ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊU Năm học:2009-2010 Môn: Toán 9( Vòng 2) - Thời gian:120 phút Bài 1: Cho biểu thức: P= 2 1 2 1 : 1 1 1 1 x x x x x x x x x   − − + − +  ÷  ÷ + − + + +   a, Nêu ĐKXĐ và rút gọn P b, So sánh P và |P| c, Tìm m để phương trình (ẩn x ) P= 1 m x x + có 2 nghiệm phân biệt Bài 2: Cho Parabol(P): 2 1 2 y x= và đường thẳng (d): 2mx y+ = a, Chứng minh khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua 1 điểm cố định b, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B c, Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Bài 3: a, Cho x, y thoả mãn: 2 2 1 1x y y x− + − = 1(1) . Chứng minh: 2 2 1x y+ = (2) b, Từ đẳng thức (2) có thể suy ra đẳng thức (1) được không? Vì sao? Bài 4: Cho đường tròn (O;R) và điểm P ở bên trong đường tròn đó. Qua P vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh: a, PA.PB = PC.PD b, Tổng AC²+CB²+BD²+DA² không phụ thuộc vào vị trí điểm P c, Khoảng cách từ tâm O đến AC bằng nửa độ dài cạnh BD d, Nếu điểm P cố định, hai dây AB và CD thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại P thì hãy xác định vị trí của AB và CD để S ACBD lớn nhất? ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊU Năm học:2009-2010 Môn: Toán 9( Vòng 2) - Thời gian:120 phút Bài 1: Cho biểu thức: P= 2 1 2 1 : 1 1 1 1 x x x x x x x x x   − − + − +  ÷  ÷ + − + + +   a, Nêu ĐKXĐ và rút gọn P b, So sánh P và |P| c, Tìm m để phương trình (ẩn x ) P= 1 m x x + có 2 nghiệm phân biệt Bài 2: Cho Parabol(P): 2 1 2 y x= và đường thẳng (d): 2mx y+ = a, Chứng minh khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua 1 điểm cố định b, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B c, Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Bài 3: a, Cho x, y thoả mãn: 2 2 1 1x y y x− + − = 1(1) . Chứng minh: 2 2 1x y+ = (2) b, Từ đẳng thức (2) có thể suy ra đẳng thức (1) được không? Vì sao? Bài 4: Cho đường tròn (O;R) và điểm P ở bên trong đường tròn đó. Qua P vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh: a, PA.PB = PC.PD b, Tổng AC²+CB²+BD²+DA² không phụ thuộc vào vị trí điểm P c, Khoảng cách từ tâm O đến AC bằng nửa độ dài cạnh BD d, Nếu điểm P cố định, hai dây AB và CD thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại P thì hãy xác định vị trí của AB và CD để S ACBD lớn nhất? HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM Bài1 a, 1 điểm b, 1 điểm c, 0.5 đ ĐK: 0; 4x x≥ ≠ P= 2 1 2 1 : 1 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x   − − + − +  ÷  ÷ + − + + − + +   = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 : 1 1 1 x x x x x x x x x x − + − − + − + − + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 : . 1 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x + − + − − − − = + + + − + − + = 1 1 x x x − + + Ta có: 2 1 3 1 0 2 4 x x x   − + = − + >  ÷   ⇒ P = 1 0 1 x x x − + > + ⇒ P=|P| P= 1 ( 1) 1 0 1 m x x x m x x m x x ⇒ − + = ⇔ − + + = + Đặt ( ) 0x t t= ≥ phương trình trở thành: 2 ( 1) 1 0t m t− + + = (1) để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình 2 có 2 nghiệm ≥0 và ≠2 ĐK 2 ( 1) 4 0m + − > 1m > − 1m > − 1 0m + > ⇒ 3m < − ⇒ 3 2 m ≠ 5 2( 1) 0m− + ≠ 1m > − 3 2 m ≠ Vậy với m>-1 và m≠ 3 2 thì pt(1) có 2 nghiệm phân biệt 0.25đ 0.25đ 0.5 đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Bài2 a, 1 điểm b, 1 điểm c, 0.5 điểm Gọi điểm cố định là I( 0 0 ;x y ) 0 0 2mx y⇒ + = với ∀m 0 0 2 0mx y⇔ + − = với ∀m ⇔ x 0 =0 y 0 =2 Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là I(0;2) Từ 2 2mx y y mx+ = ⇒ = − Ta xét pt: 2 1 2 2 x mx= − + 2 2 4 0x mx⇔ + − = có 2 ' 4 0m∆ = + > với ∀m ⇒ (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt Gọi toạ độ A và B lần lượt là ( ; ) A A x y và ( ; ) B B x y Ta có: 2 2 2 4; 4 2 A A x m m y m m m= − − + = + + + 2 2 2 4; 4 2 B B x m m y m m m= − + + = − + + AB²= 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4( 4) 4 ( 4) A B A B x x y y m m m− + − = + + + = 4 2 4 20 16 16m m+ + ≥ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ P H K O b, 1 d c, 1 điểm d, 1 điểm Vẽ đường kính CE ⇒ AB//DE ( cùng ⊥ CD) ⇒Hình thang ABED nội tiếp đường tròn là hình thanh cân. Do đó BD=AE; AD=BE ta có: AC²+CB²+BD²+DA² =(AC²+AE²)+(BC²+BE²) = CE²+CE²=4R²+4R²=8R² Không phụ thuộc vào vị trí điểm P Vẽ OI ⊥ AC( I là trung đỉêm AC) Trong ∆CAE có OI là đường trung bình nên OI= 1 2 AE mà AE =BD ⇒OI= 1 2 BD Vì AB⊥CD nên S ABCD = 1 2 AB.CD Tính được AB²+CD²=4(2R²-OP²) (P cố định) Dấu “=” xảy ra ⇔ AB=CD ⇔ OH=OK ⇒PO là phân giác của ∠ HPK Khi đó AB và CD hợp với PO 1 góc 45º thì S ABCD lớn nhất 0.5 đ 0.5 đ 0.5d 0.5 đ 0.5d 0.5 đ Chó ý: mäi c¸ch gi¶i kh¸c ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a. . − + = + + + 2 2 2 4; 4 2 B B x m m y m m m= − + + = − + + AB²= 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4( 4) 4 ( 4) A B A B x x y y m m m− + − = + + + = 4 2 4 20 16 16m m+ +. x x x x x x + − + − − − − = + + + − + − + = 1 1 x x x − + + Ta có: 2 1 3 1 0 2 4 x x x   − + = − + >  ÷   ⇒ P = 1 0 1 x x x − + > + ⇒ P=|P| P=