Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp LỜI MỞ ĐẦU - Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này. - Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải các dạng toán này. - Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để học sinh tham khảo trong quá trỉnh học. - Đề tài gồm bốn phần : khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất, hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc ω. - Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh. Trang 1 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp MỤC LỤC I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp 1. Có hai giá trị R 1 ≠ R 2 cho cùng một giá trị công suất 2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại. 3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm. 1. Có hai giá trị L 1 ≠ L 2 cho cùng giá trị công suất 2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng. 3. Giá trị Z L để hiệu điện thế U Lmax 4. Có hai giá trị L 1 ≠ L 2 cho cùng giá trị U L ,giá trị L để U Lmax tính theo L 1 và L 2 . 5. Giá trị Z L để hiệu điện thế U LRrmax III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp. 1. Có hai giá trị C 1 ≠ C 2 cho cùng giá trị công suất 2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng. 3. Giá trị Z C để hiệu điện thế U Cmax 4. Có hai giá trị C 1 ≠ C 2 cho cùng giá trị U L và giá trị Z C để U Cmax tính theo C 1 và C 2 . 5. Giá trị Z C để hiệu điện thế U CRrmax IV. Sự thay đổi ω trong mạch R-L-C mắc nối tiếp 1. Giá trị ω làm cho P max 2. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω. 3. Có hai giá trị ω 1 ≠ ω 2 cho cùng công suất và giá trị ω làm cho P max tính theo ω 1 và ω 2 4. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U Lmax 5. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U cmax Trang 2 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp: Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : 0 cos( ) u u U t ω ϕ = + R là một biến trở, các giá trị R 0 , L và C không đổi. Gọi R td = R + R 0 1. Có hai giá trị R 1 ≠ R 2 cho cùng một giá trị công suất - Công suất tiêu thụ trên mạch là : 2 2 2 2 ( ) td td td L C U P R I R R Z Z = = + − - Vì P 1 = P 2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi ứng với hai giá trị R 1 và R 2 . Khai triển biểu thức trên ta có: 2 2 2 ( ) 0 td td L C PR R U P Z Z− + − = - Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt R 1 và R 2 . Theo định lý Viète (Vi-et): 2 2 1 2 1 0 2 0 2 2 1 2 1 2 0 . ( ) ( )( ) ( ) 2 td td L C L C td td R R Z Z R R R R Z Z U U R R R R R P P   = − + + = −   ⇔   + = + + =     - Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R 1 và R 2 khác nhau cho cùng giá trị công suất 2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại - Ta có: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) td td L C td L C td td U U P R I R Z Z R Z Z R R = = = − + − + - Đặt 2 ( ) L C td td Z Z A R R − = + , áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A 2 2 ( ) ( ) 2 2 L C L C td td L C td td Z Z Z Z A R R Z Z const R R − − = + ≥ = − = - Ta thấy rằng P max khi A min => “ =” xảy ra. Vậy: td L C R Z Z = − - Khi đó giá trị cực đại của công suất là: 2 2 2 max 1 2 1 0 2 0 2 2 . 2 ( )( ) L C td td U U U P Z Z R R R R R R = = = − + + Với R 1td và R 2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất. Lưu ý: Khi 0L C Z Z R− < thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0. b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại - Công suất của biến trở R là 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) R L C L C U U P R I R R R Z Z R R Z Z R = = = + + − + + − Trang 3 A B C R L,R 0 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp - Đặt mẩu thức của biểu thức trên là : 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 L C L C R R Z Z R Z Z A R R R R + + − + − = = + + - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 L C L C L C R Z Z R Z Z A R R R R R Z Z R const R R + − + − = + + ≥ + = + − + = - Ta thấy rằng P Rmax khi A min nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó: 2 2 0 ( ) L C R R Z Z = + − - Công suất cực đại của biến trở R là: 2 max 2 2 0 0 2 ( ) 2 R L C U P R Z Z R = + − + c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại. - Ta có : 2 2 2 â 0 0 2 2 0 ; ; ( ) ( ) d y d L c C L C P R I U I Z R U IZ U I R R Z Z = = + = = + + − - Vì R 0 ; Z L ; Z C và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng I max khi giá trị của biến trở R = 0. 3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R - Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số: - Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số: 2 2 2 2 0 ( ) td td td L C td U P R I R R Z Z R R R = = + − = + - Đạo hàm P theo biến số R td ta có: 2 2 ' 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( ) ) L C td td L C Z Z R P R U R Z Z − − = + − Khi ' 2 2 0 ( ) 0 ( ) 0 L C td td L C L C P R Z Z R R Z Z R Z Z R= ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = − − Bảng biến thiên : R 0 0L C Z Z R− − +∞ P’(R) + 0 - P(R) 2 max 2 L C U P Z Z = − 2 0 2 2 0 ( ) L C U P R R Z Z = + − 0 Trang 4 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp Đồ thị của P theo R td : Nhận xét đồ thị : • Từ đổ thị ta thấy rằng có hai giá trị R 1 và R 2 cho cùng một giá trị của công suất. • Công suất đạt giá trị cực đại khi 0 0 L C R Z Z R= − − > • Trong trường hợp 0 0 L C R Z Z R= − − < thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0. • Nếu R 0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm cho công suất của toàn mạch cực đại là L C R Z Z= − Kết luận: • Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy. • Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở. II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm. Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : 0 cos( ) u u U t ω ϕ = + L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi R và C không đổi. 1. Có hai giá trị L 1 ≠ L 2 cho cùng giá trị công suất - Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên: Trang 5 P R O P max R=Z L - Z C - R 0 2 max 2 L C U P Z Z = − 2 0 2 2 0 ( ) L C U P R R Z Z = + − A B C R L Z L 0 Z L = Z C +P(Z L ) + 0 -P(Z L ) 0 Mt s bi toỏn cc tr trong mch RLC ni tip 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) L C L C U U P P R R R Z Z R Z Z = = + + - Khai trin biu thc trờn ta thu c : 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) L C L C L C L C L C L C Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z = = = (loaùi) (nhaọn) - Suy ra : 1 2 1 2 2 2 2 L L C Z Z Z L L C + = + = 2. Kho sỏt s bin thiờn ca cụng sut theo cm khỏng Z L - Ta cú cụng sut ton mch l: 2 2 2 ( ) L C U P R R Z Z = + , vi R, C l cỏc hng s, nờn cụng sut ca mch l mt hm s theo bin s Z L - o hm ca P theo bin s Z L ta cú: 2 2 2 2 '( ) 2 '( ) 0 [ ( ) }] c L L L L C Z Z P Z RU P Z R Z Z = = + khi L C Z Z= - Bng bin thiờn - th ca cụng sut theo Z L : Trang P Z L O P max Z L = Z C 2 max U P R = 2 2 2 C U P R R Z = + 6 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp - Nhận xét đồ thị: • Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất • Công suất của mạch cực đại khi 1 2 2 L L L C Z Z Z Z + = = , với 1 2 ; L L Z Z là hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất. Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của Z L sẽ cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZ L . Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá trị của Z L trong một số bài toán. 3. Giá trị Z L để hiệu điện thế U Lmax - Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là : 2 2 ( ) L L L L C U U IZ Z R Z Z = = + − , trong đó R; Z C và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến số là Z L . Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể hơn và rút ra nhiều kết luận hơn. - Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có : sin( ) sin L U U α β γ = + - Vì 2 2 sin cos R RC C U R const U R Z γ β = = = = + , suy ra sin( ) sin( ) sin cos L U U U α β α β γ β = + = + - Do cosβ và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế U Lmax khi sin( ) 1 2 π α β α β + = ⇒ + = - Theo hệ thức của tam giác vuông ta có: 2 RC C L U U U= , từ đó suy ra 2 2 L C C Z Z R Z= + - Tóm lại: • Khi 2 2 C L C R Z Z Z + = thì 2 2 max C L R Z U U R + = • Khi U Lmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn u RC một góc 90 0 . 4. Có hai giá trị L 1 ≠ L 2 cho cùng giá trị U L , giá trị L để U Lmax tính theo L 1 và L 2 . - Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) L L L L L L L C L C Z Z U U Z I Z I R Z Z R Z Z = ⇔ = ⇔ = + − + − - Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được: Trang 7 i U R U RC U O U C U L α β γ Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L L C L L C C L L C Z Z R Z Z Z Z R Z Z Z Z = + + − + + − - Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì 2 2 L C C Z Z R Z= + với giá trị Z L là giá trị làm cho U Lmax . Thay vào biểu thức trên: 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 L L L C L L C L C L L C Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z = + − + − - Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được: 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 ( ) L L L L L L L Z Z Z Z Z Z Z− = − - Vì L 1 ≠ L 2 nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 L L L L L Z Z L L Z L Z Z L L = ⇔ = + + với giá L là giá trị là cho U Lmax 5. Giá trị Z L để hiệu điện thế U LRrmax - Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) L LR L L C L C L U R Z U U I R Z R Z Z R Z Z R Z + = + = = + − + − + - Đặt 2 2 2 2 ( ) L C L R Z Z MT R Z + − = + , ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số Z L để tìm giá trị của Z L sao cho MT min khi đó giá trị của U Lrmax . Đạo hàm của MT theo biến số Z L ta thu được : 2 2 2 2 ' 2 2 2 2( )( ) 2 [ ( ) ] ( ) ( ) L C L L L C L L Z Z R Z Z R Z Z MT Z R Z − + − + − = + - Cho MT’(Z L ) = 0 ta có : 2 2 2 0 C L C L C Z Z Z Z Z R− − = . Nghiệm của phương trình bậc hai này là: 1 2 2 2 2 2 4 0 2 4 0 2 C C L C C L Z R Z Z Z R Z Z  + +  = >   − +  = <   . Lập bảng biến thiên ta có: Z L 0 2 2 4 2 C C L Z R Z Z + + = +∞ MT’(Z L ) - 0 + MT (Z L ) 2 2 2 4 2 C C R Z Z R   + −  ÷  ÷   [ Trang 8 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp - Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên U LR đạt giá trị lớn nhất. Ta thu được kết quả sau: Khi 2 2 4 2 C C L Z R Z Z + + = thì ax 2 2 2 R 4 RLM C C U U R Z Z = + − III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp . Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : 0 cos( ) u u U t ω ϕ = + R là điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không đổi và C có giá trị thay đổi . Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở 2 2 2 2 ( ) ( ) L C C L Z R Z Z R Z Z= + − = + − do đó ta thấy rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau: 1. Có hai giá trị C 1 ≠ C 2 cho cùng giá trị công suất Với hai giá trị C 1 và C 2 cho cùng giá trị công suất ta có 1 2 0 1 2 0 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 C C L C C C C Z Z C C Z Z L C C ω  =  + +  = = ⇔  = +   Với giá trị C 0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại 2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng - Bảng biến thiên: Z C 0 Z C = Z L +∞ P’(Z C ) + 0 - P(Z C ) 2 max U P R = 2 2 2 L U P R R Z = + 0 - Đồ thị của công suất theo giá trị Z C : Trang P Z C O P max Z L = Z C 2 max U P R = 2 2 2 L U P R R Z = + 9 A B C R L Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp 3. Giá trị Z C để hiệu điện thế U Cmax - Khi 2 2 L C L R Z Z Z + = thì : • 2 2 ax L CM U R Z U R + = và 2 2 2 2 2 2 ax ax ax ; 0 CM R L CM L CM U U U U U U U U= + + − − = • u RL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch 4. Có hai giá trị C 1 ≠ C 2 cho cùng giá trị U C ,giá trị Z C để U Cmax tính theo C 1 và C 2 - Khi có hai giá trị C = C 1 hoặc C = C 2 cho cùng giá trị U C thì giá trị của C làm cho U Cmax khi 1 2 1 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 C C C C C C Z Z Z + = + ⇒ = 5. Giá trị Z C để hiệu điện thế U RCmax - Khi 2 2 4 2 L L C Z R Z Z + + = thì ax 2 2 2 R 4 RCM L L U U R Z Z = + − ( Với điện trở R và tụ điện mắc gần nhau) IV. Sự thay đổi ω trong mạch R-L-C mắc nối tiếp 1. Giá trị ω làm cho P max - Ta có 2 2 2 2 1 U P RI R R L C ω ω = =   + −  ÷   , từ công thức này ta thấy rằng công suất của mạch đạt giá trị cực đại khi: 0 1 1 0L LC ω ω ω ω − = ⇒ = = . Với 2 max U P R = - Khi đó Z min = R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng pha nhau. 2. Có hai giá trị ω 1 ≠ ω 2 cho cùng công suất và giá trị ω làm cho P max tính theo ω 1 và ω 2 : - Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 2 P P U U R R R L R L C C ω ω ω ω = ⇔ = + − + − - Biến đổi biểu thức trên ta thu được : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 (1) 1 1 ( )(2) L L C C L L C C ω ω ω ω ω ω ω ω  − = −     − = − −   - Vì ω 1 ≠ ω 2 nên nghiệm (1) bị loại - Khai triển nghiệm (2) ta thu được : 1 2 1 LC ω ω = - Theo kết quả ta có : 2 0 1 2 1 LC ω ωω = = với ω 0 là giá trị cộng hưởng điện. Trang 10 [...]... cực trị trong mạch RLC nối tiếp 3 Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω P = RI 2 = R U2 2 - Ta có - Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét sau: 1   R + ωL − ωC ÷   2 • • - Khi ω = 0 thì Z C = Khi ω = ω0 = 1 → ∞ làm cho P = 0 ωC 1 thì mạch cộng hưởng... công suất trên LC mạch cực đại • Khi ω → ∞ thì Z L = ω L → ∞ làm cho P = 0 Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị : ω ω = ω0 = 0 1 LC +∞ U2 R P(ω) 0 0 P Pmax 0 - ω= 1 LC ω Nhận xét đồ thị: • Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị ω1 ≠ ω2 cho cùng một giá trị công suất, điều này phù hợp với những biến đổi ở phần trên Trang 11 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp 4... biến thiên: Vì x > 0 ⇒ C x 2 LC − R 2C 2 0 ∞ 2L A’(x) - 0 + A(x) - Amin Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là: ω= Nhận xét : Khi x ≤ 0 ⇒ a= 1 C 1 L R 2 và − C 2 U LMax = 2U L R 4 LC − R 2C 2 2L ≤ R 2 thì Amin khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số C 1 > 0 nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong miền xác C2 định của x Khi đó ω... với những biến đổi ở phần trên Trang 11 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp 4 Giá trị ω làm cho hiệu điện thế ULmax 2 - U U 1   U L = I Z L = Z L = 2 R2 +  ω L − Z , đặt  Z  Z ωC ÷ Ta có :   A= ÷ = ZL ZL  (ω L) 2  2 - R2  1  Biến đổi biểu thức A ta thu được : A = 2 2 + 1 − 2 ÷ ω L  ω LC  2 1 R2 x  x + 1 − ÷ Ta tiếp tục đặt x = 2 > 0 khi đó A = ω L L  C R2 2  x − 1... Khi đó ω rất lớn làm cho ZL rất lớn làm cho I = 0 Do đó không thể tìm giá trị ω làm cho ULmax 5 Giá trị ω làm cho hiệu điện thế Ucmax - Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị ω làm cho UCmax là: - Khi ω= 1 L R2 − L C 2 thì U CMax = 2U L R 4 LC − R C 2 2 với 2L > R2 C Trang 12 . Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp: Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định. Trang 1 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp MỤC LỤC I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp 1. Có hai giá trị R 1 ≠ R 2 cho cùng một