SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang ) Câu Nội dung Điểm Câu 1. a, (3,0đ) a) Đ/k xác định : 21 ≤≤− x 0,25 Khi đó phương trình ⇔ 2121 2 −−=−−+−− xxxx (1) 0,25 Xét : xxxxxf −−+−−= 21)( 2 với x ∈ [-1;2] xx xxf − + + −−= 22 1 12 1 12)(' 0,5 ⇔ ] )21(212 1 1)[12()(' xxxx xxf −++−+ +−= , 1 '( ) 0 2 f x x= ⇔ = 0,5 ⇒ Bảng biến thiên : x -1 1 2 2 f’(x) - 0 + f(x) 2 3− 32 − 6 4 1 −− 0,5 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có đúng 2 nghiệm. 0,25 Dể nhận thấy x=0; x=1 là 2 nghiệm của phương trình (1). 0,5 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là { } 1;0 = S . 0,25 b, (3,0đ) b) Bất phương trình đã cho tương đương với 12)2( 2 ++≥−+ xxmxm 1)1( 2 +≥−⇔ xxm (*) 0,25 Nhận thấy 1 = x không nghiệm đúng bất phương trình (*) 0,25 Với [ ) 1;2 −∈ x . Ta có bpt (*) 1 1 2 − + ≤⇔ x x m (1) 0,25 Với ( ] 2;1 ∈ x . Ta có bpt (*) 1 1 2 − + ≥⇔ x x m (2) 0,25 Xét hàm số ( ) 1 1 2 − + = x x xf , với [ ) ( ] 2;11;2 ∪−∈ x 0,25 Có ( ) 2 2 ' )1( 12 − −− = x xx xf , ' x 1 2 f (x) 0 x 1 2 (lo¹i)  = − = ⇔  = +   0,5 Bảng biến thiên: x -2 21 − 1 2 f’(x) + 0 - - f(x) 222 − ∞+ 3 5 − ∞− 5 0,5 Bpt(*) có nghiệm thuộc đoạn [ ] ⇔− 2:2 hoặc bpt (1) có nghiệm thuộc 0,25 Trang 1 [ ) 1;2 − hoặc bpt (2) có nghiệm thuộc ( ] 2;1    ≥ −≤ ⇔ 5 222 m m Vậy [ ) ( ;2 2 2] 5;m∈ −∞ − ∪ +∞ là tất cả các giá trị cần tìm . 0,5 Câu 2. (2,0đ) Điều kiện xác định của hệ phương trình là    ≤≤ ≤≤− 20 11 y x (*) 0,25 Hệ phương trình đã cho tương đương với:      −+=+− +++=+ )2(211 )1()1()1( 2 33 yyx xxyy 0,25 Từ(*) ta có [ ] [ ] 1 0;2 0;2 x y  + ∈   ∈   . Xét: tttf += 3 )( tttf ∀>+= 013)(' 2 0,5 Hàm số tttf += 3 )( đồng biến trên đoạn [ ] 2;0 nên pt(1) 1 +=⇔ xy , thế vào pt(2) ta được: xxx −++=+− 1111 2 0,5 0 =⇔ x 1 =⇒ y (thỏa mãn (*)). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) yx; là ( ) 1;0 . 0,5 Câu 3. a, (2,5đ) a)Điều kiện :    > −> yx yx 2 2 . Suy ra yx 2 > 0 >⇒ x 0,25 Ta có : log 4 (x+2y)+log 4 (x-2y)=1 ⇔ log 4 (x 2 -4y 2 )=1 0,25 ⇔ x 2 -4y 2 =4 44 2 +=⇔ yx (do x > 0) 0,25 Suy ra: yyyx −+=− 4422 2 , đặt : , 0t y t= ≥ 0,25 Xét: tttf −+= 442)( 2 , với 0 ≥ t . 44 448 1 44 8 )( 2 2 2 ' + +− =− + = t tt t t tf , 0,5 15 1 0)( ' =⇔= ttf (do 0 ≥ t ). 0,25 Bảng biến thiên: t 0 15 1 + ∞ f’(t) - 0 + f(t) 4 + ∞ 15 0,5 Từ bảng biến thiên suy ra 15)( ≥ tf ⇒ 152 ≥− yx (đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra 15 1 , 15 8 ±==⇔ yx . 0,25 b, (2,5đ) b) Từ giả thiết và ])[( 2 1 2222 cbacbacabcab −−−++=++ 0,25 suy ra: 2 )( 4 1 cbacabcab ++=++ . Do đó 0,25 Trang 2               ++ +       ++ +       ++ = ++ ++ = 333 3 333 444 16 1 )( )(4 cba c cba b cba a cba cba P . 0,25 Đặt : cba a x ++ = 4 , cba b y ++ = 4 , cba c z ++ = 4 0,5 Thì    +−= −=+ ⇔    =++ =++ 44 4 4 4 2 xxyz xzy zxyzxy zyx .Vì ( ) yzzy 4 2 ≥+ nên 3 8 0 ≤≤ x . Ta có ( ) 3 3 3 3 3 1 1 ( ) 3 ( ) 16 16 P x y z x y z yz y z   = + + = + + − +   ⇒ ( ) 1612123 16 1 23 ++−= xxxP 0,25 Xét: 1612123)( 23 ++−= xxxxf , với: ] 3 8 ;0[ ∈ x     = = ⇔=⇒+−=⇒ 3 2 2 0)('12249)(' 2 x x xfxxxf thỏa mãn ] 3 8 ;0[ ∈ x 0,5 Có: 9 176 ) 3 8 (, 9 176 ) 3 2 (,16)2(,16)0( ==== ffff 0,25 ⇒ Trên ] 3 8 ;0[ : min f(x)=16 , Max f(x)= 9 176 ⇒ min P = 1 , chẳng hạn khi: 0,0 ≠== cba Max P = 9 11 , chẳng hạn khi: 0,4, ≠== aacba 0,25 Câu 4. (2,0đ) Gọi trung điểm của HA,HB,HC,BC,CA,AB lần lượt là: I,E,F,M,N,P 0,25 Ta có: EH AC EH IF⊥ ⇒ ⊥ Mà MF//EH MF IF⇒ ⊥ · I FM 1v⇒ = 0,25 Tương tự · IEM 1v⇒ = nên M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF 0,25 Tương tự ta có N,P cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF 0,25 +. Dễ thấy: ABC ∆ là ảnh của MNP ∆ qua phép vị tự tâm G tỷ số k =-2 0,25 ⇒ đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ là ảnh của đường tròn ngoại tiếp MNP ∆ Ta có đường tròn ngoại tiếp MNP ∆ có phương trình: 0442 22 =++−+ yxyx 0,25 Có tâm K(1;-2) , R =1 .Gọi K 1 ,R 1 là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ thì: 1 1 2 , 2GK GK R R= − = uuuur uuur ⇒ K 1 (1;10) , R 1 =2 0,25 ⇒ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ là: 4)10()1( 22 =−+− yx 0,25 Trang 3 H A C M I E F P N Câu 5. a, (2,0đ) D A B C H K Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mp(ABD). Kẻ CK ⊥ AB tại K ABHK ⊥⇒ ⇒ góc giữa (ABC) và (ABD) là · CKH = α 0,5 ⇒ α sin 3 1 . 3 1 CKSSCHV DABD == ∆ 0,5 Mà: ABCKS C . 2 1 = ⇒ α sin 2 3 1 AB S SV C D = 0,5 ⇒ AB SS V DC 3 sin 2 α = 0,5 G A B C S S' A' C' B' Gọi S’ là trọng tâm tam giác ABC ⇒ SG đi qua S’ và: 4 3 ' = SS SG 0,5 Gọi V,V’ lần lượt là thể tích các khối tứ diện SABC, SA’B’C’ Ta có: ( ' ) ( ' ) ( ' )dt S AB dt S BC dt S CA∆ = ∆ = ∆ 0,25 SS'AB SS'BC SS'CA V V V V 3 ⇒ = = = 0,25 mà: SBSASS SBSASG V V ABSS BSGA .'. '' ' '' = ⇒ SGA'B' 1 SA ' SB' V . . .V 4 SA SB = 0,5 Tương tự: ⇒ ' ' 1 ' ' . . 4 SGB C SB SC V V SB SC = , ' ' 1 ' ' . . 4 SGA C SA SC V V SA SC = 0,25 Mà: ' ' ' ' ' ' ' SGA B SGB C SGA C V V V V= + + ⇒ ' 1 ' ' ' ' ' ' . . . 4 V SA SB SB SC SA SC V SA SB SB SC SA SC   = + +  ÷   0,25 ⇒ '. '. ' 1 ' ' ' ' ' ' . . . . . 4 SA SB SC SA SB SB SC SA SC SA SB SC SA SB SB SC SA SC   = + +  ÷   ⇒ 4 ''' =++ SC SC SB SB SA SA 0.25 aSCSBSA 4 ' 1 ' 1 ' 1 =++⇒ ( do SA = SB = SC = a ) 0,25 ' ' ' ' ' ' . . . 1 1 1 Q SA SB SB SC SC SA = + + 2 2 1 1 1 1 16 3 SA' SB' SC' 3a   ≤ + + =  ÷   0,25 ⇒ minQ = 2 3 16 a khi SA’ = SB’ = SC’ = 4 3a ⇔ (P) qua G và song song với mp (ABC). 0,25 - - - Hết - - - Ghi chú: - Học sinh giải cách khác đúng cho điêm phần tương ứng - Khi chấm Giám khảo không làm tròn điểm Trang 4 Trang 5 . SB SC = , ' ' 1 ' ' . . 4 SGA C SA SC V V SA SC = 0,25 Mà: ' ' ' ' ' ' ' SGA B SGB C SGA C V V V. SB SB SA SA 0.25 aSCSBSA 4 ' 1 ' 1 ' 1 =++⇒ ( do SA = SB = SC = a ) 0,25 ' ' ' ' ' ' . . . 1 1 1 Q SA SB SB