11/10/13 1 BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM TÌM NGUYÊN HÀM PHẠM ANH NGỮ 11/10/13 2 1./ 1./ Phương Phương pháp pháp đổi đổi biến biến số số 2./ Phương pháp tích phân từng phần 2./ Phương pháp tích phân từng phần BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM TÌM NGUYÊN HÀM 11/10/13 3 Vậy 3 x x f ( x ) 8 sin 6 sin 3 3 = − 3 sin6 3 sin8)( 3 xx xf −= x xx sin2) 3 sin4 3 sin3(2 3 −=−−= ∫ ∫ −= dxxdxxf )sin2()( Cx Cx += +−−= cos2 )cos(2 Ví dụ 3: Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải Giải 11/10/13 4 • Định lý 1: Định lý 1: Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y=f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là thì: Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm theo x nhân với hàm lượng giác hoặc hàm thì đặt u = hàm theo x. • Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm theo x nhân với hàm log thì đặt u=hàm log f ( u )du F ( u ) C= + ∫ f [ u( x )u'( x )dx F [ u( x )] C= + ∫ 1./ Phương pháp đổi biến số 1./ Phương pháp đổi biến số x e 11/10/13 5 Một số cách đặt Một số cách đặt Dấu hiệu Dấu hiệu Cách đặt Cách đặt Hàm số có mẫu số Đặt u là mẫu số Hàm có chứa căn thức Đặt u là biểu thức trong căn hoặc toàn bộ căn Hàm có lũy thừa Đặt u là lượng bên trong lũy thừa Hàm • với x+a>0 và x+b>0, đặt •Với x+a<0 và x+b<0 đặt Hàm f(x)= Đặt (với ) 1 f ( x ) ( x a )( x b ) = + + a sin x b cos x f ( x ) c sin x d cos x e + = + + x u tan 2 = u x a x b= + + + u x a x b= − − + − − x cos 0 2 ≠ B( MS )' C A MS MS + + 11/10/13 6 Dấu hiệu Cách đặt x = asint x =a/cost x = atant 2 2 a x− ( t ) 2 2 π π − ≤ ≤ 2 2 x a− 2 2 a x+ ( t [0; ] \ ) 2 π π ∈ ( t ) 2 2 π π − < < Một số cách đặt Một số cách đặt 11/10/13 7 Đặt u = 1 – x => du = - dx Vậy 10 x( 1 x ) dx− ∫ 10 10 x( 1 x ) dx u ( 1 u )du− = − − ∫ ∫ 10 11 10 12 11 12 11 u ( u 1 )du ( u u )du u u C 12 11 ( 1 x ) ( 1 x ) C 12 11 = − = − = − + − − = − + ∫ ∫ Ví dụ 1: Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải Giải 11/10/13 8 Đặt u = 3 – x 4 => du = - 4x 3 dx Vậy 3 4 4 x dx 3 x− ∫ 3 4 4 x du dx u 3 x − = − ∫ ∫ 1 2 4 u C 2 u C 1 2 2 3 x C − = + = − + = − − + Ví dụ 2: Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải Giải 11/10/13 9 Đặt u = 1 + cos 2 x => du = ( - 2sinxcosx)dx Vậy 3 2 sin x cos x dx 1 cos x+ ∫ 3 2 2 2 sin x cos x sin x cos x cos x dx dx 1 cos x 1 cos x = + + ∫ ∫ 2 2 2 2 cos x ( 1 u )du 2 sin x cos xdx 2( 1 cos x ) 2u 1 1 du du 2u 2 1 1 ln | u | u C 2 2 1 1 ln | 1 cos x | ( 1 cos x ) C 2 2 − = = + = − = − + = + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 3: Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải Giải 11/10/13 10 Đặt 2 2 3 x dx 1 x ( 1 x )+ + + ∫ 2 2 3 2 2 2 x x f ( x ) 1 x ( 1 x ) 1 x ( 1 x ) 1 x = = + + + + + + + 2 2 2 2 x x 1 x ( 1 x )( 1 1 x ) 1 1 x + = = + + + + + 2 2 x u 1 1 x du dx 1 x = + + ⇒ = + 2 2 x du 1 x f ( x )dx dx u 1 1 x + = = + + ∫ ∫ ∫ 2 2 u C 2 1 1 x C= + = + + + Ví dụ 4: Ví dụ 4: tìm nguyên hàm tìm nguyên hàm của hàm số: của hàm số: Giải Giải [...]...Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)= Giải sin x + cos x 3 sin x − cos x Đặt u = sinx – cosx => du = (sinx + cosx)dx Vậy ∫ f ( x )dx = ∫ sin x + cos x 3 sin x − cos x dx = ∫ du 3 u 2 3 u 33 2 = +C = u +C 2 2 3 33 = (sin x − cos x )2 + C 2 11/10/13 11 Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải x2 − 1 f( x)= 4 x +1 1 1 1− 2 1− 2 2 x −1 x = x f( x)=... ln | u | +C 11/10/13 = −2 ln | − ( x + 1 ) + − ( x + 2 ) | + C 14 Ví dụ 7: tìm nguyên hàm của hàm số: I =∫ Giải dx 1− x2 π π Đặt x = sint => dx = costdt (− ≤ t ≤ ) 2 2 Ta có 1 − x 2 = 1 − sin 2 t = cos 2 t = cos t π π (t ∈ [− ; ] ⇒ cos x > 0) 2 2 ⇒ I = ∫ dt = t + C = arcsin x + C 11/10/13 15 Ví dụ 8: tìm nguyên hàm của hàm số: I = ∫ 4 − x 2 dx Giải π π Đặt x = 2sint => dx = 2costdt ( − ≤ t ≤ ) 2 2... )+ C 4 sin(arctan x ) + 1 sin(arctan x ) − 1 sin(arctan x ) + 1 11/10/13 18 2./ Phương pháp tích phân từng phần • Định lý 2: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u )x )v'( x )dx = u( x )v( x ) − ∫ v( x )u'( x )dx 11/10/13 19 Vd: tính các nguyên hàm sau x ln xdx dv = x dx 2 3 1 x ⇒ du = dx chọn v = 3 x 3 2 3 2 x x ln xdx = x ln x − ∫ dx 3 3 x Đặt u = ln x ⇒∫ ∫ 11/10/13 2 3 2 = x ln... 2 cos t π π ( t ∈ [ − ; ] ⇒ cos x > 0 ) 2 2 2 2 2 ⇒ I = ∫ 4 cos tdt = 2 ∫ ( 1 + cos 2t )dt = 2t + sin 2t + C 2 = 2t + 2 sin t cos t + C 2 x x = 2 arcsin + x 1 − +C 2 4 11/10/13 16 Ví dụ 9: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải I=∫ x2 1 + x2 dx π π Đặt x = tant => dx = (1+tan t)dt ( − < t < ) 2 2 2 2 tan t( 1 + tan t ) ⇒I=∫ dt = ∫ tan 2 t 1 + tan 2 tdt 2 tan t + 1 sin 2 t 1 π π =∫ × dt ( t ∈ [ − ; ] ⇒ cos... 1 Đặt u = x + ⇒ du = ( 1 − 2 )dx x x du du ∫ f ( x )dx = ∫ u2 − 2 = ∫ ( u − 2 )( u + 2 ) 1  1 1  =∫ −   du 2 2 u− 2 u+ 2  11/10/13 = 1 2 2 ln u− 2 u+ 2 +C 12 Ví • TH1: nguyên0 dụ 4: tìm x + 1 > hàm ⇔ x > −1f ( x ) = của hàm  số: x + 2 > 0 Khi đó: Đặt u = x + 1 + x + 2 1 ⇒ du =  2 1 x+1 + 1 ( x + 1 )( x + 2 )  ÷dx x+2  1 Giải 1 x+1+ x+2  ⇒ du =  ÷dx 2  ( x + 1 )( x + 2 ) ÷   1 u ⇒ . tìm nguyên hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải Giải 11/10/13 4 • Định lý 1: Định lý 1: Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm. đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là thì: Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm theo x nhân với hàm lượng giác hoặc hàm thì đặt u = hàm theo x. •