Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng slide phương pháp số _ bài 09_ giải phương trình vi phân
PHƯƠNG PHÁP SỐ Bài 9. Giải phương trình vi phân Cách cho hàm số Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân 2 x -1 0 1 2 5 7 y 4 2 0 1 2 3 2 2 2y x x= + + 1, if 0 , if 0 x y x x − < = ≥ Bài toán giải phương trình vi phân 1 1 Phương pháp Euler 2 2 Phương pháp Euler cải tiến 3 3 Phương pháp Euler-Cauchy 4 4 Phương pháp Runge-Kutta 5 5 Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân Bài toán gi i ph ng trình vi phânả ươ Phương trình dao động điều hòa Phương trình vi phân Bài toán Cauchy cấp 1 Bài toán Cauchy cấp n Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân 4 ( ) cosmx kx x A t ω ϕ ′′ = − ⇒ = + ( ) [ ] ( ) 0 0 0 , , ; ; y f x y x a b x a y x y ′ = ∈ = = ( ) ( ) , , , , , 0 n F x y y y y ′ ′′ =K ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 1 0 1 , , , , , ; ; ; ; n n n n y f x y y y x a b x a y x y x y x α α α − − − ′′ = ′ ∈ = = = = K Gi i g n đúng ph ng trình vi phânả ầ ươ Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân 5 Giả thiết Bài toán Cauchy cấp 1 có nghiệm duy nhất và hàm có đạo hàm đến cấp n+1. Tức là có thể sử dụng công thức Taylor Ký hiệu Giá trị đúng của tại điểm : Giá trị gần đúng của tại điểm : • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1! 2! ! 1 ! n n n n i i i i i h h h h y x h y x f x f x f x f c n n + + ′ ′′ + = + + + + + + L Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân Ph ng pháp Eulerươ Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân 7 Bài toán Cauchy cấp 1 Giả sử hàm cần tìm có đạo hàm đến cấp 2 • Công thức Euler ( ) [ ] ( ) 0 0 0 , , ; ; y f x y x a b x a y x y ′ = ∈ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 , , i i i i i i i i i i i i i i h y x h y x h y x y c y x h y x h y x y x y x h f x y y y h f x y + + ′ ′′ + = + × + ′ ⇒ + ≈ + × ⇒ ≈ + × ⇒ = + × Ph ng pháp Eulerươ Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân 8 Cách giải (Phương pháp Euler) xn=b a=x0 x1 x2 . h ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 1 , , , , i i i i n n n n y y y h f x y y y h f x y y y h f x y y y h f x y + − − − = + × = + × ⇒ = + × = + × L Ph ng pháp Eulerươ Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân 9 Bài toán 1: Giải gần đúng phương trình với khoảng chia Giải: • i 0 1 2 3 4 … n xi x0 x1 x2 x3 x4 … xn yi y0 y1 y2 y3 y4 … yn Đây là hàm số y = y(x) mà ta cần tìm ( ) [ ] ( ) 0 0 0 , , ; ; y f x y x a b x a y x y ′ = ∈ = = ( ) 1 1 1 , 1 i i i i i i b a h n x x h i n y y h f x y i n − + − = = + = = + × = Ph ng pháp Eulerươ Phương pháp số - Bài 13: Giải gần đúng phương trình vi phân 10 Sai số Chứng minh được: M không phụ thuộc vào h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i h y x y x h y x h y x y c y y y x h R h y x y y c O h − − − − − ′ ′′ = + = + × + ′ = + ′′ ⇒ = − = = ( ) i i y x y Mh− ≤