1 HỌC SINH GIỎI TOÁN -ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC : 2010-2011 MƠN : TỐN – LỚP ( Thời gian làm : 150 phút §Ị số Câu 1( đ ) : Giải phơng trình a) x x - 2007 x = x 1 b) x  x  + x  x  = Câu2( đ ) : a) Tìm a , b , c biết a , b ,c số dơng 32    1       = abc a  b  c  2 b) T×m a , b , c biÕt : a = 2b ; b = 2c ; c = 2a 1 b c a Câu ( đ ) : b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác a + b+ c 0 TÝnh P = (2006+ a) T×m GTNN cđa a b )(2006 + b c ) ( 2006 + c a ) A = x  x 2 2006 x Câu 4.(3đ ) Cho hình bình hành ABCD cho AC đờng chéo lớn Từ C vẽ đờng CE CF lần lợt vuông góc cới đờng thẳng AB AD Chứng minh AB AE + AD AF = AC2 Bµi 5: Cho tam giác ABC từ điểm D cạnh BC ta dựng đờng thẳng d song song với trung tuyến AM Đờng thẳng d cắt AB E c¾t AC ë F a, Chøng minh AE = AB AF AC b, Chøng minh DE + DF =2AM §Ò sè NĂM HỌC : 2010-2011 -MÔN : TỐN – LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC ( Thời gian lm bi : 150 phỳt Câu I: Cho đờng th¼ng y = (m-2)x + (d) a) Chøng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn CâuII: Giải phơng trình: a) x  x   x  x  6 b) x  x   x  x  1 Câu III: xy yz zx a) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa: A= z  x  y víi x, y, z số dơng x + y + z= 2 b) Giải hệ phơng trình: c) B = x x  2x x x  2x   x   y   z     3 x  y  z 12 x x  2x x x  2x Tìm điều kiện xác định B Rút gọn B Tìm x để B 0, y >       Bài 2: (4 điểm) a Xác định m để phương trình sau vơ nghiệm x  x  xm x b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2 Bài 3: (2 điểm) Bốn người 1; 2; 3; tham dự hội nghị Biết : a Mỗi người biết hai bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt b Người biết tiếng Nga, tiếng Pháp c Người biết tiếng Anh, tiếng Pháp phải phiên dịch cho người người d Người tiếng Nga, tiếng Việt nói chuyện trực tiếp với người Hỏi người biết thứ tiếng ? Bài 4: (4 điểm) a Cho a  b, x  y Chứng minh (a + b) (x + y)  2(ax + by) (1) b Cho a + b  Chứng minh a2006 + b2006  a2007 + b2007 (2) Bài 5: (8 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a  a Nêu cách dựng dựng  ABC cho BAC 60 trực tâm H  ABC trung điểm đường cao BD (2 điểm) b Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC K Chứng minh OK  BC (2 điểm) c Chứng minh AOH cân tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC theo a (2 điểm) d Tính diện tích tam giác ABC theo a §Ị sè ĐỀ THI ĐỘI TUYỂN TOÁN Thời gian: 120 phút Câu 1: Cho biểu thức D =  a b a  b  2ab  a  b     : 1   ab   ab     ab a) Rút gọn D b) Tính giá trị D a = 2 (2 điểm) c) Tìm giá trị lớn D Câu 2: a) Cho a+b+c= 2010 1 1    Chứng minh số a,b,c có a b c 2010 số 2010 b) Cho số dương a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=1 Tính giá trị biểu thức: 1  b 1  c   b 1  c 1  a   c 1  a 1  b  S a 2 1 a2 1 b2 2 1 c2 Câu 3: Giải phương trình sau: a) x  x   x  x   x  b) x   x  3 x  Câu 4: Cho tổng S=15+25+35+ + n5 P= 1+2+3+ + n ( n sô tự nhiên khác 0) Chứng minh S P Câu a) Cho số a,b,c thoả mãn a, b, c 1 Chứng minh 2 a  b  c  3  a b  b c  c a b) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn 1   2 a 1 b 1 c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P=abc Câu a) Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn hệ thức 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy b) Chứng minh phương trình 2x2+2x = 4y3-z2+2 khơng có nghiệm ngun Câu 7: Cho (O;R) đương kính AB Trên bán kính OA,OB lấy điểm M N cho OM=ON Qua M N vẽ dây CD EF song song với (C,E thuộc nửa đường trịn đường kính AB) a) Chứng minh rằng: tứ giác CDFE hình chữ nhật b) Cho OM  R góc nhọn CD OA 600 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE theo R §Ị sè Thêi gian: 150 C©u I ( điểm) Giải phơng trình x x   x  10 x  25 8 y2 – 2y + = x 2x Câu II (4 điểm) Cho biÓu thøc : x2  2x  A= ( x 2)2 Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc A Cho a>0; b>0; c>0 1 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) a b Câu III (4,5 điểm) Giải toán cách lập phơng trình c Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phơng chữ số Cho phơng trình: x2 (m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đờng chéo AC BD cắt t¹i I Gãc ACD = 600; gäi E; F; M lần lợt trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiếp đợc đờng tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đờng cao SH hình chóp Chứng minh rằng: AOB BOC COA 900 Đề số Bài (2®): Cho biĨu thøc: A=       xy  x x 1   1 :     xy  1  xy   xy  x xy   x   xy   a Rót gän biĨu thøc 1  6 T×m Max A b Cho x y Chøng minh r»ng với số nguyên dơng n ta có: 1 1        2 n (n  1) n n 1  S= 1 tõ ®ã tÝnh tỉng: 1 1 1         2 2 2005 20062 Bài (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) xyz Bài (2đ): Tìm giá trị a để phơng trình sau cã nghiÖm: x  6a   5a (2a  3)  x  a 1 ( x  a )( x  a  1) Gi¶ sử x1,x2 nghiệm phơng trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức: 2 x1   x2       x2 x1 Bài 4: (2đ) Cho hệ phơng trình: x       y  m 2 y  3m 1 x  1 Giải hệ phơng trình với m = Tìm m để hệ đà cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phơng trình: x  x   x  10 x  14 4  x  x 2 Giải hệ phơng trình: y  x  27 x  27 0   z  y  27 y  27 0  x  z  27 z  27 0  Bµi (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2kx + (k 1)y = (k tham số) Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3.x ? Khi hÃy tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất? Bài (2đ): Giả sử x, y số dơng thoả mÃn đẳng thức: x y 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P ( x 1)( y 1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2®): Cho  ABC víi BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O giao điểm đờng phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đờng thẳng AB Vẽ phía AB hình vuông AMCD, BMEF a Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC b Gäi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đờng thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vuông M chuyển động đờng thẳng AB cố định Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng đờng thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành tam giác có diện tích nhỏ 10 Đế số8 Bµi 1: Chøng minh: 3 -1 = (2 ®iĨm) - +3 Bµi 2: Cho 4a + b = ab (2a > b > 0) TÝnh sè trÞ biĨu thøc: M = 2ab (2 ®iĨm) 4b  b Bài 3: (2 điểm) Chứng minh: a, b nghiệm phơng trình: x + px + = c,d nghiệm phơng trình: x2 + qx + = ta cã: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 p2 Bài 4: (2 điểm) Giải toán cách lập phơng trình Tuổi anh em céng l¹i b»ng 21 HiƯn t¹i ti anh gÊp ®«i ti em lóc anh b»ng ti em hiƯn Tính tuổi anh, em Bài 5: (2 điểm) Giải phơng trình: x + x 2006 = 2006 Bài 6: (2 điểm) Trong hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - x2 đờng thẳng (d): y = mx 2m – 1 VÏ (P) T×m m cho (d) tiÕp xóc víi (P) Chøng tá (d) qua điểm cố định A (P) Bài 7: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc A = x – xy + 3y - x + T×m giá trị nhỏ mà A đạt đợc Bài 8: (4 điểm) Cho hai đờng tròn (O) (O) Kẻ tiếp tuyến chung AB vµ tiÕp tuyÕn chung EF, A,E  (O); B, F (O) a Gọi M giao điểm AB vµ EF Chøng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b Chøng minh: AE  BF c Gäi N lµ giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O thẳng hàng Bài 9: (2 điểm) Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thớc d góc nhọn đờng chéo Đế sô Câu 1(2đ) : Gi¶i PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, x   x   x  x = Câu 2(2đ): a, Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 13  100  53  90 b, Rót gän biĨu thøc : ... tơng ứng a,b,c Chứng minh S = abc 4R Đề số 12 Câu I : Tính giá trị biểu thức: 1 A= + + 3 5 7 + .+ 97  99     35 B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 99 sè C©u II : Ph©n tích thành nhân tử...        4  n 1  75( 4 199 3  199 2    5)  25 2) N= Câu VI : Chứng minh : a=b=c chØ a  b  c 3abc Đề số 14 Câu I : Rút gọn biểu thøc A =   29  12 B= x  x2  x x Câu II : Giải... Biết AB = 4cm Câu 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD , hÃy xác định hình vuông có đỉnh thuộc cạnh hình vuông ABCD cho hình vuông có diện tích nhỏ nhất./ 17 Đề số 17 Phần I: Trắc nghiệm (4 điểm) Khoanh