Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Ôn THI Vào lớp 10 THPT Đại số Chuyên đề I Thực phép tính thức I.Các kiến thức cần lu ý a) §iỊu kiƯn ®Ĩ A cã nghÜa: A ≥ b) Không phải ta có: A Tổng quát: = A ( Chỉ xảy A ) = /A/ B»ng A A ≥0 ; Bằng A A c) Không phải bao giê ta còng cã: A2 A2 B = A B d) Chỉ có số không âm đa đợc vào dấu đợc A2 VD: (2) = −2 ( Sai ) ( − ) = / −2 / = ( ®óng ) e) Mn khai ph¬ng cđa biĨu thøc A ( Tức tính A ) Ta cần tìm cách viết A dới dạng A = B2 Và lúc ®ã: A = B 2 VD: −2 = ( 2) + 2 +1 = II Một số toán điển hình Bài Rút gän biÓu thøc: a) − 2 − + 2+ + 2− b) ( +1) = +1 Hớng dẫn giải: a) Viết biểu thức dới dạng bình phơng b) Nhân tử mẫu với làm n câu a ( Hoặc đặt biểu thức A bình phơng hai vế.) Bài Chøng minh r»ng: a) b) − − − =− − ( 10 − ).(3 + ) = Híng dÉn giải: a) Biến đổi vế trái nh b) ViÕt + = (3 + ) Bµi Rót gän: a) b) x+ x −1 + x − x −1 x + x −4 + x − x −4 2 ( Víi x ≥ ) ( Víi x ≥ ) Ngêi so¹n: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Hớng dẫn giải: a) Viết biểu thức dới dạng bình phơng b) Nhân tử vµ mÉu víi Bµi TÝnh: A= 10 + − −10 Híng dẫn giải: Lập phơng hai vế đa phơng trình bậc ba ẩn A, Giải phơng trình tính đợc A =2 Bài Thực phép tÝnh: a) ( 28 − 14 + ) + b) ( −3 + 10 ).( −3 c) (15 50 + 200 − 450 ) : 0.4 ) 10 Híng dẫn giải: a) Đáp số 21 b) 16 c) 16 Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: a) 2 −  −  −2  216      14 − 15 −     1− − 1− :   c) b 7− 5 + + − 15 + 10 Híng dÉn gi¶i: a) Đáp số: b) -2 c) Bµi Cho biĨu thøc: x +1 x −1 x A = ( x −1 − x +1) : ( x +1 − − x + ) x −1 a) Rót gän biĨu thøc A b) Tính giá trị A x = +2 c) Tìm giá trị x để A = -3 Híng dÉn gi¶i a) A = 4x ( x + 1) b) Thay x vµo ta cã giá trị A là: 12 c) GiảI phơng trình A = ta cã : x1= - ; x2 = − 3 − 20 Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Bài Cho biểu thức: B= x −1 − x + x −1 + x + x3 − x x −1 a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x = 53 −2 c) Tìm giá trị x để B = 16 Hớng dẫn giải: a) ĐK: x>1 Rút gọn ta đợc B = x-2 x −1 b) BiÕn ®ỉi x = 9+2 Thay vµo B ta cã B = c) Giải phơng trình B = 16 ta đợc: x = 26 Bµi Cho biĨu thøc: P=  x −1 x   x −2       x −1 − x +1 + x −1  : 1 − x +1      a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 6+2 d) T×m x P = 5 Híng dÉn gi¶i: a) Rót gän P = x+ x x −1 b) x = 6+2 Sau thay x voà P tính đợc: P = 31 +15 41 x1= ; c) P =  => x = +1 x2 = 25 Bµi TÝnh giá trị của: a) A = b) B = 1 + + + +1 + 2007 2006 + 2006 2007 1 + + + 1+ 2+ 2006 + 2007 Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Chuyên đề II Hàm số đồ thị I Các kiến thức cần nhớ Hàm số: y = ax + b (a ≠ 0) + TÝnh chÊt : * TXĐ : Mọi x R * Sự biến thiên : + Nếu a > hàm số đồng biến R + Nếu a < hàm số nghịch biến R + Đồ thị: Là đờng thẳng song song với đồ thị y = ax b cắt trục Oy điểm có tung độ b.Trùng với đồ thị y = ax b = (b đợc gọi tung độ gốc) + cách vẽ đồ thị: Lấy hai giá trị khác x lập bảng giá trị tơng ứng Biểu diễn hai điểm hệ trục Oxy kẻ đờng thẳng qua hai điểm + Đờng thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cã a gäi lµ hƯ sè gãc Vµ ta cã: tg α = a - Trong góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a ≠ 0) víi trơc Ox Hµm sè: y = ax2 (a ≠ 0) + TÝnh chÊt : * TX§ : mäi x ∈ R * Sù biÕn thiªn : + NÕu a > hàm số đồng biến với x > ; nghÞch biÕn vøi mäi x < + NÕu a < hàm số đồng biến với x < ; nghÞch biÕn víi mäi x > + Đặc điểm giá trị hàm số y = ax2 (a 0) Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang ã Khi a > : Giá trị hàm số > víi mäi x kh¸c y = x = => giá trị nhỏ hàm số đạt đợc x = ã Khi a < : Giá trị hàm số < víi mäi x kh¸c y = x = => giá trị lớn hàm số đạt đợc x = + Đặc điểm đồ thị hàm số : y = ax2 (a 0) - đờng cong qua gốc toạ độ nhận trục Oy trục đối xứng * Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành O điểm thấp đồ thị * Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hoành O điểm cao đồ thị Tơng giao đờng cong Parabol y = ax2 (a 0) đờng thẳng y = bx + c Toạ độ giao điểm (Nếu có) Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng ì y = ax ï í (d): y = bx + c Là nghiệm hệ phơng trình: ù => phơng trình: ax2 = bx + c ù y = bx + c ù ợ (1) phơng trình hoành độ Vậy: + Đờng thẳng (d) không cắt (P) phơng trình (1) vo nghiệm + Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng cong (P) Phơng trình (1) có nghiệm kép + Đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt II Một số dạng tập thờng gặp Dạng1 Tìm toạ độ giao điểm hai đờng thẳng Bài tập 1: Cho hai hàm số y= x+3 (d) vµ hµm sè y = 2x + (d,) a)Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ b)Tìm toạ độ giao điểm có hai đồ thị Nhận xét:gặp dạng toán học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số tìm toạ độ giao điểm (x;y) nhiên gặp x y không số nguyên tìm toạ độ đồ thị gặp khó khăn tìm xác giá tri x;y GiảI: a) vẽ đồ thị hai hàm số b) Hoành độ giao điểm nghiệm phơng trình:x+3=2x+1 x=2 suy y=5 Ví dụ 2: Cho đờng thẳng lần lợt có phơng trình: (D1) y=x+1 (D2) y=-x+3 (D3) y= (m2-1)x+ m2 - (với m 1) Xác định m ®Ĩ ®êng th¼ng (D1) ,(D2), (D3) ®ång quy Ngêi soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Nhận xét: đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy điểm chẳng hạn điểm ( D1 ) ( D2 ) A(x;y) rỏ ràng x;y nghiệm phơng trình hay x;y nghiệm nghiệm (D3) Hớng dẫn giải: Hoành độ giao ®iĨm B cđa (D1) ,(D2) lµ:-x+3=x+1 ⇔ x=1 thay vµo y=x+1suy y=2 để đờng thẳng đồng quy (D3)phảI qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phơng trình (D3) ta có: 2=(m2-1)1+m2-5 m2=4 m=2;m=-2 Vậy với m=2;m=-2thì đờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng qua: + Hai điểm A (x1; y1) B (x2 ; y2) + Điểm M (x0 ; y0) song song (vuông góc) với đờng thẳng (d) cho trớc Bài tập Xác định phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) Đờng thẳng (d) qua hai điểm A( -1; 3) B ( 2; -4) b) Đờng thẳng (d) qua M (-2; 5) song song với đờng thẳng: (d): y = - x+3 c) Đờng thẳng (d) qua N (-3; 4) vuông góc với đờng thẳng y = 2x + Hớng dẫn giải Gọi đờng thẳng (d): y = ax + b a) Vì (d) qua hai điểm A( -1; 3) B ( 2; -4) ì ï ï a =- ï ì - a +b = ï ï ï í nªn ta cã: ï => í Vậy phơng trình đờng thẳng (d): y = - x + ï 3 ï 2a + b =- î ïb=2 ï ï ï î b) Vì (d) song song với đờng thẳng: (d): y = - x + => a =- => (d): 14 y = - x + b mà (d) qua M (-2; 5) => ta có: = + b => b = 3 Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y = - x + 3 c) Đờng thẳng (d) qua N (-3; 4) vuông góc với đờng thẳng y = 2x + = + b => b = 2 Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y = - x + 2 nªn ta cã: a.2 = -1 => a = - Bµi tËp Ngêi soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Cho hàm số y = (m2 2).x + 3m + Tìm giá trị m biết: a) Đồ thị (D) hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + b) Đồ thị (D) hàm số vuông góc với đờng thẳng y = -3x -2 c) Đồ thị (D) ®i qua ®iĨm A (2; 3) Híng dÉn gi¶i a) Đồ thị (D) hàm số song song với đờng th¼ng y = 3x + => ì m2 - = ï í Ta cã: ï  m = ù 3m + ù ợ b) Đồ thị (D) hàm số vuông góc với ®êng th¼ng y = -3x -2 => ta cã: (m2 – ).(- 3) = -1  m = ± c) Đồ thị (D) qua điểm A( 2; 3) => = 2m2 – + 3m +  2m2 +3m -5 = ta cã a + b + c = => m1 = - 1; m2 = - Dạng Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng qua * Phơng pháp: Họ đờng thẳng y = f(x;m) qua ®iĨm cè ®Þnh I( x0; y0) víi mäi m  phơng trình ẩn m: y0= f(x0;m) có nghiệm với m Bài tập Cho họ đờng thẳng (m 2).x + 2m y + = (Dm) a) Tìm giá trị m biết đờng thẳng (Dm) qua điểm A(-2; 4) b) Tìm điểm cố định I mà họ đờng thẳng (Dm) qua với mị giá trị m Hớng dẫn giải a) Đờng thẳng (Dm) qua A(-2; 4)  (m – 2).(-2) + 2m.4 +1 =  6m +5 =  m =− b) Họ đờng thẳng (Dm) qua điểm cố định I(x0; y0) phơng trình: (m 2).x0 + 2m.y0 + = v« sè nghiƯm m  (x0 + 2y0).m – 2x0 + = cã v« sè nghiƯm m   x0 + y0 = {   −2 x0 + = Dạng 1: Bài toán chứng minh Chứng minh rằng: Đờng thẳng (D): y= 4x - tiếp xóc víi parabol (P): y= 2x2 - 4(2m-1)x + 8m2 - Nhận xét: Gặp dạng toán học sinh lúng túng để tìm phơng pháp giải học sinh không nắm đợc đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P): y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3 điểm điểm nghiệm hai phơng trình phơng trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ ta có cách giảI sau: GiảI: Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Hoành độ giao điểm chung (D) (P) nghiệm phơng trình: 2x2-4(2m-1)x+8m2-3=4x-3 2x2-8mx+8m2=0 x2+4mx+4m2=0 Ta cã: ∆ = 16m − 16m = với giá trị m nên Đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3 Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện Ví dụ:Chứng minh đờng thẳng (D):y=x+2m parabol(P):y=-x2-x+3m a)Với giá trị m thì(D) tiếp xúc với parabol(P) b) Với giá trị m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A B.tìm toạ độ giao điểm A B m=3 Nhận xét:tơng tự nh ví dụ ta xét có nghiệm phơng trình bậc hai có nghiệm (D) (P) có điểm chung có hai nghiệm (D) (P) có hai điểm chung Giải: a)Hoành độ giao điểm chung (D) (P) nghiệm phơng trình: -x2-x+3m=x+2m -x2-2x+m=0 Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) phơng trình (3) có nghiệm kép = 4+4m=0 m=-1 b) Đờng thẳng (D) cắt parabol (P) phơng trình (3) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ 4+4m>0 ⇔ m>-1 Khi m=3 hoành độ giao điểm (D) (P) nghiệm phơng trình -x2-2x+3=0 x=1 x=3 Từ ®ã suy to¹ ®é giao ®iĨm A,B cđa (D) (P) là:A(1;7) B(3;9) Dạng 3:Lập phơng trình tiếp tuyến Ví dụ:Cho đờng thẳng (D):y=ax+b tìm a b biết: a) đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y+4x=5 tiếp xúc với parabol (P):y=-x2 b)Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x-2y+1=0 tiếp xúc với parabol (P):y=-x2 c) đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x2-3x+2 điểm C(3;2) Nhận xét:ở học sinh cần nhớ điều kiện để hai đờng thẳng song song va vuông góc để tìm giá trị a sau vận dụng kiến thức nh dạng hai để giải Giải: a)Ta có: 2y+4x=5 y=-2x+5/2 nên phơng trình đờng thẳng (D) có dạng: y=-2x+b (b ) theo cách tìm dạng ta tìm đợc b= Vậy phơng trình đờng thẳng (D) là:y=-2x+1/4 b)Ta có: x-2y+1=0 y=1/2x+1/2.Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng có phơng trình:x-2y+1=0 a.1/2=-1 a=-2 suy (D):y=-2x+b Theo cách làm dạng 2,ta tìm đợc b=1.Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=-2x+1 c)Ta có:C(3;2) (D) 2=3a+b b=2-3a Theo cách làm dạng ta tìm đợc a=3 suy b=-7 Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình là:y=3x-7 Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Ví dụ:Cho parabol (P):y=x2-2x-3 Tìm điểm (P) mà tiếp tuyến (P) điểm song song với đờng thẳng (D):y=4x Giải: Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) (d) Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b 0) Hoành độ điểm chung (p) (d) nghiệm phơng trình: x2-2x-3=-4x+b ⇔ x2+2x-3+b=0 (2) Ta thÊy: (d) tiÕp xóc víi (P) phơng trình (2) có nghiệm kép = ⇔ + b = ⇔ b = Khi điểm A(x0;y0) tiếp điểm (P) (d) thì(do A ( p); A (d ) nên ta có hệ phơng trình; y0 = x − x0 −  x0 = −1  ⇔   y0 = −4 x0 y0 = Dạng 5:Xác định parabol Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax2+bx+c thoả mÃn: a) (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D) :y=-5x+15 v i qua hai điểm (0 ; -1) (4 ; -5) b) (P) cắt trục tung điểm có tung độ cắt đường thẳng (D) : y = x - hai điểm có hồnh độ Giải : a) (P) qua hai điểm (0 ; -1) (4 ; -5) Do parabol (P) đồ thị hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - Hoành độ điểm chung (D) (P) nghiệm phương trình : ax2 - (1 + 4a)x - = -5x + 15 ax2 - 4(a - 1)x - 16 = (5) Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) Phương trình (5) có nghiệm kép ∆’ = 4(a - 1)2 - 16a = (a + 1)2 = a = -1 Do : a = -1 ; b = c = -1 Vậy (P) đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - b) Parabol (P) cắt trục tung điểm có tung độ nên (P) qua điểm (0 ; 2) (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - hai điểm có hồnh độ Giao điểm (P) với đường thẳng (D) : (1 ; 0) (3 ; 2) Vậy parabol (P) qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) (3 ; 2) Do a = ; b = -3 c = Dạng 6:Quỹ tích đại số Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang ã Phơng pháp: Điểm M (x(m); y(m)) Chuyên đề III Phơng trình hệ phơng trình GiảI toán cách lập phơng trình hệ phơng trình I Các kiến thức cần nhớ Phơng trình a) Phơng trình bậc ẩn : Phơng trình dạng: ax + b = (1) - Cách giải: * Nếu a = => (1)  0x + b = + b khác => phơng trình (1) vô nghiệm + b = => Phơng trình vô số nghiệm * Nếu a khác => phơng trình (1) cã mét nghiÖm nhÊt: x = - b a b) Phơng trình bậc hai ẩn: * Phơng trình d¹ng ax + by = c (1) (a2 + b2 0) Gọi phơng trình bậc hai ẩn (x, y: Èn – a, b hƯ sè) * Ph¬ng trình (1) có vô số nghiệm (x; y) nghiệm viết dạng tổng quát Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang c) Phơng trình bậc hai: + Phơng trình dạng: ax2 + bx + c = (a khác 0) + Công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn + Định lý Vi-et áp dụg Hệ phơng trình: ỡ ax + by = c ï í a) HƯ ph¬ng trình tuyến tính: Có hai dạng: ù ù a ' x +b ' y = c ' ï ỵ ì a1 x + b1 y + c1 z = d1 ï ï ï í Vµ ï a2 x + b2 y + c2 z = d ï ï a x +b y +c z = d ï 3 3 ù ợ * Phơng pháp giải: - Dùng phơng pháp phơng pháp cộng đại số b) Hệ phơng trình phi tuyến: + Hệ đối xứng; - §èi xøng lo¹i I - §èi xøng lo¹i II + Hệ đẳng cấp (Bậc hai) Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Các công việc cần thiết trớc tiến hành trình bày giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình: + Đọc kỹ đề, tóm tắt toán + Lập bảng thể mối liên hệ đối tợng các đại lợng => PT hệ pt + Căn vào bảng trình bày giảI toán cách lập pt hpt II Một số toán điển hình Bài Cho phơng trình: ax + (2a – 1).y + = (1) a) Chứng tỏ phơng trình (1) phơng trình bậc hai ẩn với giá trị a b) Chứng tỏ phơng trình có nghiệm (-6; 3) với giá trị a Hớng dẫn giải a) Chứng tỏ a2 + (2a 1)2 víi mäi a b) Thay cỈp sè (-6; 3) vào phơng trình thoả mÃn với a Bài Cho phơng trình: mx + (m + 1).y -5 = (m tham số) Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang a) Chứng tỏ phơng trình (1) phơng trình bậc hai ẩn với giá trị m b) Tìm giá trị m để (0; 3) nghiệm phơng trình Hớng dẫn giải a) Chứng tỏ: m m + không đồg thời => đ.p.c.m b) Thay (0; 3) vào ta tính đợc m = Bài Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x 2y = a) Vẽ đờng thẳng đà cho b) Tính hệ số góc cuảe đờng thẳng (d) c) Biểu diễn nghiệm phơng trình 3x 2y = công gthức Híng dÉn gi¶i a) HS tù vÏ b) Ta cã y = 3 x - => HÖ sè góc (d) a = 2 ỡ xẻ R ù ù c) Nghiệm phơng trình 3x – 2y = lµ ï ï y = x- ù ù ợ Bài Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: mx (3m 1).y = Chøng tá víi mäi m (d) lu«n lu«n đI qua điểm cố định Hớng dẫn giải Sử dụng phơng pháp chuyên đề II ta có: điểm cố định mà (d) đI qua với m I(6; 2) ì ax + y = b ï í Bài Xét hệ phơng trình: ù ù ù a'x + y =b ợ (I) a) Chứng tỏ hệ phơng trình (I ) có nghiệm với giá trị cđa a; a’; b t ý b) Khi nµo hƯ phơng (I) có nghiệm c) Giả hệ phơng trình a = 5; a =1; b = Hớng dẫn giải Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang ỡ ax + y = b ï í a) Ta cã: ï ï ï a'x + y =b ỵ ì y =- ax + b(d ) ï ï y =- a ' x + b(d ') ợ ù ù Vì (d) (d) cắt (0; b) => hệ phing trình có hất nghiệm (0;b) b) a = a’ hÖ cã ghiÖm nhÊt: )0; b) a a => hệ phơng trình có vô số nghiệm Bài Cho phơng trình: 5x + 7y = 60 (1) a) Viết nghiệm tổng quát phơng rình (1) b) Tìm nghiệm nguyên phơng trình (1) c) Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình (1) Hớng dÉn gi¶i ì 2y ï ï x = 12 - y ï a) í ï ï R ï î b) V× x = 12 - y - 2y mà x; y nguyên => 2y M5 = y = 5k ( k nguyªn) ì x = 12 - 7k ï (k Ỵ Z ) í VËy x = 12 7k Do nghiệm nguyên phơng trình là: ù ù ù y=5k ợ c) Đặt điều kiện cho x ³ ; y ³ Ta cã: £ k £ => hai nghiÖm tù nhiên là: (12; 0) (5; 5) ỡ 2x + y y ï ï ï =4+ ï í Bài Giải hệ phơng trình: ù 2.(1- x) x +1 ï ï = 2ï ï y +2 y- ù ợ Hớng dẫn giải ỡ x - y = 40 ù Đặt ĐK: y - khử mẫu ta có hệ phơng trình trở thành: ù GiảI hệ phơng ù ù x + y =- ợ trình đợc nghiệm: (x; y) =(7; -4) Bài Cho tam giác ABC mặt phẳng toạ độ với A(-3;1); B( -2; 4); C(2; ) a) Viết phơng trình đờng trung tuyến BM, CN tam giác ABC Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang b) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Hớng dẫn giải a) Gọi trung điểm AC M(x0; y0) => x0 = - 3 ; y0 = => M( - ; ) 2 2 Phơng trình đờng trung tuyễn BM có dạng y = ax+ b => a = tr×nh trung tuyÕn BM lµ: y = - ; b = Vëy ph¬ng 3 x + 3 Hoàn toàn tơng tự ta tìm đợc trung tuyễn CN: y = - 20 x + 9 ì ï ï y = - x + ù ù 3 b) Toạ độ trọng tâm G nghiệm hệ phơng trình: ù ù y = - x + 20 ï ï 9 ï î => G( -1; ) Bµi Mät điểm H mtj phẳng toạ Oxy có toạ độ H(2m – 1; m + 3) a) T×m mét hƯ thức liên hệ xH yH độc lập với m b) Chứng minh quỹ tích H đờng thẳng m thay đổi Hớng dẫn giải a) XH -2yH = b) Toạ độ H thoả mÃn x -2y = => Quỹ tích H đờng thẳng x -2y = * Một số dạng toán giải cách lập phơng trình, hệ phơng trình Dạng toán chuyển động * Bài toán: (SGK đại số 9) QuÃng đờng AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành lúc từ A đến b, ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe * Hớng dẫn giải: - Trong cần hớng dẫn học sinh xác định đợc vận tốc xe Từ xác định thời gian hết quÃng đờng xe Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang - Thời gian hết quÃng đờng xe quÃng đờng AB chia cho vận tốc xe tơng ứng - Xe thứ chạy nhanh nên thời gian cđa xe thø hai trõ ®i thêi gian ®i cđa xe thø nhÊt b»ng thêi gian xe thø nhÊt vÒ sím h¬n xe thø hai (42 = giê) 10 * Lời giải: Gọi vân tốc xe thứ x (km/h, x > 12 ) Thì vận tèc cđa xe thø hai lµ; x - 12 (km/h ) Thêi gian ®i hÕt qu·ng ®êng AB cđa xe thø nhÊt lµ Cđa xe thø hai lµ 270 (giê) x 270 ( giê ) x − 12 Theo bµi ta có phơng trình: 270 270 = x − 12 x 10 ⇔ 2700x - 2700.(x -12) = 7x.(x -12) ⇔ 7x2 - 84x - 32400 = Giải phơng trình ta đợc x 74,3; x ≈ - 62,3 (lo¹i) VËy, vËn tèc cđa xe thø nhÊt lµ 74,3km/h VËn tèc cđa xe thø hai 62,3km/h * Chú ý: - Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ nắm mối quan hệ đại lợng: QuÃng đờng, vận tốc, thời gian (S = v.t) Do đó, giải nên chọn ba đại lợng làm ẩn điều kiện dơng Xây dựng chơng trình dựa vào toán cho - Cần lu ý dạng toán chuyển động chia nhiều dạng lu ý: + Nếu chuyển động quÃng đờng vận tốc thời gian tỉ lệ nghịch víi + NÕu thêi gian cđa chun ®éng ®Õn chậm dự định cách lập phơng trình nh sau: Thời gian dự định với vận tốc ban ®Çu céng thêi gian ®Õn chËm b»ng thêi gian Ngêi soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang thực đờng Nếu thời gian dự định đến nhanh dự định cách lập phơng trình làm ngợc lại phần - Nếu chuyển động đoạn đờng không đổi từ A đến B từ B A thời gian lẫn thời gian thực tế chuyển động - Nếu hai chuyển động ngợc chiều nhau, sau thời gian hai chuyển động gặp lập phơng trình: S + S = S 2.Dạng toán liên quan đến số học: * Bài toán: (SGK đại số 8) Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số Nếu thêm chữ số vào hai chữ số đợc số lớn số đà cho 180 Tìm số đà cho * Hớng dẫn giải: - Để tìm số đà cho tức ta phải tìm đợc thành phần (chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ) Số có dạng nh nào? - Nếu biết đợc chữ số hàng chục có tìm đợc chữ số hàng đơn vị không? Dựa sở nào? - Sau viết chữ số vào hai số ta đợc số tự nhiên nh ? lớn số cũ bao nhiêu? * Lời giải Gọi chữ số hàng chục chữ số đà cho x , điều kiƯn < x ≤ vµ x ∈ N Thì chữ số hàng đơn vị số đà cho là: - x Số đà cho có dạng: x.(7 − x) = 10x + - x = 9x + Viết thêm chữ số vào hai chữ số hàng chục hàng đơn vị ta đợc sè míi cã d¹ng : x0(7 − x) = 100x + - x = 99x + Theo bµi ta có phơng trình: ( 99x + ) - ( 9x + ) = 180 ⇔ 90x = 180 Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang x = Thoả mÃn điều kiện Vậy: chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị - = số phải tìm 25 * Chú ý: - Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu đợc mối liên hệ đại lợng đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm Biểu diễn dới dạng tắc nã: ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c - Khi đổi chỗ chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta biểu diễn tơng tự nh Dựa vào ta đặt điều kiện ẩn số cho phù hợp 3.Dạng toán suất lao động: * Bài toán: ( SGK đại số 9) Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai tổ vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy, tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy? * Hớng dẫn giải: - Biết số chi tiết máy hai tổ tháng đầu 720 Nếu biết đợc hai tổ tính đợc tổ - Đà biết đợc số chi tiết máy tháng đầu, tính đợc số chi tiết máy sản xuất đợc tháng - Tính số chi tiết máy sản xuất vợt mức tháng sau từ xây dựng phơng trình * Lời giải: Gọi số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu x (chi tiết ) Điều kiện x nguyên dơng, x < 720 Khi tháng đầu tổ sản xuất đợc: 720 - x ( chi tiết ) Tháng tổ sản xuất vợt mức 15 x ( chi tiết ) 100 Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Tháng tổ hai sản xuất vợt mức 12 (720 x) ( chi tiÕt ) 100 Sè chi tiÕt m¸y tháng hai tổ vợt mức: 819 - 720 = 99 ( chi tiÕt ) Theo bµi ta có phơng trình: 15 12 x + (720 x ) = 99 100 100 ⇔ 15x + 8640 - 12x = 9900 ⇔ 3x = 9900 - 8640 ⇔ 3x = 1260 ⇔ x = 420 (tho¶ m·n) VËy, tháng giêng tổ sản xuất đợc 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất đợc 720 - 420 = 300 chi tiết máy * Chú ý: Loại toán tơng đối khó giáo viên cần gợi mở để học sinh hiểu rõ chất nội dung toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phơng trình giải phơng trình nh loại toán khác Khi gọi ẩn, điều kiện ẩn cần lu ý bám sát ý nghĩa thực tế toán 4.Dạng toán công việc làm chung, làm riêng: * Bài toán ( SGK đại số 8) Hai đội công nhân sửa mơng hết 24 ngày Mỗi ngày phần việc làm đợc đội 1 phần việc đội làm đợc Nếu làm mình, đội sửa xong mơng ngày? * Hớng dẫn giải: - Trong ta coi toàn công việc đơn vị công việc biểu thị số - Số phần công việc ngày nhân với số ngày làm đợc * Lời giải: Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Gọi số ngày đội phải làm để sửa xog mơng x ( ngày) Điều kiện x > Trong ngày đội làm đợc công việc Trong ngày đội làm đợc 1 = (c«ng viƯc ) x 2x Trong ngày hai đội làm đợc công việc 24 Theo ta có phơng trình: + = x x 24 ⇔ 24 + 36 = x x = 60 thoả mÃn điều kiện Vậy, thời gian đội làm sửa xong mơng 60 ngày Mỗi ngày đội làm đợc = công việc 2.60 40 Để sửa xong mơng đội làm 40 ngày * Chú ý: loại toán , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt ẩn, biểu thị qua đơn vị quy ớc Từ lập phơng trình giải phơng trình 5.Dạng toán tỉ lệ chia phần: * Bài toán: (SGK đại số 8) Hợp tác xà Hồng Châu có hai kho thóc, kho thø nhÊt h¬n kho thø hai 100 tÊn NÕu chun tõ kho thø nhÊt sang kho thø hai 60 tÊn lúc số thóc kho thứ sè thãc ë kho thø hai TÝnh sè thãc ë kho lúc đầu * Hớng dẫn giải: Quá trình Tríc chun Sau chun Kho I x + 100 (tÊn) x +100 - 60 (tÊn ) Kho II x (tÊn ), x > x + 60 ( ) 12 13 Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Phơng tr×nh: x + 100 - 60 = 12 (x + 60 ) 13 * Lêi gi¶i: Gäi sè thãc kho thứ hai lúc đầu x (tấn ), x > Th× sè thãc ë kho thø nhÊt lúc đầu x + 100 (tấn ) Số thóc ë kho thø nhÊt sau chun lµ x +100 -60 ( tÊn ) Sè thãc ë kho thø hai sau chun lµ x + 60 ( tÊn ) Theo ta có phơng : x + 100 - 60 = 12 ( x + 60) 13 Gi¶i phơng trình tìm đợc: x = 200 thoả mÃn điều kiện Vậy, kho thóc thứ hai lúc đầu có 200 thóc Kho thóc thứ lúc đầu có 200 + 100 = 300 thóc 6.Dạng toán có liên quan đến hình học: * Bài toán: ( SGK đại số lớp ) Một khu vờn hình chữ nhật cã chu vi lµ 280 m Ngêi ta lµm mét lèi ®i xung quanh vên ( thc ®Êt cđa vên ) rộng 2m, diện tích đất lại để trồng trät lµ 4256 m2 TÝnh kÝch thíc cđa vên * Hớng dẫn giải: - Nhắc lại công thức tính chu vi diện tích hình chữ nhật - Vẽ hình minh hoạ để tìm lời giải * Lời giải: Gọi độ dài cạnh hình chữ nhật x ( m ), ®iỊu kiƯn < x < 140 Độ dài cạnh lại là: 140 - x (m ) Khi làm lối xung quanh, độ dài cạnh phần đất trồng trọt x - 4(m) vµ 140 - x - = 136 - x (m) Theo ta có phơng trình: ( x - ).( 136 - x ) = 4256 ⇔ 140x - x2 - 544 = 4256 Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn B¾c Giang ⇔ x2 - 140x - 4800 = Giải phơng trình tìm đợc x = 80; x = 60 (tho¶ m·n) VËy kÝch thíc cđa m¶nh vờn hình chữ nhật 60m 80m 7.Toán có nội dung vật lý, hoá học: * Bài toán: ( tài liệu ôn thi tốt nghiệp bậc THCS ) Ngời ta hoµ lÉn 8g chÊt láng nµy víi 6g chÊt lỏng khác có khối lợng nhỏ 200kg/m3 để đợc hỗn hợp có khối lợng riêng 700kg/m3 Tìm khối lợng riêng chất lỏng? * Hớng dẫn giải: - Để giải toán ta cần ý khối lợng riêng chất đợc tính theo công thức: D = m V Trong đó: V= m D m khối lợng tính kg V lµ thĨ tÝch cđa vËt tÝnh b»ng m3 D lµ khối lợng riêng tính kg/m3 * Lời giải: Gọi khối lợng riêng chất thứ x (kg/m3), điều kiện x > 200 Thì khối lợng riêng chÊt thø hai lµ: x – 200 (kg/m3) ThĨ tÝch cđa chÊt thø nhÊt lµ: ThĨ tÝch cđa chÊt thø hai lµ: 0, 008 (m3) x 0, 006 ( m3 ) x − 200 ThĨ tÝch cđa khèi chÊt láng hỗn hợp là: 0, 008 + 0, 006 ( m3) 700 Trớc sau trộn tổng thể tích hai chất lỏng không đổi, nên ta có ơng tr×nh: 0, 008 0, 006 0, 008 + 0, 006 + = x x 200 700 Giải phơng trình ta đợc: x = 800 thoả mÃn điều kiện ph- Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang x = 100 ( loại ) Vậy khối lợng riêng chất thứ 800 kg/m3 Khối lợng riêng chất thứ hai 600 kg/m3 8.Dạng toán có chứa tham số * Bài toán: (SGK đại số lớp 8) Thả vật rơi tự do, từ tháp xuống đất Ngời ta ghi đợc quÃng đờng rơi S (m) theo thời gian t (s) nh sau: t(s) S (m ) 20 45 80 125 a, Chứng tỏ quÃng đờng vật rơi tỉ lệ với bình ph¬ng thêi gian t¬ng øng TÝnh hƯ sè tØ lƯ đó? b, Viết công thức biểu thị quÃng đờng vật rơi theo thời gian * Lời giải: a, Dựa vào bảng ta có: = 5; 20 = 5; 22 45 =5; 32 80 = 5; 42 125 =5 52 VËy S 20 45 80 125 = = = = = =5 t 12 22 32 42 Chứng tỏ quÃng đờng vật rơi tỉ lệ với bình phơng thời gian b, Công thức: S = ⇒ S = 5t 2 t Ngêi soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang Chuyên đề IV Phơng trình nghiệm nguyên toán với nghiệm nguyên I Một số dạng phơng trình với nghiệm nguyên Dạng 1: Phơng trình bậc a Phơng trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên) * Cách giải: - Tách cá hƯ sè vỊ tỉng c¸c sè chia hÕt cho a b (Số có GTTĐ lớn hơn) - Sử dơng dÊu hiƯu vµ tÝnh chÊt chia ghÕt cđa mét tổng để tìm ẩn (Theo tham số t nguyên) - Thay nghiệm vừa tìm đợc vào phơng trình ban đầu tìm nghiệm lại - Kết luận nghiệm Ví dụ GiảI phơng trình: 11x + 18 y = 120 Híng dÉn gi¶i 11x + 18 y = 120  11x + 22y – 4y = 121 –  11(x + 2y -11 ) = 4y – Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang 4y M11 => 12y – M11  y – M11 => y = 11t + (t ∈ Z ) x = – 18 t  x = − 18t (t ∈ Z )  y = 11t + Vậy nghiệm phơng trình là: Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 12x + 7y = 45 (1) Híng dÉn gi¶i  x = 7t − 12  y = 27 − 12t Theo cách giảI ta tìm đợc nghiệm nguyên phơng trình (1) x = 7t − 12 > => t = 0;1; VËy nghiƯm nguyªn  y = 27 − 12t >  x = −12  x = −5  x = phơng trình ; ; y = 27  y = 15  y = Với điều kiện nghiệm nguyên dơng ta có: b Phơng trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyên) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 6x + 15y + 10 z = (1) Híng dÉn gi¶i  (1)  3(2x +5y +3 z-1) = - z => z M M3 => z = 3t (t Z ) 3= Thay vào phơng trình ta cã: 2x + 5y + 10t = (t ∈ Z ) GiảI phơng trình với hai ẩn x; y (t tham số) ta đợc: Nghiệm phơng tr×nh: (5t – 5k – 2; – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý Dạng 2: Phơng trình bậc hai hai ẩn Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = (a, b, c, d, e, f số nguyên) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 5x 3y = 2xy – 11 (1) Híng dÉn gi¶i x + 11 x+5 = 2+ (Do x nguyªn nªn 2x + kh¸c 0) 2x + 2x + Vì y nguyên => x + M2x + => … M2x + LËp b¶ng ta có: cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; Cách 1: Rót y theo x: y = -2); (2; 3); (-5; 2) Thử lại giá trị Cách Đa phơng trình ớc số: Cáhc 3: Coi phơng trình bậc hai ẩn x, y số đà biết Đặt ĐK để có x nguyên Ví dụ Tìm nghiẹm nguyên phơng trình X2 + 2y2 +3xy –x – y + =0 (1) Hớng dẫn giải Sử dụng cách thứ nh ví dụ Dạng 3: Phơng trình bậc ba trở lên có hai ẩn Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) Hớng dẫn giải 2 Phơng trình (1) (x + 3x)(x + 3x + 2) = y2 Đặt a = x2 + 3x (§K: a ≥ −2 (*) Ta cã: a2 – = y2 GiảI phơng trình cách đa phơng trình ớc số: => nghiệm phơng trình (1) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x3 - y3 = xy + (1) Híng dÉn gi¶i 2 Ta cã: x − y x + xy + y = Ta cã x kh¸c y v× nÕu x = y => x2 + = Vô lý Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang 2 Vì x; y nguyên => x y => x + xy + y ≤ xy + => x2 + xy + y2 ≤ xy + (2) • NÕu xy + < 0=> (2)  (x + y)2 -8 Vô nghiệm ã Nừu xy + > => (2)  x2 + y2 ≤ => x2 , y2 ∈ { 0;1; 4} Tõ tìm đợc Hai nghiệm nguyên (1) là: (0; - 2); (2; 0) Dạng 4: Phơng trình dạng phân thức Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh: 1 1 + + = (1) x y xy Hớng dẫn giải Đặt điều kiên sau đa phơng trình ớc số Tìm đợc hai nghiƯm (43; 7); (7; 43) VÝ dơ T×m x nguyên cho x 17 bình phơng phân số x Hớng dẫn giải x 17 a Giả sử = ữ Với a, b nguyên, b khác (a, b) = x −9 b NÕu a = => x = 17 NÕu a kh¸c Ta cã (a2, b2) = => x – 17 = a2.k; x – = b2.k (k nguyên) Từ ta có: = (a + b).(b a).k Lập bảng tìm đợc nghiệm phơng trình x =17; 18; Dạng 5: Phơng trình dạng mũ Ví dụ Tìm sè tù nhiªn x, y cho: 2x + = y2 (1) Hớng dẫn giải ã Nếu x = => y = => y = y = -2 ã Nếu x = => y2 = Vô nghiệm nguyên ã Nếu x => 2x M4 Do vế tráI chia cho d Mà y lẻ (Do 1) => y2 chia d => Vô lý ã Vậy nghiệm nguyên (1) là: (0; 2); (0; -2) Ví dụ GiảI phơng trình nghiệm nguyên dơng: 2x + 57 = y2 (1) Híng dÉn gi¶i ... Hớng dẫn giải a) Chứng tỏ: m m + không đồg thời => đ.p.c.m b) Thay (0; 3) vào ta tính đợc m = Bài Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x 2y = a) Vẽ đờng thẳng đà cho b) Tính hệ số góc cuảe đờng... số học: * Bài toán: (SGK đại số 8) Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số Nếu thêm chữ số vào hai chữ số đợc số lớn số đà cho 180 Tìm số đà cho * Hớng dẫn giải: - Để tìm số đà cho tức ta... Chøng tá a2 + (2a – 1)2 với a b) Thay cặp số (-6; 3) vào phơng trình thoả mÃn với a Bài Cho phơng trình: mx + (m + 1).y -5 = (m tham số) Ngời soạn: Đặng Văn nam THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc