đề thi học sinh giỏi Toán 8 .5 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (2đ) Chứng minh rằng tổng: A= 7 1 +7 2 +7 3 +7 4 + .+7 4k (trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400. Bài 2: (2đ) a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử: A= x 3 (x 2 7) 2 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh biểu thức: n 3 (n 2 7) 36n luôn luôn chia hết cho 7 với mọi số nguyên n. Bài 3: (2đ) Chứng minh rằng nếu: )1()1( 22 xzy xzy yzx yzx = với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1. thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) Bài 4: (2đ) a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x 2 + x + 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P (x) = 2+x-x 2 Bài 5: (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. M, K và N lần lợt là trung điểm của AH, CD và BH. a. Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành. b. Chứng minh BM MK -----------------------------Hết đề thi------------------------------- Đáp án đề Toán 8 .5 Bài 1 : (2đ) Ta nhóm các hạng tử của tổng theo cách: A= (7 1 +7 2 +7 3 +7 4 +) + (7 5 +7 6 +7 7 +7 8 +) + .+(7 4k-3 +7 4k-2 +7 4k-1 +7 4k ) 0,5đ = (7 1 +7 2 +7 3 +7 4 +) + 7 4 (7 1 +7 2 +7 3 +7 4 ) + .+7 4k-4 (7 1 +7 2 +7 3 +7 4 ) = (7 1 +7 2 +7 3 +7 4 )(7 0 +7 4 +7 8 +7 12 + .+7 4k-4 ) = 7(1+7+7 2 +7 3 )(1+7 4 +7 8 +7 12 + .+7 4k-4 ) = 7(1+7+49+343)(1+7 4 +7 8 +7 12 + .+7 4k-4 ) = 7(1+7+49+343)(1+7 4 +7 8 +7 12 + .+7 4k-4 ) 7(1+7+49+343)(1+7 4 +7 8 +7 12 + .+7 4k-4 ) 0,5đ Đặt 1+7 4 +7 8 +7 12 + .+7 4k-4 =M 0,5đ A=7.400.M Vậy A chia hết cho 400. 0,5đ Bài 2: (2đ) a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử: A= x 3 (x 2 7) 2 36x = x[x 2 (x 4 -14x 2 + 49) 36] = x(x 6 -14x 4 + 49x 2 36) = x[(x 6 - 9x 4 ) (5x 4 - 45x 2 ) + (4x 2 - 36) = x[ x 4 (x 2 - 9) 5x 2 (x 2 - 9) + 4(x 2 - 9)] 0,5đ = x(x 2 - 9)( x 4 5x 2 + 4) = x(x 2 - 9)( x 4 4x 2 - x 2 + 4) = x(x 2 - 9)( x 4 4x 2 - x 2 + 4) = x(x 2 - 9)[x 2 ( x 2 4) - (x 2 - 4)] = x(x 2 - 9)(x 2 4)(x 2 -1) = x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5đ b) Theo kết quả trên ta có: n 3 (n 2 7) 2 36n = n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1) hay xếp theo thứ tự tăng dần các nhân tử nh sau: (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5𠧩y lµ tÝch cña 7 sè nguyªn liªn tiÕp, trong 7 sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho 7, nªn tÝch chia hÕt cho 7, tøc lµ biÓu thøc n 3 (n 2 – 7) 2 – 36n chia hÕt cho 7 (®pcm) 0,5® Bµi 3: (2®) )1()1( 22 xzy xzy yzx yzx − − = − − Ta biÕn ®æi tõ bµi ra: ⇒ (x 2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y 2 - xz) 0,5® ⇔ x 2 y- x 3 yz-y 2 z+xy 2 z 2 = xy 2 -x 2 z - xy 3 z +x 2 yz 2 ⇔ x 2 y- x 3 yz - y 2 z+ xy 2 z 2 - xy 2 +x 2 z + xy 3 z - x 2 yz 2 = 0 ⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y 2 - xz - x 2 )+z(x 2 - y 2 ) = 0 0,5® ⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0 0,5® ⇔ (x -y) [ ] yzxzzyxxyzxy ++++− )( = 0 Do x - y ≠ 0 nªn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0 Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (®pcm) 0,5® Bµi 4: (2®) a) T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt: x 2 + x + 1 BiÕn ®æi biÓu thøc trªn thµnh: x 2 +2 x 2 1 + ( 2 1 ) 2 + 4 3 0,5® = (x + 2 1 ) 2 + 4 3 Do (x + 2 1 ) 2 kh«ng ©m nªn nhá nhÊt khi (x + 2 1 ) 2 = 0 tøc lµ x= - 2 1 th× biÓu thøc cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 3 0,5® b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P (x) = 2+x-x 2 BiÕn ®æi: P (x) = 2+x-x 2 = - (x 2 –x -2) P (x) = - (x 2 –x + 4 1 - 4 1 -2) P (x) = - [(x 2 –x + 4 1 ) - 4 1 -2] P (x) = - [(x – 2 1 ) 2 - 4 9 ] 0,5® Vì biểu thức biến đổi trên mang dấu (-) nên P (x) lớn nhất khi [(x 2 1 ) 2 - 4 9 ] nhỏ nhất tức là x= 2 1 , lúc đó P (x) = 4 9 0,5đ Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ a. Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành. 0,75đ Xét tam giác AHB có: NH = NB (gt) MH = MA (gt) Suy ra MN là đờng trung bình nên MN//AB MN =AB/2 mà AB = CD AB //CD nên MN//CK CK=CD MN =CK Suy ra tứ giác MNCK là hình bình hành. b. Chứng minh BM MK 0,75đ Kéo dài MN cắt BC tại E ta thấy MN//CD và CD BC nên ME BC Xét tam giác MBC có BH và ME là đờng cao, nên N là trực tâm, do đó CN BM mà CN//KM nên BM MK (đpcm). --------------------------Hết đáp án------------------------------- Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh B C A M D N K H E . = 0 0 ,5 ⇔ xy(x -y) - xyz(x -y) (x + y +z)+z(x - y) (x +y) = 0 0 ,5 ⇔ (x -y) [ ] yzxzzyxxyzxy ++++− )( = 0 Do x - y ≠ 0 nªn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z). = xy 2 -x 2 z - xy 3 z +x 2 yz 2 ⇔ x 2 y- x 3 yz - y 2 z+ xy 2 z 2 - xy 2 +x 2 z + xy 3 z - x 2 yz 2 = 0 ⇔ xy(x -y) +xyz(yz +y 2 - xz - x 2 )+z(x 2 - y 2