Bất đẳng thức Svacxơ (Vận dụng thiết lập khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng) I. Bất đẳng thức Svacxơ : 1. Cho hai số hạng bất kỳ : (a.x) và (b.y) , với a,b,x,y ∈ R ( ) ( ) 2 2 2 2 . .a x b y a b x y + ≤ + + (*) Dấu “=” xảy ra khi: . .a y b x = ( một cách dễ nhớ ta viết: a b x y = )  Hướng chứng minh 1: vận dụng phương pháp đánh giá tương đương ( ) * ¬ → ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 . .a x b y a b x y   + ≤ + +     ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2. .a x ax by b y a b x y ⇔ + + ≤ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. .a x ay bx b y a x a y b x b y ⇔ + + ≤ + + + 2 2 2 2 2. . 0a y ay bx b x ⇔ − + ≥ ( ) 2 0ay bx ⇔ − ≥ ( luôn đúng , , ,a b x y R ∀ ∈ ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: . .a y b x =  Hướng chứng minh 2: vận dụng tích vô hướng hai vectơ Xét hai vectơ: ( ) ;u a b= r và ( ) ;v x y= r ; với a,b,x,y ∈ R ( ) . . .cos ,u v u v u v = r r r r r r ( ) . . . cos ,u v u v u v ⇔ = r r r r r r . .u v u v ⇔ ≤ r r r r (vì ( ) cos , 1u v ≤ r r ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . .a x b y a b x y a x b y a b x y ⇔ + ≤ + + ⇔ + ≤ + + Dấu “=” xảy ra khi : ( ) cos , 1u v = r r ( ) ,u v k π ⇒ = r r , k Z ∈ ⇒ u r cùng phương v r ⇒ 0 . . 0 a b a y b x x y = ⇔ − = . .a y b x ⇔ =  Hướng chứng minh 3: vận dụng tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2.f t a b t ax by t x y = + − + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2f t a t axt x b t byt y ⇔ = − + + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 f t at x bt y ⇔ = − + − ( ) 0f t ⇒ ≥ , t R ∀ ∈ Trần Hoàng Tuấn Trang 1 • Nếu: 2 2 0 0a b a b + = ⇔ = = ⇒ ( ) 2 2 0f t x y = + ≥ , (đúng ,x y R∀ ∈ ) • Nếu: 2 2 0a b + > ( nghĩa là a,b không đồng thời bằng 0), lúc này ( ) f t trở thành tam thức bậc hai thật sự nên tồn tại biệt số Δ ’ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 b ac ax by a b x y ′ ′ ∆ = − = + − + + Vì ( ) 0f t ≥ , do đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0ax by a b x y ′ ∆ ≤ ⇔ + − + + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ax by a b x y ⇔ + ≤ + + ( ) ( ) 2 2 2 2 . .a x b y a b x y ⇔ + ≤ + + Dấu “=” xảy ra khi : 0 ′ ∆ = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . .ax by a b x y a y b x ⇔ + = + + ⇔ =  Hướng chứng minh khác: ………………………………… 2. Mở rộng nhiều số hạng: ( còn gọi là BĐT Bunhiacopski – BĐT Cauchy ) , k k a x R ∀ ∈ với 1;k n = , ta luôn có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 . . . . . . n n n n a x a x a x a a a x x x + + + ≤ + + + + + + Tổng quát: ( ) 2 2 1 1 1 . . n n n k k k k k k k a x a x = = =     ≤  ÷  ÷     ∑ ∑ ∑ Dấu “=” xảy ra khi : 1 2 1 2 . n n a a a x x x = = = Chứng minh:  Vận dụng tam thức bậc hai.  Vận dụng phương pháp quy nạp toán học.  Vận dụng phương pháp tích vô hướng hai vectơ trong hệ tọa độ không gian n chiều.  Vận dụng phương pháp khác:…………………………… II. Vận dụng BĐT Svacxơ thiết lập khoảng cách từ một điểm M o (x o ;y o ) đến một đường thẳng (D): Ax + By +C = 0 M o (x o ;y o ) Ta có: ( ) ( ) 2 2 o o o M M x x y y = − + − (D):Ax+By+C=0 ( ) 0M d Ax By C ∈ ⇔ + + = H M Trần Hoàng Tuấn Trang 2 ( ) 0 o o o o o o Ax By C Ax By C Ax By C Ax By C + + = + + − = + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o A x x B y y A x x B y y = − + − = − + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 o o A B x x y y   ≤ + − + −   ( ) ( ) 2 2 2 2 . o o A B x x y y = + − + − ( ) ( ) 2 2 2 2 o o o o Ax By C x x y y A B + + ⇔ − + − ≥ + 2 2 o o o Ax By C M M A B + + ⇔ ≥ + Dấu “=” xảy ra khi: M≡H , nghĩa là : ( ) ( ) 0 o o A y y B x x Ax By C − = −    + + =   Do đó: min 2 2 o o o Ax By C M M A B + + = + Hay 2 2 o o Ax By C MH A B + + = + Hay: /( ) 2 2 o o o M D Ax By C d A B + + = + Trần Hoàng Tuấn Trang 3