Đang tải... (xem toàn văn)
Từ Định lý 1.11 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ X hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ V0 theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nh[r]
(1)GIẢI TÍCH LỒI Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế 20/10/2005 Lop12.net (2) Mục lục Mục lục Chương 1 Tập lồi 1.1 Tập lồi - Đa tạp affine 1.1.1 Đa tạp affine 1.1.2 Tập lồi 1.1.3 Nón lồi 1.1.4 Định lý Carathéodory 1.2 Định lý tách tập lồi 1.2.1 Định lý Hahn-Banach 1.2.2 Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii 1.2.3 Định lý tách tập lồi 1.3 Không gian tôpô lồi địa phương 1.3.1 Không gian tôpô 1.3.2 Không gian tôpô tuyến tính 11 1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương 13 1.3.4 Tôpô lồi địa phương mạnh 14 1.3.5 Không gian tích - Phần bù tôpô 15 1.4 Tập lồi không gian tôpô lồi địa phương 16 1.4.1 Sự liên tục phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn 16 1.4.2 Các tính chất tôpô 18 1.4.3 Nón lùi xa tập lồi 19 Chương Không gian liên hợp - Tôpô yếu 21 2.1 Định lý tách 21 2.1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 21 2.1.2 Định lý Tách 22 2.1.3 Định lý Tách mạnh 23 Lop12.net (3) 2.2 Tôpô yếu - Tôpô yếu* 23 2.2.1 Tôpô yếu trên X 23 2.2.2 Tôpô yếu* trên X ∗ 24 2.2.3 Cặp đối ngẫu tổng quát 25 2.2.4 Không gian Banach phản xạ 26 Chương Hàm lồi 28 3.1 Cấu trúc hàm lồi 28 3.1.1 Định nghĩa hàm lồi 28 3.1.2 Các phép toán trên hàm lồi 29 3.2 Sự liên tục hàm lồi 30 3.2.1 Hàm nửa liên tục 30 3.2.2 Sự liên tục hàm lồi 31 3.3 Hàm liên hợp 32 3.3.1 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine 32 3.3.2 Hàm liên hợp 33 3.4 Dưới vi phân hàm lồi 34 3.4.1 Định nghĩa 34 3.4.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 35 3.4.3 Các phép toán qua vi phân 36 3.4.4 Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi 37 Tài liệu tham khảo 39 Lop12.net (4) Chương TẬP LỒI 1.1 1.1.1 Tập lồi - Đa tạp affine Đa tạp affine Cho X là không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) là đường thẳng qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x và y Tức là L(x, y) = {λx + (1 − λ)y [x, y] = {λx + (1 − λ)y (x, y) = {λx + (1 − λ)y [x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R}, | λ ∈ [0, 1]}, | λ ∈ (0, 1)}, | λ ∈ (0, 1]} Một tập M ⊂ X gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, với cặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M Từ định nghĩa này ta có tính chất sau a) Giao họ các đa tạp affine là đa tạp affine Nếu A ⊂ X là tập X ta gọi bao affine A, ký hiệu Aff(A), là giao tất các đa tạp affine chứa A Từ tính chất a) Aff(A) là đa tạp affine và là đa tạp affine bé chứa A Thật tập Aff(A) có thể biểu diễn cách tường minh Ta gọi véctơ có dạng m X X x= λi , với λi ∈ R thoả mãn λi = i=1 là tổ hợp affine các véctơ {a1 , a2 , · · · , am } Ta nhận các tính chất sau b) Aff(A) = {x | x là tổ hợp affine các vectơ thuộc A} Lop12.net (5) c) A là đa tạp affine và A = Aff(A), tức là m nX o X A= λi | m ∈ N∗ ; ∈ A; λi ∈ R : λi = 1 d) M là đa tạp affine và với m ∈ M ta có M − m ≤ X, tức là M = m + V, với V là không gian X Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều M chính là chiều và đối chiều V : dim M := dim V ; codim M := codim V Nếu codim M = ta nói M là siêu phẳng Bây Y là không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Đặc biệt Y = R, ta đặt X # := L(X, R), là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X e) M ⊂ X là siêu phẳng và tồn f ∈ X # \ {0} và α ∈ R cho M = f −1 (α) = {x ∈ X | f (x) = α} f) Nếu codim M = k ∈ N thì tồn các siêu phẳng M1 , M2 , · · · , Mk cho M= k \ Mi 1.1.2 Tập lồi Tập hợp C ⊂ X gọi là lồi với cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C a) Giao họ các tập lồi là lồi Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi tập A ⊂ X, ký hiệu co A, là giao tất các tập lồi chứa A Từ tính chất trên co A là tập lồi và là tập lồi bé chứa A P Một tổ hợp affine x = m i=1 λi với các λi ≥ gọi là tổ hợp lồi các véctơ {a1 , · · · , am } b) co A = {x | x là tổ hợp lồi các vectơ thuộc A} c) C là tập lồi và C = co C, tức là m m nX o X C= λi | m ∈ N∗ ; ∈ C; λi ≥ : λi = 1 Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều C chính là số chiều Aff(C): dim C := dim Aff(C) d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA lồi Lop12.net (6) 1.1.3 Nón lồi Một tập K ⊂ X gọi là nón với điểm k ∈ K và λ > ta có λk ∈ P K Nếu nữa, K là tập lồi thì nó gọi là nón lồi Một tổ hợp tuyến tính m i=1 λi gọi là tổ hợp dương λi ≥ với i, là tổ hợp dương không tầm thường tồn ít hệ số λi dương chặt a) Giao họ các nón lồi là nón lồi Ta gọi bao nón lồi tập A ⊂ X, ký hiệu co A, là nón lồi bé chứa A Lúc đó, b) co A = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A} c) K là nón lồi và K = co K, tức là m m nX X K= λi ki | m ∈ N; ki ∈ K; λi ≥ : λi > 0} 1 d) Nếu K1 , K2 là các nón lồi chứa gốc thì K1 + K2 = co(K1 ∪ K2 ) 1.1.4 Định lý Carathéodory Định lý 1.1 Cho A ⊂ X Lúc đó, với k ∈ co A \ {0}, tồn hệ độc lập tuyến tính {a1 , a2 , · · · , am } ⊂ A và các số dương λ1 , · · · , λm cho m X λ i k= Chứng minh Giả sử k ∈ co A \ {0}, P lúc đó k biểu diễn dạng tổ m hợp dương các vectơ thuộc A: k = λi với λi > với i Nếu hệ {a1 , a2 , · · · , am } phụ P thuộc tuyến tính, thì tồn hệ số (µ1 , · · · , µm ), với ít µj > 0, cho m µi = Bây đặt o λ nλ s j µj > = , t0 = µj µs ta λi := λi − t0 µi ≥ 0, ≤ i ≤ m, và X X k= λ i ; λi = i6=s i6=s Định lý chứng minh Định lý 1.2 (Carathéodory) Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊂ X Lúc đó, với x ∈ co A, x là tổ hợp lồi họ không quá n + vectơ thuộc A Tức là, tồn hệ {a0 , a1 , · · · , am } ⊂ A và các số λ0 , · · · , λm ≥ 0, với m ≤ n, cho m m X X λi = và x = λ i 0 Lop12.net (7) Chứng minh Đặt B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y = X × R Dễ thấy co B = co A × {1} Do đó, với x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈ co B ⊆ co B Theo Định lý 1.1 tồn m vectơ độc lập tuyến tính {(a0 , 1), (a1 , 1), · · · , (am , 1)} ⊆ B và các số dương λi cho m X (x, 1) = λi (ai , 1), tức là x= m X λ i ; m X λi = Cuối cùng, chú ý dim Y = n+1 nên m ≤ n và định lý đã chứng minh 1.2 Định lý tách tập lồi 1.2.1 Định lý Hahn-Banach Cho X là không gian vectơ Một ánh xạ ϕ : X → R gọi là phiếm hàm tuyến tính a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với x, y ∈ X; b) ϕ(λx) = λϕ(x) với λ > 0, x ∈ X Định lý 1.3 (Hahn-Banach) Cho ϕ là phiếm hàm tuyến tính trên X, M là không gian X và f ∈ M # thoả mãn f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M Lúc đó, tồn F ∈ X # cho a) F |M = f ; b) F (x) ≤ ϕ(x) với x ∈ X Chứng minh Ta xét tập hợp U mà phần tử nó là cặp (Y, g) đó M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y # , g|M = f và g(y) ≤ ϕ(y) với y ∈ Y Trên U ta định nghĩa quan hệ hai ngôi α xác định (Y, g) α(Z, h) ⇔ Y ≤ Z; h|Y = g Có thể kiểm chứng (U, α) là không gian thứ tự, đó tập thẳng tồn phần tử chận trên Theo Bổ đề Zorn, U tồn phần tử tối đại (Y, g) Ta Y = X và điều đó kết thúc chứng minh Giả sử ngược lại tồn v ∈ X \ Y Với cặp y1 , y2 ∈ Y ta có g(y1 ) − g(y2 ) = g(y1 − y2 ) ≤ ϕ(y1 − y2 ) ≤ ϕ(y1 + v) + ϕ(−y2 − v) Lop12.net (8) ⇒ λ = sup{g(y1 ) − ϕ(y1 + v) | y1 ∈ Y } ≤ µ = inf{g(y2 ) + ϕ(−y2 − v) | y2 ∈ Y } Với y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y) − tλ Dễ kiểm chứng h ∈ Z # , với Z là không gian sinh Y và v, thỏa mãn h|Y = g Mặt khác, h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với y + tv ∈ Z Vậy (Y, g) 6= (Z, h) ∈ U và (Y, g) α(Z, h), mâu thuẫn vì (Y, g) là phần tử tối đại Định lý đã chứng minh Hệ 1.1 Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian X Lúc đó, với f ∈ M ∗ , tồn F ∈ X ∗ cho F |M = f và kF k = kf k Chứng minh Sử dụng Định lý 1.3 với ϕ(x) = kf kkxk Hệ 1.2 Cho X là không gian định chuẩn và x0 ∈ X \ {0} Lúc đó, tồn f ∈ X ∗ cho kf k = và f (x0 ) = kx0 k Chứng minh Sử dụng Hệ 1.1 với M = span{x0 } và f (λx0 ) = λkx0 k 1.2.2 Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii Một tập A không gian vectơ X gọi là hấp thụ ∀v ∈ X, ∃ > 0, (−v, v) ⊂ A hay, cách tương đương, ∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, v ∈ tA Một điểm x0 gọi là điểm bọc A A − x0 là hấp thụ Tập tất các điểm bọc A, ký hiệu core A, gọi là lõi A Như vậy, x0 ∈ core A ⇔ ∀v ∈ X, ∃ > 0, ∀λ ∈ (−, ) : x0 + λv ∈ A Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là mở rộng khái niệm điểm không gian định chuẩn Hơn nữa, ta có kết sau Mệnh đề 1.4 Nếu X là không gian định chuẩn và A ⊂ X, thì a) Int A ⊂ core A b) Nếu dim X < ∞ và A lồi, thì Int A = core A Lop12.net (9) Chứng minh Khẳng định a) suy trực tiếp từ định nghĩa Để chứng minh b) ta giả thiết {e1 , e2 , · · · , en } là sở X Vì chuẩn trên X tương đương nên không tính tổng quát ta có thể xét chuẩn k · k1 xác định k n X xi ei k1 := i=1 n X |xi | i=1 Với x0 ∈ core A, tồn > cho x0 ± ei ∈ A với i = n Do A lồi nên B := co{x0 ± ei | ≤ i ≤ n} ⊂ A Để kết thúc chứng minh ta chú ý B chính là hình cầu tâm x0 , bán kính (X, k · k1 ) Mệnh đề 1.5 Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì core C và tập hợp đây lồi lin C := {y ∈ X | ∃ c ∈ C, [c, y) ⊂ C} Chứng minh Giả sử c1 , c2 ∈ core C và t ∈ (0, 1) Lúc đó, với v ∈ X tồn > cho ci + λv ∈ C với λ ∈ (−, ) Vì C lồi nên ta có tc1 + (1 − t)c2 + λv = t(c1 + λv) + (1 − t)(c2 + λv) ∈ C với λ ∈ (−, ) Vậy tc1 + (1 − t)c2 ∈ core C, hay core C lồi Để chứng minh lin C lồi ta lấy y1 , y2 ∈ lin C và t ∈ (0, 1) Theo định nghĩa, tồn c1 , c2 ∈ C cho [c1 , y1 ) ⊆ C và [c2 , y2 ) ⊆ C Dễ kiểm chứng [ct , ty1 + (1 − t)y2 ) ⊆ C với ct := tc1 + (1 − t)c2 ∈ C Vì ty1 + (1 − t)y2 ∈ lin C, hay lin C lồi Bây giờ, cho C là tập lồi hấp thụ X Ta định nghĩa phiếm hàm Minkowskii C là hàm xác định pC (x) := inf{λ > | x ∈ λC}; x ∈ X Rõ ràng, ≤ pC (x) < ∞ với x ∈ X Định lý 1.6 pC là phiếm hàm tuyến tính và {x ∈ X | pC (x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | pC (x) ≤ 1} Cụ thể hơn, ta có {x ∈ X | pC (x) < 1} = core C và {x ∈ X | pC (x) ≤ 1} = lin C 1.2.3 Định lý tách tập lồi Cho A và B là hai tập không gian vectơ X Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X # \ {0} gọi là tách A và B f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)); ∀a ∈ A, b ∈ B Điều này tương đương với nói rằng, tồn số α ∈ R cho f (a) ≤ α ≤ f (b); Lop12.net ∀a ∈ A, b ∈ B (10) Lúc đó, ta nói siêu phẳng H(f ; α) := f −1 (α) = {x ∈ X | f (x) = α} tách A và B Trường hợp B là tập điểm: B = {x0 }, ta nói đơn giản siêu phẳng H(f ; α) tách A và x0 Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, có, là không Định lý 1.7 (Định lý tách bản) Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, core A 6= ∅ và A ∩ B = ∅ Lúc đó, tồn siêu phẳng tách A và B Bổ đề 1.1 Nếu C là tập lồi hấp thụ và x0 6∈ C thì tồn siêu phẳng tách C và x0 Chứng minh Đặt M := span{x0 } và g : M → R xác định g(λx0 ) := λ với λ ∈ R Lúc đó g ∈ M # , nữa, pC (x0 ) ≥ nên g(m) ≤ pC (m) với m ∈ M Áp dụng Định lý Hahn-Banach tồn f ∈ X # cho f |M = g và f (x) ≤ pC (x) với x ∈ X Rõ ràng f (x0 ) = Mặt khác, với c ∈ C ta có f (c) ≤ pC (c) ≤ Nên f tách C và x0 Chứng minh Định lý 1.7 Giả sử a0 ∈ core A và b0 ∈ B Đặt x0 := a0 − b0 và C := A − B − (a0 − b0 ) Lúc đó, C lồi, hấp thụ và không chứa x0 Từ Bổ đề trên tồn f ∈ X # \ {0} tách C và x0 Dễ kiểm chứng f tách A và B 1.3 1.3.1 Không gian tôpô lồi địa phương Không gian tôpô Cho X là tập hợp khác rỗng Một họ τ ⊂ P(X) gọi là tôpô trên X nó thoả mãn các tính chất sau: i) ∅, X ∈ τ , ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ , iii) Hợp họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ Lúc đó, X gọi là không gian tôpô và phần tử U ∈ τ gọi là tập mở X Bây cho A ⊂ X, x0 ∈ X, ta nói x0 - là điểm A tồn U ∈ τ cho x ∈ U ⊂ A, - là điểm ngoài A tồn U ∈ τ cho x ∈ U và U ∩ A = ∅, - là điểm biên A hai mệnh đề trên sai Ta nói phần (phần ngoài, biên) A là tập hợp gồm tất các điểm (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) A và ký hiệu là Int A (Ext A, ∂A) Lop12.net (11) 10 Nếu x0 là điểm A ta nói A là lân cận x0 Tập A gọi là đóng ∂A ⊂ A Với A là tập bất kỳ, ta gọi bao đóng A là tập A := A ∪ ∂A Các kết đây có thể kiểm chứng dễ dàng a) A là đóng và X \ A là mở b) Với A là tập tuỳ ý, Int A là tập mở, và là tập mở lớn A, A mở và A = Int A c) Với A là tập tuỳ ý, A là tập đóng, và là tập đóng bé chứa A, A đóng và A = A Từ tính chất a) và các tính chất tập mở ta suy các tính chất tập đóng: i) ∅ và X là các tập đóng, ii) Hợp số hữu hạn các tập đóng là đóng, iii) Giao họ tuỳ ý các tập đóng là đóng Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ B ⊆ τ gọi là sở lân cận τ tập U ∈ τ biểu diễn dạng hợp các tập thuộc B Một họ V ⊆ τ gọi là sở lân cận x0 ∈ X với lân cận U x0 tồn V ∈ V cho x0 ∈ V ⊆ U Ta có kết sau: Cho B ⊆ P(X) Để tồn tôpô τ nhận B làm sở thì điều kiện cần và đủ là B thỏa mãn các tính chất sau [ V = X, (i) V ∈B (ii) ∀ U, V ∈ B, ∀ x ∈ U ∩ V , ∃W ∈ B: x ∈ W ⊆ U ∩ V Cho họ C ⊆ P(X) tùy ý Dễ kiểm chứng họ sau đây B := k n\ ∗ Ci | k ∈ N ; Ci ∈ C, ≤ i ≤ k o i=1 thỏa mãn (i-ii), nên là sở tôpô τ nào đó trên X Lúc đó, ta nói C là tiền sở τ Một tập thứ tự (I, <) gọi là tập định hướng với λ, µ ∈ I tồn γ ∈ I cho λ < γ và µ < γ Một dãy suy rộng X là ánh xạ ϕ từ tập định hướng I vào X Nếu ký hiệu xλ := ϕ(λ) thì ta có thể nói (xλ ) là dãy suy rộng X Giả sử (xλ )λ∈I là dãy suy rộng, J là tập định hướng khác và φ là ánh xạ từ J vào I, với λµ := φ(µ); µ ∈ J, thoả mãn: + Với µ < µ0 ta có λµ < λµ0 ; + Với λ ∈ I tồn µ ∈ J cho λ < λµ Lop12.net (12) 11 Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) dãy ϕ hay (xλµ ) là dãy dãy (xλ ) Dãy suy rộng (xλ ) không gian tôpô (X, τ ) gọi là hội tụ đến x̄ vơi lân cận V x̄, tồn λ0 cho với λ > λ0 ta có xλ ∈ V Lúc đó, ta ký hiệu xλ → x̄ Một tập A X gọi là compact dãy suy rộng A tồn dãy hội tụ đến điểm thuộc A Ta có thêm các kết sau d) A là tập đóng ⇐⇒ với dãy (xλ ) ⊂ A, xλ → x̄ thì x̄ ∈ A Ta gọi phủ mở A là họ {Uα | α ∈ Λ} các tập mở cho A⊂ [ Uα α∈Λ Lúc đó, có họ hữu hạn H = {α1 , α2 , · · · , αk } ⊂ Λ cho [ A⊂ Uα , α∈H thì ta nói đây là phủ hữu hạn phủ trên e) A là tập compact ⇐⇒ phủ mở A tồn phủ hữu hạn 1.3.2 Không gian tôpô tuyến tính Cho không gian vectơ X Lúc đó, tôpô τ trên X gọi là tương thích với cấu trúc đại số trên X tôpô này, các ánh xạ sau liên tục + :X × X → X, :R × X → X Tức là: Với x, y ∈ X và lân cận W x + y, tồn các lân cận U x, V y cho U + V ⊂ W Với λ ∈ R, x ∈ X và lân cận W λx, tồn > và lân cận V x cho µV ⊂ W với µ ∈ (λ − , λ + ) Lúc đó, τ gọi là tôpô tuyến tính trên X và X gọi là không gian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính Bổ đề 1.2 Trong không gian tôpô tuyến tính X, Phép tịnh tiến: Ta (x) := a + x, Phép vị tự: ϕα (x) := αx, với a ∈ X, α ∈ R \ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X Lop12.net (13) 12 Chứng minh Vì đó là các song ánh liên tục và Ta−1 = T−a , ϕ−1 α = ϕα−1 Hệ 1.3 Trên không gian tôpô tuyến tính ta có a) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận a; b) V là lân cận x0 ⇔ αV là lân cận αx0 , với α 6= Một tập A ⊆ X gọi là cân đối với |λ| ≤ ta có λA ⊆ A Mệnh đề 1.8 Nếu V là lân cận gốc không gian tôpô tuyến tính X, thì a) V là tập hấp thụ b) Tồn lân cận gốc cân đối U cho U + U ⊂ V Chứng minh Để khỏi nhầm lẫn, chứng minh này, ta ký hiệu θ là vectơ gốc X a) Vì 0.x = θ nên với V là lân cận gốc, tồn > và lân cận U x cho λU ⊆ V với λ ∈ (−, ) Suy λx ⊆ V với λ ∈ (−, ) Vậy V hấp thụ b) Vì θ + θ = θ nên với V là lân cận gốc, tồn các lân cận gốc U1 , U2 cho U1 + U2 ⊆ V Vì 0.θ = θ nên với lân cận gốc U0 := U1 ∩ U2 tồn > và lân cận gốc W cho λW ⊆ U0 với λ ∈ (−, ) Đặt [ U := λW |λ|< ta có U là lân cận cân đối gốc và U + U ⊆ V Định lý 1.9 Cho X là không gian vectơ a) Nếu τ là tôpô tuyến tính, thì tồn sở lân cận gốc V ⊂ τ thoả mãn i) V cân đối, hấp thụ với V ∈ V, ii) αV ∈ V với α 6= và V ∈ V, iii) Với V ∈ V tồn U ∈ V cho U + U ⊂ V , iv) Với V1 , V2 ∈ V, tồn U ∈ V cho U ⊂ V1 ∩ V2 b) Ngược lại, V ⊂ P(X) là họ các tập thoả mãn các điều kiện (i-iv), thì tồn tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm sở lân cận gốc Cụ thể, τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ V, x + V ⊂ U } Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 1.15 Trong khẳng định a) đặt V là tập các lân cận gốc cân đối, còn b) cần kiểm tra τ đã cho là tôpô tuyến tính Lop12.net (14) 13 Mệnh đề 1.10 Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm sở lân cận gốc, thì τ là tôpô Hausdorff và \ V = {0} V ∈V Chứng minh Cần là hiển nhiên Để chứng minh đủ ta chú ý V là lân cận gốc không chứa a ∈ X, thì với lân cận gốc cân đối U cho U + U ⊆ V , ta có U ∩ (a + U ) = ∅ 1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương Từ kết mục trước, ta thấy cấu trúc tôpô tuyến tính hoàn toàn xác định hệ sở lân cận gốc Nếu tồn hệ sở lân cận gốc gồm toàn các tập lồi thì τ gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X gọi là không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương Định lý 1.11 Cho X là không gian vectơ a) Nếu τ là tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn sở lân cận gốc V gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ b) Ngược lại, V0 là họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau m o n \ V := Vi | > 0; m ∈ N; Vi ∈ V0 là sở lân cận gốc tôpô lồi địa phương nào đó Hơn nữa, tôpô này là Hausdorff và \ V = {0} V ∈V0 ; >0 Chứng minh Sử dụng Định lý 1.9 với V là họ các lân cận lồi, cân đối Nếu chú ý rằng, với V ∈ V ta có V ⊂ 2V , thì ta có thể khẳng định tôpô lồi địa phương tồn sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng Ví dụ 1.1 Không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương sinh họ gồm tập: V0 = {B(0; 1)} Lúc đó, sở lân cận gốc tương ứng là V = {B(0; 1) | > 0} = {B(0; ) | > 0} Ví dụ 1.2 Với p > ta ký hiệu lp = {x = (xn ) ⊂ R | ∞ X Lop12.net |xn |p < ∞} (15) 14 Đó là các không gian vectơ Đặt ( V := x ∈ lp ∞ X |xn |p p1 ) < Lúc đó, V = {V | > 0} là sở lân cận gốc tôpô tuyến tính trên lp Hơn nữa, ta có thể chứng minh lp là không gian lồi địa phương và p ≥ 1.3.4 Tôpô lồi địa phương mạnh Trên không gian vectơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác Ta gọi tôpô lồi địa phương mạnh trên X là tôpô τ0 sinh họ V0 gồm tất các tập lồi, cân đối, hấp thụ X Sở dĩ có tên gọi vì với tôpô lồi địa phương τ trên X, ta có τ ⊂ τ0 Định lý 1.12 Tôpô lồi địa phương mạnh τ0 trên X là Hausdorff Trong tôpô ta có a) Mọi tập lồi, hấp thụ là lân cận gốc; b) Nếu C là tập lồi X, thì core C = Int C; c) Cho Y là không gian lồi địa phương tuỳ ý Lúc đó, ánh xạ tuyến tính từ X vào Y liên tục Chứng minh a) Vì tập lồi, hấp thụ chứa tập V ∈ τ0 b) Nếu x0 ∈ core C thì C − x0 hấp thụ và lồi, nên là lân cận gốc, đó x0 ∈ Int C c) Vì ảnh ngược tập lồi, hấp thụ qua ánh xạ tuyến tính là tập lồi, hấp thụ Định lý 1.13 Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì X có tôpô lồi địa phương Hausdorff Đó chính là tôpô Euclide thông thường Chứng minh Giả sử dim X = n và {e1 , · · · , en } là sở trực chuẩn, theo tôpô Euclide, X Ký hiệu τE là tôpô Euclide và τ là tôpô lồi địa phương Hausdorff nào đó trên X Với τ −lân cận lồi gốc V , tồn > cho {±ei | ≤ i ≤ n} ⊂ V Do V lồi nên V ⊃ co{±ei | ≤ i ≤ n} ⊃ n B(0; 1), với B(0; 1) là τE −hình cầu đơn vị Vậy τ ⊂ τE Từ đó suy toán tử đồng I : (X, τE ) → (X, τ ) là song ánh liên tục và τE −mặt cầu đơn vị S(0; 1), với tư cách là ảnh liên tục tập compact, là tập τ −compact Vì τ Hausdorff nên S(0; 1) là đóng Mặt khác 6∈ S(0; 1), nên tồn τ −lân cận gốc lồi U cho U ∩ S(0; 1) = ∅ Dễ chứng minh U ⊆ B(0; 1) Vậy τ = τE Lop12.net (16) 15 Từ định lý trên ta thấy tôpô Euclide là tôpô lồi địa phương mạnh trên không gian hữu hạn chiều Khẳng định sau là hiển nhiên Hệ 1.4 Trong Rn với tôpô Euclide ta có a) Nếu C ⊂ Rn là tập lồi thì Int C = core C; b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào không gian lồi địa phương Y liên tục Hệ 1.5 Mọi không gian hữu hạn chiều không gian lồi địa phương Hausdorff đóng Chứng minh Cho (X, τ ) là không gian lồi địa phương Hausdorff và M là không gian hữu hạn chiều X Do Định lý 1.13 tôpô cảm sinh τ lên M chính là tôpô Euclide Đặt Un = BM (0; n1 ) là hình cầu mở tâm bán kính n1 M Với n tồn τ −lân cận gốc lồi, cân đối Vn cho Vn ∩ M ⊆ Un Giả sử (xλ )λ∈I là dãy M , hội tụ x ∈ X Ta chứng minh x ∈ M Do xλ → x, với n ∈ N, tồn λn ∈ I cho xλ ∈ x + Vn , với λ ≥ λn Chú ý rằng, ta có thể chọn cho λn < λn+1 với n Như (xλn ) là dãy (xλ ) Bây lấy xλm và xλn , với m < n, ta có xλm , xλn ∈ x + Vm Vì xλm − xλn ∈ Vm − Vm = 2Vm Mặt khác, xλm − xλn ∈ M , nên xλm − xλn ∈ 2Um , hay kxλm − xλn k < m2 Vậy (xλm ) là dãy Cauchy M nên hội tụ đến y ∈ M Do tính giới hạn không gian Hausdorff ta có x = y ∈ M 1.3.5 Không gian tích - Phần bù tôpô Giả sử (X, τX ), (Y, τY ) là hai không gian tôpô lồi địa phương Lúc đó, không gian vectơ tích X × Y với tôpô tích Tikhonov (tức là tôpô trên X × Y có sở gồm tất các tập U × V với U ∈ τX và V ∈ τY ) là không gian lồi địa phương, cụ thể ta có kết sau Định lý 1.14 a) Tích hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y là không gian lồi địa phương (Hausdorff) X × Y b) Nếu Z là không gian lồi địa phương thì ánh xạ A ∈ L(X × Y, Z) có dạng A(x, y) = A1 (x) + A2 (y), với A1 ∈ L(X, Z) và A2 ∈ L(Y, Z) là các ánh xạ xác định A1 (x) = A(x, 0); A2 (y) = A(0, y) Hơn nữa, A liên tục và A1 và A2 liên tục Lop12.net (17) 16 Bây giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số M (tức là, M + N = X và M ∩ N = {0}, lúc đó với x ∈ X tồn cặp m ∈ M và n ∈ N cho x = m + n) Với tôpô cảm sinh, M và N là các không gian lồi địa phương và đó ta có không gian lồi địa phương M × N Xét ánh xạ ϕ :M × N → X (m, n) → m + n Dễ thấy ϕ là song ánh tuyến tính liên tục Nếu ϕ−1 là ánh xạ liên tục, thì M , N gọi là phần bù tôpô và ký hiệu X = M ⊕ N Mệnh đề 1.15 Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, M là không gian đóng X và codim M < ∞ Lúc đó phần bù đại số M là phần bù tôpô Để chứng minh mệnh đề này ta cần sử dụng kết sau Bổ đề 1.3 Cho M và C là hai tập không gian tôpô tuyến tính cho M đóng, C compact Lúc đó M + C là tập đóng Chứng minh Mệnh đề 1.15 Giả sử N là phần bù đại số M Lúc đó dim N < ∞ nên tôpô cảm sinh trên N là tôpô Euclide Ta cần chứng minh ánh xạ chiếu pN : X → N xác định pN (m + n) = n, với m ∈ M , n ∈ N , là liên tục Đặt C = SN (0; 1) là mặt cầu đơn vị N Theo Bổ đề 1.3, C + M là tập đóng Mặt khác, 6∈ C + M , vì tồn lân cận gốc lồi V X cho V ∩ (C + M ) = ∅ Dễ chứng minh pN (V ) ⊆ BN (0; 1) Từ đó pN (V ) ⊆ BN (0; ) với > Vậy pN liên tục gốc nên liên tục 1.4 Tập lồi không gian tôpô lồi địa phương Trong suốt mục này, không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là không gian tôpô lồi địa phương 1.4.1 Sự liên tục phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn Mệnh đề 1.16 a) Cho C là tập lồi, hấp thụ X Lúc đó pC là hàm liên tục và C là lân cận gốc Hơn nữa, ta có Int C = {x ∈ X | pC (x) < 1}; Lop12.net C = {x ∈ X | pC (x) ≤ 1} (18) 17 b) Cho C và D là hai tập lồi, hấp thụ X và α > Lúc đó, p(αC) = pC ; α p(C∪D) = max{pC , pD } c) Nếu p là phiếm hàm tuyến tính không âm trên X thì p = pC , với C = {x ∈ X | p(x) < 1} −1 Chứng minh Từ Định lý 1.6 ta có ∈ p−1 C (−∞, 1) ⊆ C và ∈ C ⊆ pC [0, ] Vì vậy, pC liên tục và C là lân cận gốc Lúc đó dễ thấy −1 p−1 C (−∞, 1) ⊆ Int C ⊆ C ⊆ pC (−∞, 1] Mặt khác, có thể chứng minh pC (x) = ⇒ x ∈ ∂C Vậy a) chứng minh b) suy từ định nghĩa Để chứng minh c) ta sử dụng các mệnh đề: p(x) < ⇒ pC (x) ≤ 1; pC (x) < ⇒ x ∈ C ⇒ p(x) < 1, và nhận xét rằng, p và q là hai phiếm hàm dương, không âm thỏa mãn p(x) < ⇒ q(x) ≤ thì q(x) ≤ p(x) với x Phiếm hàm p trên X gọi là nửa chuẩn a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), với x, y ∈ X; b) p(λx) = |λ|p(x), với λ ∈ R và x ∈ X Vậy, p là chuẩn p là nửa chuẩn và p(x) = ⇔ x = Ta dễ dàng kiểm chứng mệnh đề sau Mệnh đề 1.17 Cho p là phiếm hàm trên X a) p là nửa chuẩn và p = pC với C là tập lồi, cân đối, hấp thụ b) p là chuẩn và p = pC với C là tập lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa trọn đường thẳng nào Từ Định lý 1.11 ta thấy, tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ X hoàn toàn xác định họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ V0 (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhận tập V ∈ V0 làm lân cận gốc) Kết hợp với Mệnh đề 1.16 và Mệnh đề 1.17 ta có thể khẳng định thêm τ hoàn toàn xác định họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu cho nửa chuẩn p ∈ P0 liên tục) Đặc biệt, chuẩn hoàn toàn xác định tập C lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào (lúc đó, với chuẩn này, B(0; 1) ⊂ C ⊂ B (0; 1)) Lop12.net (19) 18 1.4.2 Các tính chất tôpô Cho C là tập lồi X Ta ký hiệu Int C là phần C Ngoài ra, ta gọi phần tương đối C là phần tập này theo tôpô cảm sinh Aff(C) Cụ thể, ri C := {x ∈ C | tồn lân cận gốc V : (x + V ) ∩ Aff(C) ⊂ C} Định lý 1.18 Cho C là tập lồi khác rỗng X Lúc đó, a) Int C, C là các tập lồi b) Nếu x ∈ Int C và y ∈ C thì [x, y) ⊂ Int C c) Nếu Int C 6= ∅ thì C = Int C, Int C = Int C và core C = Int C d) Nếu dim C < ∞ thì ri C 6= ∅ và C = ri C; ri C = ri C Chứng minh a) Nếu x, y ∈ Int C, thì tồn lân cận gốc lồi V cho x+V ⊆ C và y+V ⊆ C Do đó, với λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y + V ⊆ C, nên λx + (1 − λ)y ∈ Int C Vậy Int C lồi Bây lấy x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1) Với lân cận gốc lồi V , tồn x ∈ (x + V ) ∩ C và y ∈ (y + V ) ∩ C, lúc đó λx + (1 − λ)y ∈ (λx + (1 − λ)y + V ) ∩ C Vậy λx + (1 − λ)y ∈ C, suy C là tập lồi b) Ta chứng minh w = µx + (1 − µ)y ∈ Int C, với µ ∈ (0, 1] Đặt λ = µ2 và z = λx+(1−λ)y Vì x ∈ Int C nên tồn lân cận gốc lồi V cho x+V ⊆ C Lại vì λ λ V , đó z ∈ λx+(1−λ)(C+ 1−λ V ) = λ(x+V )+(1−λ)C ⊆ C y ∈ C nên y ∈ C+ 1−λ λ Để ý w = tx + (1 − t)z với t = 1−λ , ta có w + tV ⊆ t(x + V ) + (1 − t)z ⊆ C Vậy w ∈ Int C c) Khẳng định C = Int C suy trực tiếp từ b) Giả sử c ∈ Int C Với w ∈ Int C tồn > đủ bé cho y = w + (w − c) ∈ C Vì w ∈ [c, y) nên theo b) w ∈ Int C, suy Int C = Int C Việc chứng minh core C = Int C tiến hành tương tự d) Không tính tổng quát giả thiết ∈ C Trước hết ta chứng minh rằng, dim C = dim X = n thì Int C 6= ∅ Thật vậy, lúc đó tồn hệ hệ độc lập tuyến tính {c1 , c2 , · · · , cn } ⊆ C Vì tôpô trên X trùng với tôpô Euclide nhận {c1 , c2 , · · · , cn } làm hệ trực chuẩn nên ta có thể kiểm chứng Int C 6= ∅ Từ đó, dim C < ∞ thì ri C chính là phần C với tôpô cảm sinh trên Aff(C), nên khác rỗng Sử dụng c) ta nhận các khẳng định còn lại Cho A ⊂ X, ta ký hiệu coA là tập lồi đóng bé chứa A Từ định lý trên, ta thấy coA = co A Tuy nhiên chú ý nói chung ta có bao hàm thức co A ⊂ coA Mệnh đề 1.19 Nếu A ⊂ X là tập compact và tồn số nguyên dương n cho, với x ∈ co A có thể biểu diễn dạng tổ hợp lồi không quá n phần tử thuộc A, thì co A là tập compact Lop12.net (20) 19 n n Chứng minh Dễ thấy ánh xạ ϕ từ không Pn gian tôpô tích R × X vào X, xác định ϕ(λ1 , · · · , λn , x1 , · · · P , xn ) = i=1 λi xi là liên tục Mặt khác tập K = n {(λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ [0, 1]n | λ = 1} là compact Rn Vì co A = i ϕ(K × An ) là tập compact X Từ mệnh đề trên ta nhận các hệ sau Hệ 1.6 Nếu C1 , C2 , · · · , Cn ⊂ X là các tập lồi compact, thì co(C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn ) là tập compact Hệ 1.7 Nếu dim X < ∞ và A là tập compact, thì co A là tập compact Hệ này chứng minh nhờ sử dụng Định lý Carathéodory Mệnh đề sau cho ta kết mở rộng trên không gian Banach Mệnh đề 1.20 Nếu A là tập compact không gian Banach X, thì coA là tập compact Chứng minh Với > 0, A hoàn toàn bị chặn nên tồn {a1 , · · · , ak } ⊆ X cho A ⊆ ∪k1 B(ai ; 2 ) Lại C := co{a1 , · · · , ak } compact, nên hoàn toàn bị chặn, k tồn {b1 , · · · , bm } ⊆ X cho C ⊆ ∪m B(bj ; ) Lúc đó, co A ⊆ co ∪1 B(ai ; ) = C + B(0; 2 ) ⊆ ∪m B(bj ; ) Vậy co A là tập hoàn toàn bị chặn nên coA compact 1.4.3 Nón lùi xa tập lồi Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ X Ta nói vectơ d là phương lùi xa C x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > Tập tất các phương lùi xa C gọi là nón lùi xa C và ký hiệu là o+ (C) Vậy, o+ (C) = {d ∈ X | x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0} Mệnh đề 1.21 o+ (C) là nón lồi chứa gốc Hơn nữa, o+ (C) = {d ∈ X | C + d ⊂ C} Chứng minh Thật vậy, C + d ⊂ C thì C + nd ⊂ C với n ∈ N∗ Lại C lồi nên C + λd ⊂ C với λ > Tức là d ∈ o+ (C) Lop12.net (21)