Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông + Bài 3: 222 7 1 5 11 += x => x 2 = 22 22 75 75 + = Lại có: y 2 = 5 2 + 7 2 (AD pitago trong vuông => y 2 = 60 => y = 2 15 + Bài 4: Ta có : 2 2 = 1.x => x 2 = 2 2 = 4 y 2 = x 2 + 2 2 + Bài 8: b) Tam giác ABC vuông tại A có AH là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC. 2 2 BC AH BH HC x = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 2 2 y x y y = + = + = = = c) Ta có 2 2 12 12 16. 9 16 x x= = = 2 2 12 9 225 15y y= + = = + Bài 9: a) DIL cân tại D Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 1 y y x 2 x A C B H y x 12 16 DI DL= DAI DCL = (ch-góc nhọn) ả ả 1 3 ;AD DC D D= = (ABCD là h/vuông) cùng phụ ả 2 D b) Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 DI DK DL DK DC + = + = (hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông DKL) Mà DC có độ dài không đổi 2 1 DC không đổi 2 2 1 1 DI DK + không đổi. Tỉ số lợng giác của góc nhọn + Bài 13: Vẽ XÔY = 60 0 , lấy 1 đt làm đơn vị. - Trên tia oy lấy điểm M sao cho OM = 2. - Vẽ cung tròn (M, 3) N ol tại N, góc ONM = + Bài 14: Tg = AC AB cos sin = BC AB BC AB = AB AC => tg = cos sin + Bài 15: Sin C = CosB = 0,8 Ta có Sin 2 C + Cos 2 C = 1 => Cos 2 C = 1 - 0,8 2 Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 2 I 3 2 1 K L D A C B Cos 2 C = 0,36 TgC = C C cos sin = 6,0 8,0 = 4/3 CotgC = C C sin cos = 3/4 + Bài 16: - Xét sin 60 0 Sin 60 0 = 8 x = 2 3 => x = 2 38 = 4 3 Bảng lợng giác + Bài 22: b) Cos 25 0 > Cos 63 0 15 c. Tg 73 0 20 > tg 45 0 d. Cotg 20 > Cotg 37 0 40 + Bài 23: a. C1: Cos 14 0 = Sin 76 0 Cos 87 0 = Sin 3 0 => Sin 3 0 < Sin 47 0 < Sin 76 0 < Sin 78 0 C2: Dùng MT (BS) tính TSLG b. C1: Cotg 25 0 = tg 65 0 Cotg 38 0 = tg 52 0 => tg 52 0 < tg 62 0 < tg 65 0 < tg 73 0 => Cotg 38 0 < tg 62 0 < cotg 25 0 < tg 73 0 + Bài 25: a. So sánh tg 25 0 và Sin 25 0 c. Tg 45 0 và Cos45 0 Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 3 Tg 25 0 = 0 0 25cos 25sin Có Cos 25 0 < 1 => tg 25 0 > Sin 25 0 C2: Tg 25 0 0,4663 Sin 25 0 0,4226 => Tg 25 0 > Sin 25 0 Tg 45 0 = 1 Cos 45 0 = 2 2 1> 2 2 => tg 45 0 > Cos 45 0 d. Cotg 60 0 và Sin 30 0 Cotg 60 0 = 3 1 = 3 3 Sin 30 0 = 1/2 => Cotg 60 0 > Sin 30 0 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông +Bài 28 : Ta có '0 1560 7 4 = tg +Bài 29 : Có '0 3738 320 250 cos = + Bài 30: S thuyền đi đợc trong 5 phút là: BC= 2. 2 1 = )( 6 1 km 167 (m) ABC vuông tại A biết BC và C nên AC = BC.sin70 0 = 157( m) + Bài 30: Vẽ BKAC Dễ thấy K nằm ngoài đoạn AC . KBA = 22 0 BK = BCsin30 0 =11.0,5 =5,5 Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 4 cm BK AB 932,5 22cos 0 == a) AN = AB.sin38 0 = 3,652 cm b) cm AN AC 304,7 30sin 0 == + Bài 31: a)Độ dài AB Xét vuông ABC ( B = 90 0 ) Ta có AB = AC sin54 0 6,472(cm) b)Số đo ADC Vẽ AHDC (H CD) vuông ACH có AH = AC.sin74 0 7,690(cm) 8010,0 6,9 690,7 sin = AD AH D Suy ra ADC 53 0 Ôn tập chơng I + Bài 35: Tỉ số của hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông là tg của góc nhọn này hoặc cotg của góc nhọn kia nên ta có tg =19/28 0,6786 nên 34 0 10 ' . Do đó góc nhọn kia là 90 0 - 55 0 50 ' + Bài 36: Hình 46 SGK, cạnh lớn nhất trong hai cạnh còn lại là cạnh đối diện với góc 45 0 vì hình chiếu của nó lớn hơn (21>20). Do đó độ dài của nó là : =29 cm Hình 47 SGK, cạnh lớn nhất trong hai cạnh còn lại là cạnh kề với góc 45 0 vì hình chiếu của nó lớn hơn (21>20) . Do đó độ dài của nó là : (hoặc 0 45cos 21 ) 29,7 cm + Bài 37: a) ABC vuông : Có AB 2 + AC 2 = 6 2 + 4,5 2 = 56,25 = 7.5 2 =BC 2 Nên ABC vuông tại A . Suy ra tgB =0,75 Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 5 Do đó B 37 0 ;C 53 0 -Đờng cao AH C 1 : Từ AH.BC=AB.AC =>AH =3.6 cm C 2 : Từ 222 111 ACABAH += =>AH =3.6 C 3 : Từ 6018,0 6 37sinsin 0 === AH AB AH B Suy ra AH 6.0,6018 3.6 109 3.6 (cm) b) Vị trí của M Để S MBC = S ABC nên M phải cách BC một khoảng bằng AH = 3,6 cm . Do đó M phải nằm trên hai đờng thẳng song song với BC ,cách BC một khoảng bằng 3,6cm + Bài 38: (Hình 48 SGK) Có IB = IK.tg65 0 380.2,1445 814,9 m IA = IK.tg50 0 380.1,1918 452,9 m Vậy khoảng cách giữa hai chiếc thuyền là: AB = IB - IA = 814,9 - 452,9 = 362 m + Bài 39: Trong vuông ACE có CE AE = 0 50cos 00 50cos 20 50cos == AE CE CE 31,11(m) Trong vuông EDF có DE FD = 0 50sin 00 50sin 5 50sin == FD DE DE 6,53(m) Vậy khoảng cách giữa hai cọc CD là 31,31 - 6,53 = 24,6(m) + Bài 41: Ta có tg21 0 48 ' = 0,4 = 2/5 = tgy Nên y 21 0 48' do đó x = 90 0 - y 68 0 12' Vậy x - y 68 0 12' - 21 0 48' = 46 0 24' + Bài 83(SBT) Có AH.BC = BK.AC = 2S ABC Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 6 5.BC = 6.AC ACBC 5 6 = Mà AC BC HC 5 3 2 == Xét vuông AHC có AC 2 - HC 2 = AH 2 ( pitago) 25,65 5 4 5 25 16 5 5 3 22 2 2 2 == = = ACAC AC ACAC 5,7 4 25 5 6 5 6 =ì== ACBC + Bài 97( SBT) a) Trong vuông ABC AB = BC . sin 30 0 = 10 . 0,5 = 5(cm) AC = BC . cos 30 0 )(35 2 3 .10 cm == b)Xét tứ giác AMBN có M = N = MBN = 90 0 AMBN là hình chữ nhật OM= ON (t/c HCN) OMB = B 2 = B 1 MN //BC ( vì có 2 góc SLT bằng nhau và MN = AB t/cHCN)) Chơng II: Đờng Tròn Sự xác định đờng tròn - Tính chất đối xứng của đờng tròn + Bài 1: - Gọi I là giao điểm hai đờng chéo hình chữ nhật . Ta có IA = IB =IC = ID (Tính chất hình chữ nhật ) Do dó A,B,C,D nằm trên đờng tròn (I) AC AB BC 2 2 2 = + 5,613 1316925144512 22222 == ==+== RAC ACAC + Bài 4(tr 100): ROAOA <==+= 2211 222 Do đó A nằm trong đờng tròn . OB OB R 2 2 2 2 1 5 5 = + = = > Nên B nằm ngoài đờng tròn . Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 7 OC OC R 2 2 2 2 2 2 2 4 2 = + = + = = = ( ) ( ) Vì vậy điểm C thuộc đờng tròn + Bài 8( Tr 101): Cách dựng : Vì (O) đi qua điểm B và C nên ta có : OB = OC O thuộc đờng trung trực d của BC . Lại có O thuộc tia Ay( gt ) Vậy O là giao của d và Ay . Do đó ta vẽ đợc đờng tròn tâm O đi qua BC và có tâm nằm trên Ay . -Chứng minh : O thuộc trung trực BC nên OB = OC . Do đó B,C nằm trên (O) Đờng kính và dây của đờng tròn + Bài 21(sbt) Kẻ OM CD ; OM I Ax= N MC = MD (1)( đl quan hệ đờng kính và dây cung) Xét AKB có OA = OB (gt) ON//KB (cùng CD)AN = NK Xét AHK có AN = NK ( cmt) MN//AH ( cùng CD)MH= MK (2) Từ (1) và (2) ta có MC - MH = MD - MK Hay CH = DK Bài tập thêm: + Bài 1: ? Hãy xác định khoảng cách từ O tới AB và AC? ? Tính khoảng cách đó? a)Tính khoảng cách từ mỗi dây đến tâm O ? Kẻ OH AB = H AH = AB (đl đờng kính dây) OK AC = K AK = KC ( đl đờng kính dây) Xét tứ giác AHKO có Â= H = K= Ô = 90 0 AHOK là hình chữ nhật AH = OK = AB: 2= 10 : 2 =5 OH = AK = AC :2 b)Theo c/m câu a ta có AH = HB Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 8 x y O C B A H A B C K O Tứ giác AHOKlà hình chữ nhật KÔH = 90 0 và KO = AH KO = HB CKO = OHB Vì K = H = 90 0 ; KO = HO OC = OB = R HÔB +B= 90 0 Mà C + KÔC = 90 0 ( 2 góc phụ nhau)KÔC + HÔB = 90 0 Có KÔH = 90 0 KÔC + KÔH +HÔB = 180 0 Hay CÔB = 180 0 3 điểm C; O; B thẳng hàng BÔC = 180 0 BC là đờng kính của (O) Xét ABC (Â = 90 0 ) Theo định lí pi ta go có BC 2 = AC 2 + AB 2 = 24 2 + 10 2 = 676 676 = BC + Bài 2: Cho (O;R) đờng kính AB, M OA ; dây CD OA tại M. Lấy E AB sao cho ME = MA. a)Tứ giác ACED là hình gì? b) c/m I (O ; EB/2) b)Gọi I là giao của BC và DE. Chứng minh I (O ; đờng kính EB)? Xét ACB có OA = OB = R CO là đờng trung tuyến AB mà CO = OA = OB = AB/2 ACB vuông tại C ACCB Mà DI//IC ( cạnh đối hình thoi) DI CB = I hay EIB = 90 0 Có O là trung điểm của EB O I là trung tuyến EB IO =EB/2 IO = EO = O B I (O ; EB/2) c)Ta có CD = 2CM Trong vuông ACB có 3 52 2 3 5 9 5 3 5 3 2 2 R CMCD RR CM RR MBAMCM == == ì=ì= S ABCD = (AB.CD) : 2 3 52 3 522 . 2 1 2 RRR = ì = Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây + Bài 13 : H ,K là trungđiểm AB ,CD . Các OHE OKE, vuông Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 9 E I O' O M B D A C AB = CD nên OH = OK , OE chung OHE OKE = Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu hiệu nhận biét tiếp tuyến + Bài 21 : 1/Cách dựng - Từ A dựng tia Ax d - Dựng tia Iy AB ( I là trung điểm AB) - Giao điểm Ax và Iy là tâm O cần tìm . -Vẽ (O; OA) ta đợc đờng tròn cần dựng 2/ Chứng minh : - OA d ;A (O). Nên d là tiếp tuyến của đờng (O). -OA = OB ( O đờng trung trực AB) . Do đó A,B thuộc (O) + Bài 22: Phân tích : Giả sử ta đã dựng đợc (O ; R) thoả mãn điều kiện đề bài . Vậy ta có : d là tiếp tuyến của (O) tại A OA d Lại có : A , B (O) O trung trực d của AB . Cách dựng : - Dựng trung trực d của AB . - Dựng đờng thẳng dd tại A O là giao của d và d - Dựng đờng tròn tâm O bán kính OA ta có đờng tròn cần dựng . Chứng minh : Theo cách dựng ta có : d d OA d = A lại có O d là trung trực của AB OA = OB = R B (O ; R) Vậy đờng tròn tâm O ở trên là đờng tròn cần dựng . Biện luận : Vì d và d chỉ cắt nhau tại 1 điểm O là duy nhất (O ; R ) là duy nhất . bài toán có một nghiệm hình . Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm 10 A O B d'' d d' . 380.2,1445 814 ,9 m IA = IK.tg50 0 380.1, 191 8 452 ,9 m Vậy khoảng cách giữa hai chiếc thuyền là: AB = IB - IA = 814 ,9 - 452 ,9 = 362 m + Bài 39: Trong vuông. = 90 0 và KO = AH KO = HB CKO = OHB Vì K = H = 90 0 ; KO = HO OC = OB = R HÔB +B= 90 0 Mà C + KÔC = 90 0 ( 2 góc phụ nhau)KÔC + HÔB = 90 0 Có KÔH = 90