Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm rbf và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trần Đức Thụ HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên nghành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Đặng Quang Á Thái Nguyên 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT: IMQ: Inverse Multi Quadric MQ: Multi Quadric RBF: Radian Basic Function DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với = 3 11 Bảng 2.1 : So sánh phƣơng pháp trực tiếp và phƣơng pháp nhanh 26 Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512 33 Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ của việc nội suy bằng RBF và các lƣới đƣợc suy ra 36 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1: Khớp hàm RBF và phục hồi lƣới bằng RBF 15 Hình 2.2: Mô tả các điểm ngoài bề mặt 18 Hình 2.3: Khôi phục một bàn tay 18 Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay 20 Hình 2.5: Phƣơng pháp điều chỉnh nhanh 25 Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF 25 Hình 2.7: Rút gọn tâm 28 Hình 2.8: Xấp xỉ dữ liệu LIDAR 31 Hình 2.9: Mức làm trơn 31 Hình 2.10: Gia công đẳng mặt 32 Hình 2.11: Lấp lỗ và ngoại suy bề mặt 34 Hình 2.12: Biểu diễn các đối tƣợng phức tạp 35 Hình 2.13: Khôi phục hành tinh Eros 35 Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau khi đổi trật tự mảng giá trị và các đối số 43 Hình 3.3: Bề mặt đƣa vào 44 Hình 3.4: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến 45 Hình 3.5: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại bỏ 46 Hình 3.6: Bề mặt sau khi khớp không có sự rút gọn tâm 48 Hình 3.7: Bề mặt sau khi khớp có sự rút gọn tâm 49 Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt trên lƣới 3D 50 Hình 3.9: Lƣới mới đƣợc sinh ra 51 Hình 3.10: Lƣới đa giác đƣợc sinh ra 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF) 3 1.1.1. Nội suy dữ liệu rời rạc 3 1.1.2. Ma trận và hàm xác định dƣơng 5 1.1.3. Hàm cơ sở bán kính 6 1.1.4. Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hồn tồn 6 1.1.5. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều kiện 7 1.1.6. Ví dụ nội suy bằng RBF 10 1.2. Bài tốn khơi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D 11 Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC BÀI TỐN KHƠI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D 14 2.1. Các bề mặt ẩn 15 2.2. Khớp một hàm ẩn vào bề mặt 16 2.3. Nội suy hàm cơ sở bán kính 23 2.4. Các phƣơng pháp nhanh 26 2.5. Rút gọn tâm 27 2.6. Xấp xỉ dữ liệu nhiễu bằng RBF 29 2.7. Tính tốn bề mặt 30 2.8. Các kết quả 32 2.9. Kết luận 37 Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF 38 3.1. Phần mềm FastRBF làm gì 38 3.2. Ai có thể sử dụng phần mềm FastRBF 38 3.3. Những lợi ích của phần mềm FastRBF 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.4.Các ứng dụng 39 3.5. Các kết quả đạt đƣợc khi sử dụng phần mềm FastRBF 39 3.5.1. Khớp và tính toán dữ liệu 3D 39 3.5.1.1. Rút gọn tâm RBF 41 3.5.1.2. Tính toán lƣới 3D 42 3.5.2. Khớp dữ liệu bề mặt 3D 43 3.5.2.1. Khớp bề mặt vào dữ liệu lƣới 43 3.5.2.2. Gia công đẳng mặt 51 3.6. Kết luận 53 KẾT LUẬN 54 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con ngƣời đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Máy tính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con ngƣời trong việc xử lý dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác. Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu các phƣơng pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao tác các dữ liệu số hóa của các vật thể trong thực tế. Lĩnh vực này đƣợc phát triển dựa trên nền tảng của hình học họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán học của đại số và giải tích, cũng nhƣ các thành tựu của phần cứng máy tính. Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) đƣợc đề xuất bởi một chuyên gia ngƣời Mỹ tên là William Fetter vào năm 1960. Khi đó ông đang nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing. William Fetter đã dựa trên các hình ảnh 3 chiều của mô hình ngƣời phi công trong buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ƣu cho máy bay Boeing. Đây là phƣơng pháp nghiên cứu rất mới vào thời kỳ đó. Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D là một trong các bài toán cơ bản. Công cụ quan trọng để giải quyết bài toán này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến. Để nội suy hàm số từ một tập điểm đã biết thông thƣờng ngƣời ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và các biến dạng của nó. Từ khoảng hai chục năm nay ngƣời ta đã và đang phát triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF. Phƣơng pháp nội suy này đã đƣợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng đã đƣợc phát triển. Luận văn gồm có ba chƣơng: 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm RBF. Những tính chất của hàm RBF đƣợc áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc. Đây là những kiến thức cơ sở rất quan trọng. Tìm hiểu về bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D. Chƣơng 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D Chƣơng 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF. Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS. Đặng Quang Á đã tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ Thông tin – Đại học Thái Nguyên và Trƣờng Cao đẳng Công nghiệp Việt Đức (Thái Nguyên) đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009 TÁC GIẢ 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về hàm cơ sở bán kính (RBF), bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D. 1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF): 1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc: Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ liệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu đƣợc những kết quả đó), yêu cầu tìm một quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có. Vì vậy ta mong muốn tìm một hàm “đủ tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có. Có nhiều cách để quyết định thế nào là tốt và một trong các tiêu chuẩn là muốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc đƣợc tại những vị trí đã cho – Đáp ứng tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy. Và nếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lƣới chuẩn thì tiến trình trên gọi là nội suy dữ liệu rời rạc. Chính xác hơn ta có: Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu jjyx ,,nj , .,1 với jx Rs, jy R. Tìm một hàm (liên tục) fP thỏa mãn: jjfyxP , j=1,…,n (1.1) Ý tƣởng chung để giải quyết bài toán nội suy là tìm hàm fP dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của hệ hàm cơ sở nkkB1, nghĩa là: nkkkfxBcxP1, x Rs (1.2) Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định các hệ số nkkc1: yAc (1.3) Trong đó jkjkxBA ;nkj , .,1, ; Tnccc , .,1; Tnyyy , .,1 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán 1.1 sẽ đƣợc đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi và chỉ khi ma trận A không suy biến. Trong trƣờng hợp một chiều, ta luôn xây dựng đƣợc đa thức nội suy bậc n – 1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý. Tuy nhiên khi s ≥ 2, ta có kết quả phủ định sau: Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu Rs, s ≥ 2 chứa một điểm trong thì trong không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường hợp không gian một chiều. Trong đó, không gian Haar đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B C(). Gọi nBBB , .,,21 là một cơ sở của B. Khi đó B được gọi là không gian Haar trên nếu 0det Avới mọi tập các điểm phân biệt nxxx , .,,21 . Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi jkkjxBA ,;nkj , .,1, . Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không gian các đa thức một biến bậc 1n chính là không gian Haar n chiều với tập dữ liệu jjyx ,, nj , .,1, jx R, jy R. Cơ sở chính tắc của không gian này là 12321, .,,,1nnxBxBxBB. Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trƣớc tập các hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu. Để giải quyết vấn đề không suy biến của ma trận A, ta cần một phƣơng pháp khác để xây dựng hàm nội suy. Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ thuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn liệu tƣơng ứng. Phƣơng pháp này đƣợc đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971 và đƣợc gọi là phƣơng pháp hàm cở sở bán kính. 1.1.2 Ma trận và hàm xác định dƣơng: Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm: njnkjkkjAcc1 10 (1.4) với Tnccc , .,1 Rn. Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi Tc 0, .,0 thì ma trận A được gọi là xác định dương. Tính chất quan trọng của ma trận xác định dƣơng là nó có tất cả các giá trị riêng đều dƣơng và không suy biến. Nếu hệ hàm cơ sở nkkB1 trong khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy xác định dƣơng thì bài toán nội suy đƣợc đặt đúng. Hàm xác định dƣơng đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục : Rs R là xác định đương khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và thỏa mãn: njnkkjkjxxcc1 10 (1.5) với mọi n điểm đôi một khác nhau nxx , .,1 Rs và Tnccc , .,1 Rn. Hàm gọi là xác định dương chặt nếu dấu bằng của (1.5) xảy ra khi và chỉ khi Tc 0, .,0. Từ định nghĩa 1.3 và tính chất của ma trận xác định dƣơng ta thấy, có thể sử dụng các hàm xác định dƣơng chặt kkxxB làm hệ hàm cơ sở, và khi đó ta có: nkkkfxxcxP1 (1.6) Ma trận nội suy trở thành: [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 phần đó của hàm RBF nhờ các tâm trong một đám đặc biệt Một cách sử dụng đúng đắn phép tính xấp xỉ cho các đám cách xa từ một điểm tính toán cho phép hàm RBF có thể tính toán độ chính xác định trƣớc và phép tính trực tiếp cho các đám ở gần tới một điểm tính toán cho phép hàm RBF tính toán tới bất kỳ độ chính xác biết trƣớc nào và với sự giảm đáng kể thời gian tính toán so với tính toán trực tiếp... số thực và | | là quy tắc Ơ cơ lít trên R3 Hàm này là một ví dụ đặc biệt của hàm RBF Thông thƣờng, một hàm RBF có dạng: N s ( x) p ( x) i x x i , (2.6) i 1 với p là một đa thức bậc thấp và hàm cơ sở là một hàm giá trị thực trong khoảng [0, ), thƣờng không bị chặn và chứng minh không chặt Trong tình huống này các điểm xi đƣợc xem nhƣ là các tâm của RBF Các lựa chọn phổ biến cho hàm cơ... http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 minh họa trong hình 2.7 Một thuật toán tham lam có thể vì thế mà đƣợc sử dụng để khớp lại một hàm RBF trong phạm vi độ chính xác khớp dữ liệu mong muốn Tập con rút gọn của các tâm RBF Các tâm RBF Hình 2.7: Minh họa sự rút gọn tâm Một thuật toán tham lam đơn giản gồm những bƣớc sau : 1 Chọn một tập con từ các nút nội suy xi và khớp chỉ một hàm RBF cho những nút này 2 Tính toán phần dƣ,... trận A và P giống nhƣ trong phƣơng trình (2.8) Tham số có thể coi nhƣ là độ cứng của hàm RBF s(x) Hệ (2.10) cũng có thể giải quyết bằng việc sử dụng phƣơng pháp nhanh 2.7 Tính toán bề mặt Một hàm RBF khớp một tập dữ liệu bề mặt tạo thành một mô hình vật thể của một đối tƣợng Bề mặt của các đối tƣợng là nơi các điểm với hàm RBF bằng 0 Bề mặt này có thể hiển thị trực tiếp bằng việc sử dụng một mũi... trong không gian nhiều chiều Do đó, thay vì sử dụng hàm đa biến x (độ phức tạp sẽ tăng lên theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến cho tất cả số chiều s 1.1.3 Hàm cơ sở bán kính: Định nghĩa 1.4 Hàm : Rs R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm một biến : [0,+) R thỏa mãn: x r (1.8) Với r x và là một chuẩn nào đó trong Rs (thường dùng chuẩn Euclidean) Hàm tương ứng. .. phƣơng pháp tính toán nhanh này, khi sử dụng cùng với các phƣơng pháp khớp dữ liệu đặc biệt cho hàm RBF [3,7], làm giảm rất nhiều dung lƣợng lƣu trữ và chi phí tính toán cho việc sử dụng hàm RBF Chúng giảm chi phí tính toán hàm s(x) với M điểm từ O(MN) tới O(M+NlogN) phép tính Chi phí của việc tính toán đồng thời độ chênh lệch s(x) với hàm s(x) là xấp xỉ bằng hai lần việc tính toán riêng hàm s(x) Bảng... là hàm cơ sở bán kính Ta nói hàm là xác định dương (chặt) khi và chỉ khi hàm là xác định dương (chặt) 1.1.4 Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn: Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tƣơng ứng, dựa trên tính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn Định nghĩa 1.5 Hàm C R0 được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và. .. điểm không đầy đủ Một bề mặt của đối tƣợng đƣợc định nghĩa hoàn toàn giống nhƣ một tập hợp số 0 của một hàm cơ sở bán kính phù hợp với dữ liệu bề mặt đã cho Các phƣơng pháp nhanh cho việc khớp dữ liệu và tính giá trị hàm RBF cho phép chúng ta mô hình các tập hợp dữ liệu lớn, bao gồm hàng triệu các điểm bề mặt, bằng một hàm RBF đơn trƣớc một bài toán khó giải Một thuật toán tham lam trong quá trình khớp... nhiều nhất vài ngàn điểm [14,15] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Độ chính xác điều chỉnh + các nút nội suy - - - - độ chính xác tính toán các điểm tính toán đƣa ra khớp bằng RBF …… bề mặt đƣa ra Hình 2.5 : Hình minh họa của phƣơng pháp điều chỉnh nhanh và các giá trị tính toán Hình 2.6 : Một thuật toán tham lam lặp lại việc khớp một hàm RBF vào một tập... lớn không đều trong hộp sọ đƣợc nội suy sử dụng hàm xác định dƣơng chặt RBF Tấm titan đƣợc đúc trong khuôn của bề mặt thích hợp để tạo thành một hộp sọ giả Tài liệu đó khai thác các đặc điểm nội suy và ngoại suy của hàm RBF hợp lý nhƣ các đặc tính vật lý cơ bản của hàm xác định dƣơng chặt Tuy nhiên, phƣơng pháp chỉ giới hạn mô hình các bề mặt mà có thể biểu diễn rõ ràng nhƣ một hàm 2 biến Trong luận văn . Thụ HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên nghành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI. dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác. Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu các phƣơng pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao
