Xử lý tín hiệu số: Phần 2

Ví dụ như, tín hiệu sin chỉ có duy nhất một tần số đơn, trong khi nhiễu trắng chứa tất cả các thành phần tần số.. Sự biến thiên chậm của tín hiệu là do tần số thấp, trong khi sự biến [r]

Chương IV Chương 4

PHÂN TÍCH TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC

LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ

Trong chương III ta thấy phép biến đổi Z cơng cụ tốn học hiệu việc phân tích hệ thống rời rạc LTI Trong chương này, ta tìm hiểu cơng cụ tốn học quan trọng khác phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc, gọi tắt DTFT (DT-Fourier Transform)

Phép biến đổi áp dụng để phân tích cho tín hiệu hệ thống Nó dùng trường hợp dãy rời rạc dài vơ hạn khơng tuần hồn

Nội dung chương bao gồm: - Biến đổi Fourier

- Biến đổi Fourier ngược

- Các tính chất biến đổi Fourier

- Phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc (cách gọi thơng dụng phân tích phổ) - Phân tích tần số cho hệ thống rời rạc

4.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 4.1.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier

Ta biết biểu diễn tín hiệu rời rạc tạo cách lấy mẫu tín hiệu tương tự dạng sau đây:

( ) ( ) ( )

s k

x t ∞ x kT δ t kT =−∞

= ∑ −

Bây ta tính biến đổi Fourier cho tín hiệu Các bước sau:

1. Tính biến đổi Fourier δ(t kT− )

2. Sử dụng nguyên lý xếp chồng, tìm biến đổi Fourier ( )x ts

( ) F ( ) jn T s

n

x t ∞ x nT e− ω =−∞

↔ ∑

Đặt x nT( )=x n[ ] thay biến Ω =ωT (xem lại chương I, lưu ý đơn vị củaΩ[rad]

ω[rad/s]), ta được:

DTFT ( ) [ ] j n n

X ∞ x n e− Ω =−∞

: Ω = ∑

Chương IV DTFT hàm phức theo biến tần số thực Ta gọi DTFT phổ phức (complex

spectrum) hay ngắn gọn phổ tín hiệu rời rạc [ ]x n

4.1.2 Sự hội tụ phép biến đổi Fourier

Không phải tất DTFT tồn (hội tụ) DTFT hội tụ khi:

∞ < ∑∞ −∞ = Ω − n n j e ] n [ x Ta ln ln có:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ −∞ = ∞ −∞ = Ω − ∞ −∞ = Ω − ∞ −∞ = Ω − ∞ −∞ = Ω − ∞ −∞ = Ω − ≤ ≤ ≤ n n n j n n j n n j n n j n n j ] n [ x e ] n [ x e ] n [ x e ] n [ x e ] n [ x e ] n [ x

Như vậy, x[n] thỏa điều kiện:

∞ < ∑∞ −∞ = n ] n [ x biến đổi Fourier hội tụ

Ví dụ:

Tìm ( )X Ω với [ ]x n =a u nn [ ], 1| |<a Nếu 1| |>a ?

Ví dụ:

Chương IV

Ví dụ:

Cho [ ]p n =u n[ ]−u n N[ − ] Tìm ( )P Ω

Hãy chứng tỏ biến đổi Fourier có pha tuyến tính (linear phase)

Ví dụ:

Tìm ( )H Ω hệ LTI có đáp ứng xung sau

[ ]h n =δ[ ] [n + δ n− +1] [δ n− +2] δ[n−3] Và chứng tỏ hệ có pha tuyến tính

4.1.4 Quan hệ biến đổi Z biến đổi Fourier

Biểu thức tính ZT là:

∑∞ −∞ =

−

=

n

n z ] n [ x )

z ( X

Giả sử ROC có chứa đường trịn đơn vị Tính X(z) đường trịn đơn vị, ta được: )

( X e

] n [ x )

z ( X

n

n j e

z j

Ω = = ∑∞

−∞ =

Ω − = Ω

Chương IV Biến đổi Fourier tín hiệu tồn ROC biến đổi Z tín hiệu có chứa đường trịn đơn vị

Ví dụ:

Làm lại ví dụ trên- Tìm biến đổi Fourier của: (a) [ ]x n =a u nn [ ], 1| |<a Nếu 1| |>a ?

(b) [ ]y n =a u nn [− ], 1| |>a Nếu 1| |<a ?

(c) [ ]p n =u n[ ]−u n N[ − ]

(d) [ ]h n =δ[ ] [n + δ n− +1] [δ n− +2] δ[n−3]

4.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC 4.2.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier ngược

Ta thấy )X(Ω hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, ejΩtuần hoàn với chu kỳ2π :

( )

j j j j j

eΩ =e Ω+ π =e eΩ π =e Ω

Do dải tần số tín hiệu rời rạc dải tần rộng 2π, thường chọn là:(−π,π)hay(0,2π)

Vậy ta khai triểnX(Ω) thành chỗi Fourier khoảng (−π,π)hay(0,2π) điều kiện tồn X(Ω) thỏa mãn Các hệ số Fourier x[n], ta tính x[n] từ X(Ω) theo cách sau:

Nhân vế biểu thức tính DTFT với ej l

1 Ω

π lấy tích phân khoảng )(−π,π ta có:

] l [ x d e ] n [ x d e e ] n [ x d e ) ( X

1 j (l n)

n l j n n j l j = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ω π = Ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π = Ω Ω π ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ π π − − Ω ∞ −∞ = π π − Ω ∞ −∞ = Ω − π π − Ω

Chương IV

1

[ ] ( )

2

j n

x n X e d

π

π

Ω

= ∫ Ω Ω

Ta tính IDTFT hai cách: tính trực tiếp tích phân trên, hai chuyển biến đổi Z tính tính biến đổi Z ngược Tùy vào trường hợp cụ thể mà ta chọn phương pháp cho thuận tiện

4.2.2 Một số ví dụ tính biến đổi Fourier ngược

Ví dụ:

Tìm x[n] biết:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

π < Ω < Ω

Ω ≤ Ω =

Ω

c c ,

0 , ) ( X

Ví dụ:

Tìm x[n] biết:

Ω =

Ω) cos2 (

Chương IV

4.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Sau ta xét số tính chất quan trọng DTFT, phần cịn lại xem sách

4.3.1 Tính tuyến tính

1[ ] 2[ ] 1( ) 2( )

ax n +bx n ←→aX Ω +bX Ω

4.3.2 Tính dịch thời gian

[ ] ( )

x n ←→X Ω

0

[ ] j n ( )

x n n− ←→e− Ω X Ω

Qua ta thấy dịch chuyển tín hiệu miền thời gian khơng ảnh hưởng đến biên độ DTFT, nhiên pha cộng thêm lượng

4.3.3 Tính dịch tần số/ điều chế

[ ] ( )

x n ←→X Ω

) (

X ]

n [ x

ejΩ0n ←→ Ω−Ω0

) (

X ) (

X ]

n [ x ) n

cos(Ω0 ←→ Ω−Ω0 + Ω+Ω0

Chương IV

4.3.4 Tính chập thời gian

Tương tự biến đổi Z, với biến đổi Fourier ta có:

1[ ] 2[ ] 1( ) 2( )

F

x n x n∗ ←→X Ω X Ω

Ví dụ:

Cho [ ]h n =a u n an [ ],| |<1 Tìm hệ đảo [ ]

i

h n , khơng dùng biến đổi Z

4.3.5 Tính nhân thời gian

λ λ − Ω λ π

←→ ∫

πX ( )X ( )d

2 ]

n [ x ] n [

x 2

2

2

4.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ (PHỔ) CHO TÍN HIỆU RỜI RẠC 4.4.1 Ý nghĩa phổ

Trong miền tần số, tín hiệu có đặc điểm riêng Ví dụ như, tín hiệu sin có tần số đơn, nhiễu trắng chứa tất thành phần tần số Sự biến thiên chậm tín hiệu tần số thấp, biến thiên nhanh sườn nhọn tần số cao Như xung vng chẳng hạn, chứa tần số thấp tần số cao Hình sau minh họa cho điều Hình (a) sóng sin tần số thấp, hình sau (b)-(c) cộng thêm dần sóng sin tần số cao dần Hình cuối (e) tổng sóng sin Trong hình (e) ta thấy tổng sóng sin có dạng xấp xỉ với dạng xung vng

Chương IV

4.4.2 Phổ biên độ phổ pha

Phổ tín hiệu gồm có hai phần: phổ biên độ (magnitude spectrum) và phổ pha (phase

spectrum) Phổ biên độ độ lớn hành phần tần số Phổ pha quan hệ pha

giữa thành phần tần số khác Trong phần này, ta xét tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn Cơng cụ để tính phổ tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn DTFT

Để tính phổ tín hiệu, ta qua hai bước: tính DTFT tín hiệu- X(Ω), hai tính biên độ pha )X(Ω :

) ( j e ) ( X ) (

X Ω = Ω θΩ

ở |X(Ω)| phổ biên độ θ(Ω) phổ pha

Ta dễ dàng chứng minh tín hiệu thực, phổ biên độ hàm chẵn theo tần số Ω phổ pha hàm lẻ theo Ω

Chương IV Để dễ giải thích phổ, tần số số Ω từ đến π thường chuyển đổi thành tần số tương tự f từ đến fS/2 tần số lấy mẫu fS

Ví dụ:

Tìm phổ biên độ phổ pha tín hiệu chữ nhật: x[n] = u[n] - u[n-4]

Ví dụ:

Chương IV

4.4.3 Mật độ phổ lượng

Năng lượng tín hiệu x[n] định nghĩa là: n | ] n [ x | E ∑∞

−∞ =

=

Bây ta biểu diễn lượng theo phổ:

∑∞ ∑ ∫ −∞ = ∞ −∞ = π π − Ω − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ω Ω π = = n n n j *

* X ( )e d

2 ] n [ x ] n [ x ] n [ x E

Thay đổi thứ tự lấy tổng tích phân, ta có:

∫ ∫ ∑ π π − π π − Ω − ∞ −∞ = Ω Ω π = Ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ω π

= X( ) d

2 d e ] n [ x ) ( X

E j n

n *

Vậy quan hệ lượng x[n] X(Ω)là:

∫ ∑ π π − ∞ −∞ = Ω Ω π =

= X( ) d | ] n [ x | E n

2 (quan hệ Parseval) Đại lượng Sxx(Ω)= X(Ω)2 gọi mật độ phổ lượng

Ví dụ:

Xác định mật độ phổ lượng tín hiệu sau:

x[n] = an u[n] với -1 < a <

4.4.4 Băng thông

Băng thông (bandwidth) dải tần số tập trung hầu hết lượng (cơng suất) tín hiệu

Giả sử 95% lượng tín hiệu tập trung dải tần số F1 ≤F≤F2, ta nói băng thơng 95% tín hiệu F2 −F1 Ta định nghĩa băng thông 75%, băng thông 90%, băng thông 99% theo kiểu tương tự băng thông 95% nói

Dựa vào băng thơng tín hiệu, ta phân loại tín hiệu sau:

Nếu lượng tín hiệu tập trung quanh tần số tín hiệu tần số thấp (low-frequency signal)