TRƯỜNG THPT PHÚ LỘC TỔ TOÁN TIN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008 - 2009 MÔN : TOÁN LỚP 12 (CƠ BẢN) THỜI GIAN : 90 PHÚT ( không kể thời gian phát đề) Câu 1. ( 3 điểm) Tính các tích phân sau: a. 2 1 A . 1x x dx = − ∫ b. 2 1 B ln e x xdx = ∫ c. tan +1 4 4 0 sin 2 . C cos x x e dx x π = ∫ Câu 2. ( 2 điểm) a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 5 1 x y x − = + , trục hoành, x = 0 và x = 5. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: 2 2y x x = − và y = 0 quay quanh trục Ox. Câu 3. ( 1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 1 3 2 4 4 y x x = + − và tiếp tuyến của nó tại điểm (-3;-2) Câu 4. ( 1 điểm) Cho ( ) ( ) 1;7;0 , 2; 1;1a b = = − ur ur . Tính góc giữa hai vectơ a uur và b ur . Câu 5. ( 2 điểm) Cho A( 2; 1; 2), B( 4;-3; 1) và (P): x - 13y - 5z + 5 = 0. a. Viết phương trình mặt cầu có đường kính là AB. b. Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa cạnh AB và vuông góc với mp(P). Câu 6. ( 1 điểm) Cho mặt cầu (S) có phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 27x y z+ + + + = . Tìm phương trình mặt phẳng ( ) β tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P sao cho OM = ON = OP ( M, N, P không trùng với O) ==== Hết ==== ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008 - 2009 MÔN : TOÁN LỚP 12 (CƠ BẢN) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1. 3 đ 1. a 1 đ Tính : 2 1 A . 1x x dx= − ∫ Đặt 2 2 1 1 1, 2u x u x x u dx udu= − ⇒ = − ⇒ = + = Đổi cận: 1 0, 2 1x u x u= ⇒ = = ⇒ = 0,5 đ Do đó ( ) ( ) 1 1 2 4 2 0 0 A 1 . .2 2 2u u udu u u du= + = + ∫ ∫ 1 5 3 0 2 2 2 2 16 5 3 5 3 15 u u   = + = + =  ÷   0,5 đ 1. b 1 đ Tính: 2 1 B ln e x xdx = ∫ Đặt lnu x= và 2 dv x dx= , ta có 1 du dx x = và 3 1 3 v x= Nên 3 2 1 1 1 1 B .ln 3 3 e e x x x dx= − ∫ 0,5 đ 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 2 1 B= 3 9 3 9 9 9 e e e x e e + − = − + = 0,5 đ 1. c 1 đ Ta có: tan +1 tan +1 tan +1 4 4 4 4 3 2 0 0 0 sin 2 . sin . tan . C 2 2 cos cos cos x x x x e x e x e dx dx dx x x x π π π = = = ∫ ∫ ∫ 0,25đ Đặt t= tanx+1 2 cos dx dt x ⇒ = ,đổi cận: 0 1, 2 4 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = Do đó: ( ) 2 1 C 2 1 t t e dt= − ∫ 0,25đ Đặt u = t - 1 và dv = e t dt, ta có du = dt và v = e t 0,25đ Vậy ( ) 2 2 2 2 1 1 1 C 2 1 2 2 2 2 t t t t e e dt e e e= − − = − = ∫ 0,25đ CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 2. 2 đ 2.a 1 đ Diện tích hình phẳng: 5 0 - 5 S= 1 x dx x + ∫ 0,25đ 5 0 5 S 1 x dx x − = + ∫ vì: [ ] 5 0 0;5 1 x x x − ≤ ∀ ∈ + 0,25 đ ( ) 5 5 0 0 6 S 1 6ln 1 6ln6 5 1 dx x x x   = − = + − = −  ÷ +   ∫ (đvdt) 0,5 đ 2.b 1 đ Ta có 2 2 0 0 2x x x x− = ⇔ = ∨ = Thể tích vật thể: ( ) 2 2 2 0 V 2x x dx π = − ∫ 0,5 đ ( ) 2 2 4 3 2 5 4 3 0 0 1 4 16 V 4 4 5 3 15 x x x dx x x x π π π   = − + = − + =  ÷   ∫ (đvtt) 0,5 đ Câu 3. 1 đ Viết phương trình tiếp tuyến tại (-3;-2). ( ) 2 3 3 9 ' ' 3 4 2 4 y x x y= + ⇒ − = Phương trình tiếp tuyến tại (-3;-2) là: ( ) 9 9 19 2 3 4 4 4 y x y x+ = + ⇔ = + Giải phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 3 2 1 3 9 19 2 4 4 4 4 1 3 9 27 0 4 4 4 4 3 3 x x x x x x x x + − = + ⇔ + − − = ⇔ = − ∨ = 0,5 đ Diện tích hình phẳng: 3 3 2 3 1 3 9 19 S 2 4 4 4 4 x x x dx − = + − − − ∫ 3 3 3 2 4 3 2 3 3 1 3 9 27 1 1 9 27 S 4 4 4 4 16 4 8 4 x x x dx x x x x − −     = − − + + = − − + +  ÷  ÷     ∫ 297 135 27 16 16 = + = (đvdt) 0,5 đ CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 4. 1 đ Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1.2 7. 1 3 cos a , 6 1 7 . 2 1 1 b + − = = − + + − + ur ur Vậy góc giữa hai vectơ ( ) 0 , 106 46'43,16''a b ≈ r r 1 đ Câu 5. 2 đ 5.a 1 đ Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Suy ra I là tâm của mặt cầu có đường kính là AB. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3, 1, 2 2 2 2 3 1 1 21 I= 3;-1; , R= AB= 4 2 3 1 1 2 2 2 2 2 A B A B A B I I I x x y y z z x y z + + + = = = = − = =   − + − − + − =  ÷   0,75 đ Vậy phương trình mặt cầu: ( ) ( ) 2 2 2 3 21 3 1 2 4 x y z   − + + + − =  ÷   0,25 đ 5.b 1 đ ( ) AB 2; 4; 1= − − uuur ,(P) có vectơ pháp tuyến ( ) 1; 13; 5 P n = − − uur Ta có AB, P n uuur uur không cùng phương, có giá song song hoặc nắm trong mp ( ) α . Nên mp ( ) α có vectơ pháp tuyến ( ) AB 7;9; 22 P n n= ∧ = − ur uuur uur 0,5 đ PT ( ) α : 7(x - 2) + 9(y - 1) - 22(z - 2 ) = 0 Vậy phương trình mp ( ) α : 7x + 9y - 22z + 21 = 0 0,5 đ Câu 6. 1 đ Mặt phẳng ( ) β cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P nên: M( a; 0 ; 0), N ( 0; b; 0), P( 0; 0; c) và a, b, c > 0 Mặt khác OM = ON = OP suy ra a = b = c > 0 Phương trình mặt phẳng ( ) β theo đoạn chắn: 1 a a a x y z + + = ( ) a 0, a 0x y z⇔ + + − = > 0,5 đ (S): ( ) ( ) 2 2 2 1 2 27x y z+ + + + = có tâm I( 0;-1;-2) và bán kính R=3 3 Mp ( ) β tiếp xúc với (S) ( ) ( ) , - 3 - a d R 3 3 a+3 9 3 I β ⇔ = ⇔ = ⇔ = a 3 9 a 3 9 a 6 a 12⇔ + = ∨ + = − ⇔ = ∨ = − ( loại) Vậy mp ( ) β : x + y + z - 6 = 0 0,5 đ Chú ý : Ở mỗi phần, mỗi câu, nếu học sinh có cách giải khác đáp án nhưng đúng và chặt chẽ thì vẫn cho điểm tối đa của phần hoặc câu đó. ==== Hết ==== . 1 3 9 19 2 4 4 4 4 1 3 9 27 0 4 4 4 4 3 3 x x x x x x x x + − = + ⇔ + − − = ⇔ = − ∨ = 0,5 đ Diện tích hình phẳng: 3 3 2 3 1 3 9 19 S 2 4 4 4 4 x x x dx. 3 1 3 9 19 S 2 4 4 4 4 x x x dx − = + − − − ∫ 3 3 3 2 4 3 2 3 3 1 3 9 27 1 1 9 27 S 4 4 4 4 16 4 8 4 x x x dx x x x x − −     = − − + + = − − + + 