KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể phát đề) Câu 1:(5 điểm) a/ Chứng minh 1 3 3 .2 33 33 =         − +         − +− + x x x xx xx (Với 10 ≥ x và 3 ≠ x ) b/ Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng : 9. =       − + − + −       − + − + − ac b cb a ba c b ac a cb c ba Câu 2: (5 điểm) Cho biểu thức P = ) 21 1).( 248 2 82 2 ( 232 2 2 2 x x xxx x x xx −− −+− − + − a. Tìm điều kiện xác đònh của P b. Rút gọn biểu thức P c. Tìm giá trò của x để giá trò của biểu thức P bằng 0 Câu 3: ( 5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, IB, CD. Gọi E là giao điểm của DI và KJ. a/ Chứng minh tứ giác KIEB là hình bình hành. b/ Cho AB = 8cm; BC = 5cm. Tính diện tích của tứ giác KIEB. Câu 4: ( 5 điểm) a/ Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3a ; AC = 4a. Hãy tính theo a độ dài đường cao AH và các đoạn thẳng mà nó đònh ra trên cạnh huyền. b/ Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD và đường cao CE cắt AD tại H. Chứng minh rằng: DA.DH = DB.DC . . . . . .Hết. . . . . . ĐỀ THAM KHẢO ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu 1: a/ Ta có         − +         − +− + x x x xx xx 3 3 .2 33 33 = ( ) ( ) ( )( )         −+ +         − +− + 33 3 .2 33 3 33 xx x x xx x (1 điểm) = ( ) ( ) 3 1 .3 − − x x (0,5 điểm) = 1 (đpcm) (0,5 điểm) b/ Đặt a cb x − = ; b ac y − = ; c ba z − = Khi đó ta có ( ) z yx y xz x zy zyx zyxVT + + + + + +=         ++++= 3 111 (0,5 điểm) Ta có ( )( ) bc a bc abcbc cb a bc babacc cb a c ba b ac cb a x zy 2 22 2 . . = −+− − = −+− − =       − + − − = + (0,5 điểm) Tương tự ta biến đổi được ac b y xz 2 2 = + và ab c z yx 2 2 = + (0,5 điểm) Suy ra :         +++= ab c ac b bc a VT 222 23 ( ) abc cba 333 2 3 ++ += ( ) [ ] abc cbcb 33 3 2 3 +++− += ( ) 9 6 3 = +− += abc cbbc (vì b + c = -a) (1 điểm) Vậy 9. =       − + − + −       − + − + − ac b cb a ba c b ac a cb c ba (đpcm) (0,5 điểm) Câu 2: a. ĐKXĐ của biểu thức là 0 ≠ x và 2 ≠ x (1 điểm) b. Ta có P = ) 21 1)( 248 2 82 2 ( 232 2 2 2 x x xxx x x xx −− −+− − + − 2 2 22 2 2 2 2 . )4()4(2 2 )4(2 2 x xx xxx x x xx −−         +−+ − + − = (1 điểm) 2 2 2 2 2 2 2 . )4)(2( 2 )4(2 2 x xx xx x x xx −−         +− − + − = (0,5 điểm) 2 2 2 22 22 . )4)(2(2 4)2)(2( x xxx xx xxxx −−+ +− −−− = (0,5 điểm) x x x xx xx xx 2 1)2)(1( . )4)(2(2 )4( 22 2 + = −+ +− +− = (1 điểm) c. Khi P = 0 thì 0 2 1 = + x x (0,5 điểm)  x + 1 = 0  x = -1 (0,5 điểm) Câu 3: a/ Ta có IBKD là hình bình hành (vì IB = DK ; IB // DK) => EI // KB (1) (1 điểm) Mặt khác, ta có JBKJIE ∆=∆ (g.c.g) => EI = KB (2) (1 điểm) Từ (1) và (2), suy ra KIEB là hình bình hành. (1 điểm) b/ S KIEB = KI . IB (0,5 điểm) = BC . AB. 2 1 (0,5 điểm) = 5 . 2 1 . 8 = 20 (cm 2 ) (1 điểm) Câu 4: a. Theo đònh lí Py – ta – go ta có : BC = aaa 5)4()3( 22 =+ Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông BC . AH = AB . AC 5 12 5 4.3. a a aa BC ACAB AH ===⇒ (1 điểm) 5 9 5 )3( 22 a a a BC AB BH === (1 điểm) HC = BC – BH = 5a – 5 16 5 9 aa = (1 điểm) b. Chứng minh : DA.DH = DB.DC Xét hai tam giác vuông ABD và CHD, có: DCHDAB ˆˆ = ( Cùng phụ với góc ABC) ABD ∆⇒ đồng dạng với CHD ∆ (1 điểm) ⇒ DH DB DC DA = ⇒ DA.DH = DB.DC (1 điểm) A B CH A B CD E H . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể phát đề) Câu 1:(5 điểm) a/ Chứng minh 1 3. cắt AD tại H. Chứng minh rằng: DA.DH = DB.DC . . . . . .Hết. . . . . . ĐỀ THAM KHẢO ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu 1: a/ Ta có         − +     