đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x A = 23 1 12102 3 )2)(34(2 3)6(6 + + + xxxxxxx xxx điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1 Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình 48 2 + x = 4x - 3 + 35 2 + x Câu 3: (4 điểm) Phân tích ra thừa số A = x 3 y 3 + z 3 - 3xyz Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phơng trình x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = x (y - z) 2 + z (x - y) 2 + y( z-x) 2 (1) t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm)Tìm GTNN của biểu thức = 2221616 2 10 2 10 )1()( 4 1 )( 2 1 yxyx x y y x ++++ Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần. Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA. chứng minh rằng đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0). đáp án đề thi hsg lớp 9- môn toán Câu 1: (4đ) . x - 4 x + 3 = )1(3)1( xxx = ( )1)(33 x . -2x + 10 12 x = 2(-x + 2 )63 + xx = 2( )2)(3 xx . 3 2 xx = -1 (2 - x ) + x (2 - x ) = (2 - x ) ( 1 x ) do x 1; x 4; x 9 0,5 0.5 0.5 A = )2)(3)(1(2 )3(2)1(33)6(6 xxx xxxxx −−− −−−−−+− = )2)(3)(1(2 6233366 xxx xxxxxx −−− +−+−−−− = )2)(3)(1(2 )3()3()3(2)62( xxx xxxxxxx −−− −+−−−−− = )2)(3)(1(2 )2)(3)(1( xxx xxx −−− −−− = 2 1 0.5 0.5 0.5 0.5 C©u 2: (3®) BiÕn ®æi pt ta ®îc 343548 22 −=+−+ xxx  34 3548 13 2 −= +−+ x xx nhËn thÊy x = 1 lµ n 0 . ta c/m x = 1 lµ n 0 ! * x > 1 VT < 1,VP> 1 => x > 1 k 0 ph¶i lµ n 0 . 0 ≤ x < 1: VT > 1, VP < 1=> 0 ≤ x < 1 k 0 ph¶i lµ n 0 . x < 0 : VT > 0 ,VP < 0 => x < 0 k 0 ph¶i lµ n 0 KL: x = 1 lµ n 0 pt 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 C©u 3: (4®) NÕu x + y + z = 0 => x + y = - z A = x 3 + y 3 - [ ] )(3 33 yxyyx +++ + 3xy (x + y) A = 0 => A : x + y + z chia A cho x + y + z ta ®îc A = (x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx) A = 1/2 (x + y + z) [ ] 222 )()()( xzzyyx −+−+− Do max (x; y; z) < x + y + z - max (x; y; z) -> 1/2 (x+y+z) > ( x; y; z) => 1/2(x+y+z) (x - y) 2 ≥ z (x - y) 2 (1 ) 1/2 (x+y+z) (y - z) 2 ≥ x (y - z) 2 (2) 1/2(x+y+z) (z - x) 2 ≥ x (y - z) 2 (3) céng 2 vÕ ta ®îc A ≥ z (x - y) 2 + x (y - z) 2 + y (z - x) 2 (4) 0.5 0.5 05 0.5 0.5 0.5 0.5 Dấu = (4) tức pt (8) xảy ra có dấu bằng (1); (2); (3) x = y = z = t ; ( t> 0; t N * ) 0.5 Câu 4: (3đ) áp dụng BĐT co - si cho 4 số dơng ta có: 2221616 2 10 2 10 )1( 2 5 )( 2 1 )( 2 1 yxyx x y y x +++++ => Q - 2 5 . Do đó GTNN của Q = - 2 5 dấu bằng xảy ra khi x 2 = y 2 = 1 0.5 0.5 1 1 Câu 5: (3đ) Gọi H; D; P lần lợt là chân các đờng cao, phân giác trung tuyến hạ từ B, xuống cạnh AC. A Ta có: AB 2 + AC 2 = AC 2 => ABC tại B S ABC = 6 (cm 2 ) S ABP = S CBP = 3 (cm) 2 VT = 4 3 === BC BA DC DA S S CBD ABD nên S ABC = 4 7 S CBD -> S CBD =24/7 (cm 2 ) S BDP = S CBD - S CBP = 7 24 - 3 = 7 3 (cm 2 ) ----------------------------------------------------------------------------------- Bài 6: (3đ) Ta có: góc AHQ = gócCHN = gócCBD = gócCAD => QAH cân tại Q nói cách khác Q là TĐ của AD T 2 : P là TĐ của CD Do đó PQ // AC Ta thấy: góc CBH = góc NMH (do tứ giác BMHN nội tiếp) Hơn nữa: góc HQP = góc AHQ = góc CHN = góc CBH => góc NQP = góc NMP nên 4 điểm M; N; P; Q cùng nằm trên (0) ơ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ---------- . x + y + z = 0 => x + y = - z A = x 3 + y 3 - [ ] )(3 33 yxyyx ++ + + 3xy (x + y) A = 0 => A : x + y + z chia A cho x + y + z ta ®îc A = (x + y + z). z) (x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx) A = 1/2 (x + y + z) [ ] 222 )()()( xzzyyx + + Do max (x; y; z) < x + y + z - max (x; y; z) -> 1/2 (x+y+z) >