Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum Chuyên đề 6 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PT CÓ CHỨA LOGARÍT TÓM TẮT GIÁO KHOA I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 dn M a log N M a N= ⇔ = Điều kiện có nghóa : N a log có nghóa khi      > ≠ > 0 1 0 N a a 2. Các tính chất : • a log 1 0= • a log a 1= • M a log a M= • log N a a N= • a 1 2 a 1 a 2 log (N .N ) log N log N= + • 1 a a 1 a 2 2 N log ( ) log N log N N = − • a a log N .log N α = α Đặc biệt : 2 a a log N 2.log N= 3. Công thức đổi cơ số : • a a b log N log b.log N= • a b a log N log N log b = * Hệ quả: • a b 1 log b log a = và k a a 1 log N log N k = * Công thức đặc biệt: a b c c b a loglog = 4. Hàm số logarít: Dạng a y log x= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : + =D R • Tập giá trò =T R • Tính đơn điệu: * a > 1 : a y log x= đồng biến trên + R * 0 < a < 1 : a y log x= nghòch biến trên + R 1 Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum • Đồ thò của hàm số lôgarít: Minh họa: 5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Đònh lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : a M = a N ⇔ M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N ⇔ M > N (nghòch biến) 3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N ⇔ M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N ⇔ M = N 5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N ⇔ M >N (nghòch biến) 6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N ⇔ M < N (đồng biến) II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a a log M log N= 1. ( ) ( ) 5 5 5 log x log x 6 log x 2= + − + 2. 5 25 0,2 log x log x log 3+ = 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. 1/. 3 log log 9 3 x x + = 2) 2 2 2 log 3.log 2 0x x − + = 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 . 2 0<a<1 y=log a x 1 x y O f(x) =ln(x) /ln(1 /2) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y y=log 2 x x y x y f(x)=ln(x)/ln(2) -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y xy 2 1 log= 1 O 1 O a>1 y=log a x 1 y x O Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum Ví dụ : Giải phương trình sau : 2 7 2 7 log x 2.log x 2 log x.log x+ = + 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ : Giải các phương trình sau : 2 2 2 log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + + Bài 1: Giải các phương trình: 1/. 3 log log 9 3 x x + = 2/. ( ) ( ) 2 4 1 log 2 1 .log 2 2 1 x x + − − = 3/. 2 2 2 log 3.log 2 0x x − + = 4/. ( ) ( ) 3 3 log 9 log 3 1 x x x x + = 5/. ( ) ( ) 5 5 5 1 .log 3 log 3 2 log 3 4 x x x + + − = − 6/. 3 3 log log 2 4 6 x x + = 7/. ( ) ( ) 2 3 3 log 5 log 2 5x x x − − = + 8/. 2 3 3 log ( 12)log 11 0x x x x + − + − = 9/. 2 3 3 log log 3 6 x x x + = 10/. ( ) 2 2 log 4 log 2 4x x+ = + − 11/. 2 2 2 2 2 log 3.log 2 log 2x x x− + = − 12/. 2 3 3 2 3 log .log .log 3 log 3logx x x x x x x+ + = + + 13/. ( ) ( ) 3 2 3.log 2 2.log 1x x + = + 14/. 3 3 3 log 4 log log 2 2 .2 7. x x x x = − 15/. ( ) ( ) 2 2 2 log 4 log 2 5x x − = 16/. ( ) ( ) 3 27 27 3 1 3 log log log logx x + = 17/. 3 3 log 2 4 logx x+ = − 18/. 2 3 3 2 log .log 3 3.log logx x x x+ = + 19/. ( ) 2 2 2 4 2.log log .log 7 1x x x= − + 20/. ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 log 2 2 log 2 1 log 2 6 x x x + − + + = − 21/. ( ) 2 2 2 2 8 2 log log 8 8 x x+ = 22/. 2 2 2 log log 6 6.9 6. 13. x x x + = 23/. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 log log .log 1 2 3.log 2.log 1x x x x x + − + = + − 24/. 2 2 log log 3 3 18 x x + = 25/. 2 2 2 .log 2( 1).log 4 0x x x x− + + = Bài 2 : Giải các bất phương trình: 1/. ( ) ( ) 2 4 4 2 log log log log 2x x + ≥ 2/. 2 2 log 3 log 1x x+ ≥ + 3/. ( ) ( ) 2 2 2 log 3 2 log 14x x x − + ≥ + 4/. ( ) 2 2 2 3 log 2 log 1x x − ≤ 5/. ( ) 2 1 log 4 2 x x x + − ≤ 6/. ( ) 2 2 2 2 log 2log 3 5 4 0x x x x+ − − + ≥ 3 Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum 7/. 2 2 log 1 3 logx x− ≤ − 8/. 2 2 log 1 2 log 2 2. 3 x x x + ≤ 9/. ( ) ( ) 2 2 2 log 6 5 2 log 2 x x x − + ≥ − 10/. 2 2 2 2 log log 2 0 log 2 x x x − − ≥ 11/. 2 1 1 2 2 log log log 3 1x x    ÷ + − ≤  ÷   12/. 2 2 3 3 2 log .log 2 log logx x x x+ ≤ + 13/. 2 2 2 log log 1 8 x x x   + ≥  ÷   14/. 2 3 3 log log 3 6 x x x + ≤ Bài 3 : Giải các hệ phương trình 1/. 2 2 6 log log 3 x y x y + =   + =  2/. ( ) 2 2 2 3 3 log 6 4 log log 1 x y x y  + + =   + =   3/. log log 2 6 yx y x x y + =    + =   4/. 2 2 2 6 log 3 log log 2 x y x y + =    + =   5/. ( ) ( ) 2 2 3 5 3 log log 1 x y x y x y  − =   + − − =   6/. 2 2 log 4 2 log 2 x y x y + =   − =  7/. 2 3 log log 2 3 9 y y x x  + =   =   8/. 2 2 2 2 log log 16 log log 2 y x x y x y   + =  − =   9/. ( ) ( ) log 2 2 2 log 2 2 2 x y x y y x + − =   + − =   10/. 2 2 2 4 2 log log 3. 2. 10 log log 2 y x x y x y  + =   + =   11/. 32 log 4 y xy x =    =   12/. ( ) 2 2 log 4 log 2 xy x y =     =  ÷     PH¦¥NG TR×NH Vµ BÊT PH¦¥NG TR×NH LOgrIT 1. ( ) ( ) 5 5 5 log x log x 6 log x 2= + − + 2. 5 25 0,2 log x log x log 3+ = 3. ( ) 2 x log 2x 5x 4 2− + = 4. 2 x 3 lg(x 2x 3) lg 0 x 1 + + − + = − 5. 1 .lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18 2 − + + = + 6. 1 2 1 4 lg x 2 lg x + = − + 7. 2 2 log x 10 log x 6 0 + + = 8. 0,04 0,2 log x 1 log x 3 1 + + + = 9. x 16 2 3log 16 4 log x 2 log x − = 10. 2 2x x log 16 log 64 3 + = 11. 3 lg(lgx) lg(lg x 2) 0 + − = 32. 3 1 2 log log x 0   ≥  ÷  ÷   33. 1 3 4x 6 log 0 x + ≥ 34. ( ) ( ) 2 2 log x 3 1 log x 1+ ≥ + − 36. 5 x log 3x 4.log 5 1 + > 37. 2 3 2 x 4x 3 log 0 x x 5 − + ≥ + − 38. 1 3 2 log x log x 1 + > 39. ( ) 2 2x log x 5x 6 1− + < 40. ( ) 2 3x x log 3 x 1 − − > 41. 2 2 3x x 1 5 log x x 1 0 2 +   − + ≥  ÷   42. x 6 2 3 x 1 log log 0 x 2 + −   >  ÷ +   43. 2 2 2 log x log x 0 + ≤ 44. x x 2 16 1 log 2.log 2 log x 6 > − 4 Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum 12. x 3 9 1 log log x 9 2x 2   + + =  ÷   13. ( ) ( ) x x 2 2 log 4.3 6 log 9 6 1− − − = 14. ( ) ( ) x 1 x 2 2 1 2 1 log 4 4 .log 4 1 log 8 + + + = 15. ( ) x x lg 6.5 25.20 x lg25+ = + 16. ( ) ( ) ( ) x 1 x 2 lg2 1 lg 5 1 lg 5 5 − − + + = + 17. ( ) x x lg 4 5 x lg 2 lg3+ − = + 18. lg x lg 5 5 50 x= − 18. 2 2 lg x lg x 3 x 1 x 1 − − = − 19. 2 3 3 log x log x 3 x 162 + = 20. ( ) ( ) 2 x lg x x 6 4 lg x 2+ − − = + + 21. ( ) ( ) 3 5 log x 1 log 2x 1 2+ + + = 22. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0 + + + + + − = 23. ( ) 5 log x 3 2 x + = 24. ( ) 2 8 log x 4x 3 1− + ≤ 25. 8 1 8 2 2log (x 2) log (x 3) 3 − + − > 26. ( ) 2 1 4 3 log log x 5 0   − >   27. ( ) ( ) 2 1 5 5 log x 6x 8 2 log x 4 0 − + + − < 28. 1 x 3 5 log x log 3 2 + ≥ 45. 2 3 3 3 log x 4log x 9 2 log x 3 − + ≥ − 46. ( ) 2 4 1 2 16 2 log x 4log x 2 4 log x + < − 47. 2 6 6 log x log x 6 x 12 + ≤ 48. 3 2 2 2 log 2x log x 1 x x − − > 49. ( ) ( ) x x 1 2 1 2 log 2 1 .log 2 2 2 + − − > − 50. ( ) ( ) 2 3 2 2 5 11 2 log x 4x 11 log x 4x 11 0 2 5x 3x − − − − − ≥ − − 51. + > + 2 3 3 1 log x 1 1 log x 52. + < − + 5 5 1 2 1 5 log x 1 log x 53. − > x 100 1 log 100 log x 0 2 54. 11252 5 <− x logxlog 55. ( ) ( ) ( ) 04221 3 3 1 3 1 <−+++− xlogxlogxlog 56. ( ) xlogxlog x 2 2 2 2 + ≤ 4 57. ( ) ( ) 2 2 5 5 log 4 12 log 1 1x x x + − − + < 58. ( ) ( ) 12lg 2 1 3lg 22 +−>− xxx 59. ( ) 3 8 2 4 1 −+ xlogxlog ≤ 1 60. ( ) ( ) 2431243 2 3 2 9 ++>+++ xxlogxxlog 61. ( ) ( ) 11 1 1 2 +>+ − − xlogxlog x x 62. ( ) ( ) 2 3 23 33 2 3 43282 xlogxxxlogxlogxlogx +−≥−+− 63. 220001 <+ x log 64. 0 132 5 5 lg < +− − + x x x x 5