Phần thứ LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Toán rời rạc Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI Giới thiệu toán Các kỹ thuật chứng minh Nguyên lý Dirichlet Định lý Ramsey Toán rời rạc Giới thiệu tốn   Trong ch¬ng trớc, ta đà tập trung ý vào việc đếm số cấu hình tổ hợp Trong toán tồn cấu hình hiển nhiên công việc đếm số phần tử thoả mÃn tính chất đặt Tuy nhiên, nhiều toán tổ hợp, việc tồn cấu hình thoả mÃn tính chất cho trớc khó khăn ã ã Chẳng hạn, kỳ thủ cần phải tính toán nớc để giải đáp xem liệu có khả thắng hay không, Một ngời giải mật mà cần tìm kiếm chìa khoá giải cho mật mà mà liệu có điện thật đợc mà hoá đối phơng hay không, mật mà giả đối phơng tung nhằm đảm bảo an toàn cho điện thật Trong tổ hợp xuất vấn đề thứ hai quan trọng là: xét tồn cấu hình tổ hợp với tính chất cho tr ớc - toán tồn tổ hợp Nhiều toán tồn tổ hợp đà thách thức trí tuệ nhân loại đà động lực thúc đẩy phát triển tổ hợp nói riêng toán học nói chung Toỏn rời rạc Bài toán 36 sĩ quan  Bài toán đợc Euler đề nghị, nội dung nã nh sau: “Cã mét lÇn ngêi ta triƯu tËp từ trung đoàn trung đoàn sĩ quan thc cÊp bËc kh¸c nhau: thiÕu óy, trung , thợng uý, đại uý, thiếu tá, trung tá tham gia duyệt binh s đoàn Hỏi xếp 36 sĩ quan thành đội ngũ hình vuông cho hàng ngang nh hàng dọc có đại diện trung đoàn cấp bậc sÜ quan.” Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan  Sử dụng: • A, B, C, D, E, F để phiên hiệu trung đoàn, ã a, b, c, d, e, f để cấp bậc sĩ quan Bài toán có thĨ tỉng qu¸t ho¸ nÕu thay sè bëi n Trong trờng hợp n = 4, lời giải toán 16 sỹ quan Ab Dd Ba Cc Bc Ca Ad Db Cd Bb Dc Aa Da Ac Cb Bd Một lời giải trờng hợp n = lµ Aa Bb Cc Dd Ee Cd De Ea Ab Bc Eb Ac Bd Ce Da Be Ca Db Ec Ad Dc Ed Ae Ba Cb Toán rời rạc Bài toán 36 sĩ quan   Do lời giải toán biểu diễn hình vuông với chữ la tinh hoa thờng chồng cạnh nên toán tổng quát đặt đợc biết dới tên gọi toán hình vuông la tinh trực giao Euler đà nhiều công sức để tìm lời giải cho toán 36 sĩ quan nhng ông đà không thành công Từ ông đà đề giả thuyết tổng quát là: Không tồn hình vu«ng la tinh trùc giao cÊp n = 4k + Tarri, năm 1901 chứng minh giả thuyết với n = 6, cách duyệt tất khả xếp Năm 1960 ba nhà toán học Mỹ Boce, Parker, Srikanda đợc lời giải với n = 10 sau phơng pháp xây dựng hình vuông la tinh trực giao cho n = 4k+2, víi k > Tốn rời rạc Bài toán 36 sĩ quan  Tëng chõng toán đặt có ý nghĩa tuý toán đố hóc búa thử trí tuệ ngời Thế nhng gần ngời ta đà phát ứng dụng quan trọng vấn đề vào: ãQuy hoạch thực nghiệm (Experimental Design), ãSắp xếp lịch thi đấu giải cờ quốc tế, ãHình học xạ ảnh (Projective Geometry), ã Toỏn ri rc Bài toán màu Có toán mà nội dung giải thích cho ai, nhiên lời giải thử tìm, nhng mà khó tìm đợc Ngoài định lý Fermat toán màu toán nh Bài to¸n cã thĨ ph¸t biĨu trùc quan nh sau: Chøng minh đồ mặt phẳng tô màu cho hai nớc láng giềng lại bị tô màu Chú ý rằng, ta xem nh nớc vùng liên thông hai nớc đợc gọi láng giềng chúng có chung biên giới đờng liên tục Toỏn ri rc Bi toỏn mu Con số ngẫu nhiên Ng ời ta đà chứng minh đợc đồ đợc tô với số mầu lớn 4, với số mầu không tô đợc Chẳng hạn đồ gồm nớc hình dới tô đợc với số mầu h¬n A B C D Tốn rời rạc 10 Vớ d m u Trong mặt phẳng cho điểm đợc nối với đôi cung màu xanh màu đỏ Chứng minh tìm đợc điểm cho cung nèi chóng cã cïng mét mµu (ta sÏ nãi lµ chúng tạo thành tam giác xanh đỏ) Giải: Chọn ®iĨm P nµo ®ã Tõ nã cã cung nèi với điểm lại Theo nguyên lý Dirichlet, có số cung phải có màu, chẳng hạn màu xanh Giả sử c¸c cung PA, PB, PC NÕu nh mét sè cung AB, AC, BC có màu xanh cïng víi hai sè ba cung PA, PB, PC tạo thành tam giác xanh Nếu ngợc lại tam giác ABC tam giác đỏ Toỏn ri rạc 89 Ví dụ mở đầu A P B C E D Toán rời rạc NÕu nh mét sè cung AB, AC, BC cã mµu xanh nã cïng víi hai sè ba cung PA, PB, PC tạo thành tam giác xanh 90 Vớ d m đầu A P B Nếu cung AB, AC, BC có màu đỏ chúng tạo thành tam giác đỏ C E D Toán rời rạc 91 Phân tích ví dụ   Mét c¸ch ph¸t biĨu kh¸c kết vừa chứng minh là: Trong số ngời bàn tiệc tìm đợc ba ngời đôi quen ba ngời đôi kh«ng quen Có thể thấy thay số n > khẳng định ví dụ Nhưng thay số khẳng định ví dụ khơng cịn hình vẽ sau Tốn rời rạc 92 Phân tích ví dụ    Như thấy giá trị n nhỏ để khẳng định ví dụ ỳng Chúng ta đặt câu hỏi tơng tự nh: Hỏi phải có ngời để chắn tìm đợc ngời đôi quen ngời đôi không quen nhau? Hỏi phải có ngời để chắn tìm đợc ngời đôi quen ngời đôi không quen nhau? Con số nhỏ nhắc đến câu hỏi đợc gọi số Ramsey, mang tên nhà toán học ngời Anh đà chứng minh đợc định lý tiếng lý thuyết tập hợp tổng quát hoá nguyên lý Dirichlet Toỏn ri rc 93 Cỏc s Ramsey Để phát biểu kết tổng quát cần đến số khái niệm Định nghĩa Gọi Kn gồm hai tập V, E, V tập gồm n điểm E tập đoạn nối tất cặp điểm V ã Ta ký hiệu K = (V, E) ã Các phần tử V đợc gọi đỉnh, V tập n đỉnh Kn ã Mỗi đoạn nối hai đỉnh u, v V đợc gọi cạnh Kn ký hiệu (u, v), tập E đợc gọi tập cạnh Kn Toỏn rời rạc 94 Các số Ramsey  Ta cã thÓ phát biểu lại kết ví dụ mở đầu nh sau: Giả sử cạnh K6 đợc tô hai màu xanh đỏ Khi K6 chứa K3 với tất cạnh đợc tô màu xanh (gọi tắt K3 xanh) K3 với tất cạnh đợc tô màu đỏ (gọi tắt K3 đỏ) Chúng ta nói số có tính chất (3,3)-Ramsey Định nghĩa Giả sử i j hai số nguyên cho i  2, j  Sè nguyªn dơng m có tính chất (i,j)-Ramsey Km với cạnh đợc tô hai màu xanh, đỏ chứa K i đỏ Kj xanh Toán rời rạc 95 Các số Ramsey  Tõ phân tích ta thấy có tính chất (3,3)-Ramsey, số n m cịng có tính chất này; ã Nếu m tính chất (i,j)-Ramsey, số n < m tính chất này; ã Nếu i i2 th× R(i1,j)  R(i2,j) Tốn rời rạc 98 Các số Ramsey Việc xác định số Ramsey R(i,j) đòi hỏi phải tìm số nguyên dơng nhỏ có tính chất (i,j)-Ramsey Liệu số có tồn với i 2, j hay không? Định lý Ramsey cho ta khẳng định tồn số Định lý Ramsey Nếu i 2, j số nguyên dơng tìm đợc số nguyên d ơng với tính chất (i,j)-Ramsey (từ suy số R(i,j) tồn t¹i) Tốn rời rạc 99 Các số Ramsey   Các số R(i,j) vừa trình bày số nhiều dòng số Ramsey nghiên cứu Việc xác định R(i,j) với giá trị i, j cụ thể ln tốn tổ hợp không tầm thường Hiện người ta biết giá trị R(i, j) với giá trị (i,j) Toán rời rạc 100 Ask questions! Toán rời rạc 101 Toán rời rạc 102 Toán rời rạc 103 ... dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TOÁN TỒN TẠI Giới thiệu toán Các kỹ thuật chứng minh... Khơng tồn số hoàn hảo lẻ (Odd perfect number) Nếu bạn giải vấn đề Toán rời rạc 17 ẢO GIÁC Toán rời rạc 18 Fractals Toán rời rạc 19 A bit of humor: Computer terminology Tốn rời rạc 20 Chương BÀI... Tốn rời rạc 46 Ví dụ Chứng minh ln phủ kín bàn cờ kích thước 2n  2n (n > 1) quân hình chữ T (T-omino) Tốn rời rạc 47 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22 Toán rời rạc 48 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22 Toán