
(88)Khi phần giao H vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a, thiết
diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S x a2 x2
Thể tích khối H
3 2
0
2
a a
x a
S x dx a dx
Câu 10. Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng
song song vng góc đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm lu
đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa
Lời giải
Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn ( ) : (C x5)2y2 25 Ta thấy cho nửa
trên trục Ox C quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình
phẳng H giới hạn nửa trục Ox C , trục Ox, hai đường thẳng x0, x2
quay xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề
bài Ta có (x5)2y2 25 y 25 ( x5)2
Nửa trục Ox C có phương trình y 25 ( x5)2 10xx2
Thể tích vật thể trịn xoay cho H quay quanh Ox là:
2
2
2
1
0 0
52
10 d
3
x
V xx x x
(89)Thể tích khối cầu là: V2 53 500
3
Thể tích cần tìm: 2 1 500 2.52 132 3
3
V V V dm
Cách 2: Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích
5
2 2
1
3
52 25
3 R
d
V R x dx x dx
Vậy thể tích lu 1 53 252 132
3
c
V V V
Câu 11. Trong đợt xả lũ, nhà máy thủy điện xả lũ 40 phút với tốc độ lưu lượng nước
thời điểm t giây
10 500 /
v t t m s Hỏi sau thời gian xả lũ hồ nước
nhà máy thoát lượng nước bao nhiêu?
Lời giải
Lượng nước thoát là:
2400
2400
2
0
10t500 dt 5t 500t 3.10 m
Câu 12. Một thùng rượu có bán kính đáy 30 cm, thiết diện vng góc với trục cách hai
đáy đường tròn có bán kính 40 cm, chiều cao thùng rượu 1m Biết mặt phẳng chứa
trục cắt mặt phẳng xung quanh thùng rượu đường parabol Tính thể tích thùng rượu
Lời giải
Các đường xung quanh thùng rượu đường parabol Đặt thùng rượu nằm ngang chọn hệ trục có gốc tọa độ tâm đáy, trục hồnh trục đối xứng thùng rượu Gọi đường
parabol có dạng yax2bx c
Theo ta có đường parabol qua điểm 0;0;3 , 1;0; , 1;0;3
2
Suy 2
5 10
y x x
Thể tích thùng rượu thể tích hình phẳng giới hạn đường
2
2
5 10
y x x ; y0; x1
2
2
0
2 203
d m
5 10 1500
V x x x
425, 2l
Câu 13. Cho hai tam giác cân có chung đường cao XY 40cm cạnh đáy 40cm
60cm, xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trung điểm cạnh đáy tam
(90)Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ:
Y X
40 16
20 30
B A
N M y
x
0; , 40; , 0; 20 , 40; 30
Y O X A M
Phương trình đường :
4
x YM x y y
Phương trình : 40 40
2
x
AX x y y
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường YM AX là: 40 16
4
x x
x
Thể tích vật thể cần tính:
2
16 40
3
0 16
40 46240
2
x x
V dx dx cm
Câu 14. Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh Gọi O O, tâm hình vng
ABCD hình vng A B C D Tính thể tích khối tròn xoay sinh tam giác ABC
quay quanh trục OO?
Lời giải
(91)Thể tích vật thể quay IAB xung quanh trục OO phần chung hình nón có
chiều cao IO bán kính đáy OL OA, Vậy 2
1
1
3 24
V IO OA OL
Để tính thể tích vật thể tròn xoay quay KIC xung quanh trục OO ta chọn chiều dương
IO, xét mặt phẳng P qua M có toạ độ x vng góc với OO,
P ICE P; KCF
Khi thiết diện cắt vật thể mặt phẳng P vành trịn hình vẽ bên Do
2
0
2 d
V S x x Ta có:
2
1
2
IM ME x EM
EM x
IO O C
Tương tự 2
4
HF xMF MH HF x
1
2 2
2
1
2 d
4
S x MF ME x V x x
Vậy 1 2
24
(92)Câu 15. Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ
Tính thể tích hình theo R r
Lời giải
Xét hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ
Khi hình xuyến dạng phao tạo ta quay đường trịn tâm 0;R bán kính r
xung quanh trục Ox
Phương trình đường trịn 2
x yR r
2 2
y R r x y R r x
2 2 22 2
dx dx
r r
r r
V R r x R r x R r x
Đặt
2
2
2
2
sin dx cos dt r cos dt
r
x r t r t V R r t
2 2
2 2
2
sin t
2 cos dt 2
2
r R t r R t r R
Câu 16. Cho phần vật thể H giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x0 x2 Cắt
phần vật thể H mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 0x2,
ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x 2x
Tính thể tích V phần vật thể H
Lời giải r
(93)Diện tích thiết diện:
2
2
4
x x S
2
2
d
x x
V x
2
3
2 d
4 x x x
2
3
2 d
4 x x x
2
3
0
3
4 3x 4x
Câu 17. Cho hai đường tròn O1;5 O2;3 cắt hai điểm A, Bsao cho AB đường
kính đường trịn O2;3 Gọi D hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi
đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ)
Quay D quanh trục O O1 2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành
Lời giải
Chọn hệ tọa độ Oxy với O2 O, O C2 Ox, O A2 Oy
Cạnh O O1 2 O A1 2O A2 5232 4 2
1 : 25
O x y
Phương trình đường trịn O2 : x2y2 9
Kí hiệu H1 hình phẳng giới hạn đường y 25x42 , trục Ox, x0, x1
Kí hiệu H2 hình phẳng giới hạn đường y 9x2 , trục Ox, x0, x3
Khi thể tích V cần tính thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình
H2 xung quanh trục Ox trừ thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình H1
xung quanh trục Ox
Ta có 2
2
V r 33
3
18
Lại có
1
0
d
V y x
1
2
25 x dx
3 1
4 25
3
x x
14
Do V V2 V1 18 14
3
40
3
Câu 18. Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán
(94)5dm 3dm
3dm
Lời giải
Đặt hệ trục với tâm O, tâm mặt cầu, đường thẳng đứng Ox, đường thẳng ngang
Oy, đường trịn lớn có phưong trình x2y2 25
Thể tích hình giới hạn Ox, đường cong y 25x2 , x3,x 3 quay quanh Ox
Ta có
3
2
3
25 d 132
V x x
Câu 19. Bạn A có cốc thuỷ tinh hình trụ, đường kính long cốc 6cm, chiều cao long
cốc 10cm đựng lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc nước chạm
miệng cốc đáy mực nước trùng với dường kính đáy
Tính thể tích lượng nước cốc
(95)Cắt khối trụ mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, 0 x3 ta
thiết diện tam giác ABC vuông B Khi thể tích lượng nước có cốc
2 d
V S x x, (với
2
5
2
ABC
x S x S AB BC )
3
2
0
10
2 d d 60 cm
3
V S x x x x
Câu 20. Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông A, điểm B nằm góc phần tư thứ
A nằm trục hồnh, OB2017 Góc AOB ,
3
Khi quay tam giác quanh
trục Ox ta khối nón trịn xoay Thể tích khối nón lớn Tính góc
Lời giải
Phương trình đường thẳng OB y: x.tan, OA2017 cos
Khi thể tích nón trịn xoay :
2017 cos
2
0
tan d
V x x
3
2 2017
cos sin
3
2 2017
cos cos
Đặt tcos 0;1
2
t
Xét hàm số
2
1
f t t t , 0;1
t
Ta tìm f t lớn
3
t cos sin
3
Câu 21. Từ khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm , người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua
đường kính đáy nghiêng với đáy góc 45° để lấy hình nêm (xem hình minh họa
dưới đây) Ký hiệu V thể tích hình nêm Tính V
Lời giải
(96)Khi hình nêm có đáy nửa hình trịn có phương trình: y 225x2 , x 15;15
Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, x 15;15 cắt hình
nêm theo thiết diện có diện tích S x (xem hình)
Dễ thấy NP y MN NPtan 45° y 15x2
1 2
225
2
S x MN NP x
Suy thể tích hình nêm
15 15
2
15 15
1
d 225 d
2
V S x x x x
2250 cm 3
Câu 22. Cho hình trụ có bán kính đáy R Tính thể tích vật thể tạo thành đáy hình trụ
mặt phẳng qua đường kính đáy, biết mặt phẳng tạo với đáy góc 45
Lời giải
x
Gọi BC đường kính đáy
Điểm A điểm thuộc mặt phẳng cắt khối trụ cho OA BC
D hình chiếu vng góc A BCD
Ta có: ABC ; BCD45 AOD45
Gắn trục tọa độOx hình vẽ
Gọi P mặt phẳng vng góc với trục Ox
Cắt khối vật thể theo thiết diện hình chữ nhật FGHI
(97)Đặt ONx
Ta có: IH FGMN x tan 45 x
2 2
2 2
HG NH OH ON R x
Diện tích hình chữ nhật FGHI bằng: MN HG 2x R2x2
Diện tích FGHI hàm liên tục đoạn 0;R
Thể tích khối vật thể tạo thành:
2 2 2
0
2
R R
V x R x dx R x d R x
2 2
2
0
3
R x R x R R
Công thức tổng quát mặt phẳng cắt khối trụ tạo với đáy góc thể tích tạo thành:
3
2 tan
3
V R
Câu 23. Coi trống trường vật thể giới hạn mặt cầu bán kính R0,5m hai mặt
phẳng song song cách tâm I Biết chiều cao trống h0,8m Tính thể tích V
trống
Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ
Để tạo hình trống, ta cho cung tròn nằm đường tròn 2
0,
x y quanh quanh trục Ox
2
0,5
y x
Vì chiều cao trống h0,8 0,
2
OAOB AB
Thể tích trống:
0,4
2 0,4
59 0,
375
V x dx
(98)Lời giải
Chọn hệ trục Oxy hình vẽ
Gọi P1 Parabol nằm phía
P2 Parabol nằm phía
Gọi P1 :y ax2 c Parabol qua hai điểm 19; , 0;2
2 A B
Nên ta có hệ phương trình sau:
2
8 19
0
:
361
361
2
a a
P y x
b b
Gọi P2 :yax2c Parabol qua hai điểm 10; , 0;5
2
C D
Nên ta có hệ phương trình sau:
2
1
0 10
1
40
:
5 40
2
a a
P y x
b b
Ta tích bê tơng là:
19 10
2 2
0
1
5.2 40
40 361
V x dx x dx m
Câu 25. Ta vẽ hai nửa đường trịn hình vẽ bên, đường kính nửa đường trịn lớn gấp
đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính AB có diện tích
8 BAC30 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình H (phần
tô đậm) xung quanh đường thẳng AB
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
(H)
C
(99)Do nửa đường tròn lớn 8 nên bán kính bắng 4, suy bán kính đường trịn nhỏ
Phương trình đường trịn lớn 2
4 16
x y nên nửa đường trịn có phương trình
2
16
y x
Phương trình đường trịn nhỏ 2
2
x y nên nửa đường tròn có phương trình
2
4
y x
Đường thẳng tạo với trục hồnh góc 30 nên phương trình đường thẳng
3
y x
Thể tích cần tính
6
2
2
3
1 98
4 16
3x dx x dx x dx
Câu 26. Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Tại bốn đỉnh A B C D, , , người ta vẽ lần
lượt bốn đường trịn có bán kính 1cm
Tính thể tích phần tơ màu quay hình phẳng xung quanh trục XY
Lời giải
Ta có vật thể tạo thành quay hình phẳng xung quanh trục XY có hình dạng hình
(100)Khi thể tích vật thể tạo thành tổng thể tích hình trụ có bán kính R2,
chiều cao h4 hình xuyến dạng phao có R2, r1 trừ lần thể tích
2 nửa
bên hình xuyến dạng phao có R2, r 1
Vậy V H .2 42 2.22.1 22 V82 16V
Với V thể tích nửa bên hình xuyến dạng phao có R2, r1
V
thể tích nửa hình trịn tâm I0; 2, bán kính r1 quay xung quanh trục Ox
hình vẽ
1 2
2 2 2
1
4
' 2 1
3
V x dx x x dx Vậy
2 52
8 16
3
H
V
Câu 27. Bên hình vng cạnh a, đựng hình bốn cánh hình vẽ (các kích thước
(101)Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình quanh trục xy
Lời giải
Do hình có tính đối xứng nên ta quay theo trục thẳng đứng hay nằm ngang cho thể tích
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Gọi V thể tích khối trịn xoay cần tính
Gọi V1 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng tơ màu hình bên quanh trục
hồnh
Khi V 2 V1 Ta có
2 3
2
1
4
5
2
2 96
a a
a
x a a a
V dx x dx
Thể tích cần tính
3
5
48
a
V V
Câu 28. Người ta thiết kế đầu đạn bom khối tròn xoay đặc, khoét vào
Biết thiết diện qua trục đối xứng đầu đạn hai Parabol với kích thước hình vẽ
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
4
a
4
a
4
a
a x
(102)Tính thể tích đầu đạn
Lời giải Ta có 2
.4 24
2
V
Câu 29. Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x0 x2 Cắt phần vật
thể B mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0x2), ta thiết
diện tam giác có độ dài cạnh x 2x Tính thể tích phần vật thể B
Lời giải
Tam giác cạnh x 2x có diện tích là:
2
2
4
x x
S x
Suy thể tích
2
2 2
2
0 0
2 3
2
4
x x
V S x dx dx x x dx
Câu 30. Cho hình vng có độ dài cạnh 8cm hình trịn có bán kính 5cm xếp chồng
lên cho tâm hình trịn trùng với tâm hình vng hình vẽ
Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY
Lời giải
(103)-4
4
-4
-5
-5
y
x
O
Thể tích khối cầu: 1 4 53 500
3 3
V R
Gọi V2 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng H (phần tô màu) giới hạn
đường thẳng y4, đường tròn y2 25x2 x4 quanh trục hoành
4
2
2
10
4 25
3
V x dx
Vậy thể tích cần tính 1 2 520
3
V V V cm
Câu 31. Khi bật công tắc đèn pha từ chế độ chiếu xa sang chiếu gần, bạn hiểu toán học, cụ thể
hơn tính chất parabol, phát huy tác dụng Chùm sáng chiếu xa tạo thành nguồn sáng đặt vị trí tiêu điểm gương phản xạ tia sáng song song với trục đối xứng parabol Khi thay đổi vị trí nguồn sáng, tia phản xạ khơng cịn song song với trục đối xứng, ta chế độ chiếu gần
Gương phản xạ phía sau đèn pha có dạng paraboloit (hình thu cho parabol quay trịn quanh trục đối xứng nó) có kích thước hình vẽ Hãy tính thể tích đèn
(104)Đặt parabol nằm ngang có dạng xky2
Parabol qua điểm 10;10
10
k Cho hình phẳng giới hạn đường:
10 , 0, 0, 10
y x y x x xoay quanh trục hồnh
Khi thể tích đèn pha là:
10
3
10 500
V xdx cm
Câu 32. Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay
hình phẳng giới hạn đường y x1 (đồ thị hình vẽ bên dưới) trục Ox quay
quanh trục Ox Biết đáy lọ miệng lọ có đường kính dm dm
Tính thể tích V lọ
Lời giải
(105)1 0;
x x x x
Thể tích lọ:
3
0
3 15
1
0
2
x
V x dx x
Câu 33. Người ta dựng lều vải H có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên
Đáy H hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO6m (SO vng gócvới mặt
phẳng đáy) Các cạnh bên H sợi dây C C C C C C1, 2, 3, 4, 5, 6 nằm
các đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có)
H với mặt phẳng P qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể
tích phần khơng gian nằm bên lều H
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ
(106)2
1
0
7
3
2 2
6
6
a a b c
y ax bx c a b c b y x x c
c
Khi cắt H mặt phẳng vng góc với trục Oy điểm có tung độ y, 0 y6 ta
được thiết diện hình lục giác có độ dài cạnh x xác định
6
2
y x x
Do
2
7 3
0
2 2
y x y
x x S y
Vậy thể tích túp lều là:
2
6
3
0
7
3 135
d d
2
y
V S y y y m
(107)
ỨNG DỤNG
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN KHÁC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên khoảng K. Hàm số F x được gọi là nguyên hàm
của hàm số f x nếu F x f x với mọi x.
Kí hiệu f x dxF x C
2 Nhận xét: Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x thì F x C, C cũng là
nguyên hàm của f x .
Lưu ý:
Ngồi cơng thức ngun hàm, tích phân đã biết, ta cần bổ sung thêm một số lý thuyết
Với s t , v t , a t là các hàm số qng đường, vận tốc, thời gian theo biến t.
Theo khái niệm vật lý, ta có : v t( )s t( ), a t v t . Ta có một số cơng thức:
1. s t v t dt 2. v t a t dt
3. Quãng đường đi được từ thời gian t1 đến thời gian t2, t1t2 là :
2
1
d t
t
sv t t Từ thông qua khung dây máy phát điện:
cos , cos
NBS n B NBS t
: từ thơng qua khung dây Wb
N: số vịng dây
:
B cảm ứng từ T
S: diện tích thiết diện khung dây m2
: vận tốc góc khơng đổi của khung rad/s, f
T
f : tần số Hz hoặc (số vòng/s)
T : chu kỳ s
Suất điện động khung dây máy phát điện:
d
sin cos
d
e NBS t NBS t
t
e: suất điện động trong khung dây V
Chuyên
(108)B. BÀI TẬP
Loại : Tính quãng đường
Câu 1. Một vật chuyển động với vận tốc
2
1, m/s
3
t v t
t
Qng đường vật đó đi được trong 4
giây đầu tiên bằng bao nhiêu? (Làm trịn kết quả đến hàng phần trăm)
A 18,82(m). B 11,81(m). C 4, 06(m). D 7, 28 (m).
Lời giải
Gọi s t( ) là quãng đường đi được của máy bay
Ta đã biết:v t( )s t( ). Do đó s t( ) là nguyên hàm của v t( ) Quãng đường đi được trong 4 giây đầu tiên là:
4
0
4
1, d
3
t
s t
t
4
0
13
1, d
3
t t
t
2 4
1, 13ln 0,8 13ln 3ln 11,81 m
0
t
t t t
.
Chọn B
Câu Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là
3 m/s
v t t Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :
A 36 m B 252 m C 1134 m D 996 m
Lời giải
Gọi s t là quãng đường đi được của máy bay
Ta đã biết: v t( )s t( ). Do đó s t là nguyên hàm của v t .
Quãng đường đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
10
2
4
10
( ) (3 5)d ( ) 966
4
s t t t t t m
Chọn D
Câu Một ơ tơ đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ơ tơ chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v t 5t10m s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển bao nhiêu mét?
A 0, 2 m B 2 m C 10 m D 20 m
Lời giải
Lúc dừng thì v t 0 5t100 t
Gọi s t là qng đường ơtơ đi được trong khoảng thời gian t2.
Ta có v t s t' , suy ra s t là nguyên hàm của v t .
Vậy trong 2 s ô tô đi được quãng đường là:
2
2
0
5
5 10 d 10 10 m
2
s t t t t
Chọn C
Câu Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a t 3tt2
(109)
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu ?
A 4000
3 m B
4300
3 m C
1900
3 m D
2200 m
Lời giải
Lấy mốc thời gian tại thời điểm t0 (Vận tốc bằng 10m/s tăng tốc)
Gọi s t là qng đường ơtơ đi được trong khoảng thời gian 10 s và gọi v t là vận tốc của
ơtơ
Ta có: a t( )v t( )v t( ) là nguyên hàm của a t( )
2
2
( ) ( ) d (3 ) d
2
t t v t a t t tt t C
Tại thời điểm ban đầu:
2
3
0 10 10 ( ) 10
2
t t v C v t
Ta có: v t s t s t là nguyên hàm của v t
Vậy trong 10 s ô tô đi được quãng đường là:
10 3
0
10
3 4300
( ) d 10 d 10 (m)
0
2 12
T
t
t t t t
v t t t t
Chọn B
Câu Một vật di chuyển với gia tốc a t 20 2 t2 2 m s
. Khi t 0 thì vận tốc của vật là
30 m/s Tính qng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm trịn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
A 106 m B 107 m C 108 m D 109 m
Lời giải
Ta có 20 2 10
1
v t a t dt t dt C
t
Theo đề ta có v 0 30C1030C 20.
Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:
2
0
10
20 d
S t
t
0
5 ln 2t 20t
5 ln 100 108 m .
Chọn C
Câu Vận tốc của một vật chuyển động là sin( )m/s
t
v t
Tính qng đường di chuyển
của vật đó trong thời gian 1,5 giây (làm trịn kết quả đến hàng phần trăm).
A 0, 43 m B 0, 53 m C 3,14 m D 0, 34 m
Lời giải
Vật đi được 1,5 giây. Quãng đường cần tìm là :
1,5 1,5 1,5
2
0
sin
1
d cos 0,34 m
2
t t
s v t dt t t
(110)Câu 7. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t 160 10 t m s Tính quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm mà vật dừng lại.
A 1208 m B 1820 m C 1080 m D 1280 m
Lời giải
Lúc vật dừng lại v t 0 t 16 s
Quãng đường vật di chuyển từ đầu tới lúc dừng lại:
16
0
160 10 d
s t t t 216
0 160t 5t
1280 m
Chọn D Loại 2: Tính vận tốc
Câu Một vật chuyển động với vận tốc v t m/s, có gia tốc m/s2
v t t
Vận tốc ban đầu
của vật là 6 m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
A 14 (m/s). B 13 (m/s). C 11 (m/s). D 12 (m/s).
Lời giải
Ta có d d 3ln
1
v t v t t t t C
t
Tại thời điểm ban đầu t0 thì v 0 3ln1C6C6.
Suy ra v t 3ln t 1 6.
Tại thời điểm t10sv 10 3ln11 13 m s/ .
Chọn B
Câu Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5 m/s và có gia tốc được xác định bởi cơng thức
2
2
m/s
a t
Vận tốc của vật sau 10 s đầu tiên là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
A 10m/s B 9,8m/s C 11m/s D 9m/s
Lời giải
Ta có d ln 1
1
v t t t C
t
Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là : v 0 52 ln 1 C 5 C5.
Nên v t 2 lnt15
Vận tốc của vật sau 10 s đầu tiên là : v 10 2 ln 11 5 9,8.
Chọn B
Câu 10 Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát
một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m s Hỏi biểu thức vận tốc của tia lửa
điện là?
A v 9,8t15. B v 9,8t13. C v9,8t15. D v 9,8t13.
Lời giải
(111)
Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là :va td 9,8dt 9,8tC
Ở đây, với : t0,v15 m/s C15
Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng : v 9,8t15.
Chọn A
Câu 11 Một vật xuất phát từA chuyển động thẳng và nhanh dần đều với vận tốc v t 1 m/st .
Tính vận tốc tại thời điểm mà vật cách A 20 cm ? (Giả thiết thời điểm vật xuất phát từ A
tương ứng với t0)
A 6m s B 7m s C 8m s D 9 m s
Lời giải
Ta có S t 1 d t t t t2C
Vật xuất phát từ A tương ứng với thời gian t0 nên S 0 0 0 02C 0C0
Suy ra : S t t t2
Vật cách A 20 cm ta có : 20
5
t t t
t
Nhận t4.
Vậy sau 4 s thì vật cách A 20 cm và vận tốc tại thời điểm đó là : v 4 9.
Chọn D
Câu 12 Một người chạy xe máy chuyển động thẳng theo phương trình S t t33t24 ,t trong đó t
tính bằng giây s , S tính bằng mét m Gia tốc của xe máy lúc t2 s bằng?
A 4 m/s2.
B 6m/s2. C 8m/s2. D 12
m/s2.
Lời giải
Vận tại thời điểm t giây là v t s t '3t26t4
Gia tốc tại thời điểm t giây là a t v t '6t6
Suy ra gia tốc tại thời điểm t2 s giây là a 2 6 m/s2.
Chọn B
Câu 13 Trong giờ thực hành mơn Vật Lí. Một nhóm sinh viên đã nghiên cứu về sự chuyển động của các hạt. Trong q trình thực hành thì nhóm sinh viên này đã phát hiện một hạt prôton di
chuyển trong điện trường với biểu thức gia tốc là:a 20 2 t2cm/s2.Với t của ta được
tính bằng giây. Nhóm sinh viên đã tìm hàm vận tốcv theo t, biết rằng khi
0
t thìv30 m/s 2. Hỏi biểu thức đúng là?
A 10 25
v
t
2
cm/s B 10 20
1
v
t
2 cm/s
C v 10 10 cm/s2.
(112)Lời giải
Trước hết để giải bài tốn này ta cũng chú ý. Biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là:va td
Áp dụng cơng thức trên, ta có :
2
20
d d
1
v a t t
t
Đến đây ta đặt :
d
1 d 2d d
2
u
u t u t t
2
10 10 10
d 10 d
1
v u u u K K
u u t
Với t0,v30K 20
Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là : 10 20 cm/s 2
1
v
t
Chọn D
DẠNG : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG THỰC TẾ
A Ý TƯỞNG VÀ PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI QUYẾT MỘT SỐ TÌNH HUỐNG
Bài tốn 1: Một mảnh vườn hình thang cong OACB vng tại O và B, có dạng như hình vẽ,
trong đó độ dài các cạnh OA15 m , OB20 cm , BC25 cm và đường cong AC được
mơ tả bởi một hàm số mũ có dạng f x N.emx trong đó N và m là các hằng số. Hỏi mảnh
vườn này có diện tích bao nhiêu?
Phân tích toán
Điều dễ nhận thấy khơng thể dùng cơng thức diện tích hình thang thơng thường để tính diện tích cho hình thang cong OACB Để tính diện tích ta cần dùng ý nghĩa hình học tích phân
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ, hình thang cong OACB đơn giản hóa trong mặt phẳng tọa độ Oxy
(113)
Diện tích hình thang cong tính theo cơng thức
20
0
d
S f x x
Lời giải
Khơng mất tính tổng qt, chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ sao cho các đoạn OA OB,
lần lượt nằm trên các trục Oy Ox,
x y
15
20
25
O A
C
B
Để tính được diện tích mảnh vườn, ta cần tìm hàm số f x N.emx.
Theo hình vẽ ta có
20
0 15 15
15.e 25
20 25 m
f N
f
5 ln 20 15
15.e
1
ln
20
x
N
f x m
Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng ta có diện tích mảnh vườn là:
20
0
d
S f x x
20
ln 20
15 d
x
e x
20 ln 20
0
20 15 ln
3 x
e
2 391,52 m
Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý:
Một là, để tính diện tích hình phẳng phức tạp (khơng phải tam giác, tứ giác, hình trịn,.) ta cần dùng đến tích phân để tính diện tích
Hai là, hình phẳng ta cần chọn hệ trục tọa độ Oxy cho hình phẳng đơn giản hóa mà khơng tính tổng qt, kết diện tích khơng sai lệch
Bài tốn 2: Vịm cửa lớn của trường Đại Học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho vịm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vịm cửa cao
(114) Phân tích tốn
Hình phẳng cần tính diện tích giới hạn đường thẳng BC đường cong Parabol, cho nên ta khơng thể dùng cơng thức tính diện tích hình đơn giản quen thuộc như: hình chữ nhật, hình trịn, tam giác, Ta cần dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng này
Như vậy, việc ta cần đưa đường cong Parabol cánh cửa vào hệ trục Oxy mơ hình thành hàm số bậc hai yax2bx c
Dựa vào độ cao 8m chiều rộng 8m cánh cửa ta dễ dàng xác định hệ số a b c, , biểu thức hàm số
Ứng dụng ý nghĩa hình học tích phân ta có cơng thức tính diện tích cánh cửa
4
S ax bx c
Lưu ý cánh cửa rộng 8m ta cho đường cong Parabol đối xứng qua trục tung Oy nên dễ suy cận x 4 x4
Lời giải
Khơng mất tổng qt, ta xét dạng hình parabol vịm cửa lớn như hình vẽ sau
Đồng thời xét P :yax2bx c
Ta có:
1
0;8 8 2
1
4; 16 0 :
2
16
4;
a
A P c
B P a b c b P y x
a b c c
C P
Do đó:
4
2
1
2 d
2 H
S x x
4
0
16
x x
2 128
m
Bài tốn 3: Trong nghiên cứu khoa học, người ta sử dụng thể tích của một quả trứng để xác định kích thước của nó là một cách dự báo khá tốt về các thành phần cấu tạo của trứng và đặc điểm của con non sau khi nở ra. Một quả trứng ngỗng được mơ hình bởi quay đồ thị hàm số
2
7569 400 30
y x , 4, 35x4, 35 quanh trục Ox. Sử dụng mơ hình này để tính thể tích
(115)
Phân tích tốn
Quả trứng ngỗng đề mơ hình quay đồ thị hàm số 7569 400 30
y x ,
4, 35 x 4, 35
quanh trục Ox
Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm 7569 400 30
y x , 4, 35x4, 35 trục Ox
Thể tích trứng thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox
4,35 4,35
V y dx
Lời giải
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi hình phẳng H giới hạn bởi các đường: đồ thị hàm số
2
7569 400 , 4,35 4,35
30
y x x và trục Ox.
Thể tích của quả trứng bằng thể tích khối trịn xoay sinh bởi hình phẳng (H) xoay quanh trục
Ox:
2 4,35
2 4,35
1
7569 400 d
30
V x x
4,35
2 4,35
7569 400 d
900 x x
4,35
4,35
7569 400
900
x x
2
153 cm
Bài tốn 4: Một thùng rượu có bán kính ở trên là 30 cm và ở giữa là 40 cm. Chiều cao thùng rượu là 1m. Hỏi thùng rượu đó chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu (kết quả lấy 2 chữ số thập phân)? Cho rằng cạnh bên hơng của thùng rượu là hình parabol.
(116)Thùng rượu có dạng là một khối trịn xoay có đường sinh là một đường cong có dạng Parabol
:
P yax bx c a Vì vậy để tính thể tích thùng rượu ta cần áp dụng tích phân để tính thể tích khối trịn xoay. Chú ý rằng khi mơ hình đường cong Parabol ta để chiều cao của thùng rượu trải theo chiều của trục hồnh.
Bước đầu ta cần xây dựng hàm số P :yax2bx c a 0 với điều kiện đi qua các đỉnh
50;30
N , A0; 40, M50;30 như hình vẽ.
Dựa vào chiều cao 1 m của thùng rượu ta tìm được các cận của tích phân. Khi đó lập được
cơng thức tính được thể tích thùng rượu.
Lời giải
Ta sẽ để thùng rượu nằm ngang để thuận lợi cho việc tính tốn.
Ta cần tìm phương trình parabola P :yax2bx c a 0 đi qua đỉnh M N A, ,
2
2
1
50;30 50 50 30 250
0; 40 40
40
50 50 30
50;30
a
M P a b c
A P c b
c a b c
N P
2
: 40
250
x P y
Tới đây ta áp dụng công thức tính thể tích V khi quay hình phẳng giới hạn bởi
(parabol), x50,x 50,y0 xung quanh trục hoành Ox:
50 50
d
V y x
2
50
50
40 d
250
x
x
50
2
50
80
40 d
250 250
x x
x
50
5
2
50
8 406000
40 425162, 20 425,16
312500 75
x x
V x cm l
406000
425162, 20 cm 3 425,16 l
Vậy thùng rượu chứa được tối đa 425,16 l
(117)
Câu 14. Ơng An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng
10 m Ơng muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối
xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100 000 (đồng/m2). Hỏi ơng An cần bao
nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn)
A 7862000 (đồng). B 7 653000 (đồng).
C 7128000 (đồng) D 7826000 (đồng).
Lời giải Chọn B
Phương trình đường Elip
2
1
64 25
x y
Khi đó, diện tích S phần đất trồng hoa nằm trong góc
phần tư thứ nhất là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số
8
y x , trục hồnh, trục tung và
đường thẳng x4.
Diện tích phần đất trồng hoa
4
0
2 64
8 d
S x x
Vậy số tiền ông An cần để trồng T 100.000.S7 653000 (đồng).
Câu 15 Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6 m Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng
6 m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 (đồng/ m ). Hỏi cần bao 2
nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm trịn đến hàng đơn vị)
A 8 412 322 (đồng) B 8 142 232 (đồng).
C 4 821 232 (đồng) D 4 821 322 (đồng).
Lời giải Chọn D
Ta có: x2y2 36y 36x2 ( Nữa đường trịn phía trên)
Diện tích khu đất
3
2
4 36 d 68,876026
S x x
(118)Câu 16. Để trang trí cho một lễ hội đầu Xuân, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn là
10 m , chiều dài trục nhỏ là 4 m Ban tổ chức vẽ một đường trịn có đường kính bằng độ dài
trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ. Trên hình trịn người ta trồng hoa với
giá 100000 (đồng
/ m ), phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá 60000
(đồng
/ m ) (biết giá trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả cơng và cây). Hỏi ban tổ chức cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ trên dải đất đó? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn).
A 2639000 (đồng). B 2388000 (đồng).
C 2387000 (đồng). D 2638000 (đồng).
Lời giải Chọn B
Chiều dài trục lớn 2a10, chiều dài trục nhỏ 2b4 nên a5,b2. Do đó, diện tích mảnh
vườn hình elip Sab10 m2
Đường kính đường trịn bằng độ dài trục nhỏ nên bán kính đường trịn R2.Do đó, diện tích
phần đất trồng hoa 2
1 R m
S
Diện tích phần đất trồng cỏ S2SS1104 6 m2
Vậy số tiền ban tổ chức cần để trồng hoa và cỏ trên dải đất đó là: 60 000
100 000.4 2388000
T (đồng).
Câu 17 Ơng B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa
độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình
yx và đường thẳng là y25. Ơng B
dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M
trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ơng B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện
tích mảnh vườn nhỏ bằng 9
2.
A OM 2 5. B OM 3 10. C OM 15. D OM 10.
Lời giải Chọn B
Giả sử M a a ; 2 suy ra phương trình OM y: ax
Khi đó diện tích khu vườn là 2
0
d a
S axx x
2
0
2
a x x a
3
a
Mà
2
S a3
(119)
y
x I(0;0,5)
C D
B(2,5;0)
A(-2,5;0)
O
-1,5
Câu 18. Anh An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong phía trên là một parabol. Giá 1 m 2 cửa rào sắt có giá là 700000 (đồng). Vậy anh An phải trả bao nhiêu tiền để làm cài cửa rào sắt như vậy (làm trịn đến hàng nghìn).
A 6 417 000 ( đồng). B 6320000 (đồng). C 6520000 (đồng). D 6620 000 (đồng).
Lời giải
Chọn A
Ta mơ hình hóa cánh cửa rào bằng hình thang cong ADCB
vng tại C và D, cung AB như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho hai điểm A, B nằm trên
trục Ox như hình vẽ.
Vậy diện tích cánh cửa sẽ bằng diện tích hình chữ nhật
ABCD cộng thêm diện tích miền cong AIB. Để tính diện
tích miền cong AIB ta cần dùng tích phân.
Đầu tiên ta tìm cách viết phương trình Parabol
2
yax bx c biểu thị cho đường cong AIB. Parabol có đỉnh 0;1 ,
2
I
và cắt trục hoành tại
2 điểm 5;0
2
A ,
5 ;0
B
2
2
2
1
.0
2
2
2
0
2a 25
2
5
25
2
a b c
c b
b y x
a
a b c
.
Diện tích miền cong AIB được tính bằng cơng thức:
2,5
2 2,5
2
d
25x x
Suy ra diện tích cánh cửa là 5 1,5.5 55 m2
3
Giá 1 m 2 cửa rào sắt giá 700000 (đồng). Vậy giá tiền cửa rào sắt là 6 416666.
Câu 19 Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong
phía trên là một Parabol. Giá 1 m 2 của rào sắt là 700000 (đồng). Hỏi ơng An phải trả bao
(120).
A 6417000 (đồng). B 6320000 (đồng). C 6520000 (đồng). D 6620000 (đồng).
Lời giải Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Trong đó A2, 5;1,5, B2, 5;1, 5, C0; 2.
Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng
yax bx c , với a b c; ; .
Do Parabol đi qua các điểm A2, 5;1,5, B2, 5;1, 5, C0; 2 nên ta có hệ phương trình.
2
2
2
2, 2, 1,
25
2, 2, 1,5
2
a
a b c
a b c b
c c
.
Khi đó phương trình Parabol là 2
25
y x
Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số
2
2 25
y x , trục hoành và hai đường thẳng x 2, 5, x2, 5.
Ta có
2,5
2,5
2
2,5 2,5
2 55
2 d
25 25
x
S x x x
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là:
55
700.000 700000 417 000
6
S (đồng).
Câu 20 Vịm cửa lớn của một trung tâm văn hố có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vịm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao
(121)
.
A 131 m2
3 B
2 28
(m )
3 C
2 26
(m )
3 D
2 128
m
3
Lời giải Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là trung điểm của cạnh đáy, trục Oy trùng với
chiều cao của vịm cửa.
Gọi Parabol có dạng:
yax bx c
Vì Parabolcó đỉnh I0;8 và qua điểm 4; ; 4; 0 nên ta có:
8
16 0
16
2
c c
a b b
a b
a
. Vậy Parabol có phương trình là
2
y x
Diện tích cái cổng chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
1
0 4
y x
y x
x
.
Từ đó ta có
4
2 2
4
1 128
8 d d (
2 m )
2
S x x x x
Câu 21 Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6 m Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng
6 m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 (đồng/ m ). Hỏi cần bao 2
nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm trịn đến hàng đơn vị)
6m
O
A 8 412322 (đồng). B 8142 232 (đồng). C 4821232 (đồng). D 48 213122 (đồng).
Lời giải Chọn C.
Gắn hệ trục tọa độ với O là gốc tọa độ, trục Oy song song với bờ dải đất.
(122)Diện tích dải đất:
2
3
2 36 d 68,876 m
S x x
Suy ra số tiền cần dùng là: 68,876.70 0004821320(đồng).
Câu 22 Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50 m và chiều rộng là 30 m người ta làm một con đường trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngồi và viền trong của con
đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2 m Kinh phí để làm mỗi
m làm
đường là 500000 (đồng). Tính số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm trịn đến hàng
nghìn).
A 119000000 (đồng). B 152000000 (đồng).
C 119320000 (đồng). D 125520000 (đồng).
Lời giải Chọn C
Gọi S là diện tích của hình elip
2
2
: x y
E
a b ta có S ab.
Chứng minh
2
2
1 d
a
a
x x
S b x ab
a a
Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục hồnh và trục tung lần lượt là các trục đối xứng của hình
chữ nhật trong đó trục hồnh dọc theo chiều dài của hình chữ nhật.
Gọi E1 là elip lớn, E2 là elip nhỏ ta có:
2
1 : 2
25 15
x y
E Diện tích của nó là S1.15.25375 m2 .
2
2 : 2
23 13
x y
E Diện tích của nó là S2.13.23299 m2
Diện tích con đường là 375299 76 m2
Do đó số tiền đầu tư là 76500000 119320000 (đồng).
Câu 23 Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính 4 5 m Trên đó, người ta thiết kế hai phần mỗi phần dùng để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa đường tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên
đường trịn (phần tơ màu) và cách nhau một khoảng bằng 4 m ; phần cịn lại của khn viên
(phần khơng tơ màu) dùng để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và chi
phí để trồng cỏ Nhật Bản là 300000 (đồng/m ). Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản 2
(123)
A 1791000 (đồng). B 2922 000 (đồng). C 3582 000 (đồng). D 5843000 (đồng).
Lời giải Chọn D
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, với gốc tọa độ O trùng với tâm nửa đường trịn, trục Ox
trùng với đường kính nửa đường trịn, trục Oy chiều dương hướng xuống.
Diện tích nửa hình trịn là:
2
2
1
2 10 m
2
T
S R
Ta thấy parabol x 2 y4 P :y x2.
Do nửa đường tròn ở phần dương của Oy nên
: 20
C y x
Diện tích phần trồng hoa là:
2
2 2
0
2 20 d 11,93962 m
H
S x x x
Diện tích phần trồng cỏ Nhật Bản: 2
10 11,93962 m
T H
S S S
Vậy tổng số tiền phải trả là: T S.3000005843000 (đồng).
Câu 24 Từ một khối cầu bán kính bằng 5 dm người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt phẳng vng góc
với một đường kính của khối cầu và cách tâm mặt cầu một khoảng bằng 4 dm để làm một
chiếc lu đựng nước. Tính thể tích cái lu
A 500 3
3 dm
B 2296 3
15
dm
C 952 3
27 dm
D 472 3
3 dm
.
Lời giải Chọn D
x
(124)Cơng thức thể tích khối chỏm cầu (chứng minh bằng tích phân):
3
h V h R
Thể tích của mỗi chỏm cầu bỏ đi bằng 1 52 14 (dm )3
3
V
Thể tích của khối cầu: 2 53 500 (dm3
3 )
V
Ta có thể tích của cái lu bằng 2 1 472 (dm )3
3
V V V
Câu 25 Trên đồng cỏ có hai con Bị được cọc vào hai dây khác nhau khoảng cách giữa hai cọc là
5 m , còn hai sợi dây buộc hai con Bò lần lượt là 4 m và m (Khơng tính phần chiều dài
dây buộc). Tính diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con Bị có thể ăn chung ( làm trịn đến phần trăm).
A. 6,642 m 2 B. 6, 246 m 2 C. 4,624 m 2 D. 4, 262 m 2
Lời giải Chọn A
Giả sử khoảng cách 2 cọc là OB5 . Chọn hệ trục (hình vẽ)
Ta có dây dài của trâu cột cọc O là 4 ứng với diện tích ăn được tối đa là hình trịn
2
1
(C ) :x y 16 và diện tích tối đa của trâu cịn lại là hình trịn (C ) : (2 x5)2y29. Do đó diện tích ăn chung tối đa của hai trâu là phần diện tích hình phẳng giao nhau của hai hình trịn trên.
Vậy phương trình hồnh độ giao điểm:
5 16 )
5 (
16x2 x x
16
4
2
16
5
2 ( 5) d 16 d
S x x x x
(125)
Câu 26. Một cửa có thước như hình vẽ bên. Biết đường cong phía trên là parabol, tứ giác ABCD là
hình chữ nhật và giá thành là 900 000 (đồng) trên 1 m2 thành phẩm. Hỏi ơng A phải trả bao
nhiêu tiền để làm cánh cửa đó?
A 6 000 000 (đồng). B. 8700 000 (đồng). C 6 600 000 (đồng). D 8 400 000 (đồng).
Lời giải Chọn D
.
Gọi P :yax2bx c
Vì P đi qua điểm A0; ; B2; 0 và có đỉnh I 1;1 nên
:
P y x x.
Diện tích cánh cửa là
2
4 28
2 d
3
ABCD
S x x xS
Số tiền ông A phải trả là 28 900 000 400 000
3 (đồng).
Câu 27 Một bồn nước được thiết kế với chiều cao 8dm, ngang 8dm, dài 2 m , bề mặt cong đều nhau với mặt cắt ngang là một hình parabol như hình vẽ bên dưới. Bồn chứa được tối đa bao nhiêu lít nước.
A 1
1 y
(126).
A 1280
3 (lít). B 1280 (lít). C
2560
3 (lít). D 1280 (lít).
Lời giải Chọn C
Xét mặt cắt parabol, chọn hệ trục như hình vẽ. Ta thấy Parabol đi qua các điểm A4; 4,
4; 4
B , C0; 0 nên có phương trình
2
y x Diện tích phần mặt cắt tính như sau:
4
1 64 128
64
2 3
hv
S S x x
d dm2
Do đó thể tích của bồn:
20 20
3
0
128 2560
3
V S xd dx dm
Câu 28 Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vng góc với trục và cách đều hai
đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa
trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu ?
.
(127)
Lời giải
Chọn D
. Đơn vị tính là dm.
Gọi P :xay2byc quaA4; , B3;5 , C3; 5
4
1
0 :
25
25
a
b P x y
c
2
2
5
4 dy 425, dm 425, l
25
V y
Câu 29 Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài
50 m Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ơng An chia sân bóng ra làm hai phần (tơ màu và khơng tơ màu) như hình vẽ.
.
Phần tơ màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol có đỉnh I
Phần tơ màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/m và phần cịn lại được trồng cỏ 2
nhân tạo với giá 90 (nghìn đồng/m ). Hỏi ơng An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo 2
cho sân bóng?
A 165 (triệu đồng). B 151 (triệu đồng). C 195 (triệu đồng). D 135 (triệu đồng).
Lời giải Chọn B
(128)
Khi đó, đường cong AIB là hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol 2
45
y x và đường thẳng
10
y
Phương trình hồnh độ giao điểm 2 10 15
45x x
Diện tích phần tơ màu là:
15
2
1 15
2
2 10 d 400 m
45
S x x
Mặt khác diện tích sân bóng đá mini hình chữ nhật là S30.50 1500 m 2
Phần khơng tơ màu có diện tích là: S2 SS11100 m 2
Số tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng:
1.130000 2.90000 400.130000 1100.90000 151000000
S S
Câu 30 Trong chương trình nơng thơn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tơng như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
A. 3
21 m B. 3
18 m C. 3
40 m D. 3
19 m
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
(129)
Gọi P1 :yax2c là Parabol đi qua hai điểm 19;0
2
A
, B0; 2
Nên ta có hệ phương trình sau:
2
2
8 19
0
:
361
361
2
a a
P y x
b b
.
Gọi P2 :yax2c là Parabol đi qua hai điểm C10;0, 0;5
2
D
.
Nên ta có hệ phương trình sau:
2
2
1
0 10
1
40
:
5 40
2
a a
P y x
b b
.
Ta có thể tích của bê tơng là:
19 10
2 2
0
1
5.2 d 40 m
40 361
V x dx x x
.
DẠNG 3: DẠNG KHÁC
Câu 31 Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng N t , biết rằng ' 000
N t t
và lúc đầu đám vi
trùng có 300 000 (con). Hỏi sau 10 ngày, đám vi trùng có bao nhiêu con (làm trịn số đến hàng
đơn vị)?
A 322 542 (con). B 332 542 (con). C 302 542 (con). D 312 542 (con).
Lời giải
Chọn.D
Theo đề bài: N t N t dt 000d
2 t
t
7 000 ln t2 C
Lúc đầu t0, N 0 300 000C300 000 000 ln 2
Lúc t10N 10 7 000 ln12 300 000 000 ln 2 312 542 (con).
Câu 32 Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F m , biết
nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn khơng vượt q 4 000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu
chữa. Biết 1000
2
F m t
và ban đầu bệnh nhân có 2 000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh
nhân phát hiện ra bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được khơng?
A 5 433, 99 và không cứu được. B 1499, 45 và cứu được.
C 280, 01 và cứu chữa được. D 3716, 99 và cứu được.
Lời giải
Chọn.D
Số lượng vi khuẩn HP tại ngày thứ m là 1000d
2
F m t
t
500 ln 2t 1 C con
Ban đầu có 2000 , nên ta có phương trình: F 0 2000 C2000
F m 500 ln 2t 1 000.
(130)Câu 33. Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N t . Biết rằng 000
N t
t
và lúc đầu đám
vi trùng có 300 000 con. Ký hiệu L là số lượng vi trùng sau 10 ngày. Tìm L?
A L306 089. B L303044. C L301522. D L300 761.
Lời giải Chọn B
Ta có: 2000 2000d 1000 ln 2
1 2
N t N t t t C
t t
Lúc đầu đám vi trùng có 300000 con N 0 300000
1000 ln 2.0 C 300000 C 300000
1000 ln 2 300000
N t t
Khi đó: LN 10 1000 ln 21 300000 303044.
Câu 34 Các chuyên gia ước tính tốc độ nhiễm virus Zika là f t 90t3t2 (người/ngày) với t (ngày)
và 0 t 25. Tổng số người bị nhiễm kể từ ngày đầu tiên đến ngày có số người nhiễm cao
nhất?
A 10 250 (người). B 12 500 (người). C 3500 (người). D 6 750 (người).
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số: f t 90t3t2
90
f t t f t 0 t 15 Bảng biến thiên:
t 0 15 20
` f t
f t
Dựa vào BBT, ngày 15có số người nhiễm bệnh cao nhất.
Suy ra
15
0
d
F t f t t
15
2
90t 3t dt
315
0 45t t
3500 (người).
Câu 35 Một công ty M phải gánh chịu nợ với tốc độ D t đôla mỗi năm, với
' 90 12
D t t t t trong đó t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ cơng ty bắt
đầu vay nợ. Đến năm thứ tư cơng ty đã phải chịu 1610 640 đơla tiền nợ. Tìm hàm biểu diễn tốc
độ nợ của cơng ty này.
A D t 30 t212t3 C. B D t 303t212t3 1610 640.
C D t 30 t212t3 1595 280. D D t 303 t212t3 1610 640.
Lời giải Chọn.C
Tốc độ nợ của cơng ty đươc tính theo hàm D t
90 6 12 d
D t t t t t 45 t212 dt t212t
30 t212t3
0
0 675
(131)
Năm thứ tư công ty chịu số tiền nợ 16106 040 nên số tiền công ty vay năm đầu là:
3
1610 640 30 12.4 1595 280
Vậy cơng thức tính tiền nợ: D t 30 t212t3 1595 280.
Câu 36 Sau trận động đất, một hồ chứa nước bị rị rỉ. Giả sử lượng nước thất thốt kể từ khi hồ bị rị rỉ
đến thời điểm t (phút) là s t (lít), biết rằng s t t12. Tính lượng nước thất thốt sau 2
(giờ) kể từ khi hồ bị rị rỉ.
A 590 520 (lít). B 1590 520 (lít). C 11590 520 (lít). D 890 121 (lít).
Lời giải Chọn A
Lượng nước thất thoát sau 2(giờ):
120
1 d
s t t t
120
0
t
590 520(lít)
Câu 37 Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu h1 180 cm Giả
sử h t là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t (giây), biết rằng tốc độ tăng của
chiều cao nước tại giây thứ t là 8
500
h t t Hỏi sau bao lâu đầy bể?
A 644 (phút). B 107 (phút). C 190 (phút). D 120 (phút).
Lời giải Chọn B
Sau m (giây) mức nước đạt:
0
( ) d m
h m h t t
1
8 d 500
m
t t
3 4
0
8 000
m
t
3 84 16
2 000 m
Theo đề: h m 180 cm 3m84 120 016m6 440, 06 s 107 (phút).
Câu 38 Tốc độ tăng trưởng của bán kính thân cây được cho bởi cơng thức 1,5 sin
t f t
(cm/năm), trong đó t là thời gian khảo sát (tính theo năm), t0 là thời điểm bắt đầu khảo sát;
F t là bán kính của thân cây tại thời điểm t và F t( ) f t . Tính bán kính của thân cây sau
10 năm biết rằng bán kính tại thời điểm bắt đầu khảo sát là 5 cm ?
A 25 cm. B 6, cm. C 20 cm D 15 cm
Lời giải Chọn.C
( )
F t f t F t f t dt 1,5 sin d
t t
1,5 5cos
5
t
t C
Thời điểm ban đầu: t0, F 0 5 C 5
Bán kính cây sau 10 năm: F 10 1,5.10 5
(132)Câu 39. Bạn An bơm nước vào một bồn chứa nước (lúc đầu khơng có nước). Mực nước trong bồn được tính theo hàm số hh t , trong đó h tính theo cm và t tính theo s Biết rằng
2 1
h t t Mức nước ở bồn sau khi bơm 13 s là:
A 243
4 cm. B 60cm. C 30cm. D
243
8 cm
Lời giải Chọn C
Ta có: h t 3 2t 1 mực nước trong bồn:
32 1 d
h t t t 32 132 1
8 t t C
cm
Ban đầu, t0 nên 0
8
h C
8
C
32 13 2 1
8
h t t t
cm
Mực nước sau 13 s là: h 13 30cm
Câu 40 Gọi h t (cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng
13
8
h t t và lúc đầu bồn khơng có nước. Tìm mực nước ở bồn sau khi bơm nước được
6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A 2, 66 (cm). B 0, 55 (cm). C 3,14 (cm). D 2, 66 (cm).
Lời giải
Chọn D
Thời gian bơm nước được 6 giây. Mức nước cần tìm là :
6
0
d
h t h t t
6
1
8 d
5 t t
6
0
3
20 t
4
3 12
14
20
2, 66 cm
.
Câu 41 Một bác thợ xây bơm nước vào bể nước. Gọi h t m3 là thể tích nước được bơm trong t s
Cho h t 3at2bt và ban đầu bể không chứa nước. Sau 5 s thể tích nước trong bể là
150 m3 . Sau
10 s thì thể tích nước trong bể là 1100 m3 . Hỏi thể tích nước trong bể sau
khi bơm được 20 s là bao nhiêu?
A 8 400 m3 .
B 2 200 m3 .
C 6 000 m3 .
D 4200 m3
Lời giải
Chọn A
Ta có h t h t dt 3at2btdt
2
2
bt
at C
Do ban đầu, bể khơng có nước nên: h 0 0C0
2
2
bt h t at
m3
Theo đề bài, được hệ:
3
3
1
.5 150
2
.10 10 1100
2
a b
a b
1
a b
3
h t t t
m3
(133)
Câu 42. Tại thành phố, nhiệt độ sau t giờ, tính từ 8 h đến 20 h được tính bởi công thức
50 14 sin 12
t
f t °
F Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian trên là:
A 50 14
°F B 50 14
°F C 50 14
°F D 50 14
°F
Phân tích
Để giải quyết bài tốn thực tế này ta cần nhớđịnh lý giá trị trung bình của tích phân: Nếu hàm
số f x liên tục trên [ , ]a b thì tồn tại một số c thuộc [ , ]a b sao cho: d
b
a
f c f x x b a
Lời giải Chọn B
Nhiệt độ trung bình được tính theo cơng thức:
20
8
1
50 14sin d
20 12
t t
20
8
1 12
50 14 cos
12 12
t
t
14 50
Câu 43 Một tách cà phê có nhiệt độ 95 oC và cần 30 (phút) để nguội còn
o
61 C trong gian phòng
có nhiệt độ 20 oC Biết nhiệt độ của tách cà phê giảm theo hàm f t 75kekt với
0, 02
k , t tính bằng phút. Tìm nhiệt độ trung bình của tách cà phê trong nửa giờ đầu tiên
A 60 oC B 74, oC C 61 oC D 76, oC
Lời giải Chọn D
Nhiệt độ của tách cà phê giảm theo hàm f t nên ta tìm được hàm nhiệt độ ở phút thứ t là:
d
F t f t t 75kektdt 75ekt C
Ban đầu, nhiệt độ tách là 95 oC nên: F 0 95 75C95 C20
Ta tìm được hàm F t 75ekt20 oC
Nhiệt độ trung bình của tách cà phê trong nửa giờ đầu tiên:
30
0
1
75 20 d
30
kt
e t
30
0
1 75
20 30
kt
e t
k
76,
Câu 44 Các máy bay thương mại thường bay ở độ cao khoảng 10 km , và máy bay hạng nhẹ bay ở
độ cao 3000 m (so với mực nước biển). Biết càng lên cao, áp suất khí quyển càng giảm theo
hàm p x P ieo ximmHg m , Po 760 mmHg , i là hệ số suy giảm áp suất và áp suất phải
chịu của máy bay hạng nhẹ là 527 mmHg Tìm áp suất khí quyển ở độ cao 10 km
(134)Lời giải
Chọn C
Áp suất P x p x dxP eo xiC
0 o
P P C0 P x P eo xi
Ta lại có: P3000527 527760e3000i i 1, 22.104
Từ đó ta được: P x 760e1,22.104x
10 000
P
224, 37mmHg
Câu 45 Một giáo viên sau khi nghiên cứu khả năng ghi nhớ của nhóm học sinh khối 12 về nội dung bài học ở trường để ơn thi THPT QG đã tìm được hàm biểu thị độ “quên” bài:
12
1
q t Q x
t
(%/tháng). Biết rằng để có kết quả tốt cần nắm rõ trên 80% nội dung bài
học, trong tháng đầu tiên mọi người đều nhớ bài và chỉ cịn 3 tháng nữa sẽ đến kì thi. Hỏi căn
cứ theo nghiên cứu trên, nhóm học sinh cịn nhớ bao nhiêu phần trăm kiến thức và có đạt u cầu khơng?
A 70, % , chưa đạt. B 86,82 % , đạt. C 80, 69 % , đạt. D 83, 36 % , đạt.
Lời giải
Chọn D
d
Q t q t t 12 ln x 1 C
Trong tháng đầu tiên, ai cũng nhớ bài nên t 0 Q 0 100 C100
Do đó: Q t 100 12ln x1 %
Theo đề ta có: Q 3 83,36 %
Câu 46 Gia đình thầy Nam có việc đột xuất nên phải vắng nhà 1 tháng. Trong khoảng thời gian đó, vịi
nước đột nhiên bị hỏng và nước chảy ra với tốc độ cos 81
25
f t F t t , với F t m3
là lượng nước chảy sau t (ngày). Lúc thầy về nhà (sau 30 ngày) đã vội khóa nước ngay. Biết
(135)
Mức tiêu thụ Tổng cộng giá tiêu thụ (đ/m3)
*1 m - 3 10 m /hộ/tháng 3 580
*11 m - 3 30 m /hộ/tháng 3 488
*31 m /hộ/tháng trở lên 3 6849
A. (triệu). B 1, (triệu). C 1, (triệu). D 2,1 (triệu).
Lời giải
Chọn A
Thể tích nước là:
30
0
d
F t f t t
30
0
81
cos d
25
t t
30
0 81 sin
25
t t
304 m3
Vì giá tiêu thụ nước được tính theo từng mức tiêu thụ nên số tiền phải đóng: 10 x 580 20 x 488+274 x 6849 1990976.
DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỆN
Câu Một khung dây dẫn phẳng dẹt hình chữ nhật có 200 (vịng dây), quay quanh trục cố định đối
xứng nằm trong mặt phẳng khung dây chữ nhật có kích thức 10 cm x10 cm . Cho biết cảm
ứng từ B0, T , suất điện động được biểu diễn theo phương trình
ocos 100
e t E t
V Từ thông qua khung dây từ khoảng thời gian
T
t đến t2 T
là?.
A 2 3Wb
5 B
3 Wb
125 C
2 Wb
5 D
3 Wb
250
Lời giải Chọn. C
Theo đề bài:
-1
100 rad.s
, T 0, 02 s
T
o
1
100 200.0, 40 V
100
E NBS
Ta tìm được 1 0, 01 s
2
T
t , t2 T 0, 02 s và phương trình suất điện động
40 cos 100 V
3
e t t
Từ thơng cần tìm:
0,02 0,02
0,01 0,01
2
= 40 cos 100 d 0, 4.sin 100 Wb
3
t t t
.
Câu Một khung dây dẫn phẳng dẹt hình chữ nhật có 500 vịng dây, kích thước của mỗi khung là
22 cm x10 cm và đang quay với tốc độ không đổi 50 (vòng/s) quanh trục đối xứng nằm
(136)quay và có độ lớn 2 T
5 , biểu thức e t Eocos t V
Suất điện động cực đại và từ
thông của qua khung dây từ thời gian 1 s
2
T
t đến t2 T s là:
A 220 V , 22 2Wb
5 B 220 V ,
22 Wb 5
C 220 V , 22 2Wb
5
D 220 V , 22 2Wb
5
Lời giải Chọn. B
Ta có:
2 f 100 rad/s
s 50
T
Ta tính được: 1
100
t , 2 50
t , Eo NBS220 V
2
1
1
50 50
o
1
100 100
220
cos d 220 cos 100 d sin 100
2 100
t
t
E t t t t t
22 Wb 5
Câu Một vịng dây hình trịn có bán kính r 60cm
quay đều với vận tốc 20 vòng trong một
giây trong từ trường đều T
50
B Biểu thức biểu diễn suất điện động
cos V
2
e t NBS t
Từ thơng qua vịng dây từ
1 s 120
t đến tt2
2
1
50 t 40
là
4
1,8.10 Wb Tìm t2.
A s
40 B
1 s
50 C
1 s
30 D
1 s 45
Lời giải Chọn. A
2 40 rad/s
20 Hz 1 1
s 20
f f
T f
2
2 60
60 cm 6.10 m
S r
3 o
1
40 .6.10 V
50 625
E NBS
(137)cos d t t
NBS t t
120
cos 40 d
625 t t t sin 40 25000 t t t sin 40
25000 t 2
Ta có: 1,8.10 Wb
sin 40 2
2
t
40 t2 2 k2
2 1
40 20
t k k
Vì 2
50t 40nên
1 s 40
t
Câu Biểu thức suất điện động xuất hiện trong vòng dây là e t 2cos 100 t V Biết rằng lúc
0
t thì
2 o 2.10 Wb
và 0 Tìm
A
3
. B
6
. C 2
3 D Lời giải Chọn. D
t e t dt cos 100 dt
sin 100
50 t
Wb, C0
Ta có:
2 o 2.10 Wb
sin 100 0 1 sin ,
2 k k
Theo điều kiện: 0 ta tìm được
2
Câu Khung dây hình chữ nhật có 100 (vịng), diện tích mỗi vịng là 600 cm 2, quay đều quanh
trục đối xứng của khung trong một phút quay được 120 vòng và đặt trong từ trường đều có
cảm ứng từ 0, T . Trục quay vng góc với các đường cảm ứng từ. Biểu thức suất điện động
osin
e t E t ,
2
. Cho biết lúc t t10, 25 s thì 1
3 Wb
t
Tìm
3 4T
A 3Wb
B 3Wb
5
C 3Wb
5 D
3 Wb
Lời giải Chọn. B
Theo đề:
2 2
600 cm 0, 06 m
S
120
2 Hz 60
f -1
2 f rad.s
;T 0,5 s
f
o 100.0, 2.0, 06 4,8 V
E NBS e t 4,8 sin 4 t
d 4,8 cos 4 1, 2cos 4
4
t e t t t t
(138)Mà 0, 25 3Wb
cos
2
cos
,
3 k k
Kết hợp điều kiện:
3
Ta tìm được 1, 2cos
3
t t
3 3
1, cos 0,5 Wb
4T
.
Cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn trong thời gian t là:
ocos A
i t I t hoặc i t Iosint A
Điện lượng qua tiết diện S:
d
q t i t t C
Điện lượng qua tiết diện S trong thời gian t1 đến t2 là:
2
1
d t
t
qi t t C
Câu Dịng điện xoay chiều có phương trình i2sin100t A qua một khung dây. Điện lượng chạy
qua tiết diện dây trong khoảng thời gian từ 0 đến 0,15 s là:
A C
100 B
4 C
100 C
5 C
100 D
6 C
100
Lời giải Chọn. B
Điện lượng cần tìm:
0,15
0,15 0,15
0
0
1
d sin100 d cos100 C
50 100
q i t t t t
Câu Dịng điện xoay chiều có phương trình i t 2 cos100t A qua một dây dẫn. Điện lượng
chạy qua tiết diện dây trong khoảng thời gian từ 1
4
T
t đến 2
2
T t là:
A C
50
B C
50 C
1 C
50 D
1 C 50
Lời giải
Chọn. C
2
s
100 50
T T
Từ đó ta tìm được: 1
200
t s , 2 100
t s
Điện lượng cần tìm:
2
1
1 100
1 200
1
d sin100 C
50 50
t
t
q i t t t
.
Câu Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch có biểu thức i t Iocos t A
T
Điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn đoạn mạch trong thời gian to 0 đến t10
và to 0 đến 2
4
T
t lần lượt là:
A I To
,0. B
o
2
I T
, 1. C o
I T
, 0 D o
2
I T
, 1.
(139)
Chọn. A
Ta có:
o o
o
2
cos d
2 T
I T I
q I t t
T
,
2 o
2
cos d
T
q I t t
T
(140)BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho hàm số y f x yg x có đạo hàm liên tục a b; Khi đó: Nếu f x g x với xa b;
b b
a a
f x dx g x dx
Nếu f x 0 với xa b; b
a
f x dx
Hệ quả: 2
b
a
f x dx f x
Bất đẳng thức Holder (Cauchy – Schwarz):
2
2
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Đẳng thức xảy f x kg x với k
B. BÀI TẬP
Câu 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0; đồng thời thỏa mãn điều kiện f 2 2,
2
0
0
xf x dx
,
2
2
' 10
f x dx
Hãy tính tích phân
2
I x f x dx?
Lời giải
Ta có:
2 2
2 2
0 0
2
1 1
0 ' '
0
2 f x dx 2x f x x f x dx x f x dx
Cách 1: Kết hợp
2
2
' 10
f x dx
,
2
'
x f x dx
2
32
x dx
ta được:
2
1
2 2 4 2 2
0
5 25 5.8 25 32 5
' ' 10 ' '
2 16 16 4
f x x f x x dx f x x dx f x x
Cách 2:
2
2 2
2
2
0 0
32
64 ' ' 10 64
5
x f x dx x dx f x dx
Đẳng thức xảy khi: f ' x kx2
Vì
2
2
0
32 5
8 ' '
5 4
x f x dx k x dx k k f x x
Khi đó:
3
5
12
x
f x f 1 2 Khi thay vào tích phân
2
8
I x f x dx
Chuyên
(141)Câu 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1 2, 1
f x dx
, 25 '
f x dx
Hãy tính tích phân
1
0
I xf x dx?
Lời giải
Ta có:
1 1
0 0
1
1
' ' '
0
3 f x dxxf x xf x dx xf x dx xf x dx3
Cách 1: Kết hợp
1 25 '
f x dx
, '
xf x dx
1
1
x dx
ta được:
1
2 2
0
25 50 25
' 10 ' 25 ' '
3 3
f x xf x x dx f x x dx f x x
Cách 2:
2
1 1
2
0 0
25 25 25
' '
9 xf x dx x dx f x dx 3
Đẳng thức xảy khi: f ' x kx
Vì
1
2
0
5
' '
3xf x dxk x dx 3kk f x x
Khi
1
2
0
5
2 2
x x x
f x I xf x dx dx
Câu 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;
π
đồng thời thỏa mãn
2
3 π
f x dx π
, sin π x
xx f dx π
,
2
π f
Hãy tính tích phân
2
3
π
I f x dx?
Lời giải
Ta có
2
0 0
3 sin sin 2 sin 2
2
π π
π
x x
π xx f d x x f x dx x x df x
2 2
2
0 0
3
3 sin 2 2 cos sin sin
4
π π π
π
π
π x x f x x f x dx xf x dx xf x dx
Cách 1: Kết hợp
2
3 π
f x dx π
, 2 sin π π
xf x dx
2 sin 16 π π xdx
ta được:
1
2
2 2
0
8sin 16 sin 4sin 4sin
f x xf x x dx f x x dx f x x
Cách 2:
2
2 2 2
2
0 0
9
sin sin
16 16 16
π π π
π π π
xf x dx xdx f x dx π
(142)Đẳng thức xảy f x ksin2x Vậy
2
2
0
3
sin sin 4sin
4 16
π π
π π
xf x dx k xdx k f x x
Khi đó:
4sin cos sin 8cos
f x x x f x x f x x
Thay vào ta được:
2
3 3
0
512 cos
π π
I f x dx xdx
Câu 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0; đồng thời thỏa mãn điều kiện f 2 1,
2
8 15
x f x dx
,
2
4
32 '
5
f x dx
Hãy tính tích phân
2
0
I f x dx?
Lời giải
Ta có
2 3 2
3
0 0
2
8 32
0
15 3
x x
f x d f x x f x dx x f x dx
Cách 1: Như vậy:
2
4
32 '
5
f x dx
,
2
32
x f x dx
2
32
x dx
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: f ' x 4x4 x4 x4 4x f3 ' x
Do vậy:
2 2
4 4 3
0 0
'
f x dx x dx x f x dx
Mà giá trị hai vế
Như tồn dấu xảy tức là:
2
1
'
2
x
f x x f x
2
0
7
I f x dx
Cách 2: Ta áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder:
4 2
2 2 2
2
3 4
0 0 0
1048576 1048576
' '
625 x f x dx x dx x f x dx x dx f x dx 625
Dấu xảy khi: f ' x kx
Câu 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 1; đồng thời thỏa mãn
2
31
x f x dx
Tìm giá trị nhỏ tích phân
2
?
I f x dx
Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta được:
4 2
2 2 2
4 2 4
1 1 1
31 x f x dx x dx x f x dx x dx f x dx f x dx3875
Đẳng thức xảy f x kx nên
2
4
1
31 5
(143)Câu 6: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:
1
2
'
f x f x dx
; f 0 1; f 1 Tính giá trị ?
2
f Lời giải
Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:
1
2 2 2 2
0
1
2 ' '
0
f x f x dx f x f x dx f x f f
Như đẳng thức phải xảy tức là: f x f ' x 1 f x f ' x dx1dx f x 2x2C Mà f 0 1; f 1 nên ta suy f x 2x1 Vậy
2
f
Câu 7: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 1; đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:
2
2
'
21
f x
dx
x f x
; 1 1; 2
8
f f Tính giá trị ?
2
f Lời giải
Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:
2
2
2
2
1
' ' 1
42 6 42
1
f x f x
x dx dx
x f x f x f x f f
Như đẳng thức phải xảy tức là:
2
2
' '
3
f x f x
x dx x dx f x
f x f x Cx
Mà 1 1; 2
8
f f nên ta suy 3
9
f x
x
Vậy
3
2 45
f
Câu 8: Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Đặt g x 2f x x12 Mệnh đề đúng cho cho tồn số thực m thỏa mãn
3
0
m
g x dx
A 6g 1 mg 3 B 6g 1 m6g 3 C 3g 1 m3g 3 D 3g 1 m3g 3
Lời giải
3
2 2 1
3
x
g x f x x g x f x x x
x
(144)Dựa vào bảng biến thiên g 1 nhỏ giá trị g 3 , g 1 , g 3 Ta có:
1 3
1
3
2
S S x f x dx f x x dx g x dx g x dx
3 1 3 1 3 3
g g g g g g
min, max g x 3;3 g 1 ,
3
g
3
3
6g g x dx 6g
Mà
3
3
0
3
m
g x dx m g x dx
Để phương trình cho có nghiệm 3g 1 m3g 3
Câu 9: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: ' xf x dx
f x
; f 0 1; f 1 e2 Tính giá trị ?
2
f Lời giải
Cách 1: Áp dụng Holder:
1 1
0 0
' ' 1
1 ln
2
xf x f x f
dx xdx dx
f x f x f
Vậy đẳng thức xảy khi:
'
f x
kx
f x Thay vào
' xf x dx
f x
ta k4
Vì
2
'
4 ln
f x
x f x x C
f x mà
2
0 1;
f f e nên C0 2
2 x
f x e f e
Cách 2: Áp dụng AM – GM:
1 1
0 0
' ' 1
2 4 ln
2
f x f x f
x dx xdx dx
f x f x f
Đẳng thức xảy
2
'
4 ln
f x
x f x x C
f x mà
2
0 1;
f f e nên C0
2
2 x
f x e f e
Câu 10: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0; đồng thời thỏa mãn điều kiện f 2 16,
2
0
64
xf x dx
2
2
1152
f x dx
Hãy tính tích phân
2
0
(145)Cách 1:
2 2 2 2
2
0 0 0
64 192
32
5 2 2
x x x
f x d f x f x dx x f x dx x f x dx
Kết hợp
2
2
1152
f x dx
; 2 192
x f x dx
2
32
x dx
ta
2
2
2 2 4 2 2
0
1152 192 32
12 36 12 36 6
5 5
f x x f x x dx f x x f x x
Cách 2:
2
2 2
2
2
0 0
36864 32 1152 36864
25 x f x dx x dx f x dx 5 25
Dấu "" xảy f x kx2 Mà
2
2
0
192 32
6
5 x f x dxk x dx kk f x x
Câu 11: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1 1, 11 78
x f x dx
1
0
4 13
f x d f x
Hãy tính f 2 ?
Lời giải
Cách 1:
1
1 6
5
0 0 0
11
78 6 13
x x x
x f x dx f x d f x f x dx x f x dx
Lại có:
1
2
0
4
13 13
f x d f x f x dx
Kết hợp với
1 12
1 13
x dx
ta
1
2
2 6 12 6 6
0
4
4 4 2
13 13 13
f x x f x x dx f x x dx f x x
Cách 2:
2
1 1
2
6 12
0 0
4 4
169 x f x dx x dx f x dx 13 13 169
Dấu "" xảy f x kx6 Mà
1
6 12
0
2
2
13x f x dxk x dx 13k f x x
Câu 12: Cho hàm số y f x xác định liên tục 0; 2 có bảng biến thiên hình bên Hỏi có giá trị nguyên m để thỏa mãn
điều kiện
2
0
0
f x m dx
Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta có:
2 2
0;2
0 0
0;2 max 7 x x f x
dx f x dx dx
f x
Hay:
2
0
10 f x dx 14
Mặt khác
2
0
0
f x m dx m f x dx
(146)Câu 13: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1 2, 11
x f x dx
, 49 ' 11
f x dx
Hãy tính tích phân
1
0
I f x dx?
Lời giải
1 1
5 5 5
0 0
1
3 1 1 7
' ' '
0
115 f x dx 5x f x 5x f x dx5x f x dx55 x f x dx11
Cách 1: Kết hợp
1 49 ' 11
f x dx
, ' 11
x f x dx
1 10
1 11
x dx
ta được:
1
2
2 5 10 5 5
0
49 98 49
' 14 ' 49 ' '
11 11 11
f x x f x x dx f x x dx f x x
Cách 2: Ta có:
2
1 1
2
5 10
0 0
49 49 49
' '
121 x f x dx x dx f x dx 11 11 121
Đẳng thức xảy khi:
'
f x kx Vì
1
5 10
0
7
' '
11x f x dxk x dx 11k k f x x
Khi đó:
6
7
6
x
f x f 1 2 Khi thay vào tích phân
1
0
7
1
6
x
I f x dx dx
Câu 14: Tính giới hạn:
1 lim ? x n x ne dx e Lời giải Ta có với x 0;1
1 1
1
2 2
x n x n
x x nx
x x
e e ne ne ne
e e Do đó:
1 1 1 1
0 0
1
lim lim lim lim lim
2 2
n
x n x n x n
nx n
x x
n e
ne ne ne e ne
dx dx dx dx
e e n
Vậy 1 1 lim
2
x n x ne dx e
ta suy
1 lim x n x ne dx e
Câu 15: Tính giới hạn: lim 1 b
n a
x x x dx
với 0ab1
Lời giải
Ta có
1
2 1
1 ln
1 1
b b b n b n
n
a a a a
x a x
x x x dx dx dx dx
x x b x
Mà 1 1 0
1 1
b n
n a
x
dx x dx
x b b n
Vậy lim 1 ln1
1 b
n a
a
x x x dx
b
(147)Câu 16: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 1; đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: 2 ' 24 f x dx xf x
; f 1 1; f 2 16 Tính giá trị f 2 ?
Lời giải Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:
2 1
' '
48 16 16 16 48
1
f x f x
x dx dx f x f f
xf x f x
Như đẳng thức phải xảy tức là: 2 ' ' 2
f x f x
x dx xdx f x x C f x x C
f x f x
Mà f 1 1; f 2 16 nên ta suy f x x4 Vậy f 2 4
Câu 17: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f2 x 1 với x 1;1
1
1
0
f x dx
Tìm giá trị nhỏ
1
x f x dx
?
A
2
B
4
C
3
D 1
Lời giải
Ta đặt
1 1
2 2
1 1
I x f x dx I x a f x dx x a f x dx x a dx a
Do ta suy
1
min a
I x a dx
Đến ta chia toán thành trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a0
1
2
0
1
2
min min
3
a x a dx a x a dx a a
Trường hợp 2: Nếu a1
1
2
1
1
2
min min
3
a x a dx a a x dx a a
Trường hợp 3: Nếu a 0;1
1
2 2
0;1 1 min a a a a a a
x a dx x a dx a x dx x a dx
1 3
2
0;1
1
min
3 3
a a
a
x a x x
x a dx ax ax ax
a a 0;1
8
min
3
a a
a a
x a dx a
1
a
Kết luận: Như
1 1
a x a dx
1
min
2
I I
Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn f x 8;8 với x 0;1
1
0
3
xf x dx
Tìm giá trị lớn
1
?
x f x dx
(148)A 2 B 31 16 C D 17 Lời giải
Ta đặt
1
I x f x dx đó:
1
3
0
3
I a x ax f x dx x ax f x dx
1 1
3 3
0 0
3 8
a
I a x ax dx a I a x ax dx a I a x ax dx
Trường hợp 1: Nếu a0
1
3
0
0
min min 2
a a x ax dx a a x ax dx a a
Trường hợp 2: Nếu a1
1
3
1
0
min min
a a x ax dx a a ax x dx a a
Trường hợp 3: Nếu a 0;1 ta có đánh giá sau:
1
3 3
0;1 0;1
0
31
min 8
16
a
a a a
a
a x ax dx a ax x dx x ax dx a a
Kết luận: Vậy
1
31 31
min
16 16
a a x ax dx I
Đẳng thức xảy
1 31
;
8 12
a I a
Câu 19: Cho hàm số y f x liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:
0;1
max f x 6
và
1
0
x f x dx
Giá trị lớn tích phân
1
x f x dx
bao nhiêu?
A 1
8 B
3
4 C 16
D
24
Lời giải
Ta có với số thực a
1
0
ax f x dx
đó:
1 1
3 3
0 0
6
x f x dx x ax f x dx x ax f x dx x ax dx a
Do đó:
1
3
0
min
a a
x f x dx x ax dx g a
Tới ta chia trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a0 x3ax2 x2x a 0 x 0;1 Khi đó:
1
3
0
0
1
6 6
4 a
a
g a x ax dx x ax dx g a
Trường hợp 2: Nếu a1 x3ax2 x2x a 0 x 0;1 Khi đó:
1
3 2
1
0
1
6 6
3 a
a
g a x ax dx ax x dx g a
Trường hợp 3: Nếu a 0;1
1
3 2 3
0
2
6
2 a
a
a a
f a x ax dx ax x dxx ax dx
Ta tìm
4
0;1 0;1
3
2 3
min
2 2
a a a a g a
3
3
min
4
a g a
(149)Do vậy:
3
1 1
3 3
0;1
0 0
3 4
min max
4
a
x f x dx g a x f x dx x f x dx
Câu 20: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn 3f x xf ' x x2018 với x 0;1 Giá trị nhỏ tích phân
1
0
f x dx
bằng:
A
2021 2022 B
1
2018 2021 C
1
2018 2019 D
1 2019 2021 Lời giải
Ta có: 3f x x f ' x x20183x f x2 x f3 ' x x2020
2018
3 2020 2020
0
0;1
2021
t t
t
x f x x x f x dx x dx t f t
Khi
1 2018
0
1
2021 2019.2021
x
f x dx dx
Giá trị nhỏ tích phân
1
0
f x dx
2019.2021
Câu 21: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn
1 1 0, 11
f f x dx
55
x f x dx Tích phân
1
0
f x dx
A
7
B 1
7 C
1 55
D
11 Lời giải
1
1 5
4
0 0
x f x dx x f x x f x dx Suy
1 11
x f x dx Hơn ta dễ dàng tính
11
x dx Do
1 1
2
2 5 5
0 0
2
f x dx x f x dx x dx
1 0
f x x dx
Suy
f x x ,
6
f x x C Vì f 1 0 nên
6
C Vậy
1
0
1
6
f x dx x dx
Câu 22: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn
1
2
3
1 0, 2ln
2
f f x dx
và
2ln 2
1
f x dx
x Tích phân
1
0
f x dx
A 1 ln
2
B 3 ln
2
C 3 4ln
2
D 1 ln
2 Lời giải
Ta có:
1
1 1
2
0 0
1 1
1 1
1 1
1
f x dx f x d f x f x dx
x x x
x
Suy
1
0
1
1 ln
1
f x dx
(150)
1
2
0 0
1 1
1 2 ln ln
1 1
dx dx x x
x x x x
Do
2
1 1
2
0 0
1 1
2 1
1 1
f x dx f x dx dx f x dx
x x x
Suy 1
1
f x
x , f x x lnx1C Vì f 1 0 nên Cln 1
Ta
1
0
1
ln ln ln
2
f x dx x x dx
Câu 23: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 đồng thời ta đặt
0
1 x
g x f t dt Biết g x f x với x 0;1 Tích phân
1 dx g x
có giá trị lớn
nhất bằng:
A 1
3 B 1 C
2
2 D
1
Lời giải
Đặt
2
0
1 0;1 0;1
1 x
F x
F x f t dt g x F x f x x x
F x
2
0 1 1 t F x
h t dx t
F t F x
hàm số đồng biến 0;1 ta có đánh giá:
1
0
1 1
0 0;1 1 0;1
1
h x h x x x x dx
F x F x g x
Câu 24: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 đồng thời ta đặt
0
1 x
g x f t dt Biết g x f2 x với x 0;1 Tích phân
1
0
g x dx
có giá trị
lớn bằng:
A 5
2 B C D Lời giải
Đặt
2
1 0;1 0;1
3
x
F x
F x f t dt g x F x f x x x
F x 2
1
3
3
t
F x
h t dx F t t
F x
hàm số nghịch biến 0;1 ta có:
1
0
2
0 0;1 3 1 0;1
3
h x h x F x t F x x x g x dx
Câu 25: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 đồng thời ta đặt
2
0
1
x
g x f t dt Biết 2
2
g x xf x với x 0;1 Tích phân
1
0
g x dx
có giá trị
(151)A 2 B 3 C 4 D 1
Lời giải
Đặt
2
2 2
2
2
1 0;1 0;1
1
x xf x
F x f t dt g x F x xf x x x
F x 2
1 ln
1
t xf x
h t dx F t t
F x
hàm số nghịch biến 0;1 ta có:
1
0
0 0;1 ln 1 x 0;1
h x h x F x x F x e x g x dx
Câu 26: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 đồng thời ta đặt
0
1 x
g x f t dt Biết g x f x 3 với x 0;1 Tích phân
1
2
0
g x dx
có giá
trị lớn bằng:
A.
3 B. C.
4
3 D 5
Lời giải
Ta đặt
0
x
F x f t dt g x 1 2F x f x 3 x 0;1
Do
3
1 0;1 0;1
1 2
f x F x
x x
F x F x
Xét hàm số:
3 3
1 0;1
4
1 t
F x
h t dx F t t t
F x
hàm nghịch biến
0;1
2
3
3
0 0;1 2 0;1
4
h t h t F t t F t t t
Do đó:
1 1
2 2 2
3
3
0 0
4
1 0;1
3 3
g x x x g x dx x dx g x dx
Chọn A
Câu 27: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục 1;8 đồng thời thỏa mãn điều kiện:
2
2
3
1 1
2
2
3
f x dx f x dx f x dx x dx
Tính tích phân
2
3
f x dx
bằng:
A 8 ln
27 B ln 27 C D Lời giải
Đặt tx3dt3x dx2 Khi đó:
2
2
3
1 1
2
2
3
f x dx f x dx f x dx x dx
8 8 2
2 3 2 3 2
3 3
1 1
1
2 1
3
f t dt f t t dt t dt
t t t
(152) 3 1
1 ln
0
27
f t t
dt f t t f x dx
t
Chọn A
Câu 28: Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện 0
f
1 0
f x f x dx f x f x dx
Tính tích phân
1
f x dx
? A. B. C. D Lời giải
Theo bất đẳng thức Holder ta có:
2
1 1
2
0 0
1
f x f x dx f x f x dx dx
Như vậy:
2
1 1
2 2
0 0
1
9
9
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
Do đó:
1
2 3
0
1
1
9
f x f x f x x f x dx
Câu 29: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện 1
f ;
0
5
f x dx
1 1 x
x f x dx
x
Tính tích phân
1
?
f x dx
A. B. 15 C. 53 60 D 203 60 Lời giải
Sử dụng tích phân phần ta có:
1 1
0 0
5
1
6
f x dx f xf x dx xf x dx
Mặt khác: 1 2 1 2 2
2
x x
x f x x f x
x x
Tích phân hai vế ta
1
2
0
2
3 2
x x
f x dx f x dx
x x
Áp dụng Holder:
2
1 1
2
0 0
4
2
9 2
x x
xf x dx x x f x dx x x dx f x dx
x x
Do
1 2 x
f x dx
x
nên dấu
1 2 53 2 60 x
f x x f x x f x dx
Câu 30: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 0 2 21x2 12 12x12 12xf x f ' x 2 x 0;1 Tính
1
0
?
f x dx
A.
4 B
4
3 C 2 D
5
Lời giải
(153) 1 2 0 36
6 '
5 f x d x f x dx
1 2 0 24
6 ' '
5 x f x dx f x dx
2
' 3
f x x dx f x x x
Chọn đáp án A
Câu 31: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn
1 0
'
4
x e
f x dx x e f x dx
f 1 0 Tính
1
0
?
f x dx
A 2e B 2e C e D 1e
Lời giải
Ta có:
2 1
0
1
1
4
x x
e
x e f x dx f x d x e
1
0
'x
x e f x dx
2
1 1
2 2 2
0 0
1
' '
4
x e x
f x dx x e f x dx x e dx
1 1
2 2 2
0 0
' x 'x
f x dx x e dx x e f x dx
1
2
' x
f x x e dx
' x x
f x x e f x e x
1
0
2
f x dx e
Chọn đáp án B
Câu 32: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện 0 0, 1
f f
2 ' 1 x f x dx e e
Tính tích phân
1
0
?
I f x dx
A. e e B e e
C 1 D
1
1
e e
Lời giải
Theo bất đẳng thức Holder ta có:
2 2
1 1
0 0
' 1
' 1
1
x x
f x
dx e dx f x dx e
e e
Đẳng thức xảy khi: ' x ' x
x
f x
k e f x k e
e
Vì
1
0
1
'
1
f x dx k
e
Vậy
1 x e C f x e
Mà f 0 0, f 1 1
1 x e f x e
Vậy
2 e I e
Chọn đáp án A
Câu 33: Cho hàm số y f x dương liên tục 1;3 thỏa mãn
1;3 1;3
1
max 2;
2
f x f x
biểu thức
3
1
1
S f x dx dx
f x
đạt giá trị lớn Khi tính
3
1
f x dx
?
A 7
2 B C D Lời giải
Ta có:
2 f x 2f x 1f x 20
1
2
f x
f x
(154)
1
2 f x
f x 3 1
S f x dx f x dx
Ta tìm max 25
4
S
3
1
5
f x dx
Câu 34: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời f 0 0, f 1 1 2 '
ln
f x x dx
Tính tích phân
1 f x dx x
bằng?
A. 1ln 12 2
2 B.
2
2
ln 2
C. 1ln 1 2
2 D ln 1 2
Lời giải
Theo bất đẳng thức Holder ta có:
2
1 1
2 2
2
0 0
1
' '
1
f x x dx dx f x dx
x
Mặt khác
1 2 1
ln ln
0
dx x x
x
Vậy đẳng thức xảy
2
4
' '
1
k k
f x x f x
x x
Vì
1
0
'
f x dx
nên
1 ln
k
Vậy
2
1
.ln
ln
f x x x C
Vì
0 1 f f
nên C 0 Do
1
2
1
ln 2 f x dx x
Chọn đáp án C
Câu 35: Tìm giá trị nhỏ
1
S x ax dx với a 0 1,
A 2
6
B
3
C 2
3
D
6
Lời giải
Phá dấu trị tuyệt đối ta có
1
1 3
2 2
0 0
2
3 3
a a
a a
x ax x ax a a
S x ax dx x ax dx x ax dx
1 2
6 min
S f
Câu 36: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn 0 1; và thỏa mãn
0
1 1
'
f x
f e f e; dx
f x Tìm mệnh đề đung
A
2
f e B
2
f e C
2
f e D 1
(155)Ta có 1 0
1
0
'
f x f
dx=ln f x lnf ln f ln ln e
f x f
Nên
2 1 0
1
' '
f x f x
dx dx
f x f x
2 1 0
2 1
' ' ' '
f x f x f x f x
. dx dx
f x f x f x f x
Vậy: f x A.ex Mà f 1 e f 0 e Nên
2
x
f x e f e
Câu 37: Cho abab4 ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức
b
a
I x a b x ab dx
A 4 B 12 C 2 D 48
Lời giải Ta có
3 2 3 2 3
3
2
4
4 4 12 12
48
36 36 36 36 36
4
a b ab ab ab ab
I .a I
Câu 38: Tìm giá trị nhỏ 2
b
a
I x m x dx ab hai nghiệm cảu phương
trình x22m x 2 A 128
9 B
8
3 C 8 D 2
Lời giải
3
4
2 128 8 2
36 36
m
I I
a
Câu 39: Tìm giá trị nhỏ
1
S x ax dx với a 0 1,
A 2
6
B 1
8 C
1
4 D
2 Lời giải
1 4
3
0 0
2
2 2
2 4
1 1 1
2 4 2 8
a a
a a
a.x x x a.x
S a.x x dx x a.x dx
a a a a a
(156)Câu 40: Gọi a,b giá trị lớn nhỏ
2
3 2
4
m
m
S x mx m x m dx với
1 3
m ; Mệnh đề
A 41
a b B a b 1 C 21
4
a b D a b 2
Lời giải
2 2
2 2
2
m m m
m m m
S x m x m dx x m x m dx x m x m m dx
2
4
2
3
4 12
m
m m
m m
m
x m m x m m
S x m dx+m x m dx=
Thay m1 3; vào ta có 41
a b
Câu 41: Cho A tập hàm số f lien tục đoạn 0 1; nhận giá trị không âm đoạn 0 1;
Tìm m nhỏ cho
1
2018
0
f x dxm f x dx f A
A 2018 B 1 C
2018 D 2018
Lời giải
Đặt t2018 xdx2018.t2017dt nên
1 1
2017 2018
0 0
2018
f x dx=2018 t f t dt f t dt
Tìm m nhỏ nên m2018 Ta Cm m2018 số cần tìm Xét f x xn ta có
1
2018
0
2018
2018
2018 2018
n / n m n
x dx m x dx m
n n n
Cho n ta có m2018 Vậy m2018 số nhỏ cần tìm
Câu 42: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương có đạo hàm f' x liên tục đoạn 0 1; thỏa mãn f 1 2018 f 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1
2
0
1 '
M dx f x dx
f x
A ln2018 B 2ln2018 C 2e D 2018e Lời giải
2
1 1
1
0 0
1
2 2 2018
'
' '
f x f x
M= f x dx dx dx ln f x ln
f x f x f x
Câu 43: Cho abab4 ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2
b
a
I x a x b dx
A 12 B 0 C 64
3 D
49
Lời giải
2 2 2
b b b
a a a
(157) 4 2 2 2 2 2 2
1 1
4 4 12 12
12 12 12 12
S a b a b ab ab ab ab
Câu 44: Cho ab2a2b22 4 ab Tìm giá trị lớn biểu thức
2
b
a
I x a b x ab dx
A 16
9 B
9
16 C
4
3 D
3 Lời giải
2 2 2 2
3 2 4
4 4 4
36 36 36 36
a b a b a b a b a b
a b a b
I ab a Khi
2 22
4
0 1
1
a b
a b b b
a a
Câu 45: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương có đạo hàm f' x liên tục đoạn 0 1; thỏa mãn f 1 e f 0 Biểu thức
1 2 0 '
dx f x dx
f x
Mệnh đề
A 1
e f
e
B
2 2 1 e f e
C
2 1 e f e
D
2 1 e f e Lời giải
Viết lại biểu thức cho dạng
1 '
f x dx
f x
Dấu xảy
1 2 ' '
f x f x dx f x d f x
f x f x
f x
x c f x x c
Thay x0 vào ta có
0 1 2 2 1
0
1 2
f c f c
e c
f c e
f c 2 2 1 e
f x x f
e e
Câu 46: Cho A tập hàm số f lien tục đoạn 0 1;
Tìm
1 201 f A
x x .
m min x f x d f x dx
A 2019
B
16144
C 2017
2018
D
16140 Lời giải
Biểu thức cho tam thức bậc ẩn f x có hệ số 2018
0
(158)Nên biểu thức Min
2017
1
1 4036 4035
0 0
2
1
4 4 4036 16144
min
b x
f x a
x x
m dx dx
a .x x
Câu 47: Cho m tham số thuộc đoạn 1 3; Gọi a,b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
2
2
2 m
m
P x m x m dx Tính a b
A 31 B 36 C 122
15 D
121 Lời giải
5 5
1 3 122
30 30 30 30 15
m
P ; T
Câu 48: Giá trị nhỏ
2 2
2
2
m
m
P x m m x m m dx
S a;a,b
b
nguyên dương
và a
b tối giản Tính T a b
A 7 B 337 C 25 D 91
Lời giải
Ta có :
3
2
4 4 3 9
9 16 25
3 16
m m
P . T
(159)SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Điểm Torricelli: Cho tam giác ABC có góc lớn khơng q 120 Điểm Torricelli tam giác ABC điểm T nằm ABC có tổng cạnh TA TB TC p q r nhỏ Để tìm điểm này, ta dựng tam giác đềuACM BCN ABO, , : giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác (hoặc giao điểm củaAN BM CO, , ) điểm Torricelli mà cần tìm
2. Bất đẳng thứcCauchy-Schwarz: Với hai dãy số thực a a1, 2, ,am b b1, 2, ,bm ta ln có bất đẳng thức sau
2 2 2 2 2
1 m m 1 2 m m
a a a b b b a b a b a b
Dấu xảy
2
m
m
a a a
b b b
Chuyên
(160)3. Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme đẳng thức hình học Euclid miêu tả quan hệ độ dài bốn cạnh hai đường chéo tứ giác nội tiếp Định lý mang tên nhà toán học thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus)
Nếu A, B, C, D đỉnh tứ giác nội tiếp đường trịn thì: AC BD AB CD BC AD
4. Bất đẳng thức Ptoleme trường hợp tổng quát định lý Ptoleme tứ giác Nếu ABCD tứ giác AC BD AB CD BC AD Dấu xảy tứ
giác nội tiếp đường trịn
5. Định lí Stewart: Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác Gọi d độ dài đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác với điểm nằm cạnh (ở cạnh có độ dài a) đối diện với đỉnh
Đoạn thẳng chia cạnh a thành đoạn có độ dài m n, định lý Stewart nói rằng:
2 2
b m c n a d mn
B BÀI TẬP
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn z 1 i
A 132 B 4 C. D 13 1 Lời giải
(161)Gọi zxyi ta có z 2 3i x yi 2 3i x2 y3i
Theo giả thiết x22y32 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I2;3 bán kính R1
Ta có z 1 i xyi 1 i x1 y1i x12y12 Gọi M x y ; H1;1 HM x12y12
Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường trịn
Phương trình :
3
x t HI
y t
, giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: 9t2 4t2 1
1 13
t
nên ;3
13 13
M
, ;3
13 13
M
Tính độ dài MH ta lấy kết HM 1 13
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z4 z4 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z
A 10 B 5 C 5 D 4
Lời giải Chọn C
Gọi zxyi, x y, .Theo giả thiết, ta có z4 z4 10
x 4 yi x 4 yi 10
x42y2 x42y2 10 * Gọi M x y ; , F14; 0 F24; 0
Khi (*) MF1MF2 10 nên tập hợp
điểm M z đường elip E
Ta có c4, 2a10a5 b2 a2c2 9
Do đó, phương trình tắc E
2
1
25
x y
Vậy max z OAOA5 z OBOB3 z OBOB'3
O x
A A
B
B
2
F
1
F
4
3
3
y
M1 I
H
(162)Câu 3: Xét tập A gồm số phức z thỏa mãn 2
z i z
số ảo giá trị thực m, n thỏa mãn có số phức z A thỏa mãn zm ni Đặt M maxm n
min
N m n Tính PM N ?
A P 2 B P 4. C. P4 D P2
Lời giải Chọn C
Giả sử za bi , a b, z2i z 2 4i a b 1
Ta có
2
2
a b i z i
z a bi
2
2
2
a b i a bi
a b
2
2 2
2
a a b b a b ab i
a b
Vì
2
z i z
số ảo nên a a 2b b 20
2
1
a b
Ta có am2b n 2 2
Vì có số phức thỏa mãn nên hai đường trịn C1 có I1 1;1 , R1 đường trịn C2 có I2m n; , R2 tiếp xúc
Vậy 2
1 2
2
I I R R I I R R
Trường hợp I I1 2 0 (khơng thỏa mãn) lúc hai đường trịn trùng nên có vơ số a b; thỏa mãn a12b12 2 Vậy I I1 2 2 m12n12 8
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có :
2 2 2
2 1 1 1
m n m n m n
4 m n m n
Suy
2
M N
Câu 4: Xét số phức z thỏa z 2 i z 4 7i 6 Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z 1 i Tính PmM
A P 13 73 B 2 73
2
P C P5 2 73 D 73
P
Lời giải Chọn B
Ta có w z i a bi a b ; ,
z 1 i 3 2i z 1 i 3 8i 6 w 3 2i w 8 i 6 Do xét điểm M a b ; ,A3; , B3;8, ta có:
(163)Dấu " " xảy MAB, ba5 3 a3
2
2 2
w a b a a5 2a 10a25
3;3
5
min 10 25 ;
2
m a a
3;3
max 10 25 73
M a a
Vậy 2 73
2
P
Cách 2: Cũng tương tự trên, ta có:
w ;
2
OM d O AB
, w OM OB 73
Vậy 2 73
2
P
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i z 2 3i Mệnh để sau đúng?
A 13
2 z B
1
5
2 z C 1 z 13 D 13 z 5
Lời giải Chọn D
Ta có za bi a b ; ,
Xét điểm M a b ; ,A3; , B2; 3 , có: 2MA MB AB Dấu " " xảy MAB
Ta có phương trình AB x: y 1 a b 1 2a3
Do w a2b2 a2a12 2a22a 1 13;5 , a 2;3
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i z 4 5i 10 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ z 1 i Tính PM m
A 41
5
P B P 697 C P5 41 D 41
P
Lời giải Chọn A
Ta có w z i a bi a b ; ,
z 1 i 1 4i z 1 i 4 i 10 w 4 i w 5 4i 10 Do xét điểm M a b ; ,A1; , B 5; 4, ta có:
10MA MB AB10
Dấu " " xảy MAB, 4a3b 8 5 a1
2 2
2 2 25 64 64
w
3
a a a
a b a
2
5;1
25 64 64 32
min
3 25
a a
m y
;
2
5;1
25 64 64
max 41
3
a a
M y
(164)Vậy 41
Pm M
Câu 7: Cho số phức z1 thỏa mãn z122 z1i2 1 số phức z2 thỏa mãn z2 4 i 5.Hỏi giá trị nhỏ z1z2 là?
A 2
5 B C 2 D
3 5
Lời giải Chọn D
Đặt z1 a bi a b ; , z2 m ni m n ; , Ta có: z122 z1i2 1
2 2 2
2 1
a b a b a b
Tương tự ta có z2 4 i m 22 n 12
Khi xét điểm M a b N m n ; , ; , ta có: Md: 2xy 2 N C có I4;1 , R
1
8
;
5
z z MNIMIN d I d R
Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i z 1 3i 34 Hỏi giá trị nhỏ z 1 i là?
A
34 B 4 C 13 D 3
Lời giải Chọn B
Ta có za bi a b ; ,
Do xét điểm M a b ; ,A2; , B1;3, ta có:
2 34
z i z i 34MA MB AB 34 Dấu " " xảy M thuộc tia AB M nằm đoạn AB
Phương trình AB: 5x3y 4 0, 5a3b 4 a 1
Khi
2
2 2
1 1 1
3
a z i a b a
2
; ;
4
min 1
3
a
z i a y
Câu 9: Cho ba số phức z, z1, z2 thỏa mãn z1 z2 6 z1z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z zz1 zz2
A 6 2 B 3 2 C 6 2 D 3 2
(165)ChọnC.
Xét tam giác OAB với A, B điểm biểu diễn số phức z1, z2 M điểm biểu diễn số phức z, ta có OAOB6, AB6 OAB vng O
Khi ta cần tìm giá trị nhỏ PMO MA MB
Dựng phía ngồi tam giác OAB tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt
OC D, theo bất đẳng thức Ptoleme cho bốn đểm M , A, B, C ta có:
MA CB MB CA MC ABMA MB MC MA MB MO MCMOOCconst Dấu xảy M D Ta tính độ dài đoạn OC, định lý hàm số côsin ta có:
6
OA , AC6 2, OACOAB BAC45 60 105
Do OC OA2AC22.OA AC .cos105
2
6 2.6.6 2.cos105
Vậy gá trị nhỏ Pmin 6 2
Câu 10: Cho số phức z Kí hiệu A B C D, , , điểm biểu diễn số phức z z z, , 4 3 i 4
z i Biết A B C D, , , bốn đỉnh hình chữ nhật Hỏi giá trị nhỏ biểu thức
4
z i là?
A
34 B
2
5 C
1
2 D
4 13 Hướng dẫn giải
Chọn C
Với za bi a b , ,
Ta có: A a b ; , B a ;b,C4a3 ;3b a4b, D4a3 ; 3b a4b
Do A B, đối xứng qua trục hoành; C D, đối xứng qua trục hoành AB/ / DC
Theo giả thiết A B C D, , , bốn đỉnh hình chữ nhật có a0và b0
2
0
2 3
2
3
a b a b a b
AB CD
a b
b l a b AB AC
b a b
a b AB AD
b a b
b a
Với za ai , ta có:
2
2 1
4 5
2 2
z i a a a
Câu 11: Gọi z số phức thỏa mãn P z 1 i z 1 4i z 2 i đạt giá trị nhỏ Tính z
A B 1 C 2 D
2
Lời giải Chọn A
(166)Ta có
2 2
2
cos 120
2
AB AC BC
BAC BAC
AB AC
Do AB AC
AB AC
MB AB MC AC P MA MB MC MA
AB AC
2
MB AB MC AC AB AC AB AC
MA MA MA
AB AC AB AC AB AC
AB AC AB AC
MA MA AB AC MA MA AB AC AB AC
AB AC AB AC
Dấu xảy M Az 1 i z
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ
tìm 1
2
Q z z i Tính PMm
A 4 3 B 2 3 C 2 D 2
Lời giải
Chọn C
Vì z 1 zcosx i sinx
1
cos sin cos sin
2
Q x i x x i x i
2
2 2
cos sin cos sin
2
x x x x
2 cosx cosx sinx 2 ; 2 3
Do P2 2 32 2 2 Chọn đáp án C
Cách 2: Khi biết z 1, xét ba điểm ; , 1; , 1;
2
M a b A B
ta có QMA MB
, ,
M A B thuộc đường tròn O,1 suy MA MB max M điểm cung lớn AB MA MB min M điểm cung nhỏ AB
Câu 13: Cho số phức z thoả mãn
16 4
z z z i z i Gọi M m, giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ z 1 i Tính PMm
A P 26 10 B P 1 10 C P 2 26 D P 1 26
Lời giải
ChọnD
2
16 4
z z z i z i
2
16 4 4 4 4
(167)
4 4
z i z i z
4
z i z i z
Ta có: z4i z z4iz 4,
dấu " " xảy điểm biểu diễn 4i, 0, z thẳng hàng Vậy tập hợp số phức đoạn thẳng x0 thỏa 0y4 Ta có: z 1 i AX với A1;1, X điểm biểu diễn số phức z
Ta có: z 1 imax 26, z 1 imin 1
Câu 14: Cho số phức zthỏa mãn z m22m5 với m số thực Biết tập hợp điểm số phức w3 4 i z 2i đường trịn Tìm bán kính R nhỏ đường trịn
A R5 B R10 C R15 D R20
Lời giải Chọn D
2
2 4 20
w i i z w i i z i z m
2 20
w i
Vậy đường trịn có bán kính Rmin 20 với tâm I0; 2 Dấu " " xảy m 1
Câu 15: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãnz1z2 8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn
1
P z z
A P4 B P2 26 C P 5 D P32 2
Lời giải Chọn B
Gọi:
2
1
2 2
2
8 100
, , ,
4
a c b d i i a c b d z a bi
a b c d
z c di a c b d a c b d
2 2 2 2 2 2
104 52
a c b d a c b d a b c d
Mặc khác:
2 2 2 2 2
1 26
B C S
P a b c d a b c d
Cách 2:
Gọi A B, điểm biểu diễn số phức z z1, mặt phẳng phức D điểm thứ tư hình bình hành AOBDD điểm biểu diễn số phức z1z2OD z1z2 10
1
z z độ dài đoạn AB
OAB
có
2 2
2
2
2 2
2 cos
104
2 cos 100
AB OA OB OA OB AOB
OA OB OA OB OD OA OB OA OB AOB
OA OBmax 104 26 z1 z2 max 26
Câu 16: Cho số phức z1 thỏa mãn 1i z 1 5i 2 số phức z2 thỏa mãn z 1 2i z i Tính giá trị nhỏ z1z2
(168)Lời giải Chọn D
Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1, z2
trên mặt phẳng
Từ 1i z 1 5i 2 2
1
i i z
i
2
z i
M C có tâm I 2;3 , bán
kính R2
Gọi z2 x yi, x y,
z i z i
2
x y
N :xy 2 Ta có: z1z2 MN z1z2min MNmin
Ta có:
,
2
d I min , 2
2
MN d I R
Câu 17: Cho số phức z1 thỏa mãn 1i z 1 5i 2 số phức z2 thỏa mãn z 1 2i z i Tính giá trị nhỏ z1z2 3 i
A 5
2
B 5
2
C 7
2
D 7
2
Lời giải Chọn A
Ta có: z1z2 3 i z1 3 iz2 MN z3z2 max MNmax
Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z3, z2
trên mặt phẳng
Từ 1i z 1 5i 2 2
1
i i z
i
2
z i
3
3
z
z i i
M C
có tâm I1; 4, bán kính R2 Gọi z2 x yi, x y,
từ z 1 2i z i x y, N :xy 2
Ta có: ,
2
d I MNmin d I , R 2
2
(169)A 5 13
B 55 13 C 2 13 D 22 13
Lời giải Chọn C
Gọi zxyi x y; ; có điểm M x y ; biểu diễn z mặt phẳng tọa độ
Ta có: z 1 i z 3 2i
x 12 y 12 x 32 y 22 1
Đặt A 1;1 , B3; 2thì từ (1) ta có: AM BM 2 Mặt khác AB2;1 AB 3
Nên từ 2 3 suy M thuộc đoạn thẳng AB
Nhận xét OAB góc tù (hoặc quan sát hình vẽ) ta có M zmax OB 13
min
m z OA Vậy M m 2 13.(Chứng minh max dựa vào tam giác
;
OAM OBM tù A M; )
Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 i z 2 3i 2 Gọi M m; giá trị lớn giá trị nhỏ mơđun z, tính M m
A 4 5 13
5
B 5 13 C 2 13 D 22 13
Lời giải Chọn A
Gọi zxyi x y; ; có điểm M x y ; biểu diễn z mặt phẳng tọa độ
Ta có: z 2 i z 2 3i 2
x 22 y 12 x 22 y 32 1
Đặt A2;1 , B 2;3 từ 1 có: AM BM 2 2 Mặt khác AB4; 2 AB2 3
nên từ 2 3 suy M thuộc đoạn thẳng AB Ta có OA 5, OB 13 AB x: 2y 4
Nhận xét OAB OBM góc nhọn (hoặc quan sát hình vẽ) ta có
max max , 13
M z OB OA min , 5
m z d O AB
Vậy 13 5 13
5
M m
Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức T z 1 z1
A maxT 2 B maxT 2 10 C maxT 3 D maxT 3 2
(170)Chọn A
Cách 1 Gọi zxyi, x y, M x y ;
Và A1; 0, B1; 0 Ta có z 1 xyi 1x2y2 1
M
thuộc đường tròn đường kính AB
2 2
4
MA MB AB
Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có
2 2
2
T MA MB MA MB 5.4 2
Vậy giá trị lớn biểu thức maxT 2
Cách 2 Đặt zxyi, x y, z 1 x12y2 z 1 x12y2
Mặt khác z 1 x2y2 1x2y2 1, T x12y2 2 x12y2
2 2 2
1 x y x y
2
10 x y 10.2
maxT 2
Câu 21: Phần gạch sọc hình vẽ bên hình biểu diễn tập số phức thỏa mãn điều kiện sau đây:
A. 6 z 8 B. 2 z 4 4i 4 C. 2 z 4 4i 4 D. 4 z 4 4i 16
Lời giải
Chọn C
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y,
Vì hình vẽ biểu diễn số phức z hình vành khăn nằm góc phần tư thứ hệ trục toan độ nên tâm hai đường đồng tâm có tọa dương loại A, B.
Quan sát hình vẽ ta thấy đường trịn lớn có đường kính bán kính R4 Vậy chọn đáp án C.
Câu 22: Xét số phức zxyi, với x y, thỏa mãn z 2 Tính Pxy
4
z z i đạt giá trị nhỏ
O
8
6 x
(171)A. P4 B. P2 C. P 2 D. P4 Lời giải
Chọn C.
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y, Ta có
2
z x2 y2 4 tập hợp điểm M đường tròn tâm O, bán kính R2
4
P z z i x4yi 2x1 y4i
2 2 2
4 *
x y x y
Gọi A4; 0, B 1; 4 P AM 2BM 1
Gọi H1; 0 OH OA 4OM2 tam giác OHM tam giác OMA đồng dạng
2
HM OM MA OA
AM 2HM 2
Từ 1 2 ta có P AM 2BM 2HMBM2BH Pmin 2BH B, H, M
thẳng hàng M nằm điểm B H
Khi M giao điểm đường thẳng BH y: 2x2 đường tròn x2y2 4
tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 2 2
4
y x x y
0
x y
x
y
Vì M nằm điểm B H nên chọn
2
x y
Khi P 2
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i Tìm giá trị lớn biểu thức
2
2
P z i z i
A 18 10 B 38 10 C 38 10 D 8 10 18
Lời giải Chọn C
O
B
A
M
x
2 1
H
2
y
4
2
O
B
A x y
1
2
1 2
H
1
M
2
(172)Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, x y, Ta có z 1 i x1 y1i 2x12y12 4
tập hợp điểmM đường tròn C1 tâm I1; 1 , bán kính R12 Xét biểu thức P z 2 i2 z 2 3i2
22 12 22 32
P x y x y
2
4
2
P x y y
tập hợp điểm M đường trịn C2 tâm J0; 2, bán kính 2
P
R , P10
Khi Pmax C1 C2 tiếp xúc
trongR2 IJR1R22 IJR12
2
5 10 38 10
2
P
P
Cách :
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y, Ta có z 1 i x1 y1i 2x12y12 4
tập hợp điểm M đường tròn C1 tâm I1; 1 , bán kính R1 2
Xét biểu thức P z 2 i2 z 2 3i2, với A2;1 B2;3 2
PMA MB
2 2
2
AB P MC
P2MC210, với C0; 2 trung điểm AB
O A
B y
x I
C
1
M
2
M x y
1
1
I J E
(173)Mặt khác IC 10
10
10
M C M C
Khi Pmax 2 10221038 10
Câu 24: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn 2z i 2iz , biết z1z2 1 Tính P z1z2
A
2
P B P C 2
P D P
Lời giải Chọn D
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z x yi, với x y,
Ta có 2z i 2iz 2z i z2i 2OMj OM2j , với j 0;1
2 2
4OM 4OM j j OM 4OM j 4j
OM2 1OM 1
tập hợp điểm M đường tròn C tâm O, bán kính R1
Mặt khác gọi N , P điểm biểu diễn z1, z2
N C P C
1
ON OP NP OP ON
2
1
ON OP NP z z
MNP
tam giác
1
3
2
2
z z OK
Cách 2:
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z x yi, với x y, Ta có 2z i 2iz 2z i z2i 2x2y1i xy2i
2 2
2
4x 2y x y
2
1
x y
tập hợp điểm M đường trịn C tâm O, bán kính R1
O x
y
K
(174)Mặt khác gọi A, B, C điểm biểu diễn z1, z2 z2 A, B, C nằm đường tròn C , BC đường kính
Mà z1z2 1 OA OB 1 BA 1 AB1
Khi đó: z1z2 OA CO CA z1z2 BC2AB2
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z22 z i Tính mơđun số phức wM mi
A w 2315 B w 1258 C w 3 137 D w 2 309
Lời giải Chọn B
Gọi K x y ; điểm biểu diễn số phức z x yi, với x y,
Ta có z 3 4i x3 y4i x32y42 5 tập hợp điểm K đường trịn C có tâm I3; 4, bán kính R Mặt khác P z22 z i 2Px22 y2x2y124x2y3
tập hợp điểm K đường thẳng : 4x2y 3 P0
Khi C có điểm chung d I , R
2
x y P
23 P 10
13P33 M 33 m13
Vậy w33 13 i w 1258
Câu 26: Trong mặt phẳng xOy, gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3 3i Tìm phần ảo z trường hợp góc xOM nhỏ
A 3
2 B C 0 D 2
Lời giải Chọn A
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z x yi, với x y,
O
A B
C
(175)Ta có z 3 3i x3y 3i 2
3 3
x y
tập hợp điểm M đường trịn tâm 3; 3, bán kính R
Gọi :AxBy tiếp tuyến C qua điểm O Ta có d I , R
2
3
3
A B
A B
2
3A B A B
2
3
A A AB
A B
Với A0 chọn B1 :y0 khơng thỏa mãn xOM 180
Với A 3B chọn B1 A : 3xy0 xOM 120 HOM 30 Khi M giao điểm đường thẳng d qua tâm I đường tròn đường thẳng
:
d x y
; tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình
3
x y x y
2 3
2
x
y
3 3 ;
2
M
Vậy phần ảo z 3
Câu 27: Gọi M, n giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
2
2
P z i z i , biết số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 1 i Tính
2
M n
A 216 B 162 C 186 D 240
Lời giải Chọn A
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y, Ta có
1
z i i i1z1 i z 1 z 1 z 1
x 1 yi
x12y2 1
O M
x y
I
(176) tập hợp điểm M đường trịn C có tâm I1; 0, bán kính R1
Mặt khác P z 2 i2 z 1 4i2 P x2 y1i2x1 y4i2
2 2 2 2
2 1
P x y x y
6 12
P x y
6x6y12P0 *
tập hợp điểm thỏa phương trình * đường thẳng
Khi để cắt C d I , R 6 12
6
I I
x y P
6P 6
6 P 6
M 6 2; n 6
Vậy M2n2 216
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i z 2 i Tính giá trị lớn biểu thức 4
P z i
A. maxP4 B. maxP7 C. maxP5 D. maxP6
Lời giải
Chọn A
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y,
Ta có z 2 3i z 2 i AM BM 4 5, với F1 2; 1; F22; 3
tập hợp điểm M elip E với hai tiêu điểm F1 2; 1; F22; 3 , tâm H0; 2 2a4 a2 5;
Mặt khác P z 4 4i IM , với I4; 4
IF1 6;3
, IF2 2;1IF13IF2 I F F, 1, 2 thẳng hàng, F2 nằm I F1
I nằm E max
IM IF a
, F0; 2 trung điểm F F1 2
max 5
IM
Câu 29: Xét số phức za bi , a b, thỏa mãn z 4 3i A z 1 3i z 1 i đạt giá trị nhỏ Tính Pa b
A. P2 B. P4 C. P8 D. P6
Lời giải
Chọn B.
(177)Ta có z 4 3i a4 b3i a42b32 5 tập hợp điểm M đường trịn C có tâm I4;3, bán kính R Xét A z 1 3i z 1 i ; đặt A1;3, B1; 1 A AMBM
Gọi trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm H0;1 AB
:
a2b20
Khi để A z 1 3i z 1 i đạt giá trị nhỏ M giao điểm C
Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình
2
4
2
a b
a b
2
b b
Với b2a2 z 2 2i A 17 10
Với b4a6 z 6 4i A 65 50
Vì Amin nên chọn z 2 2i Khi P4
Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn 2z 1 3i Tìm giá trị lớn biểu thức
1
T z z i
Lời giải
Gọi M x y ; , với x y, điểm biểu diễn số phức zxyi
Ta có 2z 1 3i
2 2
x y i
2
1
2 2
x y
tập hợp điểm M đường tròn tâm 3;
2
I
, bán kính
2
R
Xét T z 1 3z 1 2i T x1yi 3x1 y2i
2 2 2
1
T x y x y
T AM 3BM , với A1; 0, B1; 2
Bài toán quy tìm tọa độ điểm M C cho AM 3BM đạt giá trị lớn
O x
y
I A
B
max M
min M
4
3
(178)1 ; 2
BI
, 3;
2
AI
B
, I, A thẳng hàng AI 3BI
Khi theo định lý Stewart, ta có IB MA 2IA MB AB MI IB IA , với AB2 2,
2
MI ,
IB ,
IA 2
2MA MB
.MA23MB2 8
Do MA3MBMA 3 3MB 1 3 MA23MB2 MA3MB4 Vậy Tmin 4
Câu 31: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2 8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P z1 z2
A. P 5 B. P2 26 C. P4 D. P34 2
Lời giải
Chọn B.
Gọi M , N điểm biểu số phức z1 z2
Ta có z1z2 8 6i z1z2 6 i 10OP
MN MN ON OM MN z1z2 2 Áp dụng công thức trung tuyến ta có
2 2
2
2
OM ON MN OI
2 2
1 2
2
2
z z z z
OI
2
1
2
1
4
z z OP
z12 z22 52
Khi P z1 z2 2 2
1 1
P z z z z
P2 26
Vậy Pmin 2 26
Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn z3 8 Khi tất giá trị P z2 tạo thành miền đây?
A. 2;13 B. 0;13 C. 2;13 D. 13; 2
Lời giải
O x
y
A
1
B
M I
(179)Chọn B
Gọi zxyi, với x y,
Ta có z3 8 x3yi 8x32y2 64 1
Đặt w z w
w
x x y y
2 w
w
x x y y
Từ 1 2 ta có 2
5 64
w w
x y
tập hợp điểm M biểu diễn số phức w z 2là hình trịn C tâm I3; 0, bán kính
R
Do O C nên
max 13
w
w OI R
Câu 13. Xét số phức za bi , a b, thỏa mãn z 4 3i Tính Pa b
1
z i z i đạt giá trị lớn
A. P10 B. P4 C. P6 D. P8
Lời giải Chọn A.
Gọi M a b ; điểm biểu diễn số phức za bi , a b,
Ta có z 4 3i a4 b3i a42b32 5 tập hợp điểm M đường trịn C tâm I4;3, bán kính R Xét A z 1 3i z 1 i ; đặt A1;3, B1; 1 A AMBM
Gọi trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm K0;1 AB
:
a2b20
Khi để A z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn M giao điểm C
Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình
2
4
2
a b
a b
2
b b
O x
1
1
y
I
K A
B E
(180)Với b2a2 z 2 2i A 17 10
Với b4a6 z 6 4i A 65 50
Vì Amax nên chọn z 6 4i Khi P10
Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn z i z 1 3i 3z 1 i Tìm giá trị lớn M biểu thức
P z i ?
A. 10
3
M B. M 1 13 C. M 4 D. M 9
Lời giải Chọn C.
Đặt zw 2 3i 5z i z 1 3i 3 z 1 i 5w 2 4i w 3 6i 3w 1 2i
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức w, A2; 4, B3; 6, C1; 2 Ta có:
AB 1; 2, AC 1; 2 AB A, B, C nằm đường thẳng : 2xy0
5w 2 4i w 3 6i 3w 1 2i 5MAMB3MC
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: M M x ; 2 x
Ta có 5MAMB3MC M D4;8 Khi w 4 8i P w 4
Trường hợp 2: M
Ta có: 5MAMB3MC 25MA2 MB3MC2 1 9 MB2MC2
Mà A trung điểm BC nên
2 2
2
4
MB MC BC
MA MB2MC2 MA2 AB2
O C A B
D y
x
1
2
3
4
1
(181)Khi 25MA2 20MA2AB2 25MA2 20MA25 MA2 20
Lại có
2 2
2
4
MD MO OD
MA 2 2
2
OM MA OD MD
2
2.20 80
2
OM
OM 4
Vậy M 4
Cách 2:
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y, Ta có
5 z i z 1 3i 3 z 1 i 5MI MA3MB, với I0;1, A1;3, B1; 1 , C2; 3
I trung điểm AB
2 2
2
4
MA MB AB
MI
MA2MB2 2MI22AI2
2
2 2
25MI MA3MB 10 MA MB 25MI220MI2 AI2
2 20
MI
MI 2 M thuộc hình trịn tâm I0;1, bán kính R2
Lại có IC2 C nằm đường trịn tâm I , bán kính R2
Khi P z 2 3i MC lớn M D, với D2;5 điểm đối xứng C qua I Hay z 2 5i P 4 8i
Vậy Pmax 4
Câu 33: Cho hai số phức z w biết chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 1 1
i z i
wiz Tìm giá trị lớn M zw
A. M 3 B. M 3 C. M 3 D. M 2
Lời giải Chọn C
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y,
O x
y
I A
C M
B
1
1
3
2
1
(182)Ta có 1 1
i z i
iz2 1 z2i 1
2
2
x y
tập hợp điểm biểu diễn điểm M đường tròn tâm I0; 2, bán kính R1
Khi M zw z1i M z 3 Vậy Mmax 3
Câu 34: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3, z2 4, z1z2 37 Gọi M , m phần
thực phần ảo số phức
2
z w
z
Tính PM2m2
A
32
P B 32
P C
P D 64
P
Lời giải Chọn A
Gọi M a b ; , N c d ; điểm biểu diễn số phức z1 a bi z2 c di,a b c d, , , Gọi N d ;c ONON; ON ON 0ON ON
Ta có
2
z a bi z
z c di
a bi c di z
c di c di
16
ac bd bc ad i z
16 16
ac bd bc ad z i
16 16
OM ON OM ON
z i
z2z1 ONOM
37
MN
2 2
cos
2
OM ON MN MON
OM ON
cos 16 37
2.3.4
MON
MON120 Với MON120, ta có:
OM ON OM ON .cosMON 6
O x
1
A I B y
(183)
30 120
150
MON MON
MON
Với MON 30, có OM ON OM ON .cosMON6
Khi 3
8
z i
Với MON 150, có OM ON OM ON .cosMON 6
Khi 3
8
z i
Vậy 3
8
i
z 2 32
PM m
Cách 2 Chuẩn hóa cho thỏa mãn đề z1 3, z2 4, z1z2 37 Ta
2
1 2 2
2
1
16
3;
2
3 37
3 3
8 32
2
a b a
z z a bi
b
a b
z
i M m
z i
Câu 35: Gọi z số phức cho P z 1 i z 1 4i z 2 i đạt giá trị nhỏ Tính z
A. B.1 C. D.
2
Lời giải Chọn A.
Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức zxyi, với x y,
Ta có: P z 1 i z 1 4i z 2 i , với A1; 4, B 1;1 , C2; 1
PMA MB MC ; BA0;3, BC1; 2
Vì BA BC khơng phương nên ba điểm A, B, C lập thành tam giác có
cos
BA BC B
BA BC
153 120
B
Khi để Pmin M B (vì M điểm Toricenli) z 1 i
Vậy z
O M
N N
150
120
O M
N N
(184)C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Câu 36. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 1 i Hỏi giá trị nhỏ biểu thức
7 8
P z i i z i là?
A. B. 5 C. D.
Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn z i 2 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z2 z 2 2i Tính PM m
A. P 2 17 B. P 2 17 C. P 2 17 D. P 2 17
Câu 40. Cho số phức z thỏa mãn z24 z Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính PM m
A. 17
2
P B. P 17 C. 17
P D. 17
2
P
Câu 41. Cho số phức za bi , a0,b0 thỏa mãn a b 2 0; a4b120 Hỏi giá trị lớn z bao nhiêu?
A. B. C. D.
Câu 42. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1z2 3 4i z1z2 5 Hỏi giá trị lớn biểu thức z1 z2 bao nhiêu?
A. B. C. 12 D.
Câu 43. Cho số phức z Kí hiệu A, B, C, D điểm biểu diễn số phức z, z , 4
z i z4 3 i Biết A, B, C, D bốn đỉnh hình chữ nhật Hỏi giá trị nhỏ biểu thức z4i5 bao nhiêu?
A.
34 B.
2
5 C.
1
2 D.
4 13 Câu 44. Cho số phức
1
i m z
m m i
, m số thực Gọi S tập hợp tất giá trị thực
của tham số m cho
2
z i Hỏi S có tất phần tử nguyên?
A. B. C. D.
Câu 45. Cho số phức z khác Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba điểm biểu số phức z,
iz z iz
A. z2 B.
2 z C.
2
2 z D.
(185)Câu 46. Xét số phức z thỏa mãn z 2 3i z 6 i 17 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z 1 2i z 2 i
A. M 3 2, m0 B. M 3 2, m
C. M 3 2, m5 22 D. M 2, m5 22
Câu 47. Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i z 1 3i 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P z i
A.
9 34
P B. Pmin 3 C. Pmin 13 D. Pmin 4
Câu 48. Cho số phức z thỏa mãn z2 z2 6 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ
P z i
Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn z z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z3 z 72 1
z z
A.
2 B.
11
4 C. D.
Câu 50. Cho z1, z2 hai số phức liên hợp thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
2
z z
số thực z12 z22 4 Đặt T z12z22 Khẳng định sau ?
A.
2T B.
3
2
T
C.
1 19
2 z D.
9
2
T
(186)PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI BÀI TOÁN MAX – MIN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Lưu ý:
2. Bất đẳng thức tam giác
z1z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra khi z1 kz2 với k0 . z1z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra khi z1 kz2 với k0. z1z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra khi z1 kz2 với k0. z1z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra khi z1 kz2 với k0. 3. Bất đẳng thức AM-GM
Với a a1, 2, ,an khơng âm ta ln có 1 2 n 1 2
n n
a a a n a a a ,n là số tự nhiên lớn hơn 1.Dấu bằng xảy ra khi a1a2 an
4. Bất đẳng thức Bunyakovsky
2 2 2 2 2 n n 1 2 n n a a a b b b a b a b a b
Dấu bằng xảy ra khi
1
n
n
a
a a
b b b
B. BÀI TẬP
Kĩthuật 1:Đánh giá hai modun với
Kĩ thuật này chúng ta tận dụng các phép đánh giá ab a b
ab a b
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn
1
z i Giá trị lớn nhất của z là
A 5. B. 2. C. 2 D.
Phân tích
Nhận thấy bên trong mơ đun chỉ có 1 vị trí chứa zbởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai modun z2i , z với nhau.
Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các mô đun với nhau
ab a b và ab a b
Lời giải
Ta có: z2 i z2 i z21. Do đó z2 1 1 z2 2 0 z 2. Với z 1 i, ta có
1
z i i và z 2.
Do đó z max zmax 2. Vậy chọn đáp án D
Chuyên
(187)
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w 2
2
z z
là số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 i
A. 2 B. C. 2. D. 8.
Phân tích
Đề bài cho w 2
2
z z
là số thực nên ta tìm cách biểu diễn số phức z theo số thực đó. Sau đó ta nhận thấy z là ẩn của phương trình bậc hai. Từ đó ta sẽ tìm được z.
Nhận thấy bên trong mơ đun chỉ có 1 vị trí chứa zbởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai modun z 1 i , z với nhau.
Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau
ab a b và ab a b
Lời giải
Ta có 2
2
1
w w 2 *
2 w
z
z z z z
z
(*) là phương trình bậc hai với hệ số thực
w. Vì z thỏa * nên z là nghiệm phương trình * Gọi z z1, 2 là hai nghiệm của (*).
Suy ra z z1 2 2 z z1 2 2 z z1 2 2 z 2.
Suy raP z 1 i z 1 i 2 22 2. Dấu bằng xảy ra khi z 1 i.
Vậy chọn đáp án A
Câu 3. Cho số phức z thỏa z 2. Tìm tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z i z
A.
4 B.1. C. 2. D.
2 Phân tích
Nhận thấy z i
z
có thể viết lại thành 1 i
z
tức là bên trong cũng chỉ
có một vị trí chứa z . Nên ta tìm cách đánh giá z i
z
với z
Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau
ab a b và ab a b
Lời giải Chọn A
Ta có 1
| |
i P
z z
Mặt khác: 1 1
| |
i
z z
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là1
2, xảy ra khi z 2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng
2 xảy ra khi
z i
(188)A 3
2 z B. z 2 C.
1
2 z 2 D.
z
Lời giải
Cách
Sử dụng bất đẳng thức modun, ta có
2 22 z 1 3z i 2 z 1 z i 2 z 1 z i 2 2 Do đó dấu bằng phải xảy ra, tức là
0
1
1
z i
z i z z z i
Chọn đáp án C
Cách
Gọi zxyi,x y; được biểu diễn bởi điểm M x y ; .
Suy ra 2 2 2
2z 1 3z i x1 y 3 x y1 2MA3MB với A1;0 , B0;1. Khi đó, điều kiện bài tốn trở thành 2MA3MB2 22AB(1).
Mặt khác, ta ln có: 2MA3MB2MAMBMB2ABMB (2). Từ (1) và (2), suy ra:
2ABMB2MA3MB2AB2ABMB2ABMB0
0 0;1 ;
2
MB M B Z
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ nhất Mmin của biểu thức M z2 z z31.
A. Mmax 5; Mmin 1. B. Mmax 5; Mmin 2.
C. Mmax 4; Mmin 1. D. Mmax 4; Mmin 2. Phân tích
Ta tìm cách đánh giá
1
z z z với z
Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau
ab a b và ab a b
Lời giải Chọn A
Ta có: M z2 z 1 z3 1 5, khi z 1 M 5 Mmax 5. Mặt khác:
3 3 3
3
1 1 1
1 1,
1 2
z z z z z
M z
z
khi z 1 M 1 Mmin 1.
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z z
Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là
A. 3. B. 5. C. 13. D. 5.
Phân tích
Ta tìm cách đánh giá z
z
(189)
Trước hết ta có bài tốn tổng qt: Choa b c, , là các số thực dương và số phức z0
thỏa mãn az b c
z
Chứng minh rằng
2
4
2
c c ab c c ab z
a a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z là số thuần ảo.
Dựa vào dấu đẳng thức xảy ra ta chỉ cần tiến hành giải phương trình az b c
z
rồi lấy
trị tuyệt đối mỗi nghiệm. Khi đó số dương nhỏ làmin z số dương lớn là max z Lời giải
Ta có 1 3 13 13
2
z z z z z
z z
Do đó min 13; max 13
2
z z
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z là 13.
Kĩthuật2:Dùngcác bất đẳng thức đại số
Kĩ thuật này chúng ta tận dụng các phép đánh giá
Với a a1, 2, an khơng âm ta ln có 1 2 n 1 2
n n
a a a n a a a Dấu bằng xảy ra khi a1 a2 an .
2 2 2 2 2 n n 1 2 n n a a a b b b a b a b a b
Dấu bằng xảy ra khi
1
n
n
a
a a
b b b
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2. Tìm giá trị lớn nhất của T z i z 2 i
A. maxT 8 2. B. maxT 4. C. maxT 4 2. D. maxT 8. Phân tích
Ta tìm cách biểu diễn zi,z 2 i theo z1 . Khi đó T z i z 2 i biểu diễn
được dưới dạng và z1cũng biểu diễn được dưới dạng
Ta tìm cách đánh giá và
Lời giải Chọn B
2 1 1
T z i z i z i z i
Đặt w z 1. Ta có w 1 và T w1i w1i
Đặt wxy i . Khi đó 2
2
w x y
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1 1
1 1 1 2 4
T x y i x y i x y x y
x y x y x y
Vậy maxT 4.
(190)A 4 7. B. 4 7. C. D. 4 5. Phân tích
Đề bài u cầu tính M m do vậy ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Đề bài cho z3 z3 8có 2 mơđun mà mơđun có thể biểu diễn qua căn. Tức là đề
bài cho biết tổng hai căn. Do vậy ta sẽ đánh giá tổng hai căn với căn thứ ba. Cơng cụ để đánh tổng hai căn với căn thứ ba có thể dùng Bunhiacopxki.
Lời giải
Chọn B
Gọi z x yi với x y; .
Ta có 8 z3 z3 z 3 z 2z z 4. Do đó M max z 4khi z 4 .
Mà z3 z3 8 x 3 yi x 3 yi 8 x32y2 x32y2 8. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
2 2 2 2 2
8 1. x3 y 1 x3 y 1 x3 y x3 y
2 2
8 2x 2y 18 2x 2y 18 64
2 2
7 7
x y x y z
Do đó M min z 7.
Vậy Mm 4 7.
Câu 9. Tìm số phức zsao cho z3 4 i 5 và biểu thức P z22 zi2 đạt giá trị lớn nhất.
A. z 2 i. B. z 5 5i. C. z 2 2i. D. z 4 3i. Lời giải
Chọn B
Cách
Đặt zxyi x y , .
Khi đó z3 4 i 5x32y42 5.
Ta có 2 2 2
2 23 4
P x y x y x y P x y
Suy ra 2 2 2
23 4 4 20.5 10
P x y x y Suy ra 13P33.
Do đó: Pmax 33 khi và chi khi
3
5
4
5
4 10
x y
x y
x y
.
Vậy z 5 5i.
Cách
Đặt zxyi x y , .
(191)
Đặt sin sin
4 cos cos
x t x t
y t y t
.
2
2 4 sin cos
P z zi x y t t
4 sint cost P 23
Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác
4 5 2 2 52 P 232 P2 46P 429 0 13 P 33
Vậy GTLN của P là 33 z 5 5i.
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z 1 và số phức
z i w
iz
Khi đó, kết luận nào sau đây đúng?
A. w 2. B. w 1. C. w 2. D. 1 w 2.
Lời giải Chọn B
Đặt zabi a b , a2b2 1 do z 1.
2
z i w
iz
2
2
2
2
2 2
a b i
a b i a b
b ai b ai b a
Ta chứng minh
2
2
4
1
a b b a
Thật vậy ta có: 4a22b122b2a2 a2b2 1. Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi 2
1
a b
Câu 11. Cho ba số phức z1,z2,z3 thỏa mãn z1z2z3 0và 1 2 3 2
z z z Giá trị lớn nhất của
biểu thức của P z1z2 2 z2z3 2 z3z1 bằng bao nhiêu?
A. max
3
P B. max
2
P C. max
5
P D. max 10
3
P
Phân tích Với phép biến đổi
2 2 2
1 2 3 1 3
z z z z z z z z z z z z z z z giúp ta
đánh giá z1z2 z2z3 z3z1 và z1 z2 z2 . Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức biến đổi z1z2 2 z2z32 z3z12 z12 z2 2 z32 1
2 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
3
2 2
2
P z z z z z z z z z z z z
Suy ra max
2
(192)Câu 12. Với hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 8 6ivà z1z2 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P z z
A. P 5 5. B. P2 26. C. P4 6. D. P34 2
Lời giải Chọn B
Cách 1: Gọi z1 a1b i1 và z2 a2b i2 với a b a b1, ,1 2, 2.
Khi đó
1 2
1
1
1 2 2
1 2
8
6
2
4
a a
a a b b i i
z z i
b b
z z a a b b i
a a b b
2 2 2 2 2 2
1 2 2 104 2 52
a a b b a a b b a a b b
*
Ta có
* 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2.52 26 Bunh
P z z a b a b a a b b max 26
P
đáp án B
Cách 2: Áp dụng cơng thức biến đổi z z z2và z1z2 z1z2 ta có:
2
1 2 2 2 2 2
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
1 2 12 2
2 z z z z z z
Vậy z1z22 z1z22 2 z12 z22.
Suy ra
2 2 2 2
2 1 2 1 2
8
52
2
z z z z
z z * 2 2 2 *
1 2 2.52 26 max 26 Bunh
P z z z z P đáp án B.
Câu 13. Xét các số phức z a bi a b, thỏa mãn z 4 3i 5. Tính P a b khi
1
z i z i đạt giá trị lớn nhất
A. P10. B. P4. C. P6. D. P8
Lời giải Chọn A
Cách 1:
Ta có: z 4 3i a42b32 5 2
8 20
a b a b
Đặt A z 1 3i z 1 i ta có:
12 32 12 12
A a b a b 2 2 2 2 2
1 1 1
A a b a b 2 2 a2b24b12
2 16a 8b 28
8 4 a2b7 1
Mặt khác ta có:
4a2b 7 a4 2 b3 15 2 2 2
4 a b 15 25
(193)
Từ 1 và 2 ta được: 200
A
Để Amax 10
4 25
4
4
a b a b
6 a b
Vậy P a b 10.
Cách 2:
Do z 4 3i 5a42b32 5
Suy ra M C có tâm I4;3 và bán kínhR 5 GọiA1;3, B1; 1 , I0;1
Suy ra PMA MB 2MA2MB2 Mặt khác ta có
2
2 2
2
2 AB MA MB MI
Suy ra PMax MIMax I là hình chiếu vng góc củaM trên AB M I I, , thẳng hàng. Vì ta thấyIAIBMAMB nên xảy ra dấu=.
Ta cóIMa4;a3 , II 4; 2 nên AB M I I, , thẳng hàng
2 a 4 b a 2b
.
Tọa độ M là nghiệm của hệ
42 32 2;
6;
2
a b
a b
a b a b
Mặt khác
2; 2 10
6; 10
M P MA MB M P MA MB
VậyđểPMax thìM6; 4 Suy ra ab10.
Cách
Ta có z 4 3i 5a42b32 5 Đặt
5 sin
5 cos
a b
Khi đó M z 1 3i z 1 i a12b32 a12b12
10 sin 30 sin cos 30
Áp dụng BĐT Bunhiacopski
2 16 sin cos 60
M sin cos60 10
(194)Nên Mmax 10 2 khi
2 sin
5 cos
5
5 sin
5 cos
a b
.
Vậy P a b 10.
Kĩthuật3:Dồnbiến
Kĩ thuật này chúng ta đi theo hướng
Với số phức ở dạng đại số từ đề bài ta đi tìm mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo. Nếu làm được điều này ta sẽ dồn về 1 biến.
Từ đề bài chúng ta đánh giá về một mơđun có thể là z
Câu 14. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z3i z 2 i. Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất?
A. z 1 2i. B.
5
z i. C.
5
z i. D. z 1 2i.
Phân tích
Đề bài cho z3i z 2 i nên ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z. Bởi vậy z sẽ dồn được một biến.
Lời giải Chọn C
Giả sử zxyi x y , .
2 2 2
3 3
z i z i x y i x y i x y x y
6y 4x 2y 4x 8y x 2y x 2y
2
2 2 2
2 5
5 5
z x y y y y y y
Suy ra
5
z khi
5
y x Vậy
5
z i
Câu 15. Cho z thỏa mãn z 2 4i z2i Tìm GTLN của w với w i z
A. w 2 2. B. 10
8
w C. 10
4
w D. w 10.
Lời giải Chọn C
Đặt z x yi x y , . Khi đó
2
z i z i x yi 2 4i x yi 2i 2 2 2
2
x y x y
4x 4y 16
xy40 y4x.
Ta có
2 i
w z
w i
z
2 2
2 5
4 i
z x y x x
5
2x 8x 16
2
5
2 x
(195)
Ta có 2x22 8 8 nên
2
5
2
2 16
w
x x
. Vậy max 10
4
w
Câu 16. Cho các số phức z1 1 3i, z2 5 3i. Tìm điểm M x y ; biểu diễn số phức z3, biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x2y 1 0 và mô đun số phức
3
3
w z z z đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 3;
5
M
. B.
3
;
5
M
. C.
3 ; 5 M
. D.
3 ; 5 M
.
Lời giải Chọn D
Ta có điểm M x y ; d x: 2y 1 0 nên M 2y1;y z3 2y 1 yi Do đó w3z3z22z1 3 2 y 1 yi 5 3i2 3 i6y3y3i
Suy ra
2
2 2 4
6 3 5 ,
5 5
w y y y y y y
Vậy min
5
w , dấu bằng xảy ra khi 1;
5 5
y M
.
Câu 17. Cho z thỏa mãn z 2 4i z2i Tìm GTLN của w với w i z
A. w 2 2. B. 10
8
w C. 10
4
w D. w 10.
Lời giải Chọn C
Đặt z x yi x y , . Khi đó
2
z i z i x yi 2 4i x yi 2i 2 2 2
2
x y x y
4x 4y 16
xy40 y4x.
Ta có
2 i
w z
w i
z
2 2
2 5
4 i
z x y x x
5
2x 8x 16
2
5
2 x
.
Ta có 2x22 8 8 nên
2
5
2
2 16
w
x x
. Vậy max 10
4
w
Câu 18. Cho số phức z thoả mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 z1
A. Pmax 2 5. B. Pmax 2 10. C. Pmax 3 5. D. Pmax 3 2.
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
(196)Ta có 2
1
z x y Suy ra x 1;1
Ta có P z 1 z 1 x12y2 2 x12y2 2x22 2x2. Xét hàm f x 2x22 2x2 trên đoạn 1;1, ta được
Ta có
2 2
f x
x x
,
3
5 f x x Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta suy ra:
1;1
3
max
5 f x f
và min1;1 f x f 1 2
Cách 2: Bunhiacopxki
Theo BĐT Bunhiacopxki:
2 2
1 (1 ) 1 10
P z z z z z
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 3 1z.
A. 15 B. C. 20 D. 10
Lời giải Chọn D
Gọi z x yi; x;y. Ta có: z 1 x2y2 1 y2 1 x2 x 1;1
Ta có: 2 2
1 1 3
P z z x y x y x x
Xét hàm số f x 1 x3 1 x; x 1;1 Hàm số liên tục trên 1;1 và với 1;1
x ta có:
1
0 1;1
5
2
f x x
x x
Ta có: 1 2; 1 6; 10 max 10
5
f f f P
Câu 20. Xét số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2. Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i Tính Pm M
A. P 13 73. B. 2 73
2
P C. P5 22 73. D. 73
2 P Lời giải
Chọn B
Gọi M x y ; là điểm biểu diễn của z. Các điểm A2;1, B4, 7, C1; 1 .
Ta có z 2 i z 4 7i 6 MA MB 6 2, mà AB6 2 MA MB AB. Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.
(197)
Ta có 2 2 2 2 2
1 1 1 17
z i MC z i MC x y x x x x
Đặt
2 17
f x x x , x 2; 4.
f x x ,
2
f x x ( nhận )
Ta có f 213, 25
2
f
, f 4 73.
Vậy f x max f 4 73,
3 25
2
f x f
73 M
,
2
m 2 73
P
Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z2i 1 z2i 1 6. Tính tổng T max z min z ?
A. 5 2
T B T 0. C. T 6. D.
2
T
Lời giải Chọn A
Đặt z a bi a b; , .
Ta có: z2i 1 z2i 1 6
a bi 2 i 1 a bi 2 i 1 6
a2 1b a2 2 b1 6
2
2 45
5 9
5 b
a b a 1 5b 1 5
Khi đó
2
2 45
5 b
z a b b . Khảo sát hàm số, ta có
2 5;1
45
min 5
5
b
b y ;
2 5;1
45 9 3 5
max
5
b
b y
Vậy 5 2 T
Câu 22. Cho số phức z thoả mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z2 z 1. Tính giá trị của M.n
A 13
4 B
39
4 C 3 D
(198)Lời giải Chọn A
Cách 1:
Đặt za bi , a b, . Đặt t z1 Ta có :0 z 1 z 1 z 1 0 t 2.
2
2
2 1 1 1 1 1 2 2 2
2 t
t z z z z z z z z a aa
2 2
1 3
z z z z z z z z z z a t P t t với t0; 2
2
2
3,
3
3,
t t t
P t t
t t t
Bảng biến thiên:
0;2 0;2
13 13
;
4
MaxP MinP M m
Cách 2:
(cos s inx)
zr x i a bi Do z 1
2
2
1 z z z
r a b
2 cos cos
P x x , dặt tcosx 1;1 f t( ) 2 t 2t1
TH1: 1;1
2
t
max ( ) (1)
1
'( )
min ( )
2
2
f t f
f t
f t f
t
TH2: 1;1
2
t
1 7 13
'( ) max ( )
8
2
f t t f t f
t
13
( ) Maxf t
; ( ) 13
4
Minf t M n
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P với
1
P z z ?
A 2 2. B 1 2 C 1 2. D 2 2.
Lời giải Ta có
2
2
1 ( 1) 2
z
P z z z z x x y x x
z
vì x2y2 1.
(199)
+ Với x0 ta có f x( )2x 2 x ta có '( ) 2 2
2 2
x f x
x x
1
'( ) 2
4
f x x x nên ta có maxPP(1)0; minPP(0) 2.
+ Với 1 x 0 ta được f x( ) 2x 2 x
'( )
2 f x
x
trên tập điều kiện. Hàm số nghịch biến trên 1; 0. Từ đó ta được maxPP( 1) 2; minPP(0) 2.
+ Từ trên ta được
1;1 1;1
maxP P( 1) 2; minP P(0)
Vậy kết.
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn z z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P z33zz zz
A. 15
4 B.
3
4 C.
13
4 D.
Lời giải Chọn B
Gọi z a bi, với a b,
Ta có: zz 2a; z z 1 z2 1 z 1
Khi đó P z3 3z z z z z z2 z z z
z
2
2 2
2
z
P z z z z z zz z z z
z
2
2 2 2 3
1 4 2
2 4
P zz zz a a a a a
Vậy min
4
P
Kĩ thuật 4: Lượng giác hóa
Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2. Tìm mơđun lớn nhất của số phức z
A. B. 11 5 C. 5 D. 5
Lời giải Chọn A
Gọi z x yi; x;y. Ta có: z 1 2i 2x12y22 4. Đặt x 1 sin ;t y 2 cos ; t t0; 2.
Lúc đó:
z2 1 2sin t2 2 cost2 9 4sint8 cost 9 428 sin2 t ;
2
9 sin ;
z t z
max
z
đạt được khi 5 10
5
z i
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn 1i z 6 2i 10. Tìm mơđun lớn nhất của số phức z
(200)Lời giải Chọn B
Gọi z x yi; x;y. Ta có:
1 10 1 10 22 42
1
i
i z i i z z i x y
i
Đặt x 2 sin ;t y 4 cos ; t t0; 2. Lúc đó:
2
2
2
2 sin cos 25 sin cos
25 sin ;
z t t t t
t
2
25 20sin 5;3
z t z
max
z
đạt được khi z 3 i
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Tìm mơđun lớn nhất của số phức z2 i
A. 26 17 B. 26 17 C. 26 17 D. 26 17
Lời giải Chọn A
Gọi z x yi; x;y z 2i x y2i. Ta có:
2 2
1 9
z i x y Đặt x 1 3sin ; t y 2 3cos ; t t0; 2.
2 2
2
2 3sin 3cos 26 sin cos 26 17 sin ;
z i t t t t t
max
26 17 z 2i 26 17 z 2i 26 17
Câu 28. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
tìm 1
2
Q z z i Tính PMm
A. 3 B. 2 3 C. D. 2 6.
Lời giải Chọn C
Vì z 1 z cosx i sinx và cos sin cos sin
2
Q x i x x i x i
2
2 2
cos sin cos sin
2
x x x x
2 cosx cosx sinx 2 ; 2 3
.