ĐỀ THI HSG LỚP 9 (THAM KHẢO) MƠN: TỐN THỜI GIAN: 150 PHÚT GVBM: Huỳnh Thị Mai Phương Bài 1: (5 điểm) Cho 0; 1a b≥ ≥ . Chứng minh ( ) 1 2 1a b a b+ + ≥ + − .Đẳng thức xảy ra khi nào? Tìm giá trò của x để biểu thức : A = 2 2 2 5 2 1 x x + + có giá trò lớn nhất? Tìm giá trò lớn nhất đó? Bài 2 : (5 điểm) Cho hệ phương trình :      =+ = − + − 2 1 1 yx m x y y x 1. Giải hệ phương trình khi 2 = m 2. Tìm các giá trò của m để hệ phương trình vô nghiệm. Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của · BAC là AD . Biết AD = 6 ; AC = 9 với · BAC = 68 o . Tính độ dài AD. Bài 4 (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M(C và D là các tiếp điểm khác H). a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi. c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn thi : TỐN ; LỚP 9 Bài 1: Câu a:(3,0 điểm) ( ) 1 2 1a b a b+ + ≥ + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 0 1 1 1 0 a a b b a b ⇔ − + + − − − + ≥ ⇔ − + − − ≥ với b ≥ 1;a ≥ 0; ( điều này luôn đúng) (1,5đ) Dấu bằng xảy ra ⇔ 1 0 1 2 1 1 0 a a b b  − = =   ⇔   = − − =    (0,5đ) Câu b:(2,0 điểm) A = 2 2 2 2 1 4 4 1 2 1 2 1 x x x + + = + + + . (0,5đ) A có giá trò lớn nhất ⇔ 2 4 2 1x + lớn nhất ⇔ 2x 2 +1 nhỏ nhất (0,5đ) mà 2x 2 +1 nhỏ nhất = 1 khi x=0. ( 0,5đ) Vậy khi x =0 thì A có giá trò lớn nhất và giá trò lớn nhất đó là A =1 + 4/1=5 (0,5đ) Bài 2 :( 5 điểm ) 1. Khi m = 2, ta có hệ      =+ = − + − 2 2 1 1 yx x y y x . Hệ này có nghóa khi : x>1 : y>0 (0,5đ) Đặt 0 1 〉= − t y x (3) (0,5đ) Ta có : ( ) ( ) 010122 1 1 2 2 =−⇔=+−⇔=+⇔ ttt t t (0,25đ) 1 =⇔ t (thoả) (0,75đ) ( ) 111 1 1 1 3 =−⇔=−⇔= − ⇔= − ⇔ yxyx y x y x (0, 5đ) Giải hệ phương trình               − = + = ⇔ =+ =− 2 12 2 12 2 1 y x yx yx ( thoả) Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là :        − = + = 2 12 2 12 y x (0,5đ) 2. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được 1 1 2 . 2 1 1 x y x y y x y x − − + ≥ = − − với x>1 ; y>0 (1đ ) (1) (2) (1đ) A C M D O H B I Vậy : 2 1 1 ≥ − + − x y y x (0,5đ) . Nên m < 2 hệ phương trình đã cho vô nghiệm ( 0,5đ) Bài 3: (Vẽ hình đúng đạt 0,5đ) Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC lần lượt là : S 1 , S 2 , S. Ta có : S 1 = 1 2 AB.AD.sinA 1 ( 0,75đ) S 2 = 1 2 AD.AC.sinA 2 ( 0,75đ) S = 1 2 AB.AC.sinA ( 0,75đ) Vì : S = S 1 + S 2 Nên : 1 2 AB.AD.sinA 1 + 1 2 AD.AC.sinA 2 = 1 2 AB.AC.sinA ( 0,5đ) ⇔ AB.AD.sinA 1 + AD.AC.sinA 2 = AB.AC.sinA ( 0,75đ) 1 2 AB.AC.sinA 6.9.sin 68 AD = 6 AB.sinA +AC.sinA 6.sin 34 9.sin34 o o o ⇔ = ≈ + ( 1đ) Bài 5 : (5 điểm). Hình vẽ đúng(0,5 điểm) a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có : 00 18090.2 ˆ 2) ˆˆ (2 ˆˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ===+=+⇒ = = BMAAMHBMHCMHDMH AMHCMH BMHDMH (1,5 điểm). ⇒ C, M, D thẳng hàng. (0,5 điểm). Hình thang ABDC có O là trung điểm của AB, M là trung điểm của CD nên OM là đường trung bình, suy ra OM // AC, mà AC ⊥ CD nên OM ⊥ CD. Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). (0,5 điểm) b) AC + BD = AH + BH = AB không đổi. (1 điểm). OM là đường trung bình của hình thang ACDB nên OM // BD, suy ra OM ⊥ CD (1 điểm). MOI ∆ vuông tại M, MH ⊥ OI ⇒ OH.OI = OM 2 không đổi (vì OM bằng bán kính của đường tròn tâm O). 2 1 K H D C B A . ĐỀ THI HSG LỚP 9 (THAM KHẢO) MƠN: TỐN THỜI GIAN: 150 PHÚT GVBM: Huỳnh Thị Mai Phương Bài. minh rằng tích OH.OI không đổi. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn thi : TỐN ; LỚP 9 Bài 1: Câu a:(3,0 điểm) ( ) 1 2 1a b a b+ + ≥ + − (