Ôn tập Chương V. Đạo hàm

Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị   C.. ĐẠO HÀM CẤP CAO.[r]

(1)

(2)

ĐẠO HÀM

Trăm năm cõi người ta Đạo hàm lười học khéo lơ mơ

X mà có mũ (en) n Đạo hàm ta hạ mũ n

Rồi số mũ Ta trừ liền

(𝑥𝑛)′ = 𝑛 𝑥𝑛−1 Đạo hàm x bạn

Bằng thương bạn thời quên Tử số nguyên

Mẫu x viết liền cho nhanh (√𝑥 )′ =

2√𝑥 Đạo hàm tích hai anh Ta đạo anh trước, để dành anh sau

Rồi thêm dấu cộng cho mau Giữ nguyên anh trước, anh sau đạo hàm

(uv)′ = u′v + uv′

Nếu thương, khó cam Tử ta đạo hàm nhân mẫu giữ nguyên

Dấu trừ có qn Tử ngun, mẫu đạo liền đằng sau

Bình phương mẫu chạy đâu Ta mang xuống cho mau thuộc

(𝑢 𝑣)

′ = 𝑢

′𝑣 − 𝑣′𝑢 𝑣2 Đạo hàm sin thật tài Lại cos có sai

(sinx)′ = cosx

Cos đạo hàm đẹp mơ Trừ sin để bạn ngẩn ngơ

(cosx)′= − sinx Cần cù bù lại thơng minh Một chia cos bình đạo hàm tang

(𝑡𝑎𝑛𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Có chăm học vẻ vang Cơ tang khó mang đạo hàm

Tử trừ nhớ mà làm

Mẫu sin bình ham chơi bời (𝑐𝑜𝑡𝑥)′ = −1

𝑠𝑖𝑛2𝑥 E mũ x thật lạ đời

Đạo hàm nó, ta thời giữ nguyên (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥

Hàm số mũ ta để yên Nêpe số chạy liền theo sau

(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥.lna Nepe x đạo hàm mau Bằng chia x đâu khó

(𝑙𝑛𝑥)′ =1 𝑥 Lơga x có khác chi? Nepe số ta quên

(log𝑎𝑥)′ = 𝑥 𝑙𝑛𝑎

(3)

I ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM

 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) điểm x0 thuộc khoảng Giới hạn hữu hạn

tỉ số

0 ( ) ( )

f x f x

x x



 Khi x  x0 gọi đạo hàm hàm số điểm x0, kí hiệu f ’(𝒙𝟎)

Nhận xét:

 Nếu đặt x – x0 = x số gia biến số điểm x0 ∆y = f(x0 + ∆𝑥 ) – f(x0) số gia hàm

số ứng với ∆𝑥 điểm x0 ta có:  

   

0

' lim lim

x x x

f x x f x y

f x

x x x

  

   

 

 

 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm điểm x0 f(x) liên tục x0 Tuy nhiên ngc lại chưa

đúng

II ĐẠO HÀM BÊN TRÁI, BÊN PHẢI o

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

x x



 

 



o

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

x x



 

 



 Hệ quả: Hàm f(x) có đạo hàm x0 ∃ f x'( 0), f x'( 0)đồng thời f x'( 0) = f x'( 0)

III ĐẠO HÀM TRÊN KHOẢNG, TRÊN ĐOẠN

 Hàm số f(x) có đạo hàm (a,b) có đạo hàm điểm thuộc khoảng (a,b)

 Hàm số f(x) có đạo hàm [a,b] có đạo hàm điểm thuộc khoảng (a,b) đồng thời tồn f ’(𝑎+) f ‘(𝑏−)

IV MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC  Định lí: Nếu hàm f (x) có đạo hàm x0 f (x) liên tục x0

Chú ý: Một hàm liên tục x0 chưa có đạo hàm x0 VD: f (x) = |𝑥| liên tục

tại x = khơng có đạo hàm

0

( ) (0)

lim

x

f x f x





 

,

( ) (0)

lim

x

f x f

x 



  

I PHƯƠNG PHÁP

 Để tính số gia hàm số y = f(x) điểm x0 tương ứng với số gia ∆x cho trước ta áp dụng công

thức: ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)

BÀI KHÁI NIỆM VỀ ĐẠO HÀM

0

( ) ( )

'( ) lim x x

f x f x

f x

x x



 



(4)

II BÀI TẬP

Bài 1: Tìm số gia hàm số

2

y x  x , tương ứng với biến thiên đối số: a) Từ 𝑥0= đến 𝑥0+ ∆𝑥 = b) từ 𝑥0 = đến 𝑥0+ ∆𝑥 = 10⁄ Bài 2: Tính ∆𝑦 y

x



 hàm số sau theo x ∆𝑥:

a) y3x5 b) y3x27

c) y2x34x1 d) ycos 2x

I PHƯƠNG PHÁP 

0

( ) ( )

'( ) lim x x

f x f x

f x

x x



 

 ;

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

x x



 

 

 ;

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

x x



 

 



 Hàm số f(x) có đạo hàm x = x0 f x'( 0) f x'( 0)

II BÀI TẬP

Bài 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số sau 𝑥0 a) f x( )2x2 6x3 𝑥0 =

b) f x( )x3  x 2 𝑥0 = −2 c) f x( ) 5 2 x 𝑥0 = −2 d) f x( ) x2 x 1 𝑥0 =

e) f x( )sin2 x

2 o

x   f) f x  x34x2 𝑥0= g)   1

sin

f x

x

 tại

2 o

x  Bài 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số sau 𝑥0

a)

3

2 7 4

1

( ) 1

2 3 1

x x x

x

f x x

x x

    



 

  



𝑥0 =

b)

2

sin

0 ( )

0 x

x

f x x

x x x



 

 

  



tại 𝑥0 =

c)

2

1 ( ) x x

f x

x  

 𝑥0 = −1

d)  

khi

sin cos 0

2 1 0

x x x

f x

x x

 



   

 xo 2





(5)

I CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số:  u v w '   u' v' w '

  u v 'u v v u'  '

  k u 'k u '

 u ' u v v u' 2 '

v v

       

 ' v2'

v v

       

2 Đạo hàm hàm số hợp:

 Cho hàm số y = f (u) với u = u (x) y'x  y' 'u u x

Đạo hàm Hàm hợp Một số CT tính nhanh ĐH

 C '0



 

,

2

ax b ad cb

cx d cx d

              2

1 1 1

2 2

1 1

2

a b a c b c

x x

a b a c b c

ax bx c

a x b x c a x b x c

                     1 1

1 1 1

b c

a a x a b x

a b ax bx c

a x b a x b

               

 x ' 1  

1

' .

x  x

 

1

' . '

u  u u

  1 ' 2 x x    ' ' u u u 

' 12

x x

     

 

1 1

' 'u

u u

       

sinx'cosx sinu'u'.cosu cosx  sinx cosu  u'.sinu tan  12

cos

x

  tan  2

cos u u u    cot  12

sin x x      cot sin u u u     II BÀI TẬP

1 Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) y x33x22x1 b) 3

4

2

(6)

c) 1 0,5

4

y   x x  x

d) 2 1 2 5

3

y  x  x  x 

e)

4

4 3 2

x x x

y     x

f) y x5 4x3 2x3 x

2 Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) yx23x2x b) y2x3x52x c) yx21 3  x2

d) yx2x1 3  x2 e) y  x 1 1

x

 

    

 

f) y2 x1 4 x3

3 Tìm đạo hàm hàm số sau: a) 2 1 1 x y x   

b) 3

2 5

y x 



c) 2 1

1 3 x y x   

d) 3

2 5 y x   e) 3 3 1 x x y x     f) 2 1 1 x x y x x      g) 1 1 x x y x     h)

2 4 5

2 1 x x y x    

i) 1 2

1

y x

x   



j) 25 3

1 x y x x     k) 2 1 1 x x y x x      4 Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) y (2x3 3x2 6x1)2

b)  

2

y x x

c)  

3

1 2

y  x

d)  

32

y xx

e) 2 1 1 x y x       

f) 2 1 5

( 1)

y

x x



 

g)  

4

1

y x  x

(7)

5 Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y  2x2 5x2

b) y  (x2) x23

c)  

3

1 1 2

y    x

d) y  1 2 xx2 e) y  x2  1 1 x2 f) 1 x y x  

g) y  x x x

h) y3 x33x1

i)

2

3

3 x y x       

j)  

5

1 y x x 

6 Tìm đạo hàm hàm số sau: a) yxcosx

b) sin cos x y x        

c) y sin32x1

d) y sin 2x2 e) y sinx2x

f) y2sin 42 x3cos 53 x

g)  

3

2 sin

y  x

h) ysin cos x tan2 x i)

j) y 4 sin cos sin 6x x x k) sin 2 cos 2

sin 2 cos 2

x x y x x   

l) sin cos

cos sin

x x x

y

x x x

 



m) tan 1

2

x

y  

n) y  tan 3xcot 3x o) 2 1 tan 1 tan x y x   

p) ycot x2 1

q) ycos4 xsin4 x r)

s)

t) ysin cos3 x

u) ysin2cos2cos3x v)

2

5

cot cos x y x                 

7 a) Cho hàm số  

x x x f sin cos 

 Tính     

           ' ; ' ; ' ;

' f  f  f 

f

b) Cho hàm số  

x x x f y 2 sin cos  

 Chứng minh: '

4

f     f    

    x x x x y cos sin 2 cos sin    ) cos

(sinx x

y 

x x

(8)

8 Tìm đạo hàm hàm số sau :

a) y3 sin 4xcos4x 2 sin6xcos6x b) ycos4x2cos2x 3 sin4x2sin2x3

c) y3 sin 8xcos8x 4 cos6x2sin6x6sin4x d)

4

6

sin 3cos

sin cos 3cos

x x

y

x x x

 



  

e) cos2 cos2 cos2

3

y x   x   x

   

f)

 

tan sin

sin x

x y

x 

   

 

 



g) sin sin sin sin cos cos cos3 cos

x x x x

y

x x x x

  



  

h) 2 2cos , ;

2

y    x x  

 

9 Cho hàm số chứng minh : a) xy2y' sin x x 2cosxy0

b) ' tan

cos y

x x

x  

10 Cho hàm số : f x sin4 xcos4 x , g x sin6 xcos6 x Chứng minh :

  '  '

3f x  g x 

11 a) Cho hàm số y  x 1 x Chứng minh : 2 1x2.y' y b) Cho hàm số ycot 2x Chứng minh :

' 2

y  y   12 Giải phương trình y'0biết :

a) y sin 2x2 cosx b) y cos2 xsinx

c) y3sin 2x4 cos 2x10x d) ym1 sin 2 x2cosx2mx 13 Cho hàm số 2 1

3

y x  m x mx Tìm m để : a) y'0 có hai nghiệm phân biệt ;

b) y' viết thành bình phương nhị thức ; c) y'0 , x

d) y'0 , x 1 ; 2 e) y'0 , x 0

(9)

14 Cho hàm số  1 3

y  mx  m x mx Xác định mđể :

a) y'0 , x

b) y'0 có hai nghiệm phân biệt âm ;

c) y'0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12 x22 3 15 Cho hàm số

2

6 2

mx x

y

x

 



 Xác định m để hàm số có y'0, x 1 ; 

16 Tìm giá trị tham số để hàm số: có y'0 đoạn có độ dài

17 Cho hàm số ymx4m29x210 1  m la tham so Xác định m để hàm số có y'0 có nghiệm phân biệt

I LÝ THUYẾT:

 Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C :y f x tại M x ; y0, có phương trình :

Trong đó: k  f ' x0 hệ số góc tiếp tuyến

 Điều kiện cần đủ để đường (𝐶1): y f x  (𝐶2): y g x  tiếp xúc điểm có hồng độ x0 hệ phương trình

0

( ) ( ) '( ) '( )

f x g x

 

 

 có nghiệm x0

II PHƯƠNG PHÁP:

Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M x ; y0

 Tiếp tuyến đồ thị  C :y  f x tại M x ; y0, có phương trình là:

Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ∆ )  Tiếp tuyến (d) // (∆)kd k

 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm ta có : f ' x0 kd (1)

 Giải (1) ta x0 Từ suy y0

 Phương trình tiếp tuyến cần lập yy0  f '  x0 xx0

m yx33x2mx m

BÀI PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

∆: yy0  f '  x0 xx0

   

0 '

(10)

Dạng 3: Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( ∆ )  Tiếp tuyến (d)(∆) kd 1

k  

 Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm ta có : f ' x0 kd (1)

 Giải (1) ta x0 Từ suy y0

Dạng 4: Tiếp tuyến qua điểm A cho trước

 Gọi (d) tiếp tuyến cần tìm M x ; y0 tiếp điểm Ta có: (d): yy0  f '  x0 xx0  Vì (d) qua A nên yAy0  f '  x0 xAx0 ( )

 Giải ( ) ta x0 Từ suy y0

III BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số  C :yx22x3 Viết phương trình tiếp với  C : a) Tại điểm có hồnh độ x02

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4x  y c) Vng góc với đường thẳng : 2x4y2011 0

d) Biết tiếp tuyến qua điểm A1 ; 0

Bài 2: Cho đường cong  C :y f x x33x2 Viết phương trình tiếp tuyến  C trường hợp sau :

a) Tại điểm M01 ;2

b) Tại điểm thuộc  C có hồnh độ x0 1 c) Tại giao điểm  C với trục hoành

d) Biết tiếp tuyến qua điểmA 1 ; 4

Bài 3: Cho hàm số :  

1

x

y C

x

 



a) Viết phương trình tiếp tuyến  C điểm M 1 ; 1

b) Vết phương trình tiếp tuyến  C giao điểm  C với trục hồnh

c) Viết phương trình tiếp tuyến  C giao điểm  C với trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến  C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d : 4x  y e) Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

(11)

Bài 4: Cho đường cong  : 1

x

C y

x

 



a) Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

 d :x4y21 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

  : 2x2y 9

c) Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :

x2y 5 góc 300

Bài 5: Cho hàm số : yx33x2  C

a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C điểm I1 ;2 b) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị  C không qua I Bài 6: Cho hàm số  

3

yx  x  x C Trong tất tiếp tuyến đồ thị  C , tìm tiếp

tuyến có hệ số góc nhỏ

Bài 7: Cho hàm số y 1 x x2  C Tìm phương trình tiếp tuyến với  C : a) Tại điểm có hồnh độ 0

2

x 

b) Song song với đường thẳng :  d :x2y0 Bài 8: Cho hàm số  1

2

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp

tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc

tọa độ O (Khối A – 2009) Bài 9: Cho hàm số  

3

y  x x  C Tìm điểm thuộc đồ thị C mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị  C

(Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, 1999) Bài 10: Cho hàm số yx33mx2 m1x1  1 , m tham số thực

Tìm giá trị mđể tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ x 1 qua điểm A 1 ;

(Dự bị A1 - 2008)

Bài 11: Cho hàm số  1

x y

x

 

 Tính diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến

của đồ thị hàm số (1) điểm M2 ; 5

(Dự bị D1 - 2008)

(12)

Bài 13 Cho hàm số  

3

y  x x  x C Trong tất tiếp tuyến đồ thị  C , tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn

1

x

y C

x

 

 Gọi I1 ; 2 Tìm điểm M C cho tiếp tuyến  C

tại M vng góc với đường thẳng IM

(Dự bị B2 - 2003)

Bài 15 (*) Cho hàm số  

1

 

x

y C

x Tìm điểm M C , biết tiếp tuyến  C M cắt hai trục tọa

độ ,A B tam giác OAB có diện tích 1

2

(Khối D - 2007)

Bài 16 (*) Cho hàm số :  

1

x

y C

x



 Viết phương trình tiếp tuyến    C cho   hai

đường  d1 :x1 ; d2 :y1 cắt tạo thành tam giác cân (Dự bị D2 - 2007)

1

y x C

x

 

 Chứng minh qua điểm A1; 1  kẻ hai tiếp tuyến với

 C hai tiếp tuyến vng góc với Bài 18.(*) Cho hàm số 2  

3

y x  x  x C Qua điểm 4;

A 

  kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến

Bài 19 (*) Cho hàm số

2 ( )

x x

y C

x

  

 Gọi I1 ; 0.Chứng minh khơng có tiếp tuyến

của  C qua điểm I (Dự bị B2 - 2005)

Bài 20:(*) Cho hàm số y  x4 2x21  C Tìm tất điểm thuộc trục tung cho từ kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị  C

I LÝ THUYẾT:

 Cho hàm số y  f x có đạo hàm x Gọi xlà số gia biến số x Ta gọi tích số

 

' .

f x x vi phân hàm số f x tại điểm x ứng với số gia x: df x( ) f x'( ).x  Nếu lấy y = x ta có dy = dx = 1.x=x, ta thường kí hiệu x= dx , Vậy:

 Cơng thức tính gần nhờ vi phân: f x( 0  x) f x( )0  f x'( ).0 x

BÀI VI PHÂN

' x

(13)

II PHƯƠNG PHÁP:

 Tính vi phân hàm số f(x)  Tính đạo hàm hàm số  Suy vi phân: dy y' x dx

III BÀI TẬP

Bài Tìm vi phân hàm số sau :

a) 22

5

x y

x x

 

  b)

2

3

1

x x

y

x

  



c) y (xx2 32) d)

2

1 x y

x





e)   

1

y x  x  x f)

2 cos cos

x y

x

 



 

 

 

g) cot (23 )

y x h) ysin(cos )x cos(sin )x i) sin

sin

x x

y

x x

  k) tan3 1cot 32

2

y x x Bài Cho hàm số

3

sin cos

1 sin cos

x x

y

x x

 

 Chứng minh đẳng thức :y dy cos x dx0 Bài Tính gần giá trị sau (lấy chữ số thập phân kết quả) :

a) 8,99 b) cos 460

c) tan 59 45'0 d) 4,02

e) tan 44 30'0 f) 37,97

I PHƯƠNG PHÁP:

 Dựa theo định nghĩa sau :  Đạo hàm cấp : y'' y' '

 Đạo hàm cấp : y''' y'' '

 Đạo hàm cấp n : ( )  ( 1)

'

n n

y  y 

Chú ý : Để tìm cơng thức tính đạo hàm cấp n hàm số ta tìm đạo hàm cấp , , … sau đó dự đốn cơng thức tính đạo hàm cấp n chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp

(14)

II BÀI TẬP:

Bài 1: Tìm đạo hàm cấp hàm số sau :

a)

4

y x  x  x  x Tìm y, y

b)

4

x y

x

 

 Tìm  

4

, ,

y y y

c) y 3xx3 Tìm y

d) y x.cos 3x tìm y

e) y sin22x tìm y ; f) y 2x15 tìm y 5

g)

2

3 1 2

y x x

x

  

 tìm  

4

y

Bài 2: Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: a) y y3   1 0khi y 2xx2

b) x y2  2x2y21 y0 yx tanx

c) xy2y' sin xxy"0 y xsinx d) 182y1 y"0 y cos23x e) y"y 0

x x

y

cos sin

cos sin3

 



f) y 4 2xy4y40 yx212 g) 2y'2y1y"

4   

x x

y

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau :

a)

2

x y

x

 



b)

2 3 5

1

x x

y x

  



c)

2

x y

x

 



d)

3

y

x x



  e) 2

2

x y

x x

 

 

f)

2

4 3

x x

y

x x

  

 

g) ysin4 xcos4 x h) y8sin cos3 cos 4x x x

(15)

Tính tổng có chứa tổ hợp

 Phương pháp :

Trong phần đại số tổ hợp áp dụng nhị thức Newton để tính tổng có chứa cơng thức tổ hợp ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm cấp vế ta tính tổng cần tính

 Bài tập:

Bài 1: Tính tổng sau :

a)

1 5

n n

n n n n

S C  C  C  nC 

b) 2 3    

2 2.1 3.2

n

n n n

S  C   C     n n C

c) 2 2

3

n

n n n n

S  C  C  C  n C

d) 3 2 n

n n n n

S  C  C  C   n C Bài Rút gọn tổng sau :

a) S1 Cn12Cn2  (n1)Cnn1nCnn

b) S2 Cn0 2Cn1 3Cn2   nCnn1(n1)Cnn c) 3 2

n

n n n n

S  C  C  C   n C Bài (*) Rút gọn tổng sau :

99 100 198 199

0 99 100

1 100 100 100 100

1 1

a) 100 101 199 200

2 2

S  C     C      C     C   

       

b) S2 2.1.C2022183.2.C203 217  380.C2020

c) S3 1 2C20091 2 2C20092 3 2C20093  2009 2C20092009 d) S4 3Cn05Cn17Cn2 4023 C20102010

Bài Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức

    

3

35,

1

n n

A C

n

n n



 

  Tính tổng :

S 2 2Cn23 2Cn3   1 nn C2 nn

(Dự bị B1 – 2008)

Bài Chứng minh với n số ngun dương , ta ln có :

  1   2 1

.2 n nn n n 2n n nn 3n

n C  n  C  n  C   C   n 

(Dự bị D1 – 2008)

Bài Tìm số nguyên dương n cho :

 

1 2 3 2

2 2.2 3.2 4.2 2 2011 n n

n n n n n

C   C   C   C    n C  