Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Phương Pháp Tính
Chương 2NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐI. Nội suy. 1. Đặt vấn đề.- không biết biểu thức giải tích của hàm;y = f ( x );- biết giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm trên đoạn [ a, b] ( bằng đo đạc hoặc thực nghiệm):xy=f( x )xo x1 . . . xi . . . xn-1 xnyo y1 . . . yi . . . yn-1 yn - Tìm giá trị của hàm số tại một số điểm trung gian khác.-Xây dựng một hàm φ( x ) có biểu thức đơn giản, có giá trị trùng với giá trị của f ( x ) tại các điểm , còn tại các điểm khác trên đoạn [a, b] thì φ( x ) khá gần f( x ) [phản ảnh gần đúng quy luật f( x ) ] có thể suy ra giá trị gần đúng của f( x ) tại các giá trị x bất kỳ thoả mãn xo < x < xn.xo x1 . . . xn Bài toán nội suy:- φ( x ) – hàm nội suy của f( x ) trên đoạn [a, b]. -Ý nghĩa hình học: xây dựng đường cong y = φ( x ) đi qua các điểm cho trước (xi, yi), I = 0, 1, . . . , n. 2. Đa thức nội suy.Thường chọn đa thức làm hàm nội suy vì:- Đa thức là loại hàm đơn giản;- Luôn có đạo hàm và nguyên hàm;- Việc tính giá trị của chúng đơn giản.- Trên đoạn a ≤ x ≤ b cho một lưới các điểm chia (điểm nút)xi; i = 0, 1, 2, . . ., n; vớia ≤ xo, x1, x2, . . . .xn ≤ b.- Cho giá trị tương ứng của hàm y = f( x ) tại các nút:xy=f( x )xo x1 . . . xi . . . xn-1 xnyo y1 . . . yi . . . yn-1 yn- Cần xây dựng một đa thức bậc n:Pn( x ) = aoxn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an.sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi,Pn(xi) = yi ; i= 0, 1, 2, . . . , n.Bài toán:( 1 ) Sự duy nhất của đa thức nội suy: đa thức nội suy Pn( x ) của hàm f( x ) định nghĩa ở trên nếu có thì chỉ có một mà thôi.Đa thức nội suy có thể xây dựng theo nhiều cách nhưng do tính duy nhất nên các dạng của nó đều có thể quy về nhau.3. Đa thức nội suy Lagrăng.trong đó;)) .()() .(()) .()() .(()(1111niiiiioiniioixxxxxxxxxxxxxxxxxl−−−−−−−−=+−+−li(x) – đa thức bậc n Pn(x) – đa thức bậc n =)(jixl1 khi j = i;0 j ≠ I ; Pn(xi)= yi; i = 0, 1, 2, . . ., n.);()(0xlyxPiniin∑==( 2 )( 2 ) – đa thức nội suy Lagrăng. */ Nội suy tuyến tính. ( n = 1 )xyxox1yoy1( 2 ));()()(111xlyxlyxPoo+=( 3 )ooooxxxxxlxxxxxl−−=−−=1111)(;)(;)(1111oooonxxxxyxxxxyxP−−+−−=Có dạng P1(x) = Ax + B - bậc nhất đối với x.*/ Nội suy bậc 2. ( n = 2 )xyxox1 x2yoy1 y2);()()()(22112xlyxlyxlyxPoo++=( 4 )))(())(()(;))(())(()(21212121xxxxxxxxxlxxxxxxxxxloooooo−−−−=−−−−=;))(())(()(12212xxxxxxxxxloo−−−−=P2(x) có dạng : P2(x) = Ax2 + Bx + C - bậc 2 đối với x. */ Sai số nội suy.Định lý. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và có trong [a, b] đạohàm liên tục đến cấp n+1 thì sai số nội suy rn(x) =f(x) – Pn(x) có biểu thức:[ ]bacnxcfxrnn,;)!1()()()()1(∈+=+π( 5 ))) .()(()(1 noxxxxxxx −−−=π([a, b] - khoảng chứa các nút xi)Gọi[ ]baxxfMn,;)(max)1(∈=+thì;)()!1()( xnMxrnπ+≤-Ưu điểm của đa thức nội suy Lagrăng : đơn giản;- Nhược điểm : thêm một nút thì phải tính lại toàn bộ. 4. Đa thức nội suy Niutơn.a/ Sai phân hữu hạn.y = f(x) có giá trị yi = f(xi) tại các nút xi cách đều nhau vớixi+1 – xi = h = const; i = 0, 1, 2, . . ., nx0 ; x1 = xo + h; x2 = x0 + 2h; . . .xi = xo + ih . . .Định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm y = f(x):Sai phân cấp 1(hạng 1): Δyi = yi+1 – yi;Sai phân cấp hai:Δ2yi =Δy i+1–Δyi;Δnyi =Δ(Δn-1yi ) =Δn-1y i+1–Δn-1yi;Sai phân cấp n là sai phân của sai phân cấp n-1:Sai phân cấp 3:Δ3yi =Δ2y i+1–Δ2yi;;1 ooyyy−=∆;2)()(121122oooyyyyyyyy +−=−−−=∆;331233ooyyyyy−+−=∆;)1()1(!3)2)(1(!2)1(!111321 onnnnnnonyyynnnynnynyy−+−+−−−−+−=∆−−−−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b/ Đa thức nội suy Niutơn tiến (nội suy về phía phải).Trường hợp các nút cách đều, Niutơn đa thức có dạng:)()())(()()(1121−−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+−−+−+=nonooonxxxxaxxxxaxxaaxP- x = xo ao = Pn(xo) = yo;- x = x1;)(1111hyhyyxxaxPaoooon∆=−=−−=- x = x2;!2222)(2.22))(()()(2221221221222122hyhyyyhyyyyhhhhyyyxxxxxxaaxPaooooooooon∆=+−=−−−=⋅∆−−=−−−−−=;!ioiihiya∆=;)(iinyxP=noaaaa ,,,,21⋅⋅⋅Xác địnhtừ điều kiện );()(!))((!2)(!1)(1122−−⋅⋅⋅−∆+⋅⋅⋅+−−∆+−∆+=nononooooonxxxxhnyxxxxhyxxhyyxPĐổi biến, đặt hxxto−=x = xo + t.hxi = xo + i.hx - xi = x - xo - i.h = t.h - i.h = (t-i)h;;!)1) .(1(!2)1()(2onooonynntttyttytyxP∆+−−+⋅⋅⋅+∆−+∆+=Thường dùng để tính các giá trị của hàm ở gần xo đầu bảng.3/ Đa thức nội suy Niutơn lùi (nội suy về phía phải)Với cách làm tương tự nhưng bắt đầu với x = xn);()(!))((!2)(!1)(112221xxxxhnyxxxxhyxxhyyxPnnonnnnnnnn−⋅⋅⋅−∆+⋅⋅⋅+−−∆+−∆+=−−−;!)1) .(1(!2)1(!1)(221 onnnnnynntttyttytyxP∆−+++⋅⋅⋅+∆++∆+=−−Ưu điểm của công thức nội suy Niutơn: thêm nút chỉ cần thêm số hạng, không cần phải tính lại.Để thuận tiện tính toán thường lập bảng sai phân đường chéo. x y ΔyΔ2yΔ3y Δ4y Δ5y Δ6yxox1x2x3x4x5x6yoy1y2y3y4y5y6ΔyoΔy1Δy2Δy3Δy4Δy5Δ2yoΔ2y1Δ2y2Δ2y3Δ2y4Δ3yoΔ3y1Δ3y2Δ3y3Δ4yoΔ4y1Δ4y2Δ5yoΔ5y1Δ6yoBảng sai phân đường chéo của công thức nội suy tiến x y ΔyΔ2yΔ3y Δ4y Δ5y Δ6yxn-6xn-5xn-3xn-2xn-1xnΔyn-6Δyn-5Δyn-4Δyn-3Δyn-2Δyn-1Δ2yn-6Δ2yn-5Δ2yn-4Δ2yn-3Δ2yn-2Δ3yn-6Δ3yn-5Δ3yn-4Δ3yn-3Δ4yn-6Δ4yn-5Δ4yn-4Δ5yn-6Δ5yn-5Δ6yn-6Bảng sai phân đường chéo của công thức nội suy lùixn-4yn-6yn-5yn-3yn-2yn-1ynyn-4 [...]... ϕ1 ( x) = x; ϕ 2 ( x) = x ; ϕ m ( x) = x , Qm ( x) = Co + C1 x + C2 x 2 + + Cm x m ; (b) là một đa thức đại số thông thường Phương pháp thường dùng khi lấy xấp xỉ[ xác định các hệ số của ( a ) hoặc ( b ) ] là phương pháp bình phương nhỏ nhất -Nội dung của phương pháp bình phương nhỏ nhất là tìm cực tiểu của hàm n M = ∑ [ f ( xi ) − Q( xi )] 2 ; (c) i =0 f(xi), i = 0, 1, , n là những giá trị đã... 2 Lấy xấp xỉ bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất - Cho hàm số f(x) và đa thức: (a) Q( x) = C ϕ ( x) + C ϕ ( x) + C ϕ ( x) + ⋅ ⋅ ⋅ + C ϕ ( x); o 0 1 1 ϕi ( x); i = 0,1,2, , m 2 2 m m - hệ các hàm số nào đó của x; Co , C1, C2 , , Cm - các hệ số -Cần xác định Co , C1 , C2 , , Cm sao cho Q(x) trên tập đã cho X x sai khác vơi f(x) nhỏ nhất có thể Q(x) – đa thức xấp xỉ của f(x) 2 m - Khi ϕ o ( x) = 1;... đã biết trong phần nội suy Lagrăng nhưng thay đạo hàm hạng n+1 bằng sai phân hạng n+1 - Với công thức nội suy tiến: t (t − 1) (t − n) n +1 rn ( x) = f ( x) − P ( x) ≅ ∆ yo ; (n + 1)! - Với công thức nội suy lùi: t (t + 1) (t + n) n+1 rn ( x) = f ( x) − P ( x) ≅ ∆ yo ; (n + 1)! II Lấy xấp xỉ hàm số Phương pháp bình phương nhỏ nhất 1 Đặt vấn đề Lấy xấp xỉ một hàm số là tìm một hàm số khác hoặc một tổ... với hàm số đã cho đủ bé theo một nghĩa nào đó */Lấy xấp xỉ bằng các đa thức nội suy có những nhược điểm: - Nếu nhiều nút bậc của đa thức nội suy sẽ rất lớn tính toán không thuận tiện -Việc buộc Pn(xi) = yi không hợp lý ( các số liệuđo đạc, thực nghiệm có thể không chính xác sai số lớn khi nội suy) - Không thật phù hợp nếu f(x) là hàm tuần hoàn */ Thường có nhu cầu “làm trơn” các đường cong thực nghiệm,... phải tìm, để M cực tiểu phải có: ∂M = 0; ∂Ck (k = 0,1, , m) Từ ( d ) tìm được các hệ số Ck f(xi) – Q(xi) - Sai số tại xi khi thay f(x) bằng Q(x) (d) 3 Một số trường hợp thường gặp a/ Đa thức xấp xỉ được chọn dưới dạng các hàm tuyến tính */ Q(x) = ax + b xo x1 xi xn-1 xn x ( c ): yo y1 yi yn-1 yn y=f(x) n n i =0 i =0 M = ∑ [ f ( xi ) − Q( xi )] 2 = ∑ ( yi − axi − b ) 2 ; ∂M ∂M Để M bé nhất:... thuận tiện tính toán thường lập bảng: xi Σ yi xi2 xi yi a, b */ Q(x) = ax2 + bx + c n M =∑ i =0 ∂M = 0; ∂a ( ) 2 yi − axi2 − bxi − c ; ∂M = 0; ∂b ∂M = 0; ∂c a ∑ xi4 + b ∑ xi3 + c ∑ xi2 = ∑ yi xi2 ; 3 2 a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi = ∑ yi xi 2 a ∑ xi + b ∑ xi + cn = ∑ yi ; xi Σ yi xi2 xi3 xi4 ; yi xi yi xi2 b/ Đa thức xấp xỉ là những hàm phi tuyến Trong nhiều trường hợp có thể tuyến tính hoá... của Xi và Yi để tìm A, B 2/ Cho quan hệ thực nghiệm: Biểu diễn mối quan hệ đó xi 1 2 3 4 5 bằng hàm bậc 2 yi 9.8 17,2 25,8 37,1 49,7 y = a + bx + cx2 Xác định các hệ số a, b, c theo p/p bình phương nhỏ nhất 2 Hệ phương trình: a ∑ xi + b ∑ xi + cn = ∑ yi ; 3 2 a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi = ∑ yi xi ; 4 3 2 2 a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi = ∑ yi xi ; xi xi2 xi3 xi4 yixi yixi2 9,8 17,2 25,8 37,1 49,7 1 4 9 16 25... xi + b ∑ xi + c ∑ xi = ∑ yi xi 2 a ∑ xi + b ∑ xi + cn = ∑ yi ; xi Σ yi xi2 xi3 xi4 ; yi xi yi xi2 b/ Đa thức xấp xỉ là những hàm phi tuyến Trong nhiều trường hợp có thể tuyến tính hoá để việc tính toán thuận lợi: 1 Y = ax + b; ; Đặt Y = 1/y */ y = ax + b x ; Đặt Y = 1/y và X = 1/x Y = a + bX; */ y = ax + b Lấy logarit thập phân cả 2 vế: */ y = aebx ; với a > 0; logy = loga + xbloge; Đặt logy . Δ5y Δ6yxn-6xn-5xn-3xn-2xn-1xnΔyn-6Δyn-5Δyn-4Δyn-3Δyn-2Δyn-1Δ2yn-6Δ2yn-5Δ2yn-4Δ2yn-3Δ2yn-2Δ3yn-6Δ3yn-5Δ3yn-4Δ3yn-3Δ4yn-6Δ4yn-5Δ4yn-4Δ5yn-6Δ5yn-5Δ6yn-6Bảng. a, b. */ Q(x) = ax2 + bx + c.( );022∑=−−−=niiiicbxaxyM;0;0;0 =∂∂=∂∂=∂∂cMbMaM;;;2232234iiiiiiiiiiiiiycnxbxaxyxcxbxaxyxcxbxa∑=+∑+∑∑=∑+∑+∑∑=∑+∑+∑xiyixi2xi2yiΣ.