KOREAGERMAN International Mathematical Talent Search (IMTS) [Cuộc thi Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế] Translated from English-progenitor by Hàn Ngọc Đức [KoreaGerman] Chú ý: Các chỗ có dấu (?) có thể cha chính xác! Đề nghị bạn đọc kiểm tra và góp ý với ngời dịch â Copyright 2004 by KoreaGerman & www. diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 1 - handuc@hello.to IMTS vòng 1 Bài toán 1/1. Với mọi số nguyên dơng n, lập số n/s(n), ở đó s(n) là tổng các chữ số của n trong hệ thập phân. Tính giá trị nhỏ nhất của n/s(n) trong mỗi trờng hợp sau: (i) 10 n 99 (ii) 100 n 999 (iii) 1000 n 9999 (iv) 10000 n 99999 Bài toán 2/1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (n, k), 2 < k < n, sao cho các số , , tạo thành một dãy số tăng. 1k n C k n C 1k n C + Bài toán 3/1. Trên một bảng cỡ 8 x 8 ngời ta đặt n quân cờ Đôminô, mỗi quân chiếm hai ô kề nhau, sao cho không thể đặt thêm quân Đôminô nào vào các ô còn lại. Hỏi giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu để trạng thái trên còn đúng? Bài toán 4/1. Chứng minh rằng một tam giác nhọn tuỳ ý có thể bị cắt ra bởi các đoạn thẳng thành ba phần theo ba cách khác nhau sao cho mỗi phần có một trục đối xứng. Bài toán 5/1. Chứng minh rằng có thể chia một tứ diện tuỳ ý thành 6 phần bởi các mặt phẳng hoặc phần mặt phẳng sao cho mỗi một phần có một mặt phẳng đối xứng. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 2 - handuc@hello.to IMTS vòng 2 Bài toán 1/2. Số nguyên nhỏ nhất là bội số của 9997, khác 9997, chỉ chứa một chữ số lẻ, là bao nhiêu? Bài toán 2/2. Chứng minh rằng mọi tam giác có thể chia thành 9 hình ngũ giác lồi không suy biến. Bài toán 3/2. Chứng minh rằng nếu x, y và z là các số nguyên dơng đôi một nguyên tố cùng nhau, và nếu z 1 y 1 x 1 =+ thì x + y, x - z và y - z là các số chính phơng. Bài toán 4/2. Cho a, b, c và d là diện tích của các mặt tam giác của một tứ diện và h a , h b , h c , và h d là các đờng cao tơng ứng của tứ diện. Kí hiệu V là thể tích của tứ diện, chứng minh rằng (a + b + c + d)(h a + h b + h c + h d ) 48V. Bài toán 5/2. Chứng minh rằng có vô số số nguyên dơng n sao cho hình hộp cỡ n ì n ì n không thể đợc ghép bởi các khối lập phơng cỡ 2 ì 2 ì 2 và 3 ì 3 ì 3. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 3 - handuc@hello.to IMTS vòng 3 Bài toán 1/3. Chú ý rằng nếu tích của hai phần tử khác nhau của tập {1, 16, 27} tăng thêm 9 thì kết quả là một số chính phơng. Hãy tìm các số nguyên dơng n sao cho n + 9, 16n + 9, và 27n + 9 cũng là các số chính phơng. Bài toán 2/3. Chú ý rằng 1990 có thể "trở thành một số chính phơng" (turned into a square) bằng cách thêm một chữ số vào bên phải nó và một số chữ số ở bên trái nó; chẳng hạn 419904 = 648 2 . Chứng minh rằng 1991 không thể trở thành một số chính phơng bằng cách trên; có nghĩa là, không tồn tại các chữ số d, x, y, . sao cho .yx1991d là một số chính phơng. Bài toán 3/3. Tìm k nếu P, Q, R và S là các điểm trên các cạnh của tứ giác ABCD sao cho k SA DS RD CR QC BQ PB AP ==== , và diện tích của tứ giác PQRS bằng đúng 52% diện tích của tứ giác ABCD. P Q R S C D A B Bài toán 4/3. Cho n điểm với các toạ độ nguyên trên mặt phẳng toạ độ xy. Giá trị nhỏ nhất của n để chắc chắn rằng có 3 trong các điểm trên là các đỉnh của một tam giác với diện tích nguyên (chấp nhận 0), là bao nhiêu? Bài toán 5/3. Hai ngời, A và B chơi trò chơi với một cỗ bài 32 lá. A là ngời bắt đầu, và tiếp đó hai ngời chơi xen kẽ luân phiên nhau. Mỗi ngời lấy hoặc một lá bài hoặc một số nguyên tố lá bài. Cuối cùng tất cả các lá bài đợc chọn, và ngời không lấy lá bài cuối cùng là ngời thua. Ai sẽ thắng nếu họ đều chơi theo chiến lợc tối u? Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 4 - handuc@hello.to IMTS vòng 4 Bài toán 1/4. Dùng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 đúng hai lần để lập các số nguyên tố khác nhau sao mà tổng càng nhỏ càng tốt. Tổng này nhỏ nhất phải bằng bao nhiêu? (Chú ý: 5 số nguyên tố nhỏ nhất là 2, 3, 5, 7, và 11). Bài toán 2/4. Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất sao mà có thể biểu diễn thành tổng của các số nguyên dơng phân biệt a, b, và c sao cho a + b, a + c và b + c là các số chính phơng? Bài toán 3/4. Chứng minh rằng một số nguyên dơng có thể biểu diễn dới dạng 3x 2 + y 2 nếu và chỉ nếu nó cũng có thể biểu diễn dới dạng u 2 + uv + v 2 , ở đó x, y, u, và v là các số nguyên dơng. Bài toán 4/4. Cho ABC tuỳ ý, dựng P, Q và R sao cho mỗi một góc tạo thành là 30 0 . Chứng minh rằng PQR là tam giác đều. C P B Q A R Bài toán 5/4. Số đo các cạnh của ABC là 11, 20 và 21 đơn vị. Ta gấp nó dọc theo PQ, QR và RP, ở đó P, Q, R là các trung điểm của các cạnh của tam giác, cho đến khi A, B, và C trùng nhau. Hỏi thể tích của tứ diện tạo thành là bao nhiêu? Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 5 - handuc@hello.to IMTS vòng 5 Bài toán 1/5. Tập hợp S gồm 5 số nguyên. Nếu mỗi cặp phần tử phân biệt của S đợc cộng với nhau thì 10 tổng thu đợc là 1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980, 1983, 1984, 1989, 1991. Tìm những phần tử của S? Bài toán 2/5. Cho các số nguyên n 3 và k 2, và hình thành các hiệu số (sai phân tiến - forward difference) của các phần tử của dãy 1, n, n 2 , ., n k - 1 và cứ thế lấy các hiệu số liên tiếp của các dòng trên để đợc dòng dới, nh chỉ ra trên bảng dới với (n, k) = (3, 5). Chứng minh rằng các kết quả (số ở dòng cuối cùng) là khác nhau với các cặp (n, k) khác nhau. 1 3 9 27 81 2 6 18 54 4 12 36 8 24 16 Bài toán 3/5. Trong một trận bóng chày "kiểu toán học" (mathematical version), trọng tài chọn một số nguyên dơng m , m n , và bạn phải đoán một số nguyên dơng để biết đợc m . Nếu số bạn đoán nhỏ hơn số m của trọng tài thì ông ta gọi nó là một "bóng" (ball); nếu số đó lớn hơn hoặc bằng m thì trọng tài gọi đó là một "cú đánh" (strike). Để "đánh trúng" (hit) nó, bạn phải tìm đợc đúng giá trị của m sau cú đánh thứ 3 hoặc lần đoán thứ 6, tuỳ theo cái nào trớc. Giá trị lớn nhất của n là bao nhiêu để tồn tại một chiến lợc cho phép bạn đánh (bat) đợc 1000 điểm, nghĩa là luôn tìm đúng m ? Hãy nêu chi tiết chiến lợc đó. Bài toán 4/5. Chứng minh rằng nếu f là một hàm thực khác hàm hằng sao cho với mọi x ta có f(x + 1) + f(x - 1) = 3 f(x). thì f là hàm tuần hoàn. Tìm số dơng p nhỏ nhất sao cho f(x + p) = f(x) với mọi x? Bài toán 5/5. Trong ABC (hình vẽ), gọi r là bán kính đờng tròn nội tiếp. Gọi r A , r B , r C là các bán kính của các đờng tròn tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp và với các cạnh của tam giác, tơng ứng với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: r r A + r B + r C . r C r A r r B C A B Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 6 - handuc@hello.to IMTS vòng 6 Bài toán 1/6. Chín đờng thẳng, cùng song song với một cạnh của một tam giác và chia mỗi cạnh còn lại thành 10 đoạn bằng nhau và chia diện tích thành 10 phần khác nhau. Tìm diện tích của tam giác ban đầu, nếu diện tích của phần lớn nhất là 76. Bài toán 2/6. Có bao nhiêu cách biểu diễn 1992 dới dạng tổng của một hoặc nhiều các số nguyên liên tiếp? Bài toán 3/6. Chứng minh rằng tồn tại một lục giác có các góc bằng nhau trên mặt phẳng mà độ dài các cạnh của nó là 5, 8, 11, 14, 23 và 29 đơn vị, theo một thứ tự nào đó. Bài toán 4/6. Một công ty quốc tế có 250 nhân viên, mỗi ngời có thể nói vài ngôn ngữ. Trong mỗi cặp nhân viên (A, B), có một ngôn ngữ đợc A nói mà B không và có một ngôn ngữ đợc B nói mà A không. Có ít nhất bao nhiêu ngôn ngữ đợc nói trong công ty? Bài toán 5/6. Một bàn cờ vô hạn (infinite checker-board) đợc chia bởi một đờng kẻ nằm ngang thành nửa trên và nửa dới nh hình vẽ. Một số quân cờ đã đợc đặt vào bàn cờ bên dới đờng kẻ (trong các ô). Một "bớc đi" (move) là một quân cờ nhảy dọc hoặc ngang qua một quân cờ khác và ăn quân cờ đó. Giá trị nhỏ nhất của n để có thể đặt quân cờ cuối cùng vào dòng thứ 4 phía trên đờng kẻ ngang sau n - 1 bớc đi là bao nhiêu? Hãy mô tả vị trí ban đầu của các quân cờ và từng bớc đi. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 7 - handuc@hello.to IMTS vòng 7 Bài toán 1/7. Trong một hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại E. Diện tích của ABE là 72, và diện tích của CDE là 50. Diện tích của hình thang ABCD là bao nhiêu? Bài toán 2/7. Chứng minh rằng nếu a, b và c là các số nguyên dơng sao cho c 2 = a 2 + b 2 , thì cả c 2 + ab và c 2 - ab đều có thể biểu diễn dới dạng tổng của hai số chính phơng. Bài toán 3/7. Với n là một số nguyên dơng, kí hiệu P(n) là tích của tất cả các ớc số nguyên dơng của n. Tìm n nhỏ nhất để P(P(P(n))) > 10 12 . Bài toán 4/7. Khi chép lại trên bảng một dãy 6 số nguyên dơng là một cấp số cộng, một sinh viên viết 5 số: 113, 137, 149, 155, 173, và bỏ sót một số. Sau đó cậu ta nhận ra rằng cũng đã chép sai một số trong chúng. Bạn hãy giúp cậu ta và tìm lại dãy ban đầu. Bài toán 5/7. Cho T = (a, b, c) là một tam giác với các cạnh a, b, và c và diện tích . Kí hiệu T' = (a', b', c') là tam giác với các cạnh là đờng cao của T (nghĩa là a' = h a , b' = h b , c' = h c ) và kí hiệu diện tích của nó là '. Tơng tự kí hiệu T'' = (a'', b'', c'') là tam giác tạo bởi các đờng cao của T', và kí hiệu diện tích của nó là ''. Cho ' = 30 và '' = 20. Hãy tìm . Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 8 - handuc@hello.to IMTS vòng 8 Bài toán 1/8. Chứng minh rằng không có tam giác nào có độ dài các đờng cao là 4, 7 và 10 đơn vị. Bài toán 2/8. Nh trên hình vẽ, có một số thực x, 0 < x < 1, sao cho ta có thể chia hình vuông đơn vị thành 7 tam giác đồng dạng. Khi đó x phải thoả mãn một đa thức dạng chuẩn bậc 5. Tìm đa thức đó. (Đa thức dạng chuẩn là đa thức có hệ số của bậc cao nhất của x là 1.) Bài toán 3/8. (i) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, ., 9 thành a(1), a(2), ., a(9) sao cho các số sau đây đôi một khác nhau hay không? Chứng minh khẳng định của bạn: 1 1 x |a(1) - 1|, |a(2) - 2|, ., |a(9) - 9|. (ii) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, ., 10 thành a(1), a(2), ., a(10) sao cho các số sau đây đôi một khác nhau hay không?. Chứng minh khẳng định của bạn: |a(1) - 1|, |a(2) - 2|, ., |a(10) - 10|. Bài toán 4/8. Trong một cuộc chạy 50 mét, Anita có thể chấp Bob nhiều nhất 4 mét và đuổi kịp cậu ta tại vạch đích. Trong một cuộc chạy 200 mét, Bob có thể chấp Carol nhiều nhất 15 mét và đuổi kịp cô ta tại vạch đích. Giả sử rằng tất cả 3 ngời luôn chạy với một vận tốc không đổi. Hỏi Anita có thể chấp Carol nhiều nhất bao nhiêu mét trong một cuộc chạy đua 1000 mét mà vẫn có thể đuổi kịp cô ta. Bài toán 5/8. Cho các số thực a, b, x và y thoả mãn: a + b = 23, ax + by = 79, ax 2 + by 2 = 217, ax 3 + by 3 = 691, Hãy tính ax 4 + by 4 . Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 9 - handuc@hello.to IMTS vòng 9 Bài toán 1/9. Một lới m x n đợc đặt sao cho một góc của nó tại (0, 0) và một góc tại (m, n). Một bớc đi hợp lệ đợc định nghĩa là một bớc chuyển một đơn vị theo hớng dơng của y hoặc một đơn vị theo hớng dơng của x. Điểm (i, j) của lới, với 0 i m và 0 j n, bị bỏ đi và không có đờng đi nào qua nó bằng các bớc đi để đến điểm (m, n). Có bao nhiêu con đờng có thể đi từ (0, 0) đến (m, n), bằng các bớc đi nh vậy? Bài toán 2/9. Cho một điểm P và hai đoạn thẳng trên một mảnh giấy hình chữ nhật sao mà giao điểm Q của các đờng thẳng chứa chúng không nằm trên mảnh giấy. Làm thế nào để dựng đờng thẳng PQ với một cái thớc nếu chỉ đợc phép vẽ trong phạm vi của mảnh giấy? (*) Bài toán 3/9. Một đa giác lồi có 1993 đỉnh đợc tô màu sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Chứng minh rằng ngời ta có thể chia đa giác thành các tam giác bằng các đờng chéo không giao nhau mà hai đầu mút có màu khác nhau. Bài toán 4/9. Một tam giác đợc gọi là Heronian nếu số đo các cạnh và diện tích của nó là các số nguyên. Xác định tất cả 5 tam giác Heronian có chu vi và diện tích cùng bằng một số nguyên. Bài toán 5/9. Một bộ gồm 5 "Hình lập phơng kì ảo" (con xúc sắc - Trick Math Cubes ) đợc cho dới dạng khai triển phẳng nh hình vẽ. Một "Pháp s" (magician) yêu cầu bạn gieo chúng và cộng 5 số ở mặt trên lại. Ông ta cũng nhẩm và viết ngay ra kết quả vào một tờ giấy trớc khi bạn cộng xong! Ông ta đã làm thế nào? Trình bày và giải thích trò mẹo này. 179 564 278 377 872 762 366 861 971 168 773 780 960 483 186 285 384 741 681 756 147 543 840 855 558 459 642 954 345 657 [...]... diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 20 Bài toán 1/20 Hãy xác định số điểm (x, y) trên hyperbol 2xy - 5x + y = 55 sao mà cả x và y là các số nguyên Bài toán 2/20 Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho phát biểu sau đây là đúng: Với mọi tập hợp gồm n số nguyên dơng ngời ta luôn luôn chọn ra đợc bảy số nguyên dơng có tổng chia hết cho 7 Bài toán 3/20 Những ông chồng của 11 nhà toán học đi...â diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 10 Bài toán 1/10 Tìm x2 + y2 + z2 nếu x, y và z là các số nguyên dơng thoả mãn 7x2 - 3y2 + 4z2 = 8 và 16x2 - 7y2 + 9z2 = - 3 Bài toán 2/10 Từ ớc lợng đơn giản 1 < 3 < 2, hãy suy ra rằng 6 < 3 3 < 7 Bài toán 3/10 Với mỗi số nguyên dơng n, n 2, hãy xác định hàm số: fn(x) = an + bnx... Mathematical Talent Search - 20 - handuc@hello.to â diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 21 Bài toán 1/21 Hãy xác định các số trong ô trống của hình vuông 33 kì ảo (magic square) trên hình vẽ sao cho tổng của ba số trên mỗi hàng, cột và trên mỗi đờng chéo chính đều bằng một hằng số k Số 31 28 k là bao nhiêu? Bài toán 2/21 Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất xuất hiện trong mỗi cấp số cộng cho... diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 28 Bài toán 1/28 Với số nguyên b và c nào thì x = 19 + 98 là nghiệm của phơng trình x4 + bx2 + c = 0? Bài toán 2/28 Các cạnh của tam giác có độ dài là a, b, c, ở đó a, b, c là các số nguyên, a > b, và số đo góc đối diện với c là 60o Chứng minh rằng a phải là một hợp số Bài toán 3/28 Hãy xác định, kèm theo một chứng minh toán học, giá trị... Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 29 Bài toán 1/29 Một vài cặp số nguyên dơng (m, n) thoả mãn phơng trình 19m + 90 + 8n = 1998 Dễ thấy trong đó (100, 1) là cặp với giá trị nhỏ nhất của n Hãy xác định cặp với giá trị nhỏ nhất của m 1 1 1 r r sao cho + + , trong đó k, m, s k m n s 1 1 1 n là các số nguyên dơng thoả mãn bất đẳng thức + + < 1 k m n Bài toán 2/29 Tìm số hữu tỷ nhỏ nhất Bài toán. .. diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 31 Bài toán 1/31 Xác định ba chữ số ngoài cùng bên trái của số: 11 + 22 + 33 + + 999999 + 10001000 Bài toán 2/31 Có vô số cặp sắp thứ tự số nguyên dơng (m, n) để cho tổng m + (m + 1) + (m + 2) + + (n - 1 ) + n bằng với tích mn Bốn cặp với giá trị nhỏ nhất của m là (1, 1), (3, 6), (15, 35), và (85, 204) Hãy tìm thêm ba cặp (m, n) nữa Bài toán 3/31... 8, hãy tìm độ dài EF International Mathematical Talent Search - 16 - handuc@hello.to â diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 17 Bài toán 1/17 Số 154 chữ số 19202122 939495 nhận đợc bằng cách viết liền nhau các số nguyên từ 19 đến 95 theo chiều tăng dần Chúng ta xoá đi 95 chữ số của số đó để đợc một số lớn nhất có thể đợc Hỏi 19 chữ số của số có 59 chữ số này là gì? Bài toán. .. Mathematical Talent Search - 10 - handuc@hello.to â diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 11 Bài toán 1/11 Hãy biểu diễn 19 1 1 dới dạng + , với m và n là hai số 94 m n nguyên dơng Bài toán 2/11 Cho n là một số nguyên lớn hơn 5 Chứng minh rằng có nhiều nhất 8 phần tử của tập {n + 1, n + 2, , n + 30} là số nguyên tố Bài toán 3/11 Một 2n-giác lồi đợc gọi là "Thoi giác" (rhombic) nếu... Bài toán 4/11 Chứng minh rằng nếu 3 trong 4 đờng phân giác trong của một tứ diện đồng quy thì cả 4 đờng phân giác ấy phải đồng quy tại một điểm Bài toán 5/11 Cho f(x) = x4 + 17x3 + 80x2 + 203x + 125 Tìm đa thức bậc nhỏ nhất g(x) sao cho f( 3 3 ) = g( 3 3 ) và f( 5 5 ) = g( 5 5 ) International Mathematical Talent Search - 11 - handuc@hello.to â diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế. .. diendantoanhoc.net Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế IMTS vòng 14 Bài toán 1/14 Cho a, b, c, d là các số dơng sao cho a2 + b2 + (a - b)2 = c2 + d2 + (c - d)2 Chứng minh rằng a4 + b4 + (a - b)4 = c4 + d4 + (c - d)4 Bài toán 2/14 Các nhãn giá trong một cửa hàng bách hoá ghi nh sau: $ 0.75 $ 2.00 $ 5.50 Chú ý rằng tổng của ba giá trên là 8,25 $ và tích của ba số cũng bằng 8,25 Hãy tìm 4 nhãn giá có tổng . Hãy tìm . Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 8 - handuc@hello.to IMTS vòng 8 Bài toán. Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net International Mathematical Talent Search - 10 - handuc@hello.to IMTS vòng 10 Bài toán 1/10. Tìm