BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Cho dãy số thực      . Chứng minh rằng nếu chuỗi        hội tụ tại   thì nó sẽ hội tụ tại mọi   . b. Cho chuỗi hàm                   Khảo sát sự hội tụ tuyệt đ ối và đều của chuỗi hàm    .  Tính tổng của chuỗi hàm    . Câu 2. Cho    là một không gian mêtric. Trên  ta định nghĩa                a. Chứng minh rằng   là một mêtric trên . b. Chứng minh rằng    là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi     cũng là mộ t không gian mêtric đầy đủ. Câu 3. Cho  là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và  là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy       hội tụ về  thì d ãy        bị chặn. Chứng minh rằng  là ánh xạ tuyến tính liên tục. Câu 4. Xét không gian Hilbert phức   gồm tất cả các dãy số phức       sao cho          với tích vô hướng            . Giả sử      là một dãy số phức bị chặn. Cho     xác định bởi                  a. Chứng minh rằng  là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của . b. Chứng minh rằng nếu      là dãy số thực thì  là một toán tử tự liên hiệp. ----------------------------------------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Chứng minh bất đẳng thức 2  + 2 < ln   + 1  ,   + . b. Cho  > 1, tìm tất cả các số thực  để chuỗi sau hội tụ      1   =1 . c. Cho hàm số  xác định trên hình vuông  =  0; 1    0; 1    ,  =   1  nếu    1  nếu  >.  Khảo sát tính khả vi củ a hàm  tại các điểm trong của . Câu 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên  > 1, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất trong tập  =  0; 1    0; 1  :    +   +  = 3  2 + 2 + = 6.  Câu 3. Cho  =  0;1  với chuẩn    = max        :  0; 1  . Cho ánh xạ :  xác định bởi     =  1    1      ,  ,  0; 1  . Chứng minh  là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tìm    . Câu 4. Cho  là một không gian Hilbert. a. Giả sử    ,   là hệ trực giao trong . Chứng minh rằng, chuỗ i     =1 hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn). b. Cho     là dãy hội tụ yếu về  trong . Giả sử dãy       hội tụ về    trong . Chứng minh dãy     hội tụ mạnh về . ----------------------------------------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010 Câu 1. (4đ) a. Xét hàm     = ln  1 +   2 +2 , 0. Ta có      =   +4   +1  +2  2 , > 0. Do vậy     >  0  = 0 hay ln  1 +  > 2 +2 , > 0. (1đ) b. Đặt   =     1 thì   > 0 và    = 1 +  . Theo trên ta có 2    + 2 < 1  ln = ln  1 +   <  hay   2   + 2 < ln <  (0,5) Suy ra lim    = ln. Nên các chuỗi       1   =1 và  1    =1 cùng h ội tụ hoặc cùng phân kỳ. Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi  > 1 và phân kỳ khi  1. (1đ) c. Dễ thấy  khả vi tại các điểm của  mà  < hay  >. (0,5đ) Để xét tính khả vi của  tại các điểm  ,  ,    < 1, ta xét hàm     =  ,  , khi đó     +  =      = 1 tại mọi    < 1. Suy ra  không khả vi tại các điểm  ,  ,    < 1. (1đ) Câu 2. (2đ) Xét không gian metric  = 2 với khoảng cách  xác định bởi    1 , 1  ,   2 , 2   = max    1  2  ,   1  2   ,   1 , 1  ,   2 , 2    ,  là không gian metric đầy đủ. (0,5đ) Xét hàm :  xác định bởi   ,   =   +   +  3 ,  2 +  2 + 2 6  ,  ,  .    1 , 1  ,   2 , 2   ta có    1 , 1  ,   2 , 2   = = max   1   2  + 1   2   3 ,   1 2  2 2 + 1 2  2 2  6  (0,5) Chú ý   1   2  + 1   2      1   2   +   1   2      1  2  +   1  2    2    1 , 1  ,   2 , 2  .   1 2  2 2 + 1 2  2 2     1 2  2 2  +   1 2  2 2   2   1  2  +   1  2   4    1 , 1  ,   2 , 2  . (0,5) Do đó    1 , 1  ,   2 , 2   2 3    1 , 1  ,   2 , 2  . Theo nguyên lý ánh xạ co, có duy nhất  ,   sao cho  ,  =  ,  , tức là hệ phương trình có duy nhất nghiệm. (0,5đ) Câu 3. (2đ) Kiểm tra tính tuyến tính của . (0,5đ)  ,  0; 1  ta có           1   +  1            . Nên        .Vậy A liên tục và     1 (1đ) Xét hàm     = 2 1,  0; 1  . Ta có    = 1 còn    = max   0;1   1 2  =1 Vậy    = 1. (0,5đ) Câu 4. (2đ) a. Đặt   =     =1 . Giả sử lim    = 0. Khi đó với mọi  ta có lim   <   0 , >   lim      0      = 0. Vậy     0 . (0,5) Ngược lại, giả sử     0 khi đó với mọi   ta có lim   <  , >  =< 0 , >. Do đó dãy  <  , >   bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều     ,. Suy ra     2 =      2  =1  2 ,. Vì vậy      2  =1 hội tụ nên     =1 hội tụ. (0,5đ) b. Giả sử    . Ta có      2 =<  ,   >=<  ,  ><,  > <  , > + +<, > =     2 <,  > <  , > +    2 (0,5) Theo giả thiết lim      =    nên lim       = 0. Vậy lim    =. (0,5) ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009 Câu 1. (4đ) a. Ta có                    Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi    a. Ta có            nên ta chỉ cần xét chuỗi trong    . Với bất kỳ     ta có                              . Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi  và hội tụ đều trên các khoảng                    . Do       khi  nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng    b. Chú ý           Do đó                               Vậy                           Câu 2. (2đ) a. (1đ) Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric (0,5đ) Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm        đơn điệu tăng trên       . (0,5đ) b. (1đ)     cơ bản trong         cơ bản trong     (0,5đ)     cơ bản trong         cơ bản trong     (0,5đ) Câu 3. (2đ) Giả sử  không bị chặn trên mặt cầu đơn vị        khi đó tồn tại trên  dãy     mà        . Khi đó dãy        hội tụ về 0 nhưng                      Trái giả thiết. Câu 4. (2đ) a. Kiểm tra tính tuyến tính của  . (0,5đ)         ta có                            Vì dãy      bị chặn nên       . Do đó                   Vậy  liên tục và     Xét dãy        ta có                     nên         . Suy ra           b. (1đ)         ta có                       Vì   là số tực nên tổng của chuỗi này là một số thực. Vậy toán tử  là tự liên hợp. . sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm. ----------------------------------------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010 Câu 1. (4đ) a. Xét hàm   