Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của hệ hàm ẩn để phân tích biến động của trạng thái cân bằng khi Y 0 , T 0 thay đổi... Ta dùng hàm cung để phân tích biến động của lượng cân bằng khi T 0 [r]
(1)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Bài 1 Xột kinh tế cú ngành với ma trận hệ số chi phớ trực tiếp dạng giỏ trị:
1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế phần tử ; tổng cỏc phần tử dũng 1; tổng cỏc phần tử cột
2 Tỡm ma trận giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc phần tử ma trận
3 Lập bảng I/O ma trận tổng cầu là:
4 Lập bảng I/O cầu cuối cựng sản phẩm ngành 120 tổng cầu sản phẩm ngành 400
5 Xác định ma trận tổng cầu ma trận cầu cuối
6 Cho biết muốn tăng cầu cuối sản phẩm ngành lên đơn vị thỡ tổng cung ngành phải tăng bao nhiêu?
Giải Cõu
+ Phần tử a12 = 0,15 lượng giá trị sản phẩm ngành cần thiết để làm đơn vị giá trị sản
phẩm ngành
+ Tổng cỏc phần tử dũng 1: a11 + a12 = 0,25 lượng giá trị sản phẩm ngành cần thiết để ngành
và ngành ngành làm đơn vị giá trị sản phẩm
+ Tổng cỏc phần tử cột 2: a12 + a22 = 0,25 lượng giá trị sản phẩm ngành cần thiết để ngành
2 làm đơn vị giá trị sản phẩm
Cõu 2 Ta cú:
9 , ,
15 , , ) ( , ,
15 , ,
A E A
Khi đó:
9 , ,
15 , , )
(E A
Ta lại cú: E A C
A E A
E
153 , 256 ,
192 , 153 , , ,
15 , , 78 ,
1
)
(
Xột phần tử c12 0,192: Để NKT tăng thêm đơn vị giá trị cầu cuối sản phẩm thỡ tổng cầu sản phẩm phải tăng lượng giá trị c12 0,192
Cõu 3 Áp dụng cụng thức: cú:
Tương tự tính: x12 = 60; x22 = 40 Ta nhận bảng I/O sau:
Tổng cầu Cầu trung gian
Cầu cuối cựng 200
400
20 60 40 40
120 320
1 , ,
15 , ,
A
12 a
)
(
E A
C
200 400
X
10 10
x
78 ,
A E
) (ij X
a
xij ij j
40 200 , ;
20 200 ,
0 21 21 1
1 11
11a X x a X
(2)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
2 Cõu 4 Ta có hệ phương trỡnh:
320 200 120 400 , 400 15 , , , 400 2 1 2 22 12 21 11 x X x X X X x x X a X a X a X a X X gt
Bảng I/O nhận trùng với bảng cú cõu
Cõu 5 Ta sử dụng cụng thức:
Thay vào (*) cú:
10 , 14 46 , 13 10 10 , , 15 , , 78 , X X
X ma trận tổng cầu cần tỡm
Cõu 6 Đây câu hỏi ý nghĩa kinh tế phần tử c21 ma trận hệ số chi phớ toàn
Ta cú: Để NKT tăng cầu cuối sản phẩm lên đơn vị
giá trị đơn vị thỡ tổng cầu sản phẩm (hay tổng cung ngành 2) phải tăng lên 0,256 đơn vị giá trị
Bài 2 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá:
1 Hai mặt hàng mụ hỡnh cỏc mặt hàng thay hay bổ sung? vỡ sao? Xác định trạng thái cân thị trường m = 90
3 Xác định số % biến động lượng cân hàng hoá thứ m tăng 1% m=90
Giải
Cõu 1 48 0,5 0,5
2
1
1
p Q p p Q d
d có nghĩa giá hàng thứ không đổi giá hàng
2 tăng lên thỡ cầu hàng tăng; hàng hoá mô hỡnh cỏc hàng hoỏ thay Ta nhận kết tương tự sử dụng hàm cầu hàng
Cõu ĐKCB:
20 , 60 , 2 2 1 m p p p p Q Q Q Q s d s d
Theo qui tắc Cramer cú:
75 , 11 , 190 m
p ;
75 , 11 110 m
p (p1,p2 0 thỡ: m27,5) Ta cú: 75 , 11 15 ; 75 , 11 239 m Q m
Q (Q1,Q20m15/8)
Thay m = 90 vào kết trờn cú: p1 20;p240&Q128;Q260
Cõu 3 Ta cú:
75 , 11 75 , 11 239 1 / 1 Q m m Q Q m m Q m Q Khi m = 90 cú: / 0,273
1
m
Q
Bài 3 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá:
) ( )
(
E A x X
1
)
(
E A
C 0,256
78 , ,
21
(3)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Trong đó: M0 – thu nhập, I0 – đầu tư với M0, I0 >
1 Xác định trạng thái cân thị trường qui tắc Cramer
2 Cú ý kiến cho I0 = M0 = 10 hai đại lượng tăng 1% thỡ giỏ cõn
khụng đổi; ý kiến có khơng?
Giải
Cõu 1 Đặt: QS = QD= Q; có hệ:
0
1 ,
3 , 32
I p
Q
M p
Q
Áp dụng qui tắc Cramer cú:
5
78 , ,
0 0 0
M I
Q ;
5
41 , ,
0 0 0
M I
p với điều kiện
0 41 , ,
0 M0 I0
Cõu Ta cú: p p(M0,I0) M0 I0 tăng 1% thỡ số % biến động giá cân
p là:
0
0 /
/M p I
p
(*)
Khi M0 = I0 =10 thỡ p 8,6; 0,06; 0,02
0
I p M
p
Cỏc hệ số co gión là:
024 , ;
070 ,
0
0 /
/
M p I
p
Thay kết vào (*) cú:
046 , 024 , 070 ,
0
Như vậy, mức M0 = I0 = 10 M0, I0 tăng 1% thỡ giỏ cõn ptăng 0,046% Túm lại,
nhận định giá cân p không đổi nhận định sai
Bài 4 Cho mụ hỡnh:
Trong đó: Y-thu nhập; C-tiêu dùng; T0-thuế; I0- đầu tư; G-chi tiêu phủ
1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế a, b, g
2 Xác định trạng thỏi cõn (Y*, C*, G*) qui tắc Cramer
3 Cú ý kiến cho thuế T0 tăng thỡ thu nhập cõn giảm, chi tiêu phủ
trạng thái cân tăng; ý kiến có thoả đáng?
4 Cho b = 0,7; a = 50, g = 0,1; I0 = 500; T0 = 50 Hóy cho biết có thuế tăng 1% thỡ thu
nhập cõn giảm bao nhiờu %?
Giải
Cõu Ta cú a mức tiờu dựng thu nhập sau thuế: Y-T0 = 0; b MPC(Y-T0); g- suất chi tiêu
chính phủ - hay mức tăng lên chi tiêu phủ thu nhập quốc dân Y tăng đơn vị
Cõu Áp dụng qui tắc Cramer ta cú kết quả:
0 ,
3 , 32
I P Q
M P
Q Q Q
S D
S D
1 &
)
(
) ;
1
: ( )
( 0 0
0
g b g
gY G
a bT b a
T Y b a C
(4)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
4
) (
) )( (
1
0
0
0
bT a I g D
bT g bT
a D
bT a I D
b g D
G C Y
Khi đó:
) , , , , (
1 0
0
0 f a b g I T
g b
bT a I
Y
) , , , , (
) (
0 0
0
T I g b a g g
b bT a I g
G
Cõu 3 Ta cú:
1
g b
b T
Y
hay thuế tăng thu nhập cân giảm nhận định Ta
lại có:
1
g b
gb T
G
hay thuế tăng thỡ chi tiờu chớnh phủ tăng nhận định sai
Cõu 4 Thay cỏc số liệu giả thiết vào biểu thức thu nhập cõn cú:
2575; 3,5
0
T Y
Y
Khi đó: ( 3,5) 0,068
2575 50
0
/
T Y Y T T Y
- thu nhập cõn giảm 0,068%
Bài 5 Cho mụ hỡnh thu nhập quốc dõn:
Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I0-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; Yd-thu nhập
sau thuế
1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế t?
2 Xác định thu nhập trạng thái cân
3 Cho Cho biết kinh tế có thặng dư hay
thâm hụt thương mại; có thặng dư hay thâm hụt ngân sách?
Giải
Cõu 1 Ta cú: Yd Y T (1t)Y T tY- t mức tăng lên thuế thu nhập Y tăng đơn vị hay t thuế suất
Cõu 2 Thay Yd vào cỏc biểu thức C M ta cú:
) (
) (
) (
) (
) (
0 0
Y t M
Y t C
M X G I C Y
Ta thay (2),(3) vào (1) để có:
) ( ) (
0 0
t t
X G I Y
(4)
) ( ) (
)
(
)
( 0
t Y
t Y
Y M
Y C
M X G I C Y
d d d
, ; 250 ;
400 ;
250 ;
2 , ; ,
0 0 0 0
I G X t
(5)Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Cõu 3 Thay cỏc số liệu giả thiết vào (4) cú:
52 , 1956 *
Y Ta lại cú: M* (1t)Y 0,2(10,1)1956,52352,17 Tương tự: 65
, 195 52 , 1956 ,
*
tY
T Khi đó: X0M250352,170- kinh tế có thâm hụt
thương mại; T*G0 195,654000-nền kinh tế cú thõm hụt ngõn sỏch
Bài 6 Cho mụ hỡnh kinh tế:
Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; L-cầu tiền;
r-lói xuất, Ms-cung tiền, Yd-thu nhập sau thuế
1 Hóy xỏc định thu nhập lói suất cõn
2 Cho G0 = 400; I0 = 20; X0 = 150; t = 0,1; Ms = 400; cho biết trạng cán cân thương mại
và tỡnh trạng ngõn sỏch chớnh phủ Tỡm hệ số co gión Y* theo M
s, giải thớch ý nghĩa kinh tế
của hệ số này?
Giải
Cõu 1 Điều kiện cân thị trường tiền tệ: ) ( 1200
4 ,
0 s
s Y r M
M
L
Thay Yd vào C, M; tiếp thay I, C, M vào phương trỡnh Y ta cú:
) ( 2000
) , , (
) ( , 2000
) ( ,
0 0
0 0
X G I r Y
t
Y t X
G r I
Y t Y
Ghộp (1) (2) ta cú hệ:
) ( 2000
) , , (
1200
,
0 0
X G I r Y
t
M r
Y s
Áp dụng qui tắc Cramer với (3) ta cú:
t
M X
G I
Y s
840 1160
2000 )
(
1200 0 0 0
t
M t X
G I
r s
840 1160
) , , ( ) (
4 ,
0 0 0 0
Cõu 2 Thay giả thiết vào kết nhận được: 064
, ; 93 ,
1192
r Y
Nhập cõn bằng: M 0,1.0,9.Y 107,36150 X0-Nền kinh tế có thặng dư thương mại Thuế cõn bằng: T 0,1Y 119,293400G0-Nền kinh tế cú thõm hụt ngõn sỏch
Bài 7 Cho mụ hỡnh:
s d
d d
M L
r Y
L
r I
I
Y t Y
Y M
Y C
M X G I C Y
1200
,
2000 ) (
1 ,
8 ,
0
0
(6)Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
6
1 Trong mụ hỡnh trờn cỏc biến kinh tế cỏc biến nội sinh, cỏc biến cỏc biến ngoại sinh?
2 Tỡm Y*, r* cõn Dựng lý thuyết hệ hàm ẩn phân tích tác động M
s, G0 tới thu nhập
lói suất cõn
3 Cho Ms=1500; xác định mức chi tiêu phủ để cân đối ngân sách
4 Cho G0=94, Ms=1500; tỡm cỏc hệ số co gión Y* theo G0, M0 giải thớch ý nghĩa kết
quả Cho biết tỡnh trạng ngõn sỏch chớnh phủ
Giải
Cõu 1 Mụ hỡnh cú phương trỡnh nờn cỏc biến nội sinh gồm: Y, C, I, T, L, T; cỏc biến ngoại sinh là: G0, Ms
Cõu 2 Ta cú kết quả:
25
) 100 (
50 0
M G
Y s
25
500
,
5 0
G Ms
r
Phõn tớch tĩnh so sỏnh
Ta cú hệ: (*)
100
,
50
0
G r Y
M r
Y s
Trong đó: Y Y(Ms,G0);r r(Ms,G0)
Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Ms ta cú:
(**)
4 ,
1 50
5
s s
s s
M r M
Y
M r M
Y
Hệ (**) cú nghiệm:
0 25
1
s M
Y
- hay lượng cung tiền Ms tăng thỡ thu nhập cõn tăng
0 25
4 ,
s M
r
-hay lượng cung tiền Ms tăng thỡ lói suất cõn giảm
Tương tự lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo G0 ta tỡm
0
&
G r G Y
Cõu 3 Ms = 1500 thỡ cú:
25 50
6500 G0
Y Điều kiện cân đối ngân sách là:
80 25
,
25 0 0
0
G G Y G
T
Cõu 4 Khi G0 = 94, Ms = 1500 cú: Y* = 448; ta cú:
s M L
r Y L
r I
Y T
T Y C
G I C Y
50 65
25 , 25
) ( , 15
(7)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
42 , ;
13 ,
0 /
/
M Y G
Y s
Bài 8 Cho mụ hỡnh:
Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tổng tiêu dùng; I-tổng đầu tư; Ms-lượng cung tiền; G0-chi tiờu
chớnh phủ, r-lói suất
1 Xác định thu nhập, tiêu dùng lói suất cõn
2 Cho biết b tăng lên, yếu tố khác không đổi thỡ thu nhập cõn tăng hay giảm vỡ sao? Cho biết b giảm đi, yếu tố khác khơng đổi thỡ lói suất cõn tăng hay giảm, vỡ sao?
Giải
Cõu 1 Thay I, C vào biểu thức thu nhập Y cú: 1b(1t)Y lraeG0
Ta cú hệ: 1 (1 ) (*)
s M hr kY
G e a lr Y t b
Áp dụng quy tắc Cramer cú:
lk t b h
lM G e a h
Y s
) (
)
(
b t lk
h
t b M G e a k
r s
) (
) ( )
( 0
Y* > theo giả thiết; r* > k(aeG0)Ms1b(1t)0 (**)
Cõu 2 Ta cú:
(1 )
) ( )
(
2
0
lk t b h
t h lM G e a h b
Y s
hay b tăng thỡ thu nhập cõn tăng
Cõu 3 Tương tự có:
(1 )
) ( )
1 (
2
lk t b h
t TSh MS t M b
r s
hay b tăng thỡ lói suất cõn tăng
Bài 9 Hàm doanh thu trung bỡnh hóng độc quyền dạng: AR=240-0,5Q
1 Tỡm hệ số co gión cầu theo giỏ mức giỏ p = 190; giải thớch ý nghĩa kinh tế hệ số này?
2 Tỡm hàm doanh thu biờn; giải thớch ý nghĩa kinh tế tỷ số Q=100
3 Xác định mức biến động TR(Q) doanh nghiệp tăng lượng hàng bán từ 80 lên 100 đơn vị?
4 Cho hàm chi phớ Điểm hồ vốn hóng cú thuộc khoảng
(30,40) khụng? Vỡ sao?
Giải
Cõu 1 Do AR(Q) = p nên có hàm cầu ngược: p = 240-0,5Q Khi p = 190 thỡ Q = 100; hệ số co
gión cầu theo giỏ: 3,8
) , (
1 100 190 /
1
/
dQ dp Q
p dp dQ Q
p p Q
Tại mức giá p = 190
giá tăng 1% cầu giảm 3,8%
Cõu 2 Hàm TR(Q)=AR(Q).Q=240Q-0,5Q2
) , (
) ;
0 , (
) , ; ( ) (
) ( 0
h k hr kY M
b l l e lr
e I
t b a
Y t b a C
G G
I C Y
s
) (
) (
Q AR
Q MR
3 0,25
12
40 Q Q Q
(8)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
8
khi hàm doanh thu biên MR(Q)TR(Q)240Q
Ta cú: 0,73
190 140
, 240
240 )
( )
( /
) (
) ( )
( )
( 100
/
TR Q Q
Q Q dQ
Q dTR Q
TR Q Q
Q TR
Q R T Q AR
Q
MR
- hay mức sản lượng Q = 100 mà tăng Q lên 1% thỡ doanh thu tăng 0,73%
Cõu 3 Mức tăng lên tổng doanh thu là: 100
80 100
80
) 240 ( )
(Q dQ Q dQ
MR A
3000 |
2 240 10080
2
Q
Q
Cõu 4 Ta cú hàm lợi nhuận: (Q)TR(Q)TC(Q)0,25Q31,5Q2 228Q40 (Q)0,75Q2 3Q2280Q1 15,54;Q2 19,54 Bảng xét dấu:
Q -15,54 19,54 - | + -
) (Q
| đồng biến | nghịch biến Nhận thấy hàm (Q) nghịch biến Q > 19,54 Mặt khác lại có:
0 4520 )
40 (
0 1400 )
30 (
Kết hợp ý ta kết luận phương trình (Q)0có nghiệm Q(30,40)- điểm hồ vốn hãng
Bài 10 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá:
Với: p-giá đơn vị hàng hoỏ (p >0)
Chứng minh thị trường tồn trạng thái cân giá cân lớn
Giải Xét hàm dư cung:
p p
p p
f( ) 10 21 15 hàm liờn tục p > Giỏ cõn cú ký hiệu
p thỡ ln có: S(p)D(p) f(p)S(p)D(p)0
Như vậy, ta phải chứng minh phương trỡnh f(p)0 cú nghiệm (01)
Ta cú:
p p
p p
f( ) 10 21 15 hàm liờn tục p >
Mặt khỏc: f(p)10p121p115p10 p0 hay f(p) đồng biến Ta lại cú: f(1)1021150
Và:
( )
lim
p f p
Từ điều thỡ phương trỡnh f(p)0 cú nghiệm (01) hay giá cân tồn lớn
Bài 11 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hố A có dạng;
) (Q
) , , ( 21
10 15
p p
(9)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Trong đó: p-giá hàng A (p > 0), Y0 (Y0 > 0) thu nhập
1 Chứng minh thị trường hàng A tồn trạng thái cân
2 Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động giá cân thu nhập Y0 thay đổi Sử dụng
hàm cung, hóy phõn tớch biến động lượng cân Y0 thay đổi
3 Sử dụng qui tắc tính đạo hàm hệ hàm ẩn để phân tích biến động trạng thái cân Y0 thay đổi
Giải
Cõu Hàm dư cung: f(p)1,5p0,24p0,12Y02 Y0 + Hàm dư cung xác định, liờn tục p0
+ Ta lại cú: f(p)0,3p0,80,4p1,1 0 p0 hàm dư cung hàm đồng biến p0
+ Mặt khỏc lại cú:
0
2 , )
( Y02 Y0 Y0
f
f(p) Lim p
Khi theo định lý giá trị trung gian hàm liên tục phương trỡnh f(p) = cú nghiệm nghiệm lớn 1- nghiệm giá cân
Cõu 2 Ta luụn cú: ( , ) 1,5( ) 4( ) 0
2 ,
,
0
Y Y p
p Y
p
F xác định ẩn hàm p p(Y0)
Theo qui tắc đạo hàm hàm ẩn có:
) ( , ) ( ,
1 /
/
1 ,
,
0
0
p p
Y p
F Y F dY
dp
Hay Y0 tăng thỡ giỏ cõn p
* tăng
Ta lại cú:
) (
) ( , ) (
0
2 ,
Y p p
p p
S Q
Khi đó: 0,3( )
0 , 0
0
dY dp p
dY dp dp dQ dY
dQ
- hay Y0 tăng thỡ lượng cân Q* tăng Cõu 3 Sử dụng hai hàm cung cầu ta cú hệ:
(*)
) (
0 ) ( ,
0 ,
2 ,
Y Y p
Q
p Q
xác định ẩn hai hàm số: QQ(Y0);p p(Y0) Lấy đạo hàm toàn phần hệ (*) theo Y0 cú kết quả:
(**)
4 )
( ,
0 )
( ,
0 ,
0 , 0
Y dY dp p
dY dQ
dY dp p
dY dQ
Ta có định thức Jacobi dạng:
0 ,
2 ,
2
5 ,
Y Y p
(10)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
10
8 ,
, 1
,
8 ,
) ( , ) ( , )
( ,
) ( ,
1
p p
p p J
Theo qui tắc Cramer cú:
0 ) ( ) ( , )
( ,
) ( , 0
0 ,
,
8 ,
0
J Y p
J p Y
p dY
dQ
0 4
0
0
0
J Y J
Y dY
dp
Ta dễ nhận thấy kết nhận trùng với kết cú phần Như vậy, thu nhập Y0 tăng thỡ giỏ cõn lượng cân tăng
Bài 12 Cho mụ hỡnh thị trường A dạng:
Trong đó: Y0-thu nhập; T0-thuế; p-giỏ; Y0,T0, p >
1 Chứng minh thị trường hàng A tồn trạng thái cân
2 Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động giá cân thu nhập Y0 thay đổi; T0
thay đổi
3 Sử dụng hàm cung, hóy phõn tớch biến động lượng cân Y0 thay đổi; sử dụng hàm
cầu để phân tích biến động lượng cân T0 thay đổi
4 Sử dụng qui tắc tính đạo hàm hệ hàm ẩn để phân tích biến động trạng thái cân Y0, T0 thay đổi
Giải
Cõu 1 Trước hết ta đặt điều kiện để cung cầu dương:
Ta giải hệ: 60 50 0,15 (*)
) (
60 15 , 50
0
0
Y p
p do p
Y p
S D
Ta có hàm dư cung:
0
2
3 , 100
2 , 12 ) ( ) ( )
( p Y
T p p
D p S p
f
với điều kiện (*)
Ta lại cú:
1 , ) (
0
T p p
f - hàm dư cung hàm đồng biến
Mặt khỏc cú: f( 60)D( 60)1002 600,3Y0 0
0
) 15 0225
, 2500 ( , 12 ) 15 , 50 ( ) 15 , 50 (
0
0 0
0
T
Y Y
Y S
Y f
Khi theo định lý giá trị trung bỡnh hàm liờn tục phương trỡnh f(p) cú nghiệm nghiệm thoả (*)- giá cân
Cõu Giỏ cõn thoả món:
0
0
1 , 12
3 , 100
T p S
(11)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN ) , , ( , ) ( 100 ) ( , 12 ) ( ) ( )
( 0 0 0
0 T Y p F Y p T p p D p S p
f
(**)
Hệ thức (**) xác định ẩn hàm hai biến p p(Y0,T0); theo qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn có kết sau:
0 , , , , / / 0 0 T p T p p F Y F Y p
-hay Y0 tăng thỡ giỏ cõn
tăng
Tương tự có:
1 , ) ( ) ( , 12 / / 2 0 T p T p p F T F T p
vỡ giỏ cõn p* thoả (*)
Cõu Ta cú:
) , ( ) ( , 12 ) ( 0 T Y p p T p p S Q
Khi có:
1 , 0 0 Y p T p Y p p Q Y Q
- hay Y0 tăng thỡ Q* tăng (với điều kiện T0 không đổi)
Tương tự ta cú: ) , ( , 100 ) ( 0 T Y p p Y p p D Q
Khi có:
0 0 T p T p p Q T Q
-hay thuế tăng lượng cân giảm
Ta dùng hàm cung để phân tích biến động lượng cân T0 tăng, dùng hàm cầu để phân
tích biến động lượng cân thu nhập Y0 thay đổi; nhiên cách làm thường khơng
thuận lợi cách ta làm trờn
Cõu Ta cú hệ:
) ( , 12 , 100 ) ( , 12 , 100 0 T p Q Y p Q T p Q Y p Q (*)
Hệ (*) xác định ẩn hai hàm số hai biến số là: Q Q(Y0,T0) p p(Y0,T0) Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Y0 ta cú:
, , , 0 , 0 0 0 0 0 Y p T p Y Q Y p Y Q Y p T p Y Q Y p Y Q (**)
(12)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
12
0
1 ,
4 ,
2
T p T
p J
Theo qui tắc Cramer cú:
0
12 ,
4 , 0
2 ,
0
0
J T
p J
T p Y
Q
- hay Y0 tăng lên thỡ Q* tăng
Tương tự có:
0 0
1 ,
0
J J
Y p
-hay Y0 tăng thỡ giỏ p* tăng
Các kết nhận trùng với kết cú Tương tự lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ theo T0 ta tính đạo hàm cũn lại
Bài 13 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá:
1 Xác định trạng thái cân
2 Giả sử Chính phủ đánh lượng thuế t đơn vị hàng bán ra; hỏi phải định t thỡ tổng thuế thu cực đại
3 Phải thuế tăng 1% thỡ giỏ cõn tăng 1%?
Giải
Cõu 1 Trạng thái cân nghiệm hệ;
150 60
30 , 180
2
p Q Q
p
Q p
Cõu 2 Khi có thuế t trạng thái cân nghiệm hệ:
0 ;
2 30
5 , 180
2
t p
Q p
Q t
p
s s s
Ta có lượng cân bằng: (0 150)
5 , 150
~
t t
Q
Tổng thuế thu được: max
5 , 150
~
tQ t t
T
Nhận thấy T đạt lớn với 2,5T3 hay xét: f(t)t2(150t)max
Ta ln có:
0 100
3 300
) (
t t t tt
f
f (100)0
2
2 30
5 , 180
s d Q p
(13)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Vậy lượng thuế thu đạt cực đại t*=100
Câu 3 Khi có thuế giá cân thị trường giá người mua:
5 150
4 150
~p p t t t t
s
có:
750 ~ ~ /
~
t t dt
p d p t t p
- tăng t lên 1% p~tăng chưa tới 1%
Bài 14 Cho hàm: ; với Q sản lượng (Q 0) Tỡm hàm VC(Q); AVC(Q) Xỏc định FC
2 Tỡm hệ số co gión tổng chi phớ theo Q mức Q = 10 giải thớch ý nghĩa kinh tế nú 3* Tỡm cỏc hàm MC(Q) AC(Q); chứng minh MC cắt AC điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu
Giải
Câu 1 Ta có: FCTC(0)75; VC(Q)TC(Q)FCQ35Q214Q
Khi có: ( ) ( ) 25 14
Q Q Q
Q VC Q AVC
Câu 2 Ta có TC(10) = 715; lại có: MC(Q)TC(Q)3Q210Q14MC(10)214
Khi đó: 214 2,99
715 10 )
( ) (
10
/
Q Q
TC MC Q
Q TC
Q
Ý nghĩa kinh tế: Tại mức Q = 10 mà ta tăng Q lên 1% tổng chi phí tăng lên xấp xỉ 2,99%
Câu 3 Ta có:
Q Q
Q Q
Q TC Q
AC( ) ( ) 25 1475
( ) 75
2
Q Q
Q C
A (1)
Vế trái (1) hàm số liên tục Q > có:
( ) 150 0
3
Q
Q Q
C
A - vế trái (1) đồng biến Q>0
Mặt khác lại có:
Q
Q C LimA
C A
) (
0 ) (
Từ kết ta kết luận hàm AC(Q) đạt cực tiểu điểm Q* > thoả mãn:
0 ) (
75
2
Q
Q (2)
Xét: ( ) ( ) 25 14753 210 142 25 750
Q Q Q Q
Q Q Q
Q Q MC Q
AC
0 75 ) 75
( 2 2
Q Q
Q Q
Q (3)
Để ý đến (2) (3) có nghiệm Q* hay MC(Q) cắt AC(Q) điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu
(Ta dùng máy tính để tính gần Q*) Bài 15 (Quan hệ hàm tổng cỏc hàm suy dẫn)
Cho hàm tổng T(x) (chẳng hạn hàm tổng chi phớ, hàm tổng doanh thu,…) 75
14
)
(Q Q3 Q2 Q
(14)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
14
1 Hóy viết hàm cận biờn M(x); hàm trung bỡnh A(x) Giải thớch ý nghĩa tỷ số:
3 Chứng tỏ rằng, A(x) đạt cực trị x* thỡ M(x*)=A(x*)
4 Hóy nờu qui tắc chung để vẽ đường A(x) M(x) lên hệ trục toạ độ A(x) có cực trị
5 Cú kết luận gỡ hệ số co gión T theo x điểm mà A(x) đạt cực trị
Giải
Câu 1 Hàm cận biên M(x)T(x); hàm trung bình ( ) ( ) (x0)
x x T x
A
Câu 2 Ta có: T x
dx x dT x T
x x
A x M
/ ) ( ) ( ) (
)
(
- hệ số co giãn hàm T(x)
Câu 4 Ta có: ( ) ( ) (x0)
x x T x A
2
) ( ) ( ) (
x x T x x T x
A
Khi A(x) đạt cực trị x* thì:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
T x A x M x
x x T x
T x x T x
A
a Nếu A(x) đạt cực tiểu x* thì:
+ Khi xx có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M(x) A(x)
x x T x T x
T x x T x
A (1)
Hệ thức (1) chứng tỏ xxthì đồ thị đường M(x) thấp đồ thị A(x)
+ Khi xx có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M(x) A(x)
x x T x T x
T x x T x
A (2)
Hệ thức (2) chứng tỏ xxthì đồ thị đường M(x) cao đồ thị A(x)
b Nếu A(x) đạt cực đại x* thì:
+ Khi xx có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M(x) A(x)
x x T x T x
T x x T x
A (3)
Hệ thức (3) chứng tỏ xxthì đồ thị đường M(x) cao đồ thị A(x)
+ Khi xx có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M(x) A(x)
x x T x T x
T x x T x
A (4)
Hệ thức (4) chứng tỏ xxthì đồ thị đường M(x) cao đồ thị A(x)
Câu 5 Ta có:
) (
) ( ) ( ) (
/
x A
x M x
T x T
x
x T
Bài 16 Lượng cầu hàng hoá A phụ thuộc vào giá p dạng:
1 Hệ số co gión DA cú phụ thuộc vào giỏ p hay khụng?
) (
) (
x A
x M
) ,
(
k n
(15)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
2 Với n = 1; hóy tớnh giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc kết đạt
Giải
Câu 1 Ta có:
/
/
kp n
p k
p dp
dD D
p n
n A
A p A D
- hệ số co giãn không phụ thuộc giá
Câu 2 Khi n = có: DA kp1DA (1)kp20DA 2kp30 p0
Đây tình kinh tế mà giá tăng lên cầu giảm tốc độ giảm cầu theo giá tăng giá tăng (hoặc nói đơn giản: giá tăng cầu giảm với nhịp tăng)
Bài 17 Dõn số quốc gia là: ; tổng tiờu dựng quốc gia là: ; t biến thời gian
1 Giải thớch ý nghĩa H0, C0
2 Tỡm nhịp tăng trưởng tiêu dùng tính đầu người quốc gia
Giải
Câu 1 Xét H(t)H02at H(0)H02a.0H00- H0 dân số vào thời điểm gốc
Tương tự xét: C(t)C0ebt C(0)C0eb.0 C00- Vậy C0 tiêu dùng vào thời điểm gốc
Câu 2 Từ ln2 ln2
2 1
2 )
( 0
0
0 H a a
H dt dH H r H
t
H at
at H
at
Tương tự có: rC b Tiêu dùng tính đầu ngưịi C/H; áp dụng cơng thức nhịp tăng
trưởng thương có:
2 ln
/ r r b a
rC H C H
Bài 18 Cho G = G(t), S = S(t) hàm xuất hàng hoá dịch vụ Việt nam; biết nhịp tăng trưởng xuất hàng hoá rG = a (a > 0), nhịp tăng trưởng xuất dịch
vụ rS = b (b > 0) Hóy viết biểu thức nhịp tăng trưởng tổng xuất X(t) = G(t) + S(t) Giải
Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng tổng có:
b t S t G
t S a
t S t G
t G r
t S t G
t S r
t S t G
t G
rX G S
) ( ) (
) ( )
( ) (
) ( )
( ) (
) ( )
( ) (
) (
Bài 19 Cho xuất Việt nam là: ; nhập Việt nam là:
1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế X0, M0, a, b
2 Tỡm nhịp tăng trưởng xuất rũng NX(t) = X(t) - M(t)
3* Giả sử vào thời điểm gốc có thâm hụt thương mại; hóy cho biết diễn biến cỏn cõn thương mại tương lai
Giải
Câu 1 Lập luận tương tự tập có thì:
X0 - xuất vào thời điểm gốc; M0 - nhập vào thời điểm gốc; có: rX a,rM b Câu 2 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng hiệu có:
2
dp D d
D A
A
) , (
2 0
0
H H a
H at
) , (
0
Ce C b
C bt
) , ( )
(t X0e X0 a
X at
) , (
0
M e M b
(16)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
16
b t M t X
t M a
t M t X
t X r
t M t X
t M r
t M t X
t X
rEX X M
) ( ) (
) ( )
( ) (
) ( )
( ) (
) ( )
( ) (
) (
Câu 3 Theo giả thiết có thâm hụt thương mại vào thời điểm gốc nên có: M0 > X0 (1) Khi có
tình xảy ra:
a Nếu nhịp tăng trưởng xuất không vượt nhịp tăng trưởng nhập thâm hụt thương mại trì vĩnh viễn Thật vậy:
0
0 )
2 (
) (
0
0
0
0
t e X e M t
e X e
M t
at X bt
M a
X b
M bt at
at bt
b Nếu nhịp tăng trưởng xuất lớn nhịp tăng trưởng nhập có thời điểm EX = sau thời điểm EX > Thật vậy:
0 ) (
0 ) ( ) (
X M e
e M e X t M t
X at bt abt (3)
Do có giả thiết (1) a > b nên phương trình (3) có nghiệm dương nhất:
b a
X M t
ln( 0/ 0)
Dễ thấy t t X(t)M(t)EX(t)0
Bài 20 Một hóng độc quyền có hàm sản xuất ngắn hạn là: ; hàm cầu ngược sản phẩm hóng là: Hóng cú thể thuờ lao động với mức lương cố định 8$/1 đơn vị
1 Xác định số đơn vị lao động L cần thuê để lợi nhuận hóng đạt cực đại
2 Tỡm hệ số co gión lợi nhuận theo L mức L = 25; giải thớch ý nghĩa kinh tế hệ số này?
3 Cho biết hàm thu hút lao động hóng cú dạng với t biến thời gian Hóy tớnh nhịp tăng trưởng sản lượng Q
Giải
Cõu 1 Ta cú:
16
2
,
0 Q
L L
Q ;
2 16
2
Q Q
Lp
TC ; TR pQ(2002Q)Q Khi đó:
) ( 200
5 ,
2 2
Q Q Max Q
40
200
5
Q Q
0 5
; hàm lợi nhuận hàm lừm, nờn mức sản lượng cực đại lợi nhuận Q 40 Mức sử dụng lao động tối ưu là: L 100
Cõu 2 Ta cú quan hệ:
) (
) (
L Q Q
Q
Nờn theo qui tắc tớnh hệ số co gión hàm hợp cú: /L /QQ/L (*) Khi L = 25 thỡ Q4 2520; (20)3000
5 ,
4L Q Q
p2002
(17)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
3 ) 200
(
3000 20 /
Q
Q Q
Q dQ d Q
; Ta lại cú: / 0,5 dL dQ Q
L L Q
Thay kết
nhận vào (*) có: 0,33
3 /L
Ý nghĩa kinh tế: doanh nghiệp tăng 1% lao động thỡ
lợi nhuận tăng xấp xỉ 0,33%
Cõu 3 Ta cú quan hệ:
(**) )
( ) (
/L L Q
Q r
r t L L
L Q Q
Khi thỡ rL 0,03; ta cú Q/L 0,5 nên từ (**) xác định được: rQ 0,015- có nghĩa nhịp tăng trưởng sản lượng 1,5% năm (khi đơn vị thời gian năm)
Bài 21 Cho hàm lợi nhuận bậc hai:
Hóy cho biết cỏc điều kiện hệ số h, j, k để hàm lợi nhuận thoả đồng thời điều kiện kinh tế sau:
1 Khi sản lượng bán Q = thỡ lợi nhuận õm Hàm lợi nhuận hàm lồi ngặt (thực lồi) Lợi nhuận đạt cực đại Q* >
Giải
Câu 1 Ta phải có: (0)0k0 (1)
Câu 2 Mặt khác: (Q)2hQ j0 theo giả thiết h khác khơng nên có nghiệm:
2
h j
Q jh < (2) Để hàm lợi nhuận đạt cực đại Q* phải có (Q)0 Ta có:
0
2
h h
(3); kết hợp với (2) có: j >
Câu 3 Hơn mặt kinh tế lợi nhuận cực đại phải dương:
0
2 )
(
) (
hk j
h hk j
Q
(4)
Tóm lại hệ số j, h, k thoả mãn cụm điều kiện sau:
0 0
2 hk
j h j k
Bài 22 Cho hàm số:
1 Tỡm ; xác định giao y với oy; khảo sát tính tăng giảm ; tính lồi lừm y; vẽ đồ thị y
2 Nếu ta dùng hàm số làm hàm chi tiêu (a consumption function) với x thu nhập; y lượng tiêu dựng, thỡ cỏc hệ số a, b, c phải thoả thờm điều kiện gỡ để có tính hợp lý mặt kinh tế?
Giải
t e L1,2 0.03
) ( )
(Q hQ2 jQk Q
) (Q
) ; , ,
(
a b c x
x c
b a y
x
(18)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
18
Câu 1 Ta có: a
x c
b a y
x x
lim ( )
lim - hay y = a tiệm cận ngang đường cong
x Ta lại có:
c b a
y(0) tung độ giao điểm đường cong cho với trục tung Mặt khác:
0
)
(
x c
x b
y hàm số đồng biến
0
) (
2
3 x
x c
b
y hàm cho lồi
(Tự vẽ đồ thị)
Câu 2 Để hàm số dùng làm hàm tiêu dùng ta cần có điều kiện là: 0
c b
a (*) Khi
tính hợp lý mặt kinh tế giải thích sau:
+ Điều kiện (*) tiêu dùng tự định (tiêu dùng thu nhập x = dương)
+ y0- hàm số đồng biến theo x, hay thu nhập x tăng tiêu dùng tăng Thêm vào có y0
thì tốc độ tăng y theo x giảm- có nghĩa thu nhập tăng tiêu dùng tăng tốc độ tăng
này giảm dần x tăng Hơn nữa, từ a
x c
b a y
x x
lim ( )
lim ta thấy thu nhập x mức
rất cao tiêu dùng có xu bão hồ
Bài 23 Tỡm hàm tổng chi phớ trường hợp sau:
1
2
3
Giải
Câu 1 Họ hàm tổng chi phí có dạng:
C Q Q Q dQ Q
Q dQ
Q MC Q
TC( ) ( ) (15 28 3) 5 34 23 (1) Mặt khác có:
100 )
0 ( 100
) (
FC TC C C -hay hàm chi phí thoả mãn đầu có dạng:
100
4 )
(Q Q3 Q2 Q TC
Câu 2 Họ hàm tổng chi phí có dạng:
MC Q dQ Qe dQ
Q
TC( ) ( ) 0,5Q (1)
Áp dụng công thức tích phân phần: udvuvvdu với: Q
Q
e dQ e
v dQ du Q
u3 3 ; 0,5 2 0,5 họ hàm chi phí có dạng:
C e
Qe dQ e
Qe Q
TC( )6 0,5Q6 0,5Q 6 0,5Q12 0,5Q (2) Thay Q = vào (2) có:
30 = TC(0) = -12 + C, có C = 42 – hay hàm chi phí thoả mãn đầu là:
42 12
6 )
(Q Qe0,5Q e0,5Q
TC
Câu 3 Họ hàm tổng chi phí có dạng:
100 ;
3 15 ) ( )
( 2
Q MC Q Q Q FC
C
30 ;
3 0,5
Qe FC
MC Q
90 ;
2 0,2
e FC
(19)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
MC Q dQ e dQ e d Q e C
Q
TC( ) ( ) 0,2Q 10 0,2Q (0,2 ) 10 0,2Q (1) Thay Q = vào (1) có:
80 10
) (
90FCTC CC
Hàm chi phí thoả mãn đầu có dạng:
80 10
)
(Q e0,2Q TC
Bài 24 Cho khuynh hướng tiết kiệm biên:
1 Hóy tỡm hàm tiết kiệm biết tiết kiệm khụng thu nhập Y = 81 $
2 Cho biết mức tăng lên tổng tiết kiệm thu nhập tăng từ Y = 100 lờn Y = 200?
Giải
Câu 1 Họ hàm tiết kiệm có dạng:
C Y Y dY
Y dY
Y S Y
S( ) ( ) (0,30,1 0,5) 0,3 0,2 1/2 (1) Thay Y = 81 vào (1) có:
5 , 22 81
2 , 81 , ) 81 (
0S CC
Hàm tiết kiệm thoả mãn đầu có dạng:
5 , 22
, , )
(Y Y Y1/2 S
Câu 2 Mức tăng lên tổng tiết kiệm là:
2 32 )
2 , , ( ) , , ( )
( )
( ) 100 ( ) 200
( 200
100 / 200
100
5 , 200
100 200
100
Y Y
dY Y dY
Y MPS Y
S S
S
Bài 25 Tỡm hàm tổng doanh thu R(Q) trường hợp sau:
2
Giải (Ta thừa nhận điều kiện biên TR(0)=0)
Câu 1 Họ hàm tổng doanh thu có dạng:
C e
Q dQ e
Q dQ
Q MR Q
TR 0,3Q 2 0,3Q
3 10 14
) 28
( )
( )
( (1)
Thay Q = vào (1) có:
3 10
10 ) (
0TR CC
Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu là: 10
10 14
)
(Q Q2 e0,3Q TR
Câu 2 Họ hàm tổng doanh thu có dạng:
C Q
Q d Q dQ
Q MR Q
TR( ) ( ) 10(1 )2 (1 )10(1 )1 (1) Thay Q = vào (1) có:
10 10
) (
0TR CC Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu là:
5 , , , ) ( )
(
Y MPS Y Y
S
Q e Q Q
R( )28 0,3 ) ( 10 )
(
Q Q
(20)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
20
10
10 )
(
Q Q
TR
Bài 26 Tỡm hàm tổng nhập M(Y) với Y thu nhập quốc dõn khuynh hướng nhập biên M = 20 Y = Xác định mức gia tăng tổng nhập thu nhập quốc dân Y tăng từ Y = 2000 lên Y = 2500?
Giải
Họ hàm nhập có dạng:
C Y dY dY
Y M Y
M( ) ( ) 0,1 0,1 (1) Thay Y = vào (1) có:
20 = M(0) = C hay hàm nhập thoả mãn đầu có dạng: M(Y)=0,1Y+20
Mức tăng lên nhập là:
50
, , )
( )
( ) 2000 ( ) 2500
( 25002000
2500
2000 2500
2000 2500
2000
M M Y M Y dY dY Y
M
Bài 27 Biết tiêu dùng C thu nhập Y Y=100 $ khuynh hướng tiờu dựng biờn là:
1.Tỡm hàm tiờu dựng
2 Cho biết mức tăng lên tiêu dùng thu nhập tăng từ 100 $ lên 200 $
3 Tớnh hệ số co gión tiờu dựng mức thu nhập Y = 200 $, giải thớch ý nghĩa kinh tế nú
Giải
Câu 1 Họ hàm tiêu dùng có dạng:
C Y
Y dY
Y dY
Y MPC Y
C( ) ( ) (0,80,1 0,5) 0,8 0,2 1/2 (1) Thay Y = 100 vào (1) có:
18
80 ) 100 (
100C CC
Hàm tiêu dùng thoả mãn đầu có dạng:
18
, , )
(Y Y Y1/2 C
Câu 2 Mức tăng lên tiêu dùng là:
200
100
5 , 200
100
2 60 )
1 , , ( )
( 100
200 ) ( ) 100 ( ) 200
( C C Y MPC Y dY Y dY
C
Câu 3 Khi Y = 200 có C(200)1782
2
1 , , ) 200
(
C
Ta có:
dY dC C Y
Y C/
, Y=200 có: C/Y 0,924
Tại mức thu nhập Y = 200 thu nhập tăng 1% tiêu dùng tăng xấp xỉ 0,924%
Bài 28 Một hóng cú hàm chi phớ biờn Hàm doanh thu trung bỡnh
1 Hóy xỏc định mức tăng lên tổng chi phí sản lượng tăng từ 10 sản phẩm lên 20 sản phẩm
1 , ) (
Y M
5 , , , ) ( )
(
Y MPC Y Y
C
700
3
Q Q
MC Q
(21)Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
2 Cho FC = 30; hóy xỏc định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận hóng Cú ý kiến cho mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận hóng thỡ TC đạt cực tiểu, đồng thời TR đạt cực đại; ý kiến có hay khơng?
3 Cho FC = 30; chứng tỏ đường AC đạt giá trị bé
Giải
Cõu 1 Mức tăng lên tổng chi phí là:
13700 700
) 700
3 ( )
( )
( ) 10 ( ) 20
( 20
10
3 20
10 20
10 20
10
TC TC Q MC Q dQ Q Q dQ Q Q Q
TC
Cõu 2 Ta cú: TC(Q)Q3Q2 700Q30; TR(Q)QAR(Q)1900QQ2; đó: )
0 ( max 30
1200 )
( 3
Q Q Q Q
20
1200
) (
0
2
Q Q
Q
Q
0
6 )
(
Q Q Q
; lợi nhuận đạt cực đại mức sản lượng Q*=20
Rừ ràng ý kiến sai vỡ hàm TC(Q) khụng cú cực tiểu; hàm TR(Q) đạt cực đại Q**=950 Cõu 3 Ta cú: ( ) ( ) 2 70030 (Q0)
Q Q
Q Q
Q TC Q AC
(*) 30 ) ( )
( 2
Q Q
Q g Q C A
0
60 ) ( )
( 3
Q
Q Q
g Q C
A (**)
Dễ nhận thấy:
+ AC(Q)g(Q) hàm liờn tục Q > + Do cú (**) thỡ g(Q) hàm đồng biến Q >
+ Ta lại cú:
25 30 ) ( ; 30 )
( g
g
Ta khẳng định phương trỡnh (*) cú nghiệm Q(1,3) ; đồng thời Q* hàm AC(Q) đạt cực tiểu vỡ (**) chứng tỏ nú hàm lồi Q >
Bài 29 Một cơng ty độc quyền có hàm cầu ngược: ; hàm chi phớ biờn:
1 Tỡm cỏc giỏ trị Q dương để đảm bảo công ty tăng sản lượng thỡ doanh thu tăng
2 Cú ý kiến cho mức sản lượng tối đa hóa doanh thu cơng ty tối đa hóa lợi nhuận Hóy nhận xột ý kiến
Giải
Cõu 1 Ta cú: TR(Q)PQ400Q0,3Q2MR(Q)4000,6Q
Để công ty tăng sản lượng doanh thu tăng ta phải có MR(Q) > 0; ta có hệ:
, 400
0 , 400
0
) (
0
Q Q
Q Q
MR Q
Cõu 2 Ta cú: TR(Q)PQ400Q0,3Q2MR(Q)4000,6Q
) , (
Q
Q P4000,3 100
; ,
0
(22)Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
22
3 2000
)
(Q Q
MR
Q Q
R T Q R
M ( ) ( )0,60 Hàm TR(Q) đạt giá trị lớn
3 2000
Q
Từ giả thiết ta cú: TC(Q)0,15Q2100; hàm lợi nhuận dạng: 100
400 45
, )
(Q Q2 Q
Dễ hàm lợi nhuận đạt cực đại
9 4000 ˆ
Q Tóm lại ý kiến đầu ý kiến sai Bài 30 Một công ty độc quyền có hàm doanh thu trung bỡnh ; hàm chi phớ biờn:
chi phí cố định FC
1 Tỡm hàm chi phớ bỡnh quõn cụng ty trờn Cho , chứng minh hàm chi phớ bỡnh quõn đạt giá trị bé Tỡm cho biết ý nghĩa kinh tế tỷ số trờn
2 Tỡm mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận FC thay đổi
3 Cho biết FC tác động tới mức cung tối ưu; tới lợi nhuận tối ưu công ty nào?
Giải
Cõu 1 Hàm tổng chi phớ:
) ( 25
) ( 25
)
( 3 2 Q
Q FC Q
Q Q AC FC Q Q
Q Q TC
(*)
2 ) ( )
( 2
Q FC Q
Q g Q C A
0
2 ) ( )
( 3
Q
Q FC Q
g Q C
A (**)
Dễ nhận thấy:
+ AC(Q)g(Q) hàm liờn tục Q > + Do cú (**) thỡ g(Q) hàm đồng biến Q >
+ Ta lại cú:
9 ) ( ;
)
( FC g FC
g
Ta khẳng định phương trỡnh (*) cú nghiệm Q(1,3) ; đồng thời Q* hàm AC(Q) đạt cực tiểu vỡ (**) chứng tỏ nú hàm lồi Q >
Xột hiệu: ( ) ( ) (2 ) 2
0
2
Q FC Q
Q FC Q
Q Q FC Q Q Q AC Q MC
Q
Để ý đến (*) ta nhận thấy:
Q TR dQ
Q dTC Q TC
Q Q
Q TC
dQ Q dTC Q
AC Q MC Q
AC Q
MC ( ) /
) ( /
) (
/ ) (
) (
) ( )
( )
(
Túm lại tỷ số chớnh hệ số co gión TC(Q) theo Q tớnh Q*- cho biết điểm Q* mà sản lượng tăng 1% thỡ tổng chi phớ tăng 1%
100 ;
3 ,
0
Q FC MC
Q AR 325
25
3 2
Q Q
MC
45 5FC
) , (
Q
) (
) (
Q AC
Q MC
45 5FC
) (
) (
Q AC
(23)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Cõu 2 Hàm lợi nhuận: (Q)Q3 300QFCmax
10
300
) (
0
2
Q Q
Q
Q
0
6 )
(
Q Q Q
Vậy lợi nhuận đạt giá trị lớn Q 10
Cõu 3 Sản lượng tối đa hố lợi nhuận khơng phụ thuộc vào FC Mặt khỏc ta lại cú:
FC
2000 )
10 (
Khi đó: 10
dFC
d
-hay FC tăng đơn vị thỡ lợi nhuận tối ưu giảm đơn vị
Bài 31 Cho hàm đầu tư (trong t biến thời gian) Xác định hàm vốn K(t) K(0) = 25
2 Xác định tổng lượng vốn tích luỹ khoảng thời gian
Giải
Câu 1 Ta có họ hàm vốn dạng:
C t
dt t dt
t I t
K( ) ( ) (121/3) 9 4/3 (1) Thay t = vào (1) có:
25 )
0 (
25K CC
Hàm vốn thoả mãn đầu là: K(t)9t4/325
Câu 2 Lượng vốn tích luỹ khoảng thời gian [1,10] là:
899 , 184 10 ) ( 10 ) ( ) ( ) 10
( 4/3
10
1
K K t I t dt t
K
Bài 32 Một doanh nghiệp cạnh tranh cú hàm chi phớ biờn: với Q sản lượng
1 Xác định mức tăng lên tổng chi phí doanh nghiệp định tăng sản lượng từ Q=5 lên Q = 10 đơn vị
2 Cho giá thị trường sản phẩm doanh nghiệp p = 39 FC = 20 Hóy xỏc định lượng cung cho lợi nhuận cực đại
3* Cho p tăng đơn vị ; hóy xỏc định mức tăng lượng cung tối ưu Q* lợi nhuận tối ưu
4* Cho p tăng 1%, hóy xỏc định số % biến động Q*
Giải
Câu 1 Mức tăng chi phí là:
33 , 258 )
25 12
( )
(
10 ) ( ) ( ) 10 (
10
5 10
5
TC TC Q MC Q dQ Q Q dQ
TC
Câu 2 Với FC = 20 ta có hàm tổng chi phí có dạng: 20
25
3 )
(Q Q3 Q2 Q
TC TR(Q)39Q; đó:
max 20
14
3 )
(Q Q3 Q2 Q
3
12 ) (t t
I
1,10
t
25 12
)
(Q Q2 Q
MC
(24)Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
24
7
14 12
) (
0
2
Q Q
Q Q
Q
0 ) ( 12 )
(
Q Q hàm lợi nhuận hàm lõm với Q >
Kết luận Lợi nhuận đạt lớn Q* = (7)143,33
Câu 3 Đây câu khó, phải sử dụng lý thuyết hàm ẩn Thí sinh thi sử dụng cơng thức có Sau chứng minh cho trường hợp tổng quát cho trường hợp công ty cạnh tranh- hay giá p = const Khi đó:
max )
( )
(Q pQTC Q
Điều kiện cần: (Q) pTC(Q)0 (1)
Giả sử nghiệm (1) Q* hay có: pTC(Q)0 (2)
Điều kiện đủ: (Q)TC(Q)0TC(Q)0 (3)
Để phân tích tĩnh so sánh ta phải coi (2) xác định ẩn hàm Q h(p) hay có:
) (
0 ) ( )
, (
p h Q
Q C T p Q p F
Theo quy tắc lấy đạo hàm hàm ẩn:
0 ) ( )
( /
/
Q C T Q C T Q
F p F dp
dQ
có (3)
Như vậy, giá thị trường p tăng lên người sản xuất định cung lượng lớn Ta lại có:
) (
) ( )
(
) (
p h Q
Q TC pQ
Lấy đạo hàm tồn phần (4) theo p có:
Q
dp dQ dQ dTC p Q dp dQ dQ dTC Q
dp dQ p dp dQ dQ d dp d
) (
do có (2)
Trong có: TC(Q)TC(7)16; nên có:
16
dp dQ
7
Q dp d
4. Ta có: 0,348
16 39
/
dp dQ Q
p
p Q
1,9
33 , 143
39
/
dp d p
p
Bài 33 Một doanh nghiệp cú hàm doanh thu biờn : Hóy tỡm tổng doanh thu doanh nghiệp định giỏ bỏn sản phẩm p = 715
Giải
2
2
05 , 960 ) ( 05
, 960 ) ( 15
, 960 )
(Q Q TR Q Q Q AR Q Q
MR ; hàm cầu
ngược công ty là: p9600,05Q2
Thay p = 715 vào hàm cầu ngược có: 715 960 0,05 70
0
2
Q Q
Q
Khi tổng doanh thu là: TR pQ7157050050
2 15 ,
960 Q
(25)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Bài 34 Công ty độc quyền cú hàm doanh thu biờn
1 Xác định mức tăng lên tổng doanh thu sản lượng tăng từ Q = 50 đơn vị lên Q = 60 đơn vị
2 Xác định doanh thu công ty giá bán sản phẩm p = 70
3 Cho hàm chi phớ biờn cụng ty là: FC = 75 Hóy xỏc định lượng
cung cho lợi nhuận cực đại
Giải
Cõu 1 Mức tăng lên tổng doanh thu là:
100 120
) 120 ( )
( )
50 ( ) 60
( 60
50 60
50 60
50
TR MR Q dQ Q dQ Q Q
TR
Cõu 2 Ta cú: TR(Q)120QQ2 AR(Q)120Q p (*) Thay p =70 vào (*) thỡ sản lượng tương ứng Q = 50; hay mức giá cú: TR50703500
Cõu 3 Từ giả thiết FC = 75; sử dụng tích phân bất định tỡm được:
75 110
11 ) (
2
Q Q Q
Q
TC
Hàm lợi nhuận: 10 75 max
2 ) (
3
Q Q Q
Q
Dễ tỡm mức sản lượng cực đại lợi nhuận Q 10
Bài 35 Xột mụ hỡnh thị trường hàng hố:
trong p giá
1 Với giỏ trị p thỡ
2 Tỡm trạng thỏi cõn
3 Viết hàm dư cung hàm dư cầu; khảo sát tính đồng nghịch biến hàm Xỏc định lượng dư cung lượng dư cầu
Giải
Cõu 1 Ta xột hệ:
) ( 39
0 43
0
0
p p
p Q
Q d s
Cõu 2 Note Giá cân nghiệm phương trỡnh: Qs = Qd; phương trỡnh vụ
tỷ cú thể gõy khú khăn cho số thí sinh khơng tốn sơ cấp Ta trỏnh rắc rối cỏch tỡm hàm cung hàm cầu ngược:
) ( 39
43
) ( 2
1
2
d d
d
s s
s
Q Q
p p Q
Q Q
p p
Q
Lượng cân thoả món: 39
0
2
Q Q
Q Q
Q
Q
Thay Q* = vào (2) (3) xác định giá cân p* = 18
Q MR1202
110 11
)
(Q Q2 Q MC
110 11
)
(Q Q2 Q MC
2 43
1
p Q
p Q
d s
0 & d
s Q
(26)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
26
Cõu 3 Hàm dư cung là: f(p)QsQd p2 43 p1 với điều kiện (1)
p p
p p
f
43
1
2 )
( thoả (1)
Hàm dư cung hàm đồng biến; hàm dư cầu g(p)Qd Qs f(p)-nờn nú hàm nghịch biến
Cõu 4 Lượng dư cung kí hiệu PS(Producer, Surplus) tớnh theo cụng thức:
27 )
3 ( 18 )
(
3
0
1
dQ Q
Q dQ
Q S Q p P
Q S
Lượng dư cầu kớ hiệu CS (Consumer, Surplus) tớnh theo cụng thức:
36 18 )
39 (
) (
3
0
1
dQ Q
Q Q
p dQ Q D C
Q S
Bài 36 Một doanh nhân bỏ K $ vào thời điểm mua tích trữ loại rượu nho để bán vào thời điểm tương lai; biết giá trị lô rượu tăng theo qui luật
(t biến thời gian); giả sử chi phí bảo quản khơng đáng kể (có thể bỏ qua) Cho biết nhịp tăng trưởng giá trị lô hàng
2 Cho lói suất gộp liờn tục r; hóy xỏc định thời điểm bán lơ rượu có lợi
3 Chứng tỏ rằng, thời điểm bán có lợi thời điểm mà nhịp tăng trưởng giá trị lơ rượu lói suất gộp liờn tục trờn
Giải
Câu 1 Ta có: V(t)Ke t
Khi đó:
t t Ke
Ke dt dV V
r t
t V
2
1
1
Câu 2 Ta có: NPV Ke t ert K Ke trt K max
Để đơn giản ta nhận xét rằng: NPV đạt giá trị lớn f(t) t rtmax
Điều kiện cần: 2
4
1
1 ) (
r t r t r
t t
f (1)
Điều kiện đủ: 0
4 )
(
2 /
3
r
r t
f - hàm f(t) lõm nên đạt lớn t*
Câu 3 Rõ ràng t* ta ln có: r t
2
- hay thời điểm bán có lợi thời điểm mà r nhịp tăng trưởng lơ hàng
Bài 37 Hàm cung (S) hàm cầu (D) hàng A cú dạng:
Trong đó: p-giá hàng A, M thu nhập
1 Cú ý kiến cho lượng cân khụng phụ thuộc thu nhập; ý kiến hay sai?
2 Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t; phân tích tác động thuế tới mức giá cân
t
Ke t V( )
120
, ,
150
,
p M
(27)Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Giải
Câu 1 Điều kiện cân bằng: S D
hay ký hiệu giá cân p* có:
120 , , 150 ,
0 p M p
nhận thấy giá cân hàm M nên lượng cân phải hàm M Tóm lại, ý kiến đưa ý kiến sai
Câu 2 Thuế suất t thu nhập khả dụng Md (1t)M với t(0,1); điều kiện cân là:
0 270 ) ( , , ) , , ( 120 , ) ( , 150 ,
0 p t M p F p M t p t M (1)
Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(M,t), đó:
0 , , / / , ) ( , / / M p F t F t p t p F M F M p
Bài 38 Gọi p giỏ hàng A; q giỏ hàng B; M thu nhập; T thuế Mụ hỡnh thị trường hàng A có dạng:
1 Cho biết quan hệ hai hàng hoỏ A B
2 Phân tích tác động M, T tới giá cân mặt hàng A
3 Lượng cung SA thay đổi giá hàng A tăng 1% thuế tăng 1%? Giải
Câu 1 Ta có: 0,1.0,8 0,4 0,5 0,90 q p M q DA
-hai mặt hàng thay nhau; giá hàng B tăng mà giá hàng A khơng đổi cầu hàng A tăng
Câu 2 Giá cân mặt hàng A p* thoả mãn hệ thức:
) , , , ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,
0 M0,4 p 0,5q0,1 p 0,3T0.05 M0,4 p 0,5q0,1 p 0,3T0.05 F p* M T q (1) Hệ thức (1) xác định ẩn hàm biến số là: p p(M,T,q) (2)
Áp dụng qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn ta có:
0 ) ( 62 , ) ( , ) ( 32 , / / 05 , , , , , , , T p q p M q p M p F M F M p
hay M tăng, thuế giá hàng B khơng đổi giá cân hàng A tăng
Tương tự có:
) ( 62 , ) ( , ) ( 27 , / / 05 , , , , 005 , T p q p M T p p F T F T p
hay T tăng, thu nhập giá hàng B không đổi giá cân hàng A tăng Ta tính thêm đạo hàm p* theo q:
(28)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
28
hay q tăng, thu nhập thuế không đổi giá cân hàng A tăng
Câu 3 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng hàm hợp:
% 75 , % ) 05 , ( % ,
/
/
SA p p SA T T
A
S r r
r
Bài 39 Cho mụ hỡnh thị trường hàng A dạng:
Trong đó: p-giá hàng A; Y0-thu nhập;T0-thuế
1 Phân tích ảnh hưởng Y0,T0 tới giá cân bằng; giải thích ý nghĩa kinh tế kết nhận
được
2 Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng Y0 tới lượng cân bằng; dùng hàm cầu phân tích ảnh
hưởng T0 tới lượng cân Giải
Câu 1 Đặt giá cân p* có:
0 ) , ( ) , ( ) , , ( ) , ( ) ,
(pY0 S p T0 F p Y0 T0 D pY0 S pT0
D (1)
Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(Y0,T0)(2) Theo quy tắc đạo hàm hàm ẩn:
0 /
/
0 /
/
0
0
0
p p
T p p
Y
S D
S p
F T F T
p
S D
D p
F Y F Y
p
Câu 2 Ta có:
0 )
, (
) , (
0
0
0
T p p D T
Q T
Y g p
Y p D Q
0 )
, (
) , (
0
0
0
Y p p
S Y Q T
Y g p
T p S Q
Bài 40 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá:
Trong đó: S,D hàm cung hàm cầu hàng A; p-giá hàng A, M thu nhập khả dụng, q giá hàng B
1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế ?
2 Hai hàng hoỏ nờu mụ hỡnh cú quan hệ thay hay bổ sung?
3 Tỡm mối liờn hệ để p, M, q thay đổi tỷ lệ thỡ cầu D khụng đổi Giả sử A B hai mặt hàng bổ sung nhau; phân tích ảnh hưởng M, q tới giỏ cõn Phân tích ảnh hưởng M tới lượng cân
Giải
Câu 1 Ta có:
dp dS S
p p S/
) , ( ) , (
) ,
0 ( ) , (
0 0
0
T p
s
Y p
d
S S
T p S Q
D D
Y p D Q
) ;
; (
,
)
(
,
q M p D
p S
(29)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Câu 2 Xét hàm cầu: D0,1pMq
Nhận thấy: (0,1 1)
q M p q
D
dấu với Do vậy:
a Khi đó: 0
p D
- A B hai mặt hàng thay
b đó: 0
p D
-A B hai mặt hàng bổ sung
Câu 3 Giả sử tỷ lệ thay đổi biến (0,1), ta có:
) , , ( ) , ,
(p M q D p M q D
Câu 4 (Ở dùng hàm ẩn hợp lý tính trực tiếp) Ta xét trường hợp 0 ký hiệu giá cân p* có:
0 )
( , ) ( , ) , , ( )
( , ) ( ,
0 p p Mq F p M q p p Mq (1) Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(M,q); áp dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn có:
0 )
( , )
( ,
) ( , /
/
1
1
q M p
p
q M p p
F M F M
p
Tương tự:
/
/
p F
q F q
p
Câu 5Lưu ý muốn phân tích ảnh hưởng M tới lượng cân dùng hàm cung hoặc hàm cầu, ta thường dùng hàm cung hàm không chứa M.
Ta có: Q S 0,3(p); đó: pg(M,q) Khi đạo hàm riêng toàn phần:
M p p S M Q
- hay M tăng (p, q khơng đổi) Q* tăng
Bài 41 Cho hàm sản xuất COBB-DOUGLAS: ; đó: Q-sản lượng, K-vốn, L- lao động
1 Tỡm giải thớch ý nghĩa kinh tế điểm K = 27 L = 64
2 Tỡm cỏc hệ số co gión riờng Q theo K L Nếu K L tăng 1% thỡ Q tăng %?
4 Hàm sản xuất trờn cú phải hàm khụng? Nếu thỡ bậc mấy? Nếu doanh nghiệp tăng qui mơ thỡ hiệu có tăng hay khơng?
5 Chứng minh rằng: ; cho biết phần đóng góp vốn K , lao động L
tổng sản lượng làm Q?
6 Hai yếu tố K L hàm trờn cú quan hệ bổ sung hay thay nhau? Xác định tỷ lệ thay K cho L mức k = 27; L = 64; núi rừ ý nghĩa kinh tế tỷ lệ này? Nếu thực tế giỏ đơn vị vốn 40 USD, giá đơn vị lao động USD thỡ mặt kinh tế cú nờn thực tỷ lệ thay trờn hay khụng?
7 Hàm số cho cú thoả luật lợi ớch cận biờn giảm dần khụng?
) , (
30
1
K L K L
Q
2
1; Q Q
L Q Q Q K Q
L
K
1
L L k
k AP MP AP
(30)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
30
8 Giả sử vốn K có nhịp tăng 3% năm lao động L có nhịp tăng 1% năm thỡ nhịp tăng Q %?
9 Tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64; giả sử dK = 0,1; dL = -0,3 mức biến động vốn lao động Tỡm cỏc mức thay đổi riờng dKQ dLQ giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc
đại lượng đó? Tỡm giải thớch ý nghĩa vi phõn tồn phần dQ
10 Đường đẳng lượng có mức sản lượng Q0 = 1080 có qua điểm có K= 27, L= 64 hay khơng?
Xác định độ dốc đường đẳng lượng này? độ đốc thay đổi vốn K tăng? giải thích ý nghĩa kinh tế tượng trên?
Giải
Câu 1 Ta có:
3 /
/ /
20
20
K L L
K MP
K Q
k
Khi K = 27; L = 64 26,66
27 64 20
3 /
k
MP - hay mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64
giữ nguyên lao động tăng L lên đơn vị Q tăng xấp xỉ 26,66 Tương tự, ta có:
/
10
L K
MPL k = 27, L = 64 thì: 5,625
L
MP
Câu 2 Ta ln có hệ số co giãn riêng:
3 / 20
30
3 / /
/ /
/
L K L
K K K
Q Q K K Q
Tương tự có: Q/L 1/3 Hệ số co giãn Q/L 1/3 có nghĩa giữ nguyên K tăng L lên 1% Q tăng 2/3%
Câu 3 Nếu K L tăng lên 1% số % tăng lên Q là:
/
/
Q K Q L
(tức Q tăng 1%)
Câu 4 Hàm sản xuất xét hàm bậc nú ứng với trường hợp tăng quy mô mà hiệu khơng đổi vì:
1 )
, ( 30
) ( ) ( 30 ) ,
(K L K 2/3 L 1/3 K2/3L1/3Q K L Q
Cõu Vỡ hàm sản xuất hàm bậc nờn định lý Euler có dạng: )
1 (
Q L Q L K Q
K
Trong (1) thỡ
K Q K
phần sản phẩm vốn tạo ra, tương tự
L Q L
phần sản phẩm lao động tạo ra; phần đóng góp tương ứng vào Q vốn lao động Nếu chia hai vế (1) cho Q thỡ cú:
1
1 / / /
/
)
( / /
Q K Q L
L L K
K AP MP AP
MP L
Q L Q K
Q K Q L
Q Q
L K Q Q
K
(31)Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Câu 6 Ta xét:
/
/
K Q
L Q dL
dK
-hai yếu tố thay ta giảm L phải tăng K lượng
dL dK
để Q không đổi Về mặt toỏn học thỡ
dL dK
độ dốc đường đẳng lượng; độ dốc âm thỡ K L biến thiờn ngược chiều hai yếu tố thay Trong kinh tế học thỡ
dL dK
MRTS-tỷ lệ thay kỹ thuật biên Đương nhiên, tỷ lệ thay thay đổi vỡ độ dốc đường đẳng lượng điểm khác đường khác Khi K = 27; L = 64 thỡ cú:
21 , 66 , 26
625 ,
K L MP MP dL
dK
Có nghĩa mức sử dụng đầu vào giảm đơn vị L thỡ phải tăng K 0,21 đơn vị thỡ sản lượng Q khơng đổi Tuy nhiên tỷ lệ thay kỹ thuật Bõy ta xột mặt kinh tế: Theo giả thiết thỡ tiết kiệm đơn vị lao động tiết kiệm USD chi phí; tăng 0,21 đơn vị vốn thỡ phớ thờm 0,21.40 = 8,4 USD Như vậy, thay khơng có lợi mặt kinh tế
Câu 7 Ta có: 20 2 20/3 4/3 1/3
2 / /
1
L K L
K Q
K Q L
K K
Q
KK
Hoàn toàn tương tự có: QLL 0 Vậy hàm số cho thoả mãn luật lợi ích cận biên giảm dần
Câu 8 Áp dụng công thức: rQQ/KrK Q/LrL2/33%1/31%2.33%
Câu 9 Ta tính vi phân riêng:
666 , , 66 ,
26
dK
K Q Q
dK 5,625(0,3)1,6875
dL
L Q Q dL
Vi phân toàn phần: dQdKQdLQ2,6661,68750,9785
Cõu 10 Thay K = 27, L = 64 vào hàm sản xuất cú: 1080
64 27
30 2/3 1/3
Q
Như đường mức dạng: 30K2/3L1/31080 có qua điểm K = 27; L = 64 Độ dốc đường mức là:
L K L
K L K K
Q L Q dL
dK
2 20
10 /
/
3 / /
3 / /
Độ dốc hàm hai biến K, L; ta có:
2 ) (
L K
dL dK
- cú nghĩa vốn K tăng thỡ
dL dK
giảm lượng vốn phải bỏ để thay cho đơn vị lao động giảm tăng lên
Bài 42 Thu nhập cỏ nhõn (Y) là: L số lao động; R lói suất
1 Do lói suất tăng 1% năm nên cá nhân giảm số làm việc 1% tin thu nhập mỡnh tăng Niềm tin có hay không?
05 , , ,
0 L R
(32)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
32
2 Có ý kiến cho thu nhập tăng cựng nhịp với lói suất số làm việc Nhận định hay sai?
Giải
Cõu 1 Ta cú cụng thức: rY Y/LrLY/RrR (1)
Theo giả thiết ta luụn cú: Y/L 0,1;Y/R 0,05;rL 1%;rR1%; thay cỏc kết vào (1) thỡ: (1)rY 0,1(1%)0,051%0,05%- hay thu nhập cá nhân giảm 0,05%; niềm tin
Cõu 2 Giả sử nhịp tăng thu nhập lói suất (1), có:
) , ( )
, ( )
,
(
1 15
,
R L Y R L Y R
L
Y
-hay nhịp tăng Y nhỏ nhịp tăng L R;
nhận xét đầu sai
Bài 43
1. Cho hàm sản xuất: Q = Q(K,L,t) với K-vốn,L-lao động, t-biến thời gian Giả sử K = K(t), L = L(t) Hóy phõn tớch tốc độ biến thiên Q theo t?
2. Trả lời câu hỏi cho trường hợp cụ thể sau:
và A(t) hàm đồng biến theo t; A(t) > với
Giải
Câu 1 Tốc độ biến thiên Q theo t đạo hàm tồn phần Q theo t:
dt Q dt dL L Q dt dK K Q dt
dQ
Câu 2 Trước hết A(t) hàm đồng biến theo t có A(t)0 t0 Ta ln có:
0 ) ( )
( )
(
t t
A L K b L K t A a L K t A dt
dQ
Kết luận Sản lượng Q tăng theo thời gian
Bài 44 Cho cầu loại hàng hoá (D) phụ thuộc vào giá hàng hố (p) thu nhập (Y) dạng:
1 Tớnh giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc hệ số co gión riờng D theo p, theo Y
2 Tại mức cầu D0 cho trước, giả sử giá p tăng đơn vị thỡ thu nhập Y phải tăng thỡ cầu
khụng đổi
Giải
Câu 1 Ta có: / 0
D p D D
p p D
0
/
D Y Y
D D Y Y D
Câu 2 Mức tăng cần thiết Y để trì cầu khơng đổi hệ số thay Y cho p: )
1 , ( )
(
L K t A Q
) , ( 0
0
K at K a
K
) , ( 0
0
L bt L b
L
t
2 ln 0,5
Y p
(33)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
0
1 /
/
Y p Y D
p D dp
dY
Bài 45 Cầu cà phờ nhập Nhật (D) phụ thuộc vào giỏ cà phờ giới (p) thu nhập bỡnh quõn đầu người Nhật (Y) dạng:
1 Tớnh giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc hệ số co gión riờng D theo p, Y
2 Giả sử mức nhập D0 cho trước, giá p tăng đơn vị thỡ Y phải thay đổi để
mức cầu không đổi
Giải
Câu 1 Ta có:
2
/
D Y Y D
0 ) (
2
/
D p p
D p p D
Câu 2 Ta có:
/ /
3
p Y Y
D p D dp
dY
(*)
Giả sử ta mức thu nhập 1000 $ giá p = 10$ từ (*) có: 126
, 10
1000
3
dp dY
- mức tăng thu nhập Y đảm bảo cầu không đổi dù giá tăng thêm đơn vị
Bài 46 Công ty cạnh tranh sản xuất hai sản phẩm với giá thị trường tương ứng p1 =15, p2=30; chi
phí cố định C0 Hàm chi phớ cú dạng:
1 Xác định lượng cung sản phẩm để lợi nhuận đạt cực đại
2 Chi phí cố định C0 ảnh hưởng tới lượng cung lợi nhuận tối ưu? Giải
Cõu 1 Theo giả thiết thỡ cú: TR(Q)15Q130Q2
Hàm lợi nhuận dạng: (Q)Q125Q1Q210Q2215Q130Q2 C0 max
Điều kiện cần: (1)
0 30 20
5
0 15
2
2
2
2 1
Q Q
Q Q
Áp dụng quy tắc Cramer phương pháp ma trận nghich đảo bấm máy ta có điểm dừng là:
;
30 2
1
Q
Q
Điều kiện đủ: Ma trận HESS cú dạng:
0 15 ;
0 20
5
2
1
H H H
H
Do ta có điểm dừng nhất, điều kiện đủ thoả với giỏ trị cỏc biến số; nờn lợi nhuận đạt giá trị lớn mức sản lượng Q130;Q29
Cõu 2 Mức sản lượng tối ưu khơng phụ thuộc chi phí cố định C0 Q130;Q29; vỡ điều kiện
cần hệ (1) khụng chứa C0 Ta lại có lợi nhuận tối ưu:
2 ,
0
Y p
D
0 2
1
1 10
)
(Q Q QQ Q C
(34)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
34
0 360
0
0
dC d
C
Hay C0 tăng đơn vị thỡ lợi nhuận tối ưu giảm đơn vị Bài 47 Doanh nghiệp cú cỏc hàm cầu với hai mặt hàng là:
và hàm chi phớ kết hợp: (C0 > 0)
1 Tỡm cỏc hàm cầu ngược phương pháp ma trận nghịch đảo
2 Với chi phí cố định C0 = 5000; hóy xỏc định lượng cung giá bán mặt hàng để lợi nhuận
đạt cực đại
3 Phân tích ảnh hưởng C0 tới lượng cung, giá bán lợi nhuận cực đại Tỡm hệ số co gión
lợi nhuận cực đại theo C0 C0= 5000 giải thớch ý nghĩa kinh tế hệ số co gión Giải
Cõu 1 Từ giả thiết cú:
) ( 340
2 340
2
1
1
1
Q p
p
Q p
p
Áp dụng phương pháp ma trận nghịch đảo dễ tỡm hàm cầu ngược là:
) ( 680
2 1020
2
2 1
Q Q p
Q Q p
Ta xột hàm lợi nhuận tổng quỏt (cú chứa C0):
max 600
800
2 )
(Q Q12 Q22 Q1Q2 Q1 Q2 C0
Điều kiện cần:
50 100 )
3 ( 600
4
0 800
6
2
1
2 1
Q Q Q
Q Q Q
Điều kiện đủ: Ma trận HESS cú dạng:
0 ;
0
4
2
1
H H H
H
Do ta có điểm dừng nhất, điều kiện đủ thoả với giá trị biến số; nên lợi nhuận đạt giá trị lớn mức sản lượng Q1100;Q2 50.Thay cỏc lượng cầu tối ưu vào (2) tỡm giỏ tối ưu làp1770;p2530 Mức sản lượng tối ưu khơng phụ thuộc chi phí cố định C0 vỡ điều kiện cần hệ (3) khụng chứa tham số này; giỏ tối ưu khụng phụ thuộc C0 vỡ hệ
(2) khụng chứa tham số Ta lại có lợi nhuận tối ưu:
55000C
Cõu 2 Khi C0 = 5000 thỡ 55000500050000; mức sản lượng cực đại lợi nhuận
50 ;
100 2
1
Q
Q
Cõu 3 Ta cú: 0,1
50000 5000 5000
0
0 /
0
C C
C dC
d C
-có nghĩa mức chi phí cố định C0
= 5000, chi phí tăng 1% thỡ lợi nhuận tối ưu giảm 0,1%
2
2 1
2 340
340
p p Q
p p Q
0
2 2
1 220 80
)
(Q Q QQ Q Q Q C
(35)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Bài 48 Một hóng độc quyền sản xuất mặt hàng với hàm chi phí: C = 2000 + 10Q
Sản phẩm tiêu thụ hai thị trường với hàm cầu tương ứng là:
1 Giả sử cụng ty cú chớnh sỏch phõn biệt giỏ thỡ phải chọn chiến lược thỡ lợi nhuận cực đại
2 Trong trường hợp không phân biệt giá (do hiệp định thương mại) thỡ lựa chọn chiến lược nào?
Giải
Câu 1 Khi hàm TC bậc nên biểu diễn hàm doanh thu lợi nhuận qua giá
2
1
1
1
25 10 125 210
,
1 , 50 21
Q Q p
p p
p Q
Q
Khi hàm lợi nhuận:
max 2710
54 22
, ,
0 12 22 1 2
p p p p
Điều kiện cần
) , 67 ; 110 (
0 54 22 ,
2 ,
2
1
p p
p
Điều kiện đủ
16 , ;
0 ,
, 0
0 ,
2
1
H H
H
Kết luận Lợi nhuận đạt cực đại p(110;67,5);Q (10,23); 322,5
Câu 2 Khi không phân biệt giá, ta đặt p1 = p2 = p thì:
max 2710
76
,
0 2
p p
Điều kiện cần p760 p76 dp
d
Điều kiện đủ 2
2
dp d
Kết luận Lợi nhuận đạt cực đại p1 p276;Q (13,4;19,6); 178
Như khơng phân biệt giá lợi nhuận cơng ty giảm đáng kể, tổng lượng hàng bán hai thị trường không đổi
Chú ý: Nếu biểu diễn hàm lợi nhuận qua sản lượng có:
2000 115
200 25
10 12 22 1 2
Q Q Q Q
Trong trường hợp không phân biệt giá có thêm điều kiện: 85
25
10 1 2
2
1 p Q Q
p
Ta gặp toán cực trị có ràng buộc 2
1
4 , 50
1 , 21
p Q
p Q
(36)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
36
Bài 49 Cho hàm thoả dụng U = (x + 2)(y + 1); đó; x,y số đơn vị hàng loại tiêu dùng Cho p1 = 4, p2 = giá tương ứng cỏc loại hàng hoỏ; cho ngõn sỏch chi cho tiờu dựng
B = 130
1 Hóy xỏc định hành vi tiêu dùng tối ưu Cho biết giá mặt hàng p1,p2 không đổi
ngân sách cho tiêu dùng tăng đơn vị thỡ độ thoả dụng tối ưu U* tăng lên bao nhiêu?
2 Tỡm độ dốc đường bàng quan cho biết ý nghĩa kinh tế độ dốc Giải thớch cụ thể độ dốc x = 16, y = 11
3* Giải tốn với hàm thoả dụng cho đường ngân sách tổng quát:
Giả sử phương án tiêu dùng tối ưu nhận (x*,y*); hóy tớnh giải thớch ý nghĩa kinh tế của:
Giải
Câu 1 Bài tốn có dạng:
0 ,
130
4
max
2
y x
y x
y x xy U
Hàm Lagrange: L(x,y,)xyx2y2(1304x6y) với x,y0 (*) Điều kiện cần
3 11 16
0 130
0
0
y x
y x L
x L
y L
y x
thoả mãn điều kiện (*)
Điều kiện đủ
Ma trận HESS biên có dạng:
0 48
1
1
6 0
2
1
2
H H
L L g
L L g
g g H
yy yx
xy xx
Kết luận Phương án tiêu dùng tối ưu: x 16;y 11 Độ thoả dụng tối ưu U 216
Khi giá mặt hàng không đổi, ngân sách tiêu dùng tăng đơn vị độ thoả dụng tối ưu tăng lượng ; hay có:
3
B U
(Người thi phép sử dụng công thức trên; không yêu cầu chứng minh)
Câu 2 Đây câu hỏi tỷ lệ thay mặt hàng thứ cho mặt hàng thứ nhất, ta áp dụng công thức:
2 /
/
x y y U
x U dx
dy
(*) ) , , ( 1 2
1x p yB p p B
p
B x p x p x
; ,
(37)Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Với x,y0; từ (*) ta khẳng định 0
dx dy
nếu ta xét mức tiêu dùng tối ưu x16;y11 có: 66
,
dx dy
có nghĩa mức tiêu dùng mà ta giảm mặt hàng đơn vị để trì mức thoả dụng 216
U phải tăng mức sử dụng hàng lên 0,66 đơn vị
Câu 3 Ta giải toán tổng quát:
0 ,
max
2
y x
B y p x p
y x xy U
Hàm Lagrange: L(x,y,)xyx2y2(Bp1xp2y) Điều kiện cần
0
0
2
2
y p x p B L
p x
L
p y
L y x
(1)
Giải hệ (1) quy tắc Cramer; ta có:
2 1 2
2 2
1 ; ;
2p p D Bp p p p D p p Bp p
D x y
Ta nhận hàm cầu Marshall:
1
1
2 ;
2
p p B p y
p p p B
x
Dễ chứng minh điều kiện đủ ln thoả mãn có: H 2p1p2 0 Do có:
1 2
p p p B
x
dễ được:
2 ;
0
1 ;
0
) (
1
2
1
p B x p
p x p
p B p
x
Từ kết thấy mặt hàng mặt hàng thay mặt hàng 1; mặt hàng hàng hố bình thường
Bài 50 Một nhóm dân cư có hàm thoả dụng giỏ cỏc mặt hàng tương ứng p1=12;
P2=3
1 Hóy xỏc định phương án tiêu dùng cho cụm dân cư để đạt độ thoả dụng U0=1250
với chi phớ
2* Giả sử chi tiêu cực tiểu C*; phân tích biến động C* p1, p2, U0 thay đổi Giải
Câu 1 Bài tốn có dang:
1250 25
min
12
5 , ,
y x
y x C
(38)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
38
Điều kiện cần
48 , 25 / 12 100 25
0 25
1250
0
, 12
0
, 12 12
5 , ,
5 , ,
5 , ,
y x
y x L
y x L
x y L
y x
Điều kiện đủ Ma trận HESS biên có dạng:
5 , ,
, ,
, ,
5 , ,
, ,
, ,
5 , ,
, ,
25 , 25
,
, 12
25 , 25
,
, 12
5 , 12
, 12
y x y
x y
x
y x y
x y
x
y x y
x H
Để chứng tỏ H 0 khơng nên tính trực tiếp mà khai triển Laplas định thức theo phần tử dòng
Câu 2 Áp dụng cơng thức có:
100 25
25 / 12
2
y p C
x p C U C
Bài 51 Một hóng cú hàm chi phớ TC = 35 + 40Q Cầu loại hàng nước nước tương ứng là: Q1 = 24 - 0,2P1; Q2 = 10 - 0,05P2 đó: Q=Q1+Q2
1 Phải lựa chọn để lợi nhuận lớn trường hợp sau: a Có thể phân biệt giá ngồi nước
b Chỉ đặt giá thống
2 Lợi nhuận cực đại thay đổi trường hợp cầu tối đa nước thay đổi?
Giải
Câu 1 Ta có hai trường hợp:
a Phân biệt giá hai thị trường
Về nguyên tắc hàm lợi nhuận biểu diễn hàm sản lượng hàm giá Trong hàm tổng chi hàm bậc sản lượng hàm cầu hàm cầu xi biểu diễn lợi nhuận qua giá có lợi
Ta có: QQ1Q2 340,2P10,05P2TC3540(340,2P10,05P2) Khi có hàm lợi nhuận:
max 1395
12 32 05
, ,
0 12 22 1 2
P P P P
Điều kiện cần
120 80
12 ,
0 32 ,
2
1
1
P P P
P
(39)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
Điều kiện đủ Ta có ma trận HESS:
0 04 , ;
0 ,
, 0
0 ,
2
1
H H H
H
Kết luận Chiến lược tối ưu hãng:
605 );
4 , ( ); 120 , 80
(
Q
P
b Hai thị trường áp dụng giá thống
Ta đặt P = P1 = P2 có hàm lợi nhuận:
max 1395
44 25
, )
(P P2 P
0 , ) (
88
44 , ) (
P
P P
P
Kết luận Chiến lược tối ưu hãng: 541 ;
6 , ; , ;
88 1 2
Q Q
P
Câu 2 Ta có hàm cầu nước là: Q1a0,2P1; giá P1=0 cầu tối đa a (a >0)
Theo giả thiết hàm cầu nước ngồi khơng đổi Ta lại xét hai trường hợp
a Phân biệt giá hai thị trường
max 435
40 12 ) ( 05 , ,
0 12 22 1 2
P P a P P a
Điều kiện cần
120
0
4 ,
8
12 ,
0
,
2
2
1
P
a a
P P
a P
Điều kiện đủ Ta có ma trận HESS:
0 04 , ;
0 ,
, 0
0 ,
2
1
H H H
H Kết luận
4 ; 120
) (
8 ;
4 ,
8
2 *
2
1
Q P
a a
Q a P
Khi đó: ( 8) 40 285 ( 8)
4
5 2
a a
a
8
20
a khi a
da d
Hay lợi nhuận tối ưu trường hợp tăng cầu tối đa nước tăng
b Hai thị trường áp dụng giá thống
Ta đặt P = P1 = P2 có hàm lợi nhuận:
max 40
435 )
20 ( 25 , )
(P P2 a P a
0 , ) (
0
40
20
, ) (
P
a a
P a
P P
(40)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
40
3 40
8 ,
1
a khi a
Q
80
8 ,
2
a khi a
Q
Ta có: 0,25(2a40)2(a20)(2a40)43540aa235
80 , 40
0
2 a
da d a
a da
d
Hay lợi nhuận tối ưu đồng biến theo a
Bài 52 Hàm thoả dụng nhóm dân cư xác định ẩn hệ thức:
(*)
1 Tớnh x = 1,y = 2; giải thớch ý nghĩa cỏc kết
2 Tớnh x = 1,y = 2; giải thớch ý nghĩa kết
Giải
Cõu Thay x = 1; y = vào (*) ta cú: (*)(u1)(u2u3)0u1
Ta lại cú:
1 ; ;
2
y U x yx U U
F
Như vậy, hệ thức (*) xác định ẩn hàm U=U(x,y) tai điểm M(1,2,1) Theo quy tắc lấy đạo hàm hàm ẩn ta có:
) (
2 /
/
2
yx U
yU x y F
F U F
x F MU
x U
U x
Thay M(1,2,1) vào (1) ta cú:
5 14 1
MU - có nghĩa mức tiêu dùng tăng lượng tiêu dùng mặt hàng thứ đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 2) thỡ độ thoả dụng U tăng 14/5 đơn vị
Tương tự có:
) (
3 /
/
2 2
yx U
xU x y F
F U F
y F MU
y U
U y
Thay M(1,2,1) vào (2) ta cú:
5 11
MU - có nghĩa mức tiêu dùng tăng lượng tiêu dùng mặt hàng thứ đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 1) thỡ độ thoả dụng U tăng 11/5 đơn vị
Ta cú:
x MU x
x U x
U
( ) ( 1)
2
Khi ta phải lấy đạo hàm riêng (1) theo x phải lưu ý U hàm x; thỡ cú kết sau: )
3 ( )
3 (
)
)(
( )
)(
(
2
2
3
3
3
2
yx U
y UU yU x y yx U yU y yx
U yU x y x
U x x
x
Thay x = 1, y = 2; U = 1; Ux14/5vào (3) cú:
) , (x y U U
0 )
, ,
(u x y y3x2U3yxU F
2 2 2
1; ; ,
, ,
y U x
U MU MU y U x U
(41)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
0 448 ,
2
x U
í nghĩa: cú nghĩa mức tiờu thụ trờn tăng thêm đơn vị mặt hàng (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 2) thỡ độ thoả dụng biên mặt hàng giảm 8,488 đơn vị
Tương tự có:
y MU y
y U y
U
( ) ( 2)
2
(tự làm)
Cõu 2 Ta cú x =1; y = thỡ U=1 cú nghĩa phương án tiêu dùng nằm đường bàng quan có phương trỡnh: G(x,y) y3x2yx60 (4)
Lấy vi phõn toàn phần vế (4) cú:
) (
2 /
/
0 2 2
3
x x y
y xy y
G x G dx
dy dy
y G dx x G
Hệ thức (5) cho biết độ dốc đường bàng quan trên; thay x = 1; y = vào (5) thỡ cú: )
6 ( 11 14
dx dy
Hệ thức (6) cho biết độ dốc đường bàng quan x = 1; y =2; tỷ lệ thay biờn hàng hoỏ thứ cho hàng hoỏ thứ Hay núi rừ mức tiêu dùng ta tăng đơn vị mặt hàng thứ thỡ cú thể giảm 14/11 đơn vị hàng thứ mà trỡ độ thoả dụng U =
Bài 53 Cho mụ hỡnh cõn thu nhập quốc dõn:
với giả thiết:
Trong đó: S(Y)-hàm tiết kiệm; T(Y)-hàm thuế; I(Y)-hàm đầu tư; G0- chi tiờu chớnh phủ
1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế giả thiết
2 Hóy phân tích ảnh hưởng chi tiêu chớnh phủ tới thu nhập cõn
Giải
Câu 1 Giả thiết: SY,TY,IY 0- cho biết tốc độ tăng tiết kiệm S, thuế T, đầu tư I theo thu nhập Y Giả thiết: SY TY IY đòi hỏi tốc độ tăng nguồn đầu tư S(Y)+T(Y) phải lớn tốc độ tăng đầu tư I(Y) (vì phần cịn dành cho chi tiêu phủ)
Câu 2 Nếu thu nhập cân Y* có:
0 )
( ) ( ) ( ) , ( )
( ) ( )
(Y T Y I Y G0F Y G0 S Y T Y I Y G0
S (1)
Hệ thức (1) xác định ẩn hàm Yg(G0) Theo quy tắc đạo hàm hàm ẩn:
1 /
/ 0
0
Y Y Y T I S
Y F
G F dG
dY
hay G0 tăng Y* tăng Bài 54 Cho mụ hỡnh:
với giả thiết:
0
) ( ) ( )
(Y T Y I Y G
S
) ( ;
0 ,
,
Y Y Y Y Y
Y T I S T I
S
) (
0
) (
) ( ) (
M r L kY
G r I Y C Y
0 ; ; ;
(42)Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN
42
Trong đó: r-lói suất; C(Y)-hàm tiờu dựng; I(r)- hàm đầu tư, G0-chi tiờu chớnh phủ; M0-lượng cung
tiền
1 Cho biết mụ hỡnh trờn thỡ hàm cầu tiền hàm nào? Phân tích ảnh hưởng G0, M0 tới thu nhập cõn Giải
Câu 1 Điều kiện cân thị trường tiền tệ cung tiền cầu tiền; theo giả thiết cung tiền M0 nên hàm cầu tiền là: kY L(r)- hàm gồm hai số hạng, số hạng tỷ lệ thuận với
thu nhập quốc dân Y số hạng nghịch biến với lãi suất
Câu 2 Gọi thu nhập cân (Y*,r*) Yg(G0,M0);rh(G0,M0) có: )
2 (
) ( )
( )
, , , (
0 )
( ) ( )
, , , (
0
0
0
0
M r L kY M G r Y F
G r I Y C Y M G r Y F
Lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) (2) theo G0:
0
1
0
0
0
G r L G Y k
G r I G Y C G Y
r
r Y
(3)
Ta có định thức Jacobi:
0 )
1 ( )
1 (
r r Y r
r Y
I k L C L
k
I C
J
0
0
0
1
J L G Y L
L I
D r
r r
r
-hay G0 tăng (các yếu tố khác không
đổi) Y* tăng
0
0 ) (
0
2
J k G
r k
k C
D Y - hay G
0 tăng (các yếu tố khác
khơng đổi) r* tăng
Tương tự, lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) (2) theo M0 tìm hai đạo hàm phân tích tĩnh
so sánh cịn lại Theo lí thuyết kinh tế phải có: 0; 0
M r M
Y
(học sinh tự kiểm tra tính tốn)