Giáo án BDHSG Toán Năm học: 2010-2011 Thanh Mỹ,ngày 29 tháng 11 năm2010 DÃy số viết theo quy luật Bài 1: Tìm số hạng thứ n d·y sè sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Híng dÉn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) n( n + 1) d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) n( n + 3) (n + 1)(n + 2) h) n( n + 1)(n + 2) i) g) Bµi 2: TÝnh: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Híng dÉn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tỉng qu¸t: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): Bµi 3: TÝnh: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Híng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) Nguyễn Văn Tú Trờng THCS Thanh Mü Gi¸o ¸n BDHSG To¸n A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tỉng qu¸t: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)n A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Năm học: 2010-2011 Bài 4: TÝnh: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Híng dÉn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bµi 5: TÝnh: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Híng dÉn: A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bµi 6: TÝnh: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Híng dÉn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bµi 7: TÝnh: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Híng dÉn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bµi 8: TÝnh: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Híng dÉn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bµi 9: TÝnh: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Híng dÉn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Nguyễn Văn Tú Trờng THCS Thanh Mü Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Tỉng qu¸t: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bµi 10: TÝnh: A = 12+22+32+ +992+1002 Híng dÉn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tỉng qu¸t: A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Năm học: 2010-2011 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+ +982+1002 Híng dÉn: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bµi 12: TÝnh: A = 12+32+52+ +972+992 Híng dÉn: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bµi 13: TÝnh: A = 12-22+32-42+ +992-1002 Híng dÉn: A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bµi 14: TÝnh: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Híng dÉn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bµi 15: TÝnh: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.100 Híng dÉn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) Bµi 16: TÝnh: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Híng dÉn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50) Nguyễn Văn Tú Trờng THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học: 2010-2011 Bài 17: Tính: A = 13+23+33+ +993+1003 Híng dÉn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.10098.99+(12+22+32+ +992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bµi 18: TÝnh: A = 23+43+63+ +983+1003 Híng dÉn: Bµi 19: TÝnh: A = 13+33+53+ +973+993 Híng dÉn: Bµi 20: TÝnh: A = 13-23+33-43+ +993-1003 Híng dÉn: Nguyễn Văn Tú Trờng THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học: 2010-2011 Thanh Mỹ,ngày1 tháng 12 năm2010 Chuyên đề: tỉ lệ thức-tính chất dÃy tỉ sè b»ng A C¬ së lÝ thuyÕt I TØ lệ thức Định nghĩa: Tỉ lệ thức ®¼ng thøc cđa hai tØ sè a c = b d (hoặc a : b = c : d) Các số a, b, c, d đợc gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ Tính chất: TÝnh chÊt 1: NÕu a c = b d th× ad = bc TÝnh chÊt 2: NÕu ad = bc a, b, c, d ta có c¸c tØ lƯ thøc sau: a c = b d a b = c d , d c = b a , , d b = c a NhËn xÐt: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức lại II Tính chất cña d·y tØ sè b»ng -TÝnh chÊt: Tõ a c = b d suy ra: a c a+c a−c = = = b d b+d b−d -TÝnh chÊt trªn cßn më réng cho d·y tØ sè b»ng nhau: a c e = = b d f suy ra: a c e a+b+c a −b +c = = = = = b d f b+d + f b−d + f (giả thiết tỉ số có nghĩa) * Chó ý: Khi cã d·y tØ sè a b c = = ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lƯ víi c¸c sè 2, 3, Ta còng viÕt a : b : c = : : Nguyễn Văn Tú Trờng THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học: 2010-2011 B Các dạng toán phơng pháp giải Dạng I: Tìm giá trị biến tỉ lệ thức Ví dụ 1: Tìm hai số x y biÕt x y = vµ x + y = 20 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k , suy ra: Theo gi¶ thiÕt: Do ®ã: x = 2k , y = 3k x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = x = = y = 3.4 = 12 KL: x = , y =12 C¸ch 2: (sư dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau): ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng ta cã: x y x + y 20 = = = =4 2+3 Do ®ã: x =4⇒ x=8 y = ⇒ y = 12 KL: x = , y =12 Cách 3: (phơng pháp thế) Từ giả thiết mà x + y = 20 ⇒ Do ®ã: KL: x y 2y = ⇒x= 3 x= 2y + y = 20 ⇒ y = 60 ⇒ y = 12 2.12 =8 x = , y =12 VÝ dô 2: T×m x, y, z biÕt: x y = , y z = vµ 2x − 3y + z = Gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt: x y x y = ⇒ = 12 NguyÔn Văn Tú (1) Trờng THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học: 2010-2011 y z y z = ⇒ = 12 20 (2) x y z = = 12 20 Tõ (1) vµ (2) suy ra: (*) Ta cã: x y z 2x 3y z 2x − 3y + z = = = = = = = =3 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 Do ®ã: x = ⇒ x = 27 y = ⇒ y = 36 12 z = ⇒ z = 60 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 Cách 2: Sau làm ®Õn (*) ta ®Ỉt x y z = = =k 12 20 ( sau giải nh cách VD1) Cách 3: (phơng pháp thế: ta tính x, y theo z) Tõ gi¶ thiÕt: y z 3z = ⇒y= 5 x y 3y = ⇒x= = 4 mµ x − y + z = ⇒ Suy ra: KL: y= 3z = 9z 20 9z 3z z − + z = ⇒ = 60 ⇒ z = 60 20 10 3.60 = 36 , x= 9.60 = 27 20 x = 27 , y = 36 , z = 60 VÝ dơ 3: T×m hai sè x, y biÕt r»ng: x y = x y = 40 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k Theo gi¶ thiÕt: , suy x = 2k , y = 5k x y = 40 ⇒ 2k 5k = 40 ⇒ 10k = 40 ⇒ k = ⇒ k = ±2 + Víi k = ta có: Nguyễn Văn Tú x = 2.2 = Trêng THCS Thanh Mü Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Năm học: 2010-2011 y = 5.2 =10 + Với k = −2 ta cã: x = 2.( −2) = −4 y = 5.(−2) = −10 KL: x = , y = 10 hc x =− , y =− 10 C¸ch 2: ( sư dơng tÝnh chÊt cđa d·y tỉ số nhau) Hiển nhiên x Nhân c¶ hai vÕ cđa x y = víi x ta đợc: x xy 40 = = =8 5 ⇒ x = 16 ⇒ x = ±4 y = ⇒y= = 10 + Víi x = ta cã + Víi x = −4 ta cã KL: x = , y = 10 −4 y − 4.5 = ⇒y= = −10 hc x = −4 , y = 10 Cách 3: (phơng pháp thế) làm tơng tự cách ví dụ Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số x, y, z biÕt r»ng: a) x y z = = 10 21 c) 2x 3y 4z = = e) x y = vµ vµ x + y − z = 28 vµ x + y + z = 49 x2 − y2 = b) d) x y = x y = , vµ y z = vµ x + y − z = 124 xy = 54 x y z = = =x+y+z y + z +1 z + x +1 x + y f) Bài 2: Tìm số x, y, z biÕt r»ng: a) x y z = = 10 21 c) 2x 3y 4z = = e) x y = vµ vµ x + y − z = 28 vµ x + y + z = 49 x2 − y2 = b) d) f) x y = x y = , vµ y z = vµ x + y − z = 124 xy = 54 x y z = = =x+y+z y + z +1 z + x +1 x + y Bài 3: Tìm số x, y, z biÕt r»ng: a) 3x = y , y = 5z Nguyễn Văn Tú b) x y + z = 32 x −1 y − z − = = vµ x + y − z = 50 Trêng THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm häc: 2010-2011 c) 2x = y = 5z e) y + z +1 z + x + x + y − = = = x y z x+ y+z x y z = = d) x + y − z = 95 f) 10 x = y vµ vµ xyz = 810 x − y = −28 Bµi 4: Tìm số x, y, z biết rằng: a) 3x = y , y = 5z c) 2x = y = 5z e) b) x − y + z = 32 x + y − z = 95 x −1 y − z − = = d) y + z +1 z + x + x + y − = = = x y z x+ y+z vµ vµ x y z = = f) 10 x = y vµ vµ vµ x + y − z = 50 xyz = 810 x y = 28 Bài 5: Tìm x, y biÕt r»ng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biÕt r»ng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x Bµi 7: Cho a + b + c + d Tìm giá trị của: Gi¶i: A= a b c d = = = b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c a+b b+c c+d d +a + + + c+d a+d a+b b+c a b c d a+b+c+d = = = = = b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3(a + b + c + d ) ( V× a + b + c + d ≠ ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = =>a=b Tơng tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tìm số x; y; z biết rằng: x = vµ 5x – 2y = 87; y x y3 z3 = = b) vµ x2 + y2 + z2 = 14 64 216 a) x y = vµ 2x – y = 34; 19 21 2x + 3y − 2x + 3y − = = c) 6x b) Bµi 9: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30 Bài 10: Tìm số x, y, z biÕt : a) x : y : z = : : vµ 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hc x = - 9; y = - 12; z = - 15 Nguyễn Văn Tú Trờng THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học: 2010-2011 b) Từ đề suy ra: 2y(2y x) = 0, mà y khác nên 2y x = 0, : x = 2y Từ tìm đợc : x = 4/3; y = 2/3 Bài 11 Tìm hai số hữu tØ a vµ b biÕt r»ng hiƯu cđa a vµ b thơng a b hai lần tổng a b ? Giai Rút ®ỵc: a = - 3b, tõ ®ã suy : a = - 2,25; b = 0,75 Bµi 12: Cho ba tØ sè b»ng nhau: sè ®ã ? a b c , , b +c c +a a +b Biết a+b+c Tìm giá trị tỉ Bµi 13 Sè häc sinh khèi 6,7,8,9 cđa mét trêng THCS lần lợt tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số häc sinh khèi nhiỊu h¬n sè häc sinh khèi lµ em TÝnh sè häc sinh cđa trêng đó? Bài 14: Chứng minh có số a, b, c, d thỏa mÃn đẳng thức: [ab( ab − 2cd ) + c d ].[ ab( ab − 2) + 2(ab + 1)] = 2 th× chúng lập thành tỉ lệ thức 2 Giải:  ab ( ab − 2cd ) + c d  ab ( ab − ) + 2(ab + 1)  =     => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (V× ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 víi mäi a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm Dạng II: Chứng minh tỉ lệ thức Để chứng minh tØ lÖ thøc: A C = B D ta thờng dùng số phơng pháp sau: Phơng pháp 1: Chứng tỏ A D = B.C Phơng pháp 2: Chøng tá r»ng hai tØ sè A B vµ C D có giá trị Phơng pháp 3: Sử dụng tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc Mét sè kiÕn thøc cÇn chó ý: +) a na = b nb +) a c a c = ⇒  =  b d b d  ( n ≠ 0) n n Sau số ví dụ minh họa: ( giả thiết tỉ số có nghĩa) Nguyễn Văn Tó 10 Trêng THCS Thanh Mü ... 37 Trờng THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học: 2010-2011 33   1931      − +  :  + +  Bµi toán 7: Tính ữ ữ 193 386 17 34   1931 3862  25  Bài toán 8: Cho A = 193 11 1,11... Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học: 2010-2011 Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 1-Kiến thức bản: x x x=  − x⇔ x x ≥0; x ≥ x; x = −x x +y ≤ x + y x y x y 2- Các dạng toán bản:... 2,5 + 1, (6) 0,8(3) Bài toán 7: Chứng minh rằng: 0,( 27) +0, (72 )=1 Bài toán 8: Tìm x biÕt a) 0,1(6) + 0, (3) x = 0, (2) 0, (3) +1,1(6) 0, (3) + 0, (384615) + b) c) [ 0, ( 37) + 0, (62)] x = 10 e)