T ự ch ọ n " CHỦ ĐỀ CM BẤT ĐẲNG THỨC" Thời lượng: 04 tiết Ngày soạn:22-24/12/07 CHƯƠNG I(tiết 1) CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > , < , ≥, ≤ . Ta có: A ≥ B ⇔ A - B ≥ 0. A > B A - B > 0. .Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức. .Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có: A > B ⇒ C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B. .Nếu ta có: A > B ⇔ C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng thức tương đương. .A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt. .A ≥ B là A > B hoặc A = B. .A ≠ B cũng là bất đẳng thức. .Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A < B < C. *Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là " chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ". II. Các tính chất của bất đẳng thức. Tính chất 1: a > b và b > c ⇒ a > c. Tính chất 2: a > b ⇒ a + c > b +c. Hệ quả: a > b + c ⇔ a - c > b. Tính chất 3: a > b và c > d ⇒ a + c > b + d. Tính chất 4: a > b ⇔ ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ). Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0 ⇒ ac > bd. Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương ⇒ n a > n b . Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương n a⇒ > n b . Hệ quả: a > b ≥ 0: aba ⇔≥ 22 ≥ bab ≥⇔ . Tính chất 8: a > b, ab > 0 a 1 ⇒ < b 1 . Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n m a⇒ > n a . 0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n ⇒ m a < n a . III. Các hằng bất đẳng thức. 1) .0 2 ≥a Dấu " = " xảy ra 0=⇔ a . 2) 0 2 ≤− a . Dấu " = " xảy ra 0=⇔ a . 3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối. .0≥a Dấu " = " xảy ra 0 =⇔ a . 1 .aa ≥ Dấu " = " xảy ra ⇔ .0 ≥ a baba +≤+ . Dấu " = " xảy ra 0 ≥⇔ ab . .baba −≥− Dấu " = " xảy ra .0;00)( ≤≤≥≥⇔≥−⇔ bababab 4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn: .2 22 abba ≥+ Dấu " = " xảy ra .ba =⇔ ba baba ,; 411 + ≥+ > 0. Dấu " = " xảy ra .ba =⇔ ( ) .4 2 2 2 abbaab ba ≥+⇔≥       + Dấu " = " xảy ra .ba =⇔ ba a b b a ,;2≥+ > 0. Dấu " = " xảy ra .ba =⇔ ( )( ) ( ) . 2 2222 byaxyxba +≥++ Dấu " = " xảy ra .bxay =⇔ 5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng. . Bất đẳng thức côsi. Cho n số dương ., ., 21 n aaa Ta có: . 21 21 n n n aaa n aaa ≥ +++ Dấu " = " xảy ra 21 n aaa ==⇔ . Bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Cho hai bộ số: .,,,, 21 n aaa và .,,,, 21 n bbb Ta có: ) )( .() .( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++≤+++ Dấu " = " xảy ra 2 2 1 1 n n b a b a b a ===⇔ CHƯƠNG II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phương pháp mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học sinh lớp 10 ( trong 03 tiết học theo phân phối chương trình và 03 tiết học theo chủ đề tự chọn bám sát nâng cao, còn lại hướng dẫn thêm cho học sinh về nhà tìm hiểu thêm ) nắm vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mổi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp. I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau: . Lập hiệu số: A - B. . Chứng tỏ A - B ≥ 0. . Kết luận A ≥ B. B. Ví dụ. 1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức: a) ).(23 222 cbacba ++≥+++ 2 b) cba cba cba ,,;9) 111 )(( ≥++++ > 0. Giải: a) Ta có: .0)1()1()1( )12()12()12( 222)(2)3( 222 222 222222 ≥−+−+−= +−++−++−= −−−++=++−+++ cba ccbbaa cbacbacbacba Do đó: ).(23 222 cbacba ++≥+++ b) Ta có: 9) 111 )(( −++++ cba cba . = 9111 −++++++++ b c a c c b a b c a b a . = ).2()2()2( −++−++−+ a c c a b c c b a b b a = ).0,,(;0 )()()( 222 〉≥ − + − + − cba ca ac bc cb ab ba Do đó: 9) 111 )(( ≥++++ cba cba . Với a, b, c > 0. 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1. Giải: Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 ) = 1)65)(45( 22 ++−+− xxxx . Dặt 55 2 +−= xxy , biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y 2 ≥ 0. Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1. II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.(tiết 2) A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng. A ≥ B ⇔ A 1 ≥ B 1 ⇔⇔ . ( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B. B. Ví dụ 1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức: a) baba +≥+ . b) yx yxyx ,; 411 + ≥+ > 0. Giải: a) 22 )()( babababa +≥+⇔+≥+ 2222 22 bababbbaa ++≥++⇔ abababba ≥⇔≥⇔ .( bất đẳng thức đúng ). Vậy .baba +≥+ b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó: .04)(4)( 4411 22 ≥−+⇔≥+⇔ + ≥ + ⇔ + ≥+ xyyxxyyx yxxy yx yxyx 0)( 2 ≥−⇔ yx , ( bất đẳng thức đúng ). 3 Vậy . 411 yxyx + ≥+ Với x, y > 0. 2. Ví dụ 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1. Chứng minh rằng: .9) 1 1)( 1 1( ≥++ ba Giải: Ta có: 9) 1 1)( 1 1( ≥++ ba . ( 1 ). abbaab b b a a 919 1 . 1 ≥+++⇔≥ ++ ⇔ . Vì ab > 0. ababba 8281 ≥⇔≥++⇔ . ( Vì a + b = 1 ). .4)(41 2 abbaab ≥+⇔≥⇔ ( Vì a + b = 1 ). .0)( 2 ≥−⇔ ba ( 2 ). Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh. C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn: . 22 baba ≥⇔≥ Với a, b > 0. m > n m a⇔ > n a . Với m, n nguyên dương, a > 1. Cần chỉ rỏ các điều kiệ ấy khi biến đổi tương đương. III. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem phần II. Chương I ). B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: 44 ba + > 8 1 . Giải: Do ba + > 1 ( 1 ). Bình phương hai vế: 2 )( ba + > 1 22 2 baba ++⇒ > 1 ( 2 ). Mặt khác: 020)( 222 ≥+−⇒≥− bababa . ( 3 ). Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được: )(2 22 ba + > 1. Suy ra: 22 ba + > 2 1 ( 4 ). Bình phương hai vế của ( 4 ): 4224 2 bbaa ++ > 4 1 . ( 5 ). Mặt khác: 020)( 4224222 ≥+−⇒≥− bbaaba . ( 6 ). Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được: )(2 44 ba + > 4 1 . Suy ra: 44 ba + > 8 1 . 2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức: . 2 2 2 2 2 2 c a a b b c a c c b b a ++≥++ Giải: Ta có: .20)( 222 xyyxyx ≥+⇒≥− Dấu " = " xảy ra .yx =⇔ 4 áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: .2 2 2 2 2 2 c a c b b a c b b a =≥+ ( 1 ). Tương tự : .2 2 2 2 2 a b a c c b ≥+ ( 2 ). .2 2 2 2 2 b c b a a c ≥+ ( 3 ). Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được: . )(2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a b c a a c c b b a b c a b c a a c c b b a ++≥++⇒ ++≥++ IV. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A, từ đó ta có A ≥ B. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: nnn 2 1 . 2 1 1 1 ++ + + + > . 2 1 ( Với nNn ,∈ > 1 ). Giải: Ta có: 1 1 +n > . 2 11 nnn = + Tương tự: 2 1 +n > . 2 1 n . 2 1 2 1 nn ≥ Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm. 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 222 1 . 3 1 2 1 1 n ++++ > ).1,(; 1 ≥∈ + nNn n n Giải: Ta có: 222 1 . 3 1 2 1 1 n ++++ > )1( 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 + ++++ nn = 1 11 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 + −++−+−+− nn = . 11 1 1 + = + − n n n Suy ra đpcm. V. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp phản chứng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho .2 22 ≤+ ba Chứng minh rằng: .2 ≤+ ba Giải: Giả sử ba + > 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được: 22 2 baba ++ > 4. ( 1 ) 5 Mặt khác ta có: Mà: 2 4)( 22 ≤+ ba ( giả thiết ), do đó .42 22 ≤++ baba ( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ). Vậy phải có .2≤+ ba 2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng: .02;02;02 222 ≥+≥+≥+ abcacbbca Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có: bca 2 2 + < 0; acb 2 2 + < 0; abc 2 2 + < 0. abcacbbca 222 222 +++++⇒ < 0 2 )( cba ++⇔ < 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm ) VI. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ. A. Kiến thức cơ bản. Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây: Bài toán 1. Với cba ,, > 0. Chứng minh rằng: a) Nếu a < b thì: b a < cb ca + + . b) Nếu ba ≥ thì: . cb ca b a + + ≥ Bài toán 2. Với zyx ,, > 0. Chứng minh rằng: a) . )( 41 2 yx xy + ≥ b) . 411 yxyx + ≥+ c) . 9111 zyxzyx ++ ≥++ * Chú ý: Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho cba ,, là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ba c ac b cb a + + + + + < 2. Giải: Vì cba ,, là ba cạnh của một tam giác nên a < cb + , theo bài toán 1a) ta có: cb a + < . 2 cba a cba aa ++ = ++ + ( 1 ). tương tự: ac b + < . 2 cba b ++ ( 2 ). ba c + < . 2 cba c ++ ( 3 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có: ba c ac b cb a + + + + + < .2 )(2 = ++ ++ cba cba 2. Ví dụ 2. Cho ba, > 0. Chứng minh rằng: 6 . )( 1 8 1 44 1 222 ba ab ba + ≥+ + Giải: Vì ba, > 0 22 44 ba +⇒ > 0 và ab8 > 0. Theo bài toán 2b) ta có: . )( 1 )(4 4 844 4 8 1 44 1 222222 babaabba ab ba + = + = ++ ≥+ + ⇒ đpcm. 3.Ví dụ 3. Cho cba ,, > 0. Chứng minh rằng: . 3 2 1 2 1 2 1 cbaaccbba ++ ≥ + + + + + Giải: Vì cba ,, > 0 ba +⇒ 2 > 0; cb +2 > 0; ac +2 > 0. Theo bài toán 2c) ta có: . 3 )(3 9 222 9 2 1 2 1 2 1 cbacbaaccbbaaccbba ++ = ++ = +++++ ≥ + + + + + ⇒ đpcm. VII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DUNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.(tiết 3) A.Kiến thức cần nhớ. Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau: Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) baba +≥+ . Dấu " = " xảy ra khi 0 ≥ ab . b) baba −≤− . Dấu " = " xảy ra khi 0)( ≥− bab . Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu 0, ≠yx thì: .2≥+≥+ x y y x x y y x Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi yx ±= . Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1) .2≥+ m n n m 2) .2 1 ≥+ m m Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán trên. Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: zyxzyx ++≤++ . Giải: Từ bài toán 1a) ta có: zyxzyxzyx ++≤++≤++ . * Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau: Chứng minh rằng: nn aaaaaa +++≤+++ 2121 . 2. Ví dụ 2. Cho 0, ≠ba . Chứng minh rằng: 04)(3 2 2 2 2 ≥++−+ a b b a a b b a . Giải: Đặt x= a b b a + , ta có: 2≥x ( theo bài toán 2 ). Ta được: 23234)(3 2 2 2 2 2 2 +−=+       +−       +=++−+ xx a b b a a b b a a b b a a b b a = 0)1)(2( ≥−− xx . Vì    −⇒ ≥ −≤ ⇔≥ )2( 2 2 2 x x x x và )1( −x cùng dấu. 7 0430)1)(2( 2 2 2 2 ≥+       +−+⇔≥−−⇒ a b b a a b b a zx . ( đpcm ). 3. Ví dụ 3. cho .20091,2008,1 ≤−≤−≤ bcaa Chứng minh rằng: .4017≤− cab Giải: Vì: 20092009120091,1 ≤−⇒≤−⇒≤−≤ aabbaba . Mà: 2008≤− ca . Suy ra: 4017≤−+− caaab . Theo bài toán 1) ta có: caaabcaaabcab −+−≤−+−=− )()( . Vậy: 4017≤− cab . VIII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA TỔNG BÌNH PHƯƠNG, BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG, TÍCH HAI SỐ. A. Kiến thức cần nhớ. Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ): 1) xyyxyx 4)()(2 222 ≥+≥+ . 2) )(3)()(3 2222 zxyzxyzyxzyx ++≥++≥++ . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x 4 + y 4 ≥ 8 1 . Giải: Áp dụng bài toán 1) ta có: 8 1 2 2 )( 2 )( 2 2 22 44 ≥       + ≥ + ≥+ yx yx yx . 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: )( 444 cbaabccba ++≥++ . Giải: Áp dụng bài toán 2) ta có: )( ))(())(())(( 444 222222444 cbaabccba abcacabcbcabaccbbacba ++≥++⇒ ++≥++≥++ IX. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG. A. Phương pháp. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X = n AAA . 21 và Y = n BBB . 21 hoặc X = n AAA +++ . 21 và Y = n BBB +++ . 21 với ), .,2,1(, niBA ii = là đa thức, phân thức mà các biểu thức ii BA , có chung quy luật. Dễ dàng chứng minh được các bất đẳng thức riêng iinn BABABA ≥⇒≥≥ , ., 11 . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho cba ,, > 0. Chứng minh rằng: . 222 cba a c c b b a ++≥++ Giải: Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng: ba b a −≥ 2 2 . ( 1 ) Ta có: 22 2 22 babaab b a −≥⇔≥ (vì b > 0 ). 8 0)(02 222 ≥−⇔≥+−⇔ bababa . ( bất đẳng thức luôn đúng ). Vậy ( 1 ) được chứng minh ! Tương tự ac a c cb c b −≥−≥ 2;2 22 . ( 2 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm. 2. Ví dụ 2. Cho cba ,, > 0. Chứng minh rằng: 3 22 3 22 3 22 3 cba caac c bccb b abba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ . Giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng: 3 2 22 3 ba abba a − ≥ ++ . ( 1 ) Ta có ( 1 ) ))(2(3 223 abbabaa ++−≥⇔ 0))(( 0 2223 2 2233 2322233 ≥−+⇔ ≥−−+⇔ −−−++≥⇔ baba abbaba abbbabaabaa Vậy ( 1 ) đúng. Tương tự 3 2 22 3 cb bccb b − ≥ ++ . ( 2 ) 3 2 22 3 ac caac c − ≥ ++ . ( 3 ) Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm. X. PHƯƠNG PHÁP XÉT TỪNG KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA BIẾN. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 1 278 +−+− xxxx > 0. Giải: Gọi A là vế trái của bất đẳng thức. Cách 1. * Nếu 1 ≥ x thì A 1)1()1( 7 +−+−= xxxx > 0. * Nếu x < 1 thì A )1()1( 528 xxxx −+−+= > 0. Vậy ta có đpcm. Cách 2. A = 2727 )1)(1()1()1( xxxxxxx +−−=+−−− . * Nếu 0)1)(1(11 77 ≥−−⇒≥⇒≥ xxxx , mà 2 x > 0. Nên A > 0. * Nếu x < 1 7 x⇒ < 1 )1)(1( 7 −− xx > 0, còn 2 x > 0. Nên A > 0. 2. Ví dụ 2. Cho Rcba ∈,, , thoả mãn: abccba ≥++ . Chứng minh rằng: abccba ≥++ 222 . Giải: Xét hai trường hợp: 1) abccbacbacba ≥++≥++⇒≥≥≥ 222 1,1,1 . 2) Trong ba số cba ,, có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Không giảm tính tổng quát, giả sử c < 1. Ta có abcabcabbacba ≥≥≥+≥++ 2 22222 . XI. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN.(tiêt 4) 9 A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán quen thuộc dẫ biết cách giải * Chú ý: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng h B A B A B A n n ≥+++ . 2 2 1 1 . ( h là hằng số, nn BBAA , .,,, ., 11 là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách đổi biến nn BmBmBm === , .,, 2211 , sau đó biểu diễn 1 A theo n mmm , .,, 21 sẽ đưa về bài toán quen thuộc sau: Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì 2≥+ x y y x . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ( x+ 2007) 4 + ( x + 2009 ) 4 ≥ 2. Giải: Đặt x + 2008 = y, ta có : ( x + 2007 ) 4 +( x + 2009 ) 4 = ( y - 1 ) 4 +( y + 1 ) 4 = 22122 24 ≥++ yy . * Chú ý: Ta có thể chứng minh tổng quát : 8 )( )()( 4 44 ba bxax − ≥+++ bằng cách đặt 2 ba xy + += . 2. Ví dụ 2. Cho 1 =++ cba .Chứng minh rằng: 3 1 222 ≥++ cba . Giải: Đặt zcybxa +=+=+= 3 1 ; 3 1 ; 3 1 . Do .01 =++⇒=++ zyxcba Ta có: 222222 ) 3 1 () 3 1 () 3 1 ( +++++=++ zyxcba 3 1 3 1 )( 3 2 3 1 222 222 ≥+++= ++++++= zyx zyxzyx Dấu " = " xảy ra 3 1 0 ===⇔===⇔ cbazyx . 3. Ví dụ 3. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 3≥ −+ + −+ + −+ cba c bac b acb a . Giải: Đặt x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c. Vì a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y, z > 0. Suy ra . 2 ; 2 ; 2 yx c zx b zy a + = + = + = Vậy z yx y xz x zy cba c bac b acb a 222 + + + + + = −+ + −+ + −+ . =       −++−++−++ )2()2()2(6 2 1 x z z x y z z y x y y x 10 [...]... nhận kiến thức - Ghi nhận kiến thức - Hoạt động 5: * Củng cố - Hệ thống lại kiến thức toàn bài * Bài tập: Làm các bài tập còn lại trong SGK Tit 3 DU CA TAM THC BC HAI I Mục tiêu 1 Về kiến thức - Học sinh nắm vững cách giảI bất phơng trình bậc 2 một ẩn, bất phơng trình tích bất phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, hệ bất phơng trình bậc hai 2 Về kỹ năng - GiảI thành thạo các bất phơng trình và hệ bất phơng... toán - Ghi nhận kiến thức phơng trình có chứa căn thức - Tổng quát hoá bài toán - Cho học sinh ghi nhận kiến thức - Hoạt động 4: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa căn thức - Giải bất phơng trình : 2x 4 x 2 3 x 10 Hoạt động của học sinh - Nghe hiểu nội dung >1 Hoạt động của giáo viên - Nhận xét về dạng bất pt 25 - Trình bày kết quả - Vận kiến thức đã học giải bất phơng trình đã... giải phơng trình và bất phơng trình quy về bậc hai - Hoạt động 1: Củng cố kiến thức thông qua giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Hoạt động 2: - Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Hoạt động 3: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải phơng trình chứa căn thức - Hoạt động 4: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa căn thức - Hoạt động 5:... kiến thức phân thức - Yêu cầu nâng cao đối với trờng hợp tổng quát - Cho HS ghi nhận kiến thức - Hoạt động 2: Củng cố kiến thức và kỹ năng giảI bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 2 2 - GiảI bất phơng trình sau: x 5 x + 4 x + 6 x + 5 Hoạt động của học sinh - Nghe hiểu nội dung - Suy nghĩ giải bài toán - Chỉnh sữa nếu cần - Ghi nhận kiến thức Hoạt động của giáo viên - Kiểm tra kiến thức về... - Ghi nhận kiến thức - Hoạt động 5: GiảI bất phơng trình (4 2x)(x2 + 7x +12) < 0 Hoạt động của HS Hoạt động của GV - Giao nhiệm vụ cho học sinh - Nghe hiu câu hỏi - Kiểm tra kết quả của học sinh - Tìm phơng án thắng - Đa ra phơng pháp giảI bất phơng - Chỉnh sửa nếu cần trình tích - Ghi n hận kiến thức - Cho học sinh ghi nhận kiến thức * Củng cố - Cách giảI bất phơng trình bậc hai, bất phơng trình... - Ghi nhận kiến thức - Chú ý cho HS những sai lầm thờng mắc - Cho HS ghi nhận kiến thức * Củng cố - Nắm đợc cách giải của từng dạng toán * Bài tập: Làm các bài tập còn lại trong SGK Tit 2 dấu của nhị thức bậc nhất ngày 20/01/08 I Mục tiêu 1 Về kiến thức - KháI niệm nhị thức bậc nhất, định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và ý nghĩa hình học của nó - Cách xét dấu tích, thơng của nhị thức bậc nhất 2 Về... kiến thức - Kiểm tra kiến thức về bất phơng trình f ( x) < g ( x) - Cho học sinh vận dung giải bất phơng trình đã cho - Phát hiện sai lầm và sữa chữa kip thời - Chú ý cho học sinh điều kiện của mẫu số - Nêu bit toán ttổng quát - Cho học sinh ghi nhận kiến thức - Hoạt động 5: Thành lập bảng tóm tắt các dạng phơng trình và bất phơng trình Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Học sinh tự tóm... dẫn học sinh thành lập bảng - Tự hoàn thiện bảng tóm tắt tóm tắt - Ghi nhận kiến thức - Yêu cầu học sinh tự hoàn thiện bảng tóm tắt - Chỉnh sữa nếu cần - Cho học sinh ghi nhận kiến thức * Củng cố - Nắm đợc các dạng và cách giải cụ thể của từng dạng phơng trình và bất phơng trình - Kỷ năng biến đổi và ứng dụng của dấu tam thức bậc hai và quá trình giải phơng trình và bất phơng trình * Bài tập: Làm... học sinh giải toán - Lu ý học sinh khi lấy tập nghiệm của bất phơng trình - Cho học sinh ghi nhận kiến thức - Hoạt động 3: Củng cố kiến thức và kỹ năng giảI phơng trình chứa căn thức - Giải phơng trình x 2 + 3x + 12 = x 2 + 3x Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Nghe hiểu nội dung câu hỏi - Kiểm tra kiến thức cơ bản: - Vận dụng kiến thức để giải bài toán f ( x) = g ( x) trên - Hớng dẫn học... Ch " BT PHNG TRèNH - H BT PHNG TRèNH" Tit 1- Bt phng trỡnh v h bt phng trỡnh bc nht mt n I Mục tiêu Ngày 10/ 01/08 18 1 Về kiến thức - Nắm vững cách giải và biện luận bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn 2 Về kỹ năng - GiảI thành thạo các bất phơng trình bậc nhất một ẩn, hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn 3 Về t duy và thái độ - Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học - Cẩn thận chính . là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt. .A ≥ B là A > B hoặc A = B. .A ≠ B cũng là bất đẳng thức. .Hai bất đẳng thức. hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có: A > B ⇒ C > D , ta nói bất đẳng