TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics) Chương Phép đếm Phép đếm Ánh xạ Phép đếm Giải thích tổ hợp Nguyên lý Dirichlet(nguyên lý chuồng bồ câu) Tập hợp phép toán tập hợp 1.1) Định nghĩa 2.1.1:  Tập hợp A gồm phần tử x thỏa tính chất p(x): A = xU / p(x) U: gọi tập vũ trụ Hay: A = x / p(x)  (U: hiểu ngầm) Tập hợp biểu diễn cách liệt kê (nếu có thể): Ví dụ 2.1.1: A = { nN/ (n>3)  (n7)} Có thể viết lại cách liệt kê: A = {4, 5, 6, 7} Ví dụ 2.1.2: Tập nguyên âm bảng chữ tiếng Anh V={a,e, i, o,u}  Một tập hợp gồm phần tử chẳng liên quan với Tập hợp phép toán tập hợp (tiếp theo)  Tập rỗng, kí hiệu  : tập hợp khơng có phần tử Ví dụ 2.1.3:A= {xR/ x2+4x+6=0} tập  1.2) Định nghĩa 2.1.2: Tập hợp A gọi tập hợp B (kí hiệu AB) nếu: xA  x  B B A Ví dụ 2.1.4: Với A = {5,8}; B = {1,4,8;6,5,12} AB Chú ý:   Ta có:   A A  A với tập hợp A Tập A có n phần tử có 2n tập 2n-1 tập khác rỗng Tập hợp phép tốn tập hợp (tiếp theo) Ví dụ 2.1.5: Cho tập A = {1,4;7} Có 23=8 tập A: P(A)=(, {1}, {4}, {7}, {1,4}, {1,7}, {4,7},{1,4,7} 1.3) Định nghĩa 2.1.3: Hai tập hợp A B gọi ăằng AB BA Ví dụ 2.1.6: A = {1,3,7} B = {7, 1, 3} A =B Ví dụ 2.1.7: A = {f,c,e,a, b} B = {a, b, c, f} A  B Ví dụ 2.1.8: A = {xR/ x2-3x+2=0} B = {xR/ x4-3x3+3x2-3x+2=0} A = B Tập hợp phép tốn tập hợp (tiếp theo) Ví dụ 2.1.9: Giả sử A={a, b, c, {c}, {a,c}} Chỉ khẳng định khẳng định đây: i) bA ii) cA iii) {c}A iv){c}A v) {a,b}A vi) {{c}}A Trả lời: i, ii, iii, iv, v, vi Ví dụ 2.1.10: Chỉ khẳng định đúng: i)  ii)  iii) {} iv) {} Trả lời: ii, iii, iv Tập hợp phép toán tập hợp (tiếp theo) 1.4) Một số phép toán tập hợp Phép giao: A  B ={x U/ (xA)(xB)} Phép hợp: A B ={x  U/ (xA)(xB)} Phép trừ: A\ B ={x  U/ (x  A)  (xB)}  Lấy phần bù: A {x  U/x  A} U AB AB A\B  A Tập hợp phép toán tập hợp (tiếp theo) Ví dụ 2.1.10: Cho tập hợp U = {a, b, c, e, f, 1, 5, 7} tập U A = { b, c, 5}, B = {c, 5, f, 7} Ta có: AB = {c, 5} AB = {b, c,5, f, 7} A\B = {b} B\A={f, 7} A = {a, e, f, 1, 7} Tập hợp phép toán tập hợp (tiếp theo) Ví dụ 2.3.11: Cho U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {1,5,6;9}; B={4;5;7;9} Ta có: AB ={5,9}; AB ={1;4;5;6;7;9}; A\B = {1,6} A = {2,3,4,7,8} Giải tích tổ hợp (tiếp theo) Định lý 4.5: Số phép hoán vị n phần tử, có n phần tử giống thuộc loại 1, n2 phần tử giống loại 2, …, nk phần tử giống loại k là: n! n1!n2 ! nk ! Chứng minh: Bài tập Định lý 4.6: Số cách phân chia n đồ vật khác vào k hộp khác nhau, cho ni đồ vật đặt vào hộp i (i=1,2, ,k) là: n! n1!n2! nk ! Giải tích tổ hợp (tiếp theo) 4.10) Chỉnh hợp có lặp: Ví dụ 2.4.10: Có cách khác để cách lấy viên bi liên tiếp từ hộp đựng viên bi thuộc màu khác nhau? Biết rằng: Sau lấy viên bi, viên bi phải trả lại vào hộp Giải: -Số cách khác để lấy viên bi thứ -Vì viên bi bỏ lại vào hộp sau lấy, số cách khác để lấy viên bi thứ hai ba - Theo nguyên lý nhân, số cách khác để chọn viên bi là: 53 Định lý 4.7: Chỉnh hợp n phần tử chọn m cho phép phần tử chọn lặp lại nm Giải tích tổ hợp (tiếp theo) 4.11) Tổ hợp có lặp: Ví dụ 2.4.11: Có cách chọn tờ bạc từ loại tờ bạc: 1000, 2000 5000 Biết rằng: Thứ tự tờ bạc chọn không quan trọng tờ bạc chọn nhiều lần Giải: Có thể tìm số cách chọn cách liệt kê tất trường hợp có thể: - Chọn tờ 1000 - Chọn tờ 2000 - Chọn tờ 50000 - Chọn tờ 1000, tờ 2000 - Chọn tờ 1000, tờ 5000 - Chọn tờ 1000, tờ 2000 - Chọn tờ 1000, tờ 5000 … Khó liệt kê đầy đủ tất trường hợp số lượng phần tử lớn Giải tích tổ hợp (tiếp theo) Một cách giải khác: Loại 1000 Loại 2000 Loại 5000 Tủ gồm ngăn chọn chọn chọn * * tờ 1000 * tờ 2000 * tờ 5000 cách chọn tờ bạc Nhận xét: Bằng cách thay đổi vị trí vạch ngăn vị trí, ta có cách chọn Giải tích tổ hợp (tiếp theo) Một số cách chọn có cách thay đổi vị trí vạch ngăn: * * * * tờ 1000 * tờ 2000 * * tờ 5000 * tờ 1000 tờ 2000 tờ 5000 * * tờ 1000 * * tờ 2000 tờ 5000 Vậy số cách chọn tờ bạc = số cách chọn vị trí vạch ngăn 4+3-1=6 vị trí bằng: 6! C62 C 443  15 C 443 2!(6  2)! Giải tích tổ hợp (tiếp theo) Định lý 4.8: Số cách chọn m đồ vật (không thứ tự cho phép lặp lại) từ n loại đồ vật khác là: m Cnm Ví dụ 2.4.12: Có cách xếp trái từ loại: Cam, lê xoài vào đĩa Ví dụ 2.4.13: Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình: x1+x2+x3+x4 = Ví dụ 2.4.14: Tìm số nghiệm nguyên phương trình: x1+x2+x3=10 Biết rằng: x1>=0, x2>=2, x3>=1 Ví dụ 2.14.15: Có nghiệm ngun khơng âm bất phương trình: x1+x2+x311 Ví dụ 2.14.16: Đề thi trắc nghiệm có 10 câu Có cách gán điểm cho câu hỏi để tổng điểm 100 Biết rằng, câu có điểm Nguyên lý Dirichet (nguyên lý chuồng bồ câu) 5.1) Định lý 5.1 (nguyên lý chuồng bồ câu): Nếu có từ k+1 vật khác bỏ vào k hộp có hộp chứa nhiều đồ vật  Tổng quát: Nếu có N vật đặt vào k hộp, phải tồn hộp chứa N/k đồ vật Nguyên lý Dirichet (nguyên lý chuồng bồ câu) Ví dụ 2.4.7: Trong 100 người có 100/12 = người sinh tháng Ví dụ 2.4.8: Trong tháng 30 ngày, đội bóng thi đấu ngày trận không 45 trận Chứng tỏ có thời gian gồm số ngày liên tiếp, đội bóng phải đấu tất 14 trận Ví dụ 2.4.9: Chứng minh buổi họp có n người ln ln tìm người có số người quen nhau? Bài tập Cho tập hợp A, B, C, D tập vũ trụ U Hãy chứng minh khẳng định sau đúng: a) Nếu A  B C  D thì: A  C  B  D A  C  B  D a) Nếu A  C B  C A  B C A  B  C  b) A  B A  B =  c) A  B Ā  B = U Bài tập 2) Trong số khẳng định đây, khẳng định đúng: a) A, B, C  P(U), (A  C = B  C)  (A = B) b) A, B, C  P(U), (A  C = B  C)  (A = B) c) A, B, C  P(U),(AC = BC)  (AC = BC)  (A=B) 3)Dùng quy luật lý thuyết tập hợp để đơn giản biểu thức sau:  a) A  (B  A)   b) (A  B)  (A  B  C  D)  (A  B)    c) A  B  (A  B  C) Bài tập 4) Với ánh xạ f: A → B sau đây, cho biết có phải đơn ánh, tịan ánh song ánh khơng? Nếu song ánh tìm ánh xạ ngược? a) A = B = R, f(x) = x2+2x-3 b) A = [4,9], B=[21,96], f(x)= x2+2x-3 c) A=B = R, f(x) = 3x – 2|x| d) A=R, B=(0,+), f(x)=ex+1 e) A=B=N, f(x)=x(x+1) Bài tập 5) Xét ánh xạ f,g: R → R, f(x)=ax+b, g(x)=x2-x+1 Giả sử (g°f)(x)=9x2-9x+3, x R Tìm a,b? 6) Cho S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Có tập A S thỏa: a) Số phần tử A (|A|)=6 b) |A| = phần tử bé A c) |A|=5 phần tử bé A bé hay d) A có nhất số chẳn Bài tập 7) Một lớp học gồm 10 sinh viên nam 15 sinh viên nữ Có cách chọn 12 sinh viên từ 25 sinh viên lớp Biết rằng: a) Khơng có hạn chế b) Phải có nam nữ c) Số nữ số chẵn d) Phải có số nữ nhiều nam c) Có nam Bài tập 8) Có cách để xếp sinh viên từ 30 sinh viên vào bàn (thứ tự sinh viên xếp quan trọng) 9) Một lớp học có 50 sinh viên Có cách chia lớp thành 10 tổ 10) Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình: x1+x2+x3+x4 = 12 Biết rằng: x2  2, x4>0 11) Có cách khác để chia 12 sinh cho đứa trẻ? Biết a) Mỗi đứa trẻ sách b) Hai đứa lớn đứa đứa bé đứa Bài tập 12) Tìm hệ số có chứa x9 trong: a) (x+y)12 b) (2x+3y)15 c) (3x-4y)11 c) (x+y+z)10 13) Chứng minh 14 phần tử khác tùy ý S = {1,2,3,…,25} có phần tử có tổng 26 ...Chương Phép đếm Phép đếm Ánh xạ Phép đếm Giải thích tổ hợp Nguyên lý Dirichlet(nguyên lý chuồng bồ câu) Tập hợp phép toán tập hợp 1.1) Định nghĩa 2.1.1: ... Trả lời: ii, iii, iv Tập hợp phép toán tập hợp (tiếp theo) 1.4) Một số phép toán tập hợp Phép giao: A  B ={x U/ (xA)(xB)} Phép hợp: A B ={x  U/ (xA)(xB)} Phép trừ: A B ={x  U/... Morgan) (B  C )  A (Tính giao hốn phép giao) (Tính giao hoán phép hợp) (C  B )  A Ánh xạ 2.1) Định nghĩa 2.2.1:  Ánh xạ f từ tập hợp A vào tập hợp B phép tương ứng liên kết phần tử x A