Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 1 v2 v1 v3 v4 e1 e2 e3 e4 €GIÁO ÁN MÔN LÝ THUYẾT ĐỒ THN Số tiết học: 60 tiết ( 45 tiết lý thuyết + 15 tiết thực hành) Tài liệu tham khảo: 1) Toán rời rạc, PGS. TS Đỗ Đức Giáo, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 2002 2) Toán rời rạc, Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 2003 3) Giáo trình Lý thuyết đồ thị, Nguyễn Thanh Hùng, Nguyễn Đức Nghĩa 4) Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, Dịch từ Discrete Mathematics and Its Applications, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THN (9 tiết) 1.1 Giới thiệu Lý thuyết đồ thị là nghành khoa học đã có từ lâu nhưng lại có rất nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ sở ban đầu của nó được đưa ra từ những năm đầu thế kỷ 18 bởi nhà toán học người Thuỵ Sỹ là Leonhard Euler. Lý thuyết đồ thị được dùng để giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau. Chẳng hạn: Dùng mô hình đồ thị để xác định xem hai máy tính trong một mạng máy tính có trao đổi thông tin được với nhau hay không?. Đồ thị với các trọng số được gắn cho các cạnh có thể dùng để giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng lưới giao thông. Chúng ta cũng có thể phân biệt các hợp chất hoá học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ vào đồ thị . 1.2 Các định nghĩa và tính chất cơ bản Định nghĩa 1: Giả sử V là một tập khác rỗng các phần tử nào đó và VxVE ⊆ (E là tập con của tích đề các VxV). Bộ G = (V, E) được gọi là một đồ thị. Mỗi phần tử Vv ∈ được gọi là một đỉnh của đồ thị, V được gọi là tập các đỉnh của đồ thị. Mỗi phần tử Evue ∈= ),( được gọi là một cạnh của đồ thị, E được gọi là tập các cạnh của đồ thị. Ví dụ 1: G = (V = {v1, v2, v3, v4, .}, E = {e1 = (v1,v2), e2 = (v1,v3), e3 = (v2,v3), e4 = (v3,v4), . }) Như vậy ta có thể hình dung đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này với nhau. Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 2 Thanh hoá Nghệ an Hà nội TP.HCM v1 v3 v2 Tây hồ Hồ gươm CVThủ lệ TTCPQG Đồ thị có hướng Đồ thị vô hướng v1 v2 v3 e1 e2 e3 Chú ý: Nếu tập V là tập hữu hạn các phần tử thì G = (V,E) được gọi là đồ thị hữu hạn. Từ đây về sau chủ yếu ta nghiên cứu các đồ thị hữu hạn. (có thể coi đây là một định nghĩa về đồ thị) Ví dụ 2: G = (V={Thanh hoá, Nghệ an, Hà nội, TP.HCM},E={(Thanh hoá,Nghệ an),(Thanh hoá, Hà nội), (Nghệ an, Hà nội), (Hà nội, TP.HCM) }) Định nghĩa 2: a) Hai đỉnh được gọi là kề nhau nếu có cạnh nối hai đỉnh đó với nhau. Cạnh nối hai đỉnh được gọi là cạnh liên thuộc. b) Hai cạnh được gọi là kề nhau nếu giữa chúng có đỉnh chung. c) Nếu e = (v,v) là một cạnh của đồ thị thì e được gọi là một khuyên. Trong trường hợp này đồ thị được gọi là giả đồ thị. Ví dụ 3: v1 và v2 được gọi là hai đỉnh kề nhau, e1 được gọi là cạnh liên thuộc hai đỉnh v1 và v2. e1 và e2 được gọi là hai cạnh kề nhau, e3 được gọi là một khuyên. Định nghĩa 3: a) Nếu mỗi cạnh Evue ∈= ),( là không phân biệt thứ tự của các đỉnh u và v, (tức là từ u tới v không kể hướng) thì ta nói đồ thị G = (V,E) là đồ thị vô hướng. b) Nếu mỗi cạnh Evue ∈= ),( có phân biệt thứ tự của các đỉnh u và v, (tức là từ u tới v khác với từ v tới u) thì ta nói đồ thị G = (V,E) là đồ thị có hướng. Cạnh của đồ thị có hướng còn được gọi là cung. Ví dụ 4: Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 3 R5 R1 R3 R2 R1 Định nghĩa 4: Đồ thị G =(V,E) được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh bất kỳ của đồ thị được nối với nhau bởi không quá một cạnh (cung). Ví dụ 5: Định nghĩa 5: Đồ thị G = (V,E) được gọi là đa đồ thị nếu có ít nhất một cặp đỉnh được nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên. Ví dụ 6: Định nghĩa 6: Đồ thị G = (V,E) được gọi là đồ thị phẳng nếu nó có dạng biểu diễn hình học trên mặt phẳng mà các cạnh (cung) chỉ cắt nhau ở đỉnh. Cách vẽ như vậy được gọi là biểu diễn phẳng của đồ thị. Trong trường hợp ngược lại đồ thị là không phẳng. Ví dụ 7: Biểu diễn phẳng của một đồ thị chia mặt phẳng thành các miền. Ví dụ biểu diễn phẳng của đồ thị dưới đây chia mặt phẳng thành 5 miền. Định nghĩa 7: Đồ thị G = (V,E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mỗi cặp đỉnh đều có cạnh (cung) nối giữa chúng. Ví dụ 8: Đồ thị phẳng Đồ thị không phẳng Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 4 v1 v4 v5 v2 v3 v2 v1 v6 v3 v5 v4 Định nghĩa 8: Cho đồ thị vô hướng G = (V,E). Với v ∈ V là một đỉnh của đồ thị, ta kí hiệu deg(v) là số các cạnh thuộc đỉnh v, riêng với khuyên thì đựơc tính là 2. deg(v) được gọi là bậc của đỉnh v. Nếu deg(v) = 0 thì v được gọi là đỉnh cô lập, nếu deg(v) = 1 thì v được gọi là đỉnh treo. Bậc của đồ thị vô hướng G = (V,E) được kí hiệu là deg(G) và được tính deg(G) = ∑ ∈Vv v)deg( Ví dụ 9: Với đồ thị trên ta có: deg(v5) = 0, v5 được gọi là đỉnh cô lập deg(v4) = 1, v4 được gọi là đỉnh treo deg(v3) = 4, deg(v2) = 3, deg(v1) = 2 Định nghĩa 9: Cho đồ thị có hướng G = (V,E). Với v V∈ là một đỉnh của đồ thị, ta ký hiệu deg - (v) là số các cung vào của đỉnh v, deg + (v) là số các cung ra của đỉnh v. Khi đó deg - (v) được gọi là bậc vào của đỉnh v, deg + (v) được gọi là bậc ra của đỉnh v và bậc của đỉnh v là deg(v) = deg - (v) + deg + (v). Nếu deg + (v) = deg - (v) = 0 thì v được gọi là đỉnh cô lập, nếu deg + (v) = 0, deg - (v) = 1 hoặc deg + (v) = 1, deg - (v) = 0 thì v được gọi là đỉnh treo. Bậc của đồ thị có hướng G = (V,E) được kí hiệu là deg(G) và được tính deg(G) = ∑∑ ∈∈ +− + VvVv vv )(deg)(deg Ví dụ 10: Với đồ thị trên ta có: deg - (v1) = 2, deg + (v1) = 5 deg - (v2) = 2, deg + (v2) = 1 deg - (v3) = 1, deg + (v3) = 0, đỉnh v3 được gọi là đỉnh treo deg - (v4) = deg + (v4) = 0, đỉnh v4 được gọi là đỉnh cô lập deg - (v5) = 3, deg + (v5) = 0 deg - (v6) = 1, deg + (v6) = 3 Định lý 1: Giả sử G = (V,E) là đồ thị hữu hạn. Khi đó bậc của đồ thị G bằng hai lần số cạnh của đồ thị, tức là deg(G) = 2|E| Chứng minh: Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 5 e d c b a Giả sử u,v ∈ V và e = (u,v) ∈ E Nhận xét: Giả sử u ≠ v. Khi đó nếu xoá cạnh (cung) e thì bậc của đồ thị sẽ giảm đi 2. Nếu ta xoá tất cả các cạnh có dạng như trên thì đồ thị còn lại chỉ gồm các đỉnh cô lập hoặc các đỉnh có khuyên. Tại mỗi đỉn u có khuyên, nếu ta xoá khuyên thì bậc của đồ thị cũng sẽ giảm đi 2. Như vậy nếu ta xoá một cạnh hoặc một khuyên thì bậc của đồ thị giảm đi 2 và sau khi xoá hết tất cả các cạnh và các khuyên của đồ thị thì bậc của đồ thị còn lại là bằng 0. Từ nhận xét trên, hiên nhiên ta có đẳng thức deg(G) = 2|E| (đpcm) Định lý 2: Giả sử G = (V,E) là đồ thị hữu hạn. Khi đó số các đỉnh bậc lẽ của đồ thị là một số chẵn. Chứng minh: Giả sử V = {v 1 ,v 2 , .v n } và trong n đỉnh có k đỉnh bậc lẻ là v 1 ,v 2 , .,v k . Các đỉnh còn lại có bậc chẵn là v k+1 , v k+2 , .v n I Ở đây ta có deg(v i ) = 2m i +1 với i=1,2 ,k và deg(v j ) = 2m j với j=k+1, .,n. m i ,m j là các số nguyên dương. Theo định lý 1 ta có: deg(G) = ∑∑ +== + n kj j k i i vv 11 )deg()deg( = 2|V| = 2n Do ∑∑∑ === +=+= k i k i ii k i i kmmv 111 2)12()deg( và ∑∑∑ +=+=+= == n kj n kj n kj jjj mmv 111 22)deg( Suy ra deg(G) = ∑∑ +== + n kj j k i i vv 11 )deg()deg( = kmmmkm n kj j k i i k i n kj ji +         +=++ ∑∑∑∑ +===+= 1111 222 =2n Từ đó suy ra k là một số chẵn. (đpcm). Ví dụ 11: Có bao nhiêu cạnh trong một đồ thị có 10 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc bằng 5? Giải: Vì bậc của đồ thị bằng 10.5 = 50, mà 2.e = 50 Suy ra e = 25 1.3 Đường và chu trình trong đồ thị Định nghĩa 10: Cho đồ thị G = (V,E). Một đường đi trong đồ thị là một dãy v i1 e i1 v i2 e i2 .v ij e ij .v ik e ik v ik+1 , Trong đó vij V∈ là các đỉnh, eij ∈ E là các cạnh sao cho với k}{1,2, ,∈∀j thì đỉnh v ij và đỉnh v ij+1 là hai đỉnh kề nhau. Đường đi đó xuất phát từ đỉnh v ij và kết thúc tại đỉnh v ik+1 (hoặc ngược lại). Độ dài của đường bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đường đi đó. Chu trình trong đồ thị là một đường đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng nhau. Ví dụ 12: Trong đồ thị trên ta co: Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 6 c a d b c a d b v i1 v i2 v i3 v ij v ij+1 e i1 e i2 e ij a,b,e,d là một đường đi có độ dài 3 c,e,b,a,d là một đường đi có độ dài 4 a,d,c,a là một chu trình có độ dài 3 d,a,b,c,d là một chu trình có độ dài 4 a,b,d không phải là một đường đi a,d,e,a không phải là một chu trình Ví dụ 13: Trong đồ thị trên ta có: a,c,d là một đường đi có độ dài 2 c,d,a,b là một đường đi có độ dài 3 a,b,d,a là một chu trình có độ dài 3 a,c,d,b,d,a là một chu trình có độ dài 5 a,c,b không phải là một đường đi a,b,c,a không phải là một chu trình Định nghĩa 11: Đường hay chu trình trong đồ thị được gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh (cạnh của đường hay chu trình) không quá một lần. Đường hay chu trình trong đồ thị được gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần. Ví dụ 14: Với đồ thị trên ta có: a,b,c,d là một đường đi đơn trong đồ thị d,a,b,c,d là một chu trình đơn trong đồ thị a,b,c,d,a là một chu trình sơ cấp của đồ thị a,b,c là một đường sơ cấp Định lý 3: Giả sử G = (V,E) là đồ thị vô hướng. Nếu trong đồ thị mà mỗi đỉnh v ∈ V đều có bậc deg(v) ≥ 2 thì đồ thị có chu trình sơ cấp Chứng minh: Xét tất cả các đường sơ cấp có thể có trong đồ thị. Rõ ràng số các đường này là hữu hạn, vì vậy trong số các đường sơ cấp đó sẽ tồn tại một đường có độ dài lớn nhất. Giả sử đó là đường w: v i1 e i1 v i2 e i2 .v ij e ij v ij+1 dạng hình học của nó là: Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 7 v i0 Theo giả thiết deg(v ij ) ≥ 2 nên phải tồn tại ít nhất một đỉnh v i0 và một cạnh nối đỉnh vi1 và vi0. Đỉnh vi0 phải trùng với một đỉnh, chẳng hạn là đỉnh vij trong đường w, vì nếu không trùng thì đường w không phải là đường sơ cấp dài nhất, điều này trái với giả thiết w là đường có độ dài lớn nhất. Điều này chứng tỏ phải tồn tại một chu trình trong đồ thị đang xét. Vì các đường đang xét là các đường sơ cấp, cho nên chu trình này là chu trình sơ cấp. Định lý đã được chứng minh. 1.4 Đồ thị con, đồ thị bộ phận và đồ thị liên thông Định nghĩa 12: Cho đồ thị G = (V,E) a) Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh chứa các đỉnh đó thì phần còn lại của đồ thị được gọi là đồ thị con của đồ thị G. b) Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nào đó và giữ nguyên các đỉnh thì phần còn lại của đồ thị được gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G. Ví dụ 15: Đồ thị G Một số đồ thị con của đồ thị G Mộ số đồ thị bộ phận của đồ thị G Định nghĩa 13: Cho đồ thị G = (V,E) a) Hai đỉnh u,v ∈ V được gọi là liên thông nếu tồn tại một đường đi nối hai đỉnh u,v với nhau. b) Đồ thị G được gọi là liên thông nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông. Ví dụ 16: Các đồ thị liên thông Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 8 I G H Các đồ thị không liên thông Định nghĩa 14: Cho đồ thị có hướng G = (V,E) a) Đồ thị G được gọi là liên thông mạnh nếu luôn tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó. b) Đồ thị G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó là đồ thị liên thônng. Ví dụ 17: Đồ thị liên thông mạnh Đồ thị liên thông yếu Định nghĩa 15: Cho đồ thị G = (V,E), H = (W,F) là đồ thị con của G. Nếu H là đồ thị liên thông thì H được gọi là thành phần liên thông của G. Ví dụ 18: Trong ví dụ này H, I là các thành phần liên thông của G Định lý 4: Đồ thị G = (V,E) là liên thông khi và chỉ khi nó có một thành phần liên thông. Chứng minh: Điều khẳng định được trực tiếp suy ra từ các định nghĩa. Định lý 5: (Công thức Euler) Cho G = (V,E) là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh. Gọi r là số miền trong biểu diễn phẳng của G. Khi đó r = e – v +2. Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 9 R1 a n+1 b n+1 a n+1 b n+1 R Chứng minh: Trước tiên ta xác định biểu diễn phẳng của G. Ta sẽ chứng minh định lý bằng cách xây dựng một dãy các đồ thị con G1, G2, ,Ge = G, ở mỗi bước ghép thêm một cạnh vào đồ thị ở bước trước. Để làm điều này ta sử dụng định nghĩa đệ quy say: Lấy tuỳ ý một cạnh của G để nhận được G 1 . Để nhận được G n từ G n-1 ta thêm tuỳ ý một cạnh liên thuộc với một cạnh của G n-1 và thêm một đỉnh khác liên thuộc với cạnh mới đó nếu đỉnh đó chưa có trong G n-1 , điều này làm được vì G là liên thông. G sẽ nhận được sau khi e cạnh được ghép thêm vào các đồ thị tạo ra trước. Gọi r n , e n , và v n tương ứng là số miền, số cạnh, số đỉnh của biểu diễn phẳng của G n sinh ra. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp biểu thức r = e – v +2 Với G 1 thì biểu thức r 1 = e 1 – v 1 + 2 là đúng, vì r1 = 1, e1 = 1, v1 = 2, điều này được thể hiện như hình sau: Giả sử ta có r n = e n – v n + 2. Gọi (a n+1 , b n+1 ) là cạnh gộp vào G n để được G n+1 . Khi đó có hai khả năng xảy ra. Trường hợp thứ nhất hai đỉnh a n+1 , b n+1 đã thuộc G n . Khi đó nó phải ở trên biên của miền chung R nếu không thì không thể gộp cạnh (a n+1 ,b n+1 ) vào G n mà không có các cạnh cắt nhau (G n+1 là phẳng). Cạnh mới này sẽ chia miền R thành hai miền con. Do đó r n+1 =r n +1, e n+1 = e n+1 , v n+1 = vn. Do vậy ta có công thức r n+1 = e n+1 – v n+1 +2. Trường hợp này được minh hoạ như sau: Trường hợp thứ hai, một trong hai đỉnh của cạnh chưa thuộc G n . Ta giả sử a n+1 thuộc G n còn b n+1 không thuộc. Trong trường hợp này cạnh thêm (a n+1 , b n+1 ) không sinh ra miền mới nào vì b n+1 phải nằm trong miền có a n+1 và ở trên biên của nó (G n+1 phẳng). Do đó r n+1 = rn. Nhưng e n+1 = e n +1 và v n+1 = v n +1. Mỗi vế của công thức không đổi nên công thức vẫn đúng, hay r n+1 =e n+1 – v n+1 +2. Trường hợp này được minh hoạ như sau: Vậy với mọi n ta đều có r n = e n – v n +2. Vì đồ thị gốc là G e nhận được sau khi thêm e cạnh, định lý được chứng minh. Ví dụ 19: Cho đơn đồ thị G phẳng liên thông có 20 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc là 3. Hỏi biểu diễn phẳng của đồ thị này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền? Giải: Ta có v = 20, deg(G) = v.3 = 20.3 = 60 = 2.e Suy ra e = 30. Áp dụng công thức Euler : r = e – v +2 = 12. Vậy mặt phẳng bị chia thành 12 miền. G1 R Gi¸o ¸n m«n: Lý ThuyÕt §å ThÞ NguyÔn Minh §øc - §HQG Hµ Néi 10 a b c d e f v1 v2 v3 v4 v5 Bài tập chương 1 Bài 1: Hãy gọi tên (Đồ thị đơn, đa, đầy đủ, .) các đồ thị cho dưới đấy Bài 2: Vẽ đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng cho bởi G = (V,E) V = {A, B, C, D, E, G, H} G = {(A,B), (B,C), (A,C), (G,H), (H,E), (E,A), (D,A)} Bài 3: Hãy tìm số đỉnh, số cạnh, bậc của mỗi đỉnh trong các đồ thị vô hướng cho dưới đây. Xác định các đỉnh cô lập và đỉnh treo. Xác định bậc của đồ thị và kiểm tra xem nó có bằng hai lần số cạnh không? Bài 4: G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G1 G2 [...]... 1 1 3 1 2 1 0 1 1 1 3 1 1 1 0 2 4 3 1 0 0 0 5 1 1 2 0 0 Vớ d 6: Cho a thi cú hng G nh sau: v4 v3 v2 v1 15 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Ma trn k ca G l V1 v2 v3 v4 v1 0 0 0 0 v2 1 0 2 1 v3 1 1 1 1 0 0 0 0 v4 Trong rt nhiu ng dng ca lý thuyt th, mi cnh e = (u,v) ca th c gn mt con s c no ú (c(e), c(u,v)) gi l trng s ca cnh e th cú cỏc cnh c gỏn trng s gi l th cú trng... th cú hng m trong ú phi x lý cỏc cung ca th Cho G = (V,E) , V = {v1,v2, ,vn}, E = {e1,e2, ,em}, l th cú hng Khi ú ma trn liờn thuc nh - cnh A = aij , i = 1,2, ,n; j = 1,2, , m ca G c xỏc nh nh sau: aij = 1 nu nh vi l nh u ca cung ej aij =-1 nu nh vi l nh cui ca cung ej aij = 0 nu nh vi khụng l u mỳt ca cung ej 18 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Vớ d 11: Cho ma trn G nh... 1 2 5 Danh sỏch cnh ca G nh sau Dau 1 1 2 2 3 4 4 5 Cuoi 2 3 3 5 4 5 6 6 19 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Vớ d 13: Cho th cú hng G nh sau v2 v1 Khi ú danh sỏch cnh ca G l Dau v1 v1 v2 v3 Cuoi v2 v3 v3 v2 v3 2.5 Biu din bng danh sỏch k Trong rt nhiu vn ng dng ca lý thuyt th, cỏch biu din th di dng danh sỏch k l cỏch biu din thớch hp c s dng Trong cỏch biu din ny, vi... riờng ca nú Vỡ vy vic la chn phng phỏp biu din th sao cho vic x lý nú cú hiu qu nht phi tu thuc vo tng bi toỏn v gii thut c th Ci t thut toỏn: (nhp v hin th DS k ca mt th biu din bng danh sỏch lien kt: // -// Chuong trinh nhap va in ra danh sach ke 20 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị // -#include... case '5': //Ket thuc chuong trinh printf("\n\nXin cam on ban da su dung chuong trinh!"); getch(); break; } }while(ch!='5'); } 23 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Chng 3 CC THUT TON TèM KIM TRấN THN V NG DNG Trong lý thuyt th, cú rt nhiu thut toỏn c xõy dng da trờn c s duyt qua tt c cỏc nh ca th sao cho mi nh ch c duyt ỳng mt ln Do vy, vic xõy dng cỏc thut toỏn cho phộp... rng s l: 1 2 3 4 5 8 9 10 6 7 27 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Vớ d 4 Xột th cú hng cho vớ d 2 (Hỡnh 2) Khi ú th t cỏc nh c duyt theo thut toỏn tỡm kim theo chiu rng s l: 1 3 2 4 5 7 8 9 6 Di õy l chng trỡnh ci t hai thut toỏn tỡm kim theo chiu sõu v tỡm kim theo chiu rng bng ngụn ng lp trỡnh C Chng trỡnh x lý trờn th c cho bi danh sỏch k // ... hng cú trng s G nh sau v1 8 10 v5 v4 6 3 Ma trn trng s ca G l v2 5 7 v3 v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 0 0 10 8 v2 0 0 7 0 5 v3 0 7 0 3 0 v4 10 0 3 0 6 v5 8 5 0 6 0 16 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Vớ d 8: Cho th cú hng cú trng s G nh sau: b c 7 4 3 a 4 d 9 5 7 e Ma trn trng s ca G l a B c d e a 0 0 0 0 5 b 4 0 7 0 4 c 0 0 0 3 0 d 0 0 0 0 7 e 0 0 9 0 0 u im ln nht ca phng phỏp biu... cnh ej khụng ni vi inh vi, i = 1,2, ,n, j = 1,2, ,m Vớ d 9: Cho th G nh sau v2 v1 e6 v3 e2 e1 e3 v4 e4 e5 v5 Khi ú ma trn liờn thuc nh - cnh ca G nh sau 17 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 0 0 0 0 v2 0 0 1 1 0 1 v3 0 0 0 0 1 1 v4 1 0 1 0 0 0 v5 0 1 0 1 1 0 Ma trn liờn thuc cng cú th c dựng biu din th cú cnh bi v khuyờn Vớ d 10: Cho th G nh sau... cnh trong mt th cú 6 nh m hai nh cú bc 4, hai nh cú bc 6, hai nh cú bc 8 ? Bi 10: Ch ra mụt vi ng n v chu trỡnh n cú th cú trong th sau: v1 e1 e2 v2 e3 e4 11 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị v3 e5 v5 e6 v4 Bi 11: Ch ra tt c cỏc ng s cp v chu trỡnh s cp cú th cú ca th sau v1 e6 v2 e5 e3 e2 e1 e4 v3 v4 Bi 12: Mi danh sỏch cỏc nh sau õy cú to nờn ng i trong th ó cho hay khụng?... a b) a, d, b, e, a c) a, d, a, d, a d) a, b, e, c, b, d, a d e Bi 13: Trong cỏc th cho di õy, th no liờn thụng, th no khụng liờn thụng? G1 G2 G4 G3 G5 12 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Chng 2 CC PH NG PHP BIU DIN THN (6 tit) 2.1 Biu din bng hỡnh hc Cho th G = (V, E), khi ú ta cú th biu din G bng phng phỏp hỡnh hc nh sau: Mi v V ta t tng ng vi mt im trong mt phng, . được gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G. Ví dụ 15: Đồ thị G Một số đồ thị con của đồ thị G Mộ số đồ thị bộ phận của đồ thị G Định nghĩa 13: Cho đồ thị G =. lại của đồ thị được gọi là đồ thị con của đồ thị G. b) Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nào đó và giữ nguyên các đỉnh thì phần còn lại của đồ thị được