Trờng thcs minh nghĩa A Phần mở đầu lý chọn đề tài Trong chơng trình sách giáo khoa Toán lớp THCS, học sinh đợc làm quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm phơng trình bậc hai, đặc biệt định lý Viét ứng dụng việc giải toán Song qua việc giảng dạy Toán trờng T.H.C.S nhận thấy em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại toán, hệ thức Viét có tính ứng dụng rộng rÃi việc giải toán Đứng trớc vấn đề đó, sâu vào nghiên cứu đề tài: áp dụng định lý Viét việc giải toán số toán với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học toán kích thích hứng thú häc tËp cđa häc sinh ®èi tợng phạm vi nghiên cứu Trong đề tài này, đa nghiên cứu số ứng dụng định lý Viét việc giải số toán thờng gặp cấp T.H.C.S Do đề cập đến số loại toán là: a) ứng dụng định lý Viét giải toán tìm điều kiện tham số để toán thoả mÃn yêu cầu đặt b) ứng dụng định lý giải toán lập phơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phơng trình bậc hai ẩn c) ứng dụng định lý Viét giải toán chứng minh d) áp dụng định lý Viét giải phơng trình hệ phơng trình e) Định lý Viét với toán cực trị 3.t×nh h×nh thùc tÕ cđa häc sinh líp trêng thcs minh nghÜa: §a sè häc sinh khèi em gia đình nông nên thời gian học lớp nhiều học sinh lao động gia đình em giành nhiều thời gian cho việc giúp gia đình làm kinh tế nên giành thời gian cho việc học Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -1- Trờng thcs minh nghĩa Mặt khác số học sinh coi nhĐ, xem thêng viƯc häc, lêi häc dÉn ®Õn viƯc hổng kiến thức lớp dới không nắm vững kiến thức lớp Nhiều học sinh hạn chế khả sử dụng ngôn ngữ toán học , khả trình bày toán việc làm thân Để giúp học sinh nắm vững kiến thức phơng trình bậc hai việc dùng định lý viét, trình giảng dạy đà đa số toán việc sử dụng định lý viét dể giải dẫn đến kết nhanh B nội dung Định lý Viét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a  0) th×:   x1  x  b  a  x1 x   c   a * Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt) a) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a  0) cã a + b + c = phơng trình có nghiệm là: x1 = nghiệm là: x2 = c a b) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a  0) có a - b + c = phơng trình có nghiệm là: x1 = - nghiƯm lµ: x2 =  c u  v S a  * NÕu cã hai sè u v thoả mÃn u.v P điều kiện: u, v hai nghiệm phơng trình: x2 Sx + P = ®iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè u, v là: S2 4P Sau số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng định lý Viét giải số dạng toán Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -2- Trờng thcs minh nghĩa I ứng dụng định lý viét giải toán tìm điều kiện tham số để toán thoả mÃn yêu cầu đặt Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mÃn điều kiện x12 x22 Bài giải: Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biệt nghiÖm kÐp): m  ; ' ≥ ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + '   m  Víi  m  4, theo định lý Viét, nghiệm x1; x2 phơng trình cã liªn hƯ: x1 + x2 = 2(m  2) ; x1.x2 = m  m m 2Do ®ã: = x1  x2 = (x1 + x2) - 2x1x2 =2 4(m  2)2 2(m  3) 2- m m  m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m  m2 - 10m + 16 =  m = m = Giá trị m = không thoả mÃn điều kiện m VËy víi m = th× x12  x22 = Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để ph- ơng trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mÃn x1  x2 x1 x2 Bài giải: ' ( (m  2))2  (m2  2m  3)  (1)  Ta ph¶i cã: x1.x2 0 (2)    x1  x2 (3) x1 x2 (1)  ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + >  m < (2)  m2 + 2m -   (m - 1)(m + 3)   m  1; m  - (3)  x1  x2  x1  x2  (x1  x2 )(5  x1.x2 ) 0 x1.x2  Trêng hỵp: x1 + x2 =  x1 = - x2 m = không thoả mÃn điều kiện (1) Trờng hợp: - x1.x2 = x1.x2 = Giáo viên: Lê Ngọc ChiÕn -3- Trêng thcs minh nghÜa Cho ta: m2 + 2m - =  (m - 2)(m + 4) =  m 2 (lo¹i)   m  (tho¶ mÃn Đ K) Vậy với m = - phơng trình đà cho có nghiệm x1, x2 phân biệt tho¶ m·n  x1  x2 x1 x2 VÝ dô 3: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m lµ tham sè) a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mÃn x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vµo m Bài giải: x1 x2 m (2) 2(m 1) (1) x1.x2 m  (3) a) Ta ph¶i cã:  m x1  4x2 3 (4) m 0   '( (m 1)  m(m  4) 02 Từ (1) (3) tính đợc: x2 m  3m ; x1 5m  3m Thay vào (2) đợc 9m2 (m 2)(5m 8) m  m  2m2 - 17m + 8=0 Gi¶i phơng trình 2m2 - 17m + = đợc m = 8; m = thoả mÃn điều kiện (4) 12 Vậy với m = m = nghiệm phơng trình thoả mÃn x1 + 4x2 = b) Theo hÖ thøc ViÐt: x1 + x2 = + m x1 + x2 = - (*) m Thay = x1 + x2 - vào (*) đợc x1x2 = - 2(x1 + x2 - 2) m VËy x1.x2 = - 2(x1 + x2) Ví dụ 4: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiÖm chung: x2 + 2x + m = (1) x2 + mx + = (2) Giáo viên: Lª Ngäc ChiÕn -4- Trêng thcs minh nghÜa Bài giải: Gọi x0 nghiệm chung phơng trình ta có x02  2x0  m 0 x02  mx0  Trừ theo vế hai phơng trình ta ®ỵc (m - 2)x0 = m - NÕu m = hai phơng trình x2 + 2x + = v« nghiƯm NÕu m  x0 = từ m = - Víi m = - 3: (1) lµ x2 + 2x – = 0; cã nghiƯm x1 = vµ x2 = - Vµ (2) lµ x2 - 3x + = 0; cã nghiƯp x3 = vµ x4 = Râ rµng víi m = - hai phơng trình có nghiệm chung x = Bài tập: Bài 1: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài 2: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) T×m m để phơng trình có nghiệm b) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mÃn: x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 3: a) Với giá trị m hai phơng trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình (1) nghiệm phơng trình (2) ngợc lại II ứng dụng định lý viét toán lập phơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phơng trình bậc hai Èn sè Các ví dụ: Giáo viên: Lê Ngäc ChiÕn -5- Trêng thcs minh nghÜa VÝ dô 1: Cho x1 = 1 ; x2 = Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 Ta cã: x1 = 1 ; x2 = 1  =    31 3   Nªn x1.x2 = 1 = 1 x1 + x2 = 1 + = 1 VËy phơng trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 x2 - x+ = Hay 2x2 - x + = Ví dụ 2: Cho phơng trình: x2 + 5x - = (1) Không giải phơng trình (1), hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phơng trình (1) Cách giải: Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình đà cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gäi y1; y2 lµ nghiệm phơng trình phải lập, ta có: y1 + y2 = x14  x y1 y2 = x14 x24 Ta cã: x14  x24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – = 727 x14 x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = VËy ph¬ng trình cần lập là: y2 - 727y + = Ví dụ 3: Tìm hệ số p q phơng trình: x2 + px + q = cho hai  x1 x2 nghiệm x1; x2 phơng trình tho¶ m·n hƯ:  3 x1  x2 35 Các giải: §iỊu kiƯn  = p2 - 4q  (*) ta cã: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iỊu kiƯn: Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -6- Trêng thcs minh nghÜa  x1  x2 5 x1  x2 2 25 3   x1 x2 x12  x1  x 23 35   x1x2  x 35 x1  x2 2  4x1x2 25 p  4q 25     p  q 7 5x1  x2   2x1x2  x1x2  35 Giải hệ tìm đợc: p = 1; q = - vµ p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị thoả mÃn (*) 2) Bài tập: Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm + vµ 3 Bµi 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mÃn điều kiện: Có tÝch hai nghiƯm: x1.x2 = vµ x1 + x2 k2  = x1  x2  k Bài 3: Xác định có số m, n phơng trình: x2 + mx + n = Sao cho nghiệm phơng trình làm m n Iii ứng dụng định lý viét giải to¸n chøng minh C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Cho a, b lµ nghiƯm cđa phơng trình: x2 + px + = b, c nghiệm phơng trình x2 + qx + = Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - Híng dẫn học sinh giải Đây toán chứng minh đẳng thức thông thờng, mà đẳng thức thể liên quan nghiệm phơng trình hệ số phơng trình Vì đòi hỏi phải nắm vững định lý Viét vận dụng định lý Viét vào trình biến đổi vế đẳng thøc, ®Ĩ suy hai vÕ b»ng C¸ch giải: a,b nghiệm phơng trình: x2 + px + = b,c lµ nghiệm phơng trình: x2 + qx + = Theo định lý viét ta có: a  b - p b  c - q  vµ  a.b 1 b.c 2 Do ®ã: (b – a)(b – c) = b2 + ac - (1) Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -7- Trêng thcs minh nghÜa pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - (2) Tõ (1) vµ (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) Vídụ 2: Cho số a,b,c thoả mÃn điều kiÖn: a + b + c = - (1); a2 + b2 + c2 = (2) Chứng số a, b, c thuộc đoạn ;0 biểu diƠn trªn 3 trôc sè: Cách giải: Bình phơng hai vế (1) đợc: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): =  bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a2 + 2a + Ta l¹i cã: b + c = - (a + 2), b, c nghiệm phơng trình: X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = (*) §Ĩ (*) cã nghiƯm ta phải có: = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)   a(3a + 4)   -  a  Chứng minh tơng tự ta đợc: -  b  0; -  c  Bµi tËp: Bµi 1: Gọi a, b hai nghiệm phơng trình bËc hai: x2 + px + = Gäi c, d hai nghiệm phơng trình: y2 + qy + = Chøng minh hÖ thøc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bµi 2: Chøng minh r»ng viết số x = ()200 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy iii áp dụng định lý viét giải phơng trình hệ phơng trình Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: 5 x  5 x x   x   =6  x 1   x 1 Híng dÉn: §KX§: {xR  x  - 1} Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -8- Trờng thcs minh nghÜa  u x  x u ? Đặt: x  x   x    u. ?  x 1 TÝnh: u, v, råi tõ ®ã tÝnh x Bài giải: ĐKXĐ: {x R x  - 1}  u x  x   5 x  5 x u   x    x   x 1 (*)   x 1  x u Đặt:      x   x   x    x   u. 6  u.  x . x    x 1   x 1  x 1 u, v lµ nghiƯm phơng trình: x2 - 5x + =  = 25 – 24 = x1 = 1 = x2 =  = u = th× v = u = v = u 3 x2 - 2x + = ' = – = - < NÕu:  th× (*) trở thành: Phơng trình vô nghiệm: u Nếu: (*) trở thành: x - 3x + = 02  3 Suy ra: x1 = 1; x2 = VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = 1; x2 = Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: x  y 11 a)   xy 31  x  y  yx 7 x2 - 11x +31 = b)  2 xy  x y 12 Bài giải: a) x,y nghiệm phơng tr×nh: =(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - < Phơng trình vô nghiệm Vậy hệ phơng trình đà cho vô nghiệm b) Đặt x + y = S xy = P Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -9- Trêng thcs minh nghÜa S  P 7 Ta cã hÖ:   S.P 12 Khi S P hai nghiệm phơng trình: t2 7t + 12 = Giải phơng trình đợc t = t = + NÕu S = th× P = x, y nghiệm phơng trình: u2 - 4u + =  u = vµ u = Suy (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y = 1) + NÕu S = P = x, y nghiệm phơng trình: v2 3v + = Phơng trình vô nghiệm = - 16 = - < VËy hÖ ®· cho cã hai nghiƯm sè lµ: (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y =1) Bài tập: Bài 1: Giải phơng trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = Bài2: Giải hệ phơng trình sau: a) x y 2 x  y2 4 b)  x  y 3 4 x  y 17 V Định lý viét với toán cực trị: C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Gäi x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 - (2m - 1)x + m = Tìm m để x12 x22 có giá trị nhỏ Bài giải: Xét: = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > Nên phơng trình đà cho có hai nghiệm với m Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m -  x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) =4m2 - 6m + = (2m - )2 + 11  11 DÊu “=” x¶y m = Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -10- Trêng thcs minh nghÜa VËy Min(x12 + x22) = 11 m = VÝ dơ 2: Gäi x1; x2 lµ nghiƯm phơng trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 C¸ch giải: Để phơng trình đà cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)   -  m  - (*) Khi ®ã theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = - m - x1 x2 = m2  4m  Do ®ã: A =  m2  8m   Ta cã: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7)  Suy ra: A =  m2  8m  =  (m  4)2  DÊu b»ng x¶y (m + 4)2 = hay m = - Vậy A đạt giá trị lớn là: m = - 4, giá trị thoả mÃn điều kiện (*) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trÞ lín nhÊt cđa A=(x4 + 1) (y4 + 1), biÕt x, y  0; x + y = Cách giải: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + Ta cã: x + y =  x2 + y2 = 10 - 2xy  x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2  x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 Đặt : xy = t x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do ®ã A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 a) Tìm giá trị nhỏ nhất: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 45 Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -11- Trêng thcs minh nghÜa nên x y nghiệm ph- Min(A) = 45  t = 2, xy = 2; x + y = ơng trình X2 - X + = Tức x = 10  ; y = 10  hc x = 10  ; y = 10  2 b) Tìm giá trị lớn nhất: Ta có:  xy   x  y   10     0t   5  =   =   (1)      2   2 ViÕt A díi d¹ng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101 Do (1) nªn t3  125 ; 2t   t3 + 2t - 40  125 + - 40 < cßn t  nªn A  101 Max(A) = 101 vµ chØ t = tøc lµ x = 0; y = hc x = ; y = Bµi tËp: Bµi 1: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = Tìm m để x12 x22 có giá trị nhỏ Bài 2: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = T×m giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m lµ tham sè) T×m m cho nghiƯm x1; x2 cđa phơng trình thoả mÃn 10x1x2 + x12 x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị C Kết luận ứng dụng định lý Viét việc giải toán vấn đề lớn, đòi hỏi ng- ời học phải có tính sáng tạo, có t tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính lẽ đó, trình giảng dạy, ngời giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần thờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác Nghiên cứu đề tài ứng dụng định lý Viét việc giải toán không giúp cho học sinh yêu thích học môn toán, mà sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy Mặc dù đà cố gắng thực đề Giáo viên: Lê Ngäc ChiÕn -12- Trêng thcs minh nghÜa tài, song tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngôn ngữ kiến thức khoa học Vì vậy, mong quan tâm đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -13- ... hai phơng trình có nghiệm chung x = Bài tập: Bài 1: Cho phơng tr×nh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài 2: Cho phơng trình mx2... Ýt nhÊt mét nghiÖm chung: x2 + 2x + m = (1) x2 + mx + = (2) Giáo viên: Lê Ngọc Chiến -4- Trờng thcs minh nghÜa Bài giải: Gọi x0 nghiệm chung phơng trình ®ã ta... thức phơng trình bậc hai việc dùng định lý viét, trình giảng dạy đà đa số toán việc sử dụng định lý viét dể giải dẫn đến kết nhanh B nội dung Định lý Viét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phơng trình ax2