Đang tải... (xem toàn văn)
Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a 2 điểm Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz.. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu trong giỏ.Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu?[r]
(1)Bộ Giáo Dục và Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN - khối A Ngày thi : 28.02.2010 (Chủ Nhật ) ĐỀ 01 I PHẦN BẮT BUỘC ( 7,0 điểm ) x +3 , có đồ thị là C x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số ( ) Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) các điểm A, B Chứng minh Cho điểm M x ; y ∈ C Tiếp tuyến C M cắt các đường tiệm cận C M là trung điểm đoạn AB Câu II: ( điểm ) 6x − 2x + − 2 − x = Giải phương trình : −1 Câu III: ( điểm ) Tính tích phân I = ∫ Giải phương trình : x2 + sin x sin 3x + cos3 x cos 3x =− π π ta n x − ta n x + 6 3 dx x + 2x + 2 Câu IV: ( điểm ) Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông O ,OB = a, OC = 3, (a > ) và đường cao OA = a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB,OM Câu V: ( điểm ) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn + x thức P = y + z = Tìm giá trị lớn biểu xyz y z −1 x + + 1+x 1+y z +1 II PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ( ) ( ) ( ) ( ) Cho điểm A 1; 0; , B 0; −1; ,C 0; 0;2 , D 2; −1;1 Tìm vectơ A ' B ' là hình chiếu vectơ AB lên CD x y −2 z = = và mặt phẳng P : x − y + z − = Viết phương trình tham số đường thẳng 2 t qua A 3; −1;1 nằm P và hợp với d góc 450 ( ) () Cho đường thẳng : d : () ( ) ( ) () Câu VII.a( điểm ) Một giỏ đựng 20 cầu Trong đó có 15 màu xanh và màu đỏ Chọn ngẫu nhiên cầu giỏ.Tính xác suất để chọn cầu cùng màu ? Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho điểm A ( 0;1; ) , B ( 2;2; ) và đường thẳng (d ) : x −1 y +2 z − Tìm điểm M ∈ d để diện tích = = 2 −1 () tam giác ABM nhỏ x +1 y −1 z −2 x −2 y +2 z và d ' : Chứng minh d vuông góc với d ' , viết = = = = −2 2 −2 phương trình đường vuông góc chung d và d ' Cho hai đường thẳng (d ) : () ( ) ( ) ( ) ( ) x −1 − log ( 3x − +1 ) Câu VII.b ( điểm ) Cho khai triển log2 + + Hãy tìm các giá trị x biết số hạng thứ khai triển này là 224 …………………………….Cán coi thi không giải thích gì thêm ……………………………………… Lop12.net (2) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) x +3 Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y = , có đồ thị là C x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) Cho điểm M x ; y ∈ C Tiếp tuyến C ( ) M cắt các đường tiệm cận C các điểm A, B A x Chứng minh M là trung điểm đoạn AB -4 -2 M -2 B -4 Câu II: ( điểm ) Giải phương trình : 2x + − 2 − x = Điều kiện : −2 ≤ x ≤ 2x + − 2 − x = 6x − ⇔ 6x − x2 + 6x − = 6x − 2x + + 2 − x x2 + 1 ⇔ 3x − − = 2x + + 2 − x + x 2 x = x = ⇔ ⇔ 3 2x + + 2 − x = x + 4 2(2 + x )(2 − x ) + (2 − x )(x + 4) = x = x = ⇔ ⇔ 3 x = 2 − x (4 2(2 + x ) + ( x + 4) − x ) = ( x2 + ) Giải phương trình : sin x sin 3x + cos3 x cos 3x =− π π ta n x − ta n x + 6 3 π π π π Điều kiện : sin x − sin x + cos x − cos x + ≠ 6 3 6 3 π π π π Ta có : t a n x − t a n x + = t a n x − cot − x = −1 6 3 6 6 3 sin x sin 3x + cos x cos 3x 1 Phương trình : = − ⇔ sin x sin 3x + cos3 x cos 3x = 8 π π ta n x − ta n x + 6 3 − cos 2x cos 2x − cos 4x + cos 2x cos 2x + cos 4x ⋅ + ⋅ = 2 2 1 ⇔ 2(cos 2x + cos 2x cos 4x ) = ⇔ cos3 2x = ⇔ cos 2x = ⇔ Lop12.net (3) π x = + kπ (không thoa) π Vậy phương trình cho có họ nghiệm là x = − + k π ⇔ π x = − + kπ −1 Câu III: ( điểm ) Tính tích phân I = ∫ −1 ∫ I = dx = x + 2x + −1 ∫ dx x + 2x + dx + (x + 1)2 π π Đặt x + = t a n t, t ∈ − ; ⇒ dx = (t a n x + 1)dt 2 Đổi cận : x = ⇒ t = π π , x = −1⇒t = π π t a n2 t + π π π I = ∫ dt = dt = − = ∫ 12 π + ta n t π 4 Câu IV: ( điểm ) Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông O , OB = a,OC = 3, (a > ) và đường cao OA = a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB,OM Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó O(0;0;0), a a ; A(0; 0; a 3), B (a; 0; 0), C (0; a 3; 0), M ; 2 gọi N là trung điểm AC ⇒ N 0; 0 , a a 3 ; 2 MN là đường trung bình tam giác ABC ⇒ AB // MN ⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)) a a OM = ; ; 2 a a , ON = 0; ; 2 3a2 a2 a a [OM ; ON ] = ; ; = 4 n = ( 3; 1; 1) ( ) 3; 1; = a2 n , với Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến n : 3x + y + z = Ta có: d ( AB; OM ) = +1+1 = a = a 15 Vậy, a 15 Câu V: ( điểm ) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn x biểu thức P = 3.a + + d ( B; (OMN )) = y z −1 x + + 1+x 1+y z +1 Lop12.net + y + z = xyz Tìm giá trị lớn (4) Ta có : + x 1 + y = z ⇔ x y + y z + z x = Điều này gợi ý ta đưa đến hướng xyz A B C , y = tan , z = tan 2 A B B C C A Nếu A, B,C ∈ (0; π ), A + B + C = π thì t a n t a n + t a n t a n + t a n t a n = 2 2 2 C A−B C Khi đó P = sin A + sin B − cosC = cos cos − cos2 + 2 C A−B A−B P = −2(cos − cos ) + + cos2 ≤ 2 2 2 2π 2− π C = = x = y = tan2 Vậy max P = ⇔ 12 + A = B = π z = II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) x = tan giải lượng giác Đặt Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A ( 0;1; ) , B ( 2;2; ) ,C ( −2; 3;1) và đường thẳng x = + 2t d : y = −2 − t Tìm điểm M ∈ d để diện tích tam giác ABN nhỏ z = + 2t ( ) ( ) M ∈ (d ) ⇒ M (1 + 2t; − − t ; + 2t ) AB = (2; 1; 2), AC = (−2; 2;1) ⇒ [AB; AC ] = (−3; − 6; 6) = −3(1; 2; − 2) = −3.n, n = (1; 2; − 2) Mặt phẳng ABC qua A 0;1; và có vecto pháp tuyến n = (1; 2; − 2) nên có phương trình x + 2y − 2z − = ( S ABC = ) ( ) + 2t + 2(−2 − t ) − 2(3 + 2t ) − −4t − 11 = [AB; AC ] = (−3)2 + (−6)2 + 62 = , MH = d (M (ABC )) = 2 1+ + 4t + 11 17 = ⇔ 4t + 11 = ⇔ t = − hay t = − 3 4 15 11 1 Vậy M − ; − ; hay M − ; ; là tọa độ cần tìm 2 2 x +1 y −1 z −2 x −2 y +2 z và d ' : Chứng minh d vuông góc với d ' , Cho hai đường thẳngờ d : = = = = −2 2 −2 viết phương trình đường vuông góc chung d và d ' VMABC = ⇔ V = ( ) ( ) ( ) ( ) Câu VII.b ( điểm ) Cho khai triển log 9x − + +2 ( − log 3x − +1 ( ) ) Hãy tìm các giá trị x biết số hạng thứ khai triển này là 224 ( Ta có : a + b k =8 ) = ∑C a k k =0 −k k b với a = log2 9x −1 + ( x −1 = +7 ) ; b =2 ( ) − log2 3x −1 +1 ( x −1 = +1 ) − + Theo thứ tự khai triển trên , số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải khai triển là T6 = C 9x −1 + ( ) 3x −1 + ( ) − 5 x −1 x −1 = 56 + + ( )( ( ) ) −1 Lop12.net (5) ( 9x −1 + 3x −1 + 3x −1 = − 4(3x −1 ) + = ⇔ x −1 ⇔ =3 )( ) + Theo giả thiết ta có : 56 9x −1 + 3x −1 + ( ) ⇔ 3x −1 −1 = 224 ⇔ Lop12.net = ⇔ 9x −1 + = 4(3x −1 + 1) x = x = (6)