S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT NGH AN NM HC 2009 - 2010 Môn thi : Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A = x x 1 x 1 x 1 x 1 + + . 1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 4 . 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1. Câu II (2,5 điểm). Cho phơng trình bậc hai, với tham số m : 2x 2 (m + 3)x + m = 0 (1) 1) Giải phơng trình (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 + x 2 = 1 2 5 x x 2 . 3) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 2 x x . Câu III (1,5 điểm). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi. Câu IV (3,0 điểm). Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD lần lợt tại E và F. 1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R 2 . 2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đợc đờng tròn. 3) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định. --------------Hết------------- Đề chính thức Gợi ý Đáp án Câu I: 1. Đkxđ: x 0, x 1 A = 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x + + = = + + + 2. Với x = 9 4 => A = 3 2 3 3 1 2 = . 3. A<1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 + < < < < x x x x x x x x x x<1 Kết hợp với ĐKXĐ của biểu thức ta có: 0 x < 1 Vậy để A < 1 thì 0 x < 1. Câu II: 1. Với m = 2 thì phơng trình trở thành: 2x 2 5x + 2 = 0 Phơng trình có hai nghiệm là: x 1 = 2 và x 2 = 1 2 . 2. Ta có = (m + 3) 2 4.2.m = m 2 - 2m + 9= (m - 1) 2 + 8 > 0 với mọi m => phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo Viét ta có: 1 2 1 2 3 2 2 m x x m x x + + = = Do đó : x 1 + x 2 = 5 2 x 1 x 2 2(m+3) = 5m m = 2. 3. Ta có (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 4x 1 .x 2 = 2 (m 3) 4 + 2m = 2 ( 1) 8 2 4 m + 1 2 2 x x Vậy MinP = 2 khi m - 1 = 0 m = 1 Câu III: Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x(m) ( x> 0) Khi đó chiều dài của thửa ruộng là x + 45 (m) Lập đợc PT : 2(x + x + 45) = 2(3x + x 45 2 + ) Giải PT trên đợc x = 15 thoả mãn điều kiện ban dầu. Suy ra chiều rộng thửa rộng là 15m, chiều dài là 60m Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m 2 ). Câu IV: 1. Ta có tam giác AEF vuông tại A ( à A là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Mà AB là đờng cao. => BE.BF = AB 2 (Hệ thức lợng trong tam giác vuông) => BE.BF = 4R 2 ( Vì AB = 2R) 2. Ta có ã CEF = ã BAD (Cùng phụ với ã BAE ) Mà ã BAD = ã ADC ( Tam giác AOD cân tại A) => ã CEF = ã ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn. d R R I H O F E D C B A 3. Gọi H trung điểm của EF là . => IH // AB hay IH // AO (*) Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của tam giác vuông AEF, à A = 90 0 ) => ã HAC = ã HEA (1) Mà ã HEA + ã BAC = 90 0 (2) Mặt khác ã BAC = ã ACO ( tam giác AOC cân tại O) (3) Từ (1), (2) và (3) => ã ã 0 HAC ACO 90+ = AH CD Mặt khác OI CD ( đờng kính đi qua trung điểm của 1 dây) => AH// OI (**) Từ (*) và (**) => AHIO là hình bình hành => IH = AO = R (không đổi). Nên I cách đờng thẳng cố định EF một khoảng không đổi bằng R Vật I thuộc đờng thẳng d // EF và cách EF một khoảng bằng R. . Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định. -- -- - -- - -- - -- - Hết -- - -- - -- - -- - - Đề chính thức Gợi ý Đáp án Câu I: 1. Đkxđ: x 0, x 1 A = 1. S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT NGH AN NM HC 2009 - 2 010 Môn thi : Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm).