≤( ) ≤( ) ≥( ) ≥( ) a 1> 0 a 1< < ≤( ) ≤( ) ¬ >a 1 ≥( ) ≥( ) a 1¬ < ¬ >a 1 a 1¬ < 1 THPT Lưu Tấn Phát Tiểu đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐỊNH LÝ  a f(x) < a g(x) ⇔ f(x) < g(x)  a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x)  a f(x) < a g(x) ⇔ f(x) > g(x)  a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x) Đặc biệt 1 a f(x) < b ⇔ f(x) < log a b a f(x) > b ⇔ f(x) > log a b a f(x) < b ⇔ f(x) > log a b a f(x) > b ⇔ f(x) < log a b Đặc biệt 2 a f(x) < 1 ⇔ f(x) < 0 a f(x) > 1 ⇔ f(x) > 0 a f(x) < 1 ⇔ f(x) > 0 a f(x) > 1 ⇔ f(x) < 0 Lưu ý a x > 0, ∀x ∈ IR PHƯƠNG PHÁP  Dạng cơ bản + Dạng cùng cơ số  Biến đổi về dạng cùng cơ số  Đặt ẩn phụ  Logarít hóa hoặc tính đơn điệu (rất ít gặp !) Lưu ý  Ln để ý cơ số a > 1 hay a < 1  Để giải BPT bậc hai ax 2 + bx + c <> 0 hoặc BPT dạng thương ta xét dấu vế trái. (xem phụ lục) VÍ DỤ MINH HỌA (Có nhiều cách trình bày lời giải) DẠNG 1a : CƠ BẢN + đặc biệt M1. Giải (gọn) bất phương trình cơ bản sau : a) 2 x < – 2 b) 10 x > 0 c) 5 x > 2 d) 10 x < 3 e) 7 x + 2 ≥ 5 f) 2 x 2 ≤ 3 a a) 2 x < – 2 (VN) b) 10 x > 0 ⇔ x ∈ IR b’) x 10 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 c) 5 x > 2 ⇔ x > log 5 2 d) 10 x < 3 ⇔ x < log3 e) 7 x + 2 ≥ 5 ⇔ x + 2 ≥ log 7 5 ⇔ x ≥ log 7 5 – 2 f) 2 x 2 ≤ 3 ⇔ x 2 ≤ log 2 3 ⇔ x 2 – log 2 3 ≤ 0 ⇔ 2 log 3− ≤ x ≤ 2 log 3 M2. Giải (gọn) bất phương trình cơ bản sau : a) x 1 ( ) 5 2 > b) ( 2 1− ) x ≤ 3 a) x 1 ( ) 5 2 > ⇔ x < 1 2 log 5 b) ( 2 1− ) x ≤ 3 ⇔ x ≥ 2 1 log 3 − M3. Giải bất phương trình cơ bản đặc biệt sau : a) 3 x < 1 b) 10 x + 5 ≥ 1 c) 2 x x e + > 1 d) 1 x ( 2 1)− ≤ 2 1− e) 1 3 2x 1 log x 2 2 1 + − > a) 3 x < 1 ⇔ x < 0 b) 10 x + 5 ≥ 1 ⇔ x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 5 Tập nghiệm : S = [– 5 ; +∞ ) c) 2 x x e + > 1 ⇔ x 2 + x > 0 ⇔ x 1 x 0  < −  >  Tập nghiệm : S = (– ∞ ; – 1) ∪ (0 ; +∞ ) d) 1 x ( 2 1)− ≤ −2 1 ⇔ 1 1 x ≥ ⇔ 1 1 0 x − ≥ Giải tích 12 giữ chiều đổi chiều 2 THPT Lưu Tấn Phát ⇔ 1 x 0 x − ≥ ⇔ 0 < x ≤ 1 Tập nghiệm : S = (0 ; 1] e) 1 3 2x 1 log x 2 2 1 + − > ⇔ 1 3 2x 1 log x 2 + − > 0 ⇔ 2x 1 0 x 2 2x 1 1 x 2  + >   −  +  <  − ⇔ 2x 1 0 x 2 x 3 0 x 2  + >   −  +  <  − ⇔ 1 x hoặc x 2 2 3 x 2  < − >    − < <  ⇔ – 3 < x < 1 2 − Tập nghiệm : S = (– 3 ; 1 2 − ) DẠNG 1b : CƠ BẢN + cùng cơ số M4. Giải bất phương trình sau : a) 2 x < 8 b) 10 – x + 4 ≤ 1 100 c) 2 x 3x 2 − + > 4 d) 2 2x 3x 7 9 9 7 −   ≤  ÷   a) 2 x < 8 ⇔ 2 x < 2 3 ⇔ x < 3 Có thể giải : 2 x < 8 ⇔ x < log 2 8 ⇔ x < 3 Hoặc dừng lại ở x < log 2 8 b) 10 – x + 4 ≤ 1 100 ⇔ 10 – x + 4 ≤ 2 10 − ⇔ – x + 4 ≤ – 2 ⇔ x ≥ 6 Tập nghiệm : S = [6 ; +∞) c) 2 x 3x 2 − + > 4 ⇔ 2 x 3x 2 − + > 2 2 – x 2 + 3x > 2 ⇔ x 2 – 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2 Tập nghiệm : S = (1 ; 2) d) 2 2x 3x 7 9 9 7 −   ≤  ÷   ⇔ 2 2x 3x 1 7 7 9 9 − −     ≤  ÷  ÷     ⇔ 2x 2 – 3x ≥ – 1 ⇔ 2x 2 – 3x + 1 ≥ 0 ⇔ 1 x 2 x 1  ≤   ≥   . S = (– ∞ ; 1 2 ] ∪ [1 ; +∞) DẠNG 1c : BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN M5. Giải bất phương trình sau : a) 3 x > 2 x b) 5 x < 7 x + 1 c) 2 x + 2 x + 1 ≤ 12 d) 3 x + 2.3 x + 2 ≥ 5 x e) 6 2x + 3 < 2 x + 7 . 3 3x – 1 a) 3 x > 2 x ⇔ x 3 2    ÷   > 1 ⇔ x > 0 Tập nghiệm : S = (0 ; +∞) b) 5 x < 7 x + 1 ⇔ 5 x < 7.7 x ⇔ x 5 7    ÷   < 7 ⇔ x > 5 7 log 7 Tập nghiệm : S = ( 5 7 log 7 ; +∞) c) 2 x + 2 x + 1 ≤ 12 ⇔ 2 x + 2.2 x ≤ 12 ⇔ 3.2 x ≤ 12 ⇔ 2 x ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 2] d) 3 x + 2.3 x + 2 ≥ 5 x ⇔ 3 x + 18.3 x ≥ 5 x ⇔ 21.3 x ≥ 5 x ⇔ x 5 3    ÷   ≤ 21 ⇔ x ≤ 5 3 log 21 Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 5 3 log 21 ] e) 6 2x + 3 < 2 x + 7 . 3 3x – 1 ⇔ 3 2x + 3 . 2 2x + 3 < 2 x + 7 . 3 3x – 1 ⇔ 2x 3 x 7 2 2 + + < − + 3x 1 2x 3 3 3 ⇔ 2 x – 4 < 3 x – 4 ⇔ x 4 2 3 −    ÷   < 1 ⇔ x – 4 > 0 ⇔ x > 4 Tập nghiệm : S = (4 ; +∞) DẠNG 2 : BIẾN ĐỔI VỀ CÙNG CƠ SỐ M6. Giải bất phương trình sau : a) 2 x + 1 < 4 x – 1 b) x 1 x 3 16 4 9 +     ≥  ÷  ÷     c) x 1 x 1 x 1 ( 2 1) ( 2 1) − − + + ≥ − a) 2 x + 1 < 4 x – 1 ⇔ 2 x + 1 < 2 2x – 2 ⇔ x + 1 < 2x – 2 ⇔ x > 3 Tập nghiệm : S = (3 ; +∞) b) x 1 x 3 16 4 9 +     ≥  ÷  ÷     ⇔ x 1 2x 3 3 4 4 + −     ≥  ÷  ÷     ⇔ x + 1 ≤ – 2x ⇔ 3x + 1 < 0 ⇔ x < – 1 3 Giải tích 12 3 THPT Lưu Tấn Phát Tập nghiệm : S = (– ∞ ; – 1 3 ) c) x 1 x 1 x 1 ( 2 1) ( 2 1) − − + + ≥ − ⇔ − − − + + ≥ + x 1 x 1 x 1 ( 2 1) ( 2 1) ⇔ x – 1 ≥ – x 1 x 1 − + ⇔ x – 1 + x 1 x 1 − + ≥ 0 ⇔ 2 x x 2 0 x 1 + − ≥ + ⇔ 2 x 1 x 1  − ≤ < −  ≥  Tập nghiệm : S = [– 2 ; – 1) ∪ [1 ; +∞) DẠNG 3 : ĐẶT ẨN PHỤ M7. Giải bất phương trình sau : a) 4 x – 3.2 x + 1 + 8 ≥ 0 b) 25 x + 5 x < 30 c) 100 x – 10 x – 1 – 99 > 0 d) 9 x – 5.3 x + 6 ≤ 0 a) 4 x – 3.2 x + 1 + 8 ≥ 0 ⇔ (2 x ) 2 – 6.2 x + 8 ≥ 0 Đặt : t = 2 x , t > 0 ¬ không đặt đk cũng được ! Bất phương trình trở thành : t 2 – 6t + 8 ≥ 0 ⇔ t 2 t 4  ≤  ≥  Giao điều kiện nhận : 0 t 2 t 4  < ≤  ≥  ⇔ x x 0 2 2 2 4  < ≤  ≥   ⇔ x 1 x 2  ≤  ≥  Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 1] ∪ [2 ; +∞) b) 25 x + 5 x < 30 ⇔ (5 x ) 2 + 5 x – 30 < 0 Đặt : t = 5 x , t > 0 Bất phương trình trở thành : t 2 + t – 30 < 0 ⇔ – 6 < t < 5 Giao điều kiện nhận : 0 < t < 5 ⇔ 0 < 5 x < 5 ⇔ x < 1 Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 1) c) 100 x – 10 x – 1 – 99 > 0 ⇔ (10 x ) 2 – x 10 10 – 99 > 0 ⇔ 10. (10 x ) 2 – (10) x – 990 > 0 Đặt : t = 10 x , t > 0 Bất phương trình trở thành : 10t 2 – t – 990 > 0 ⇔ 99 t 10 t 10  < −   >   Giao điều kiện nhận : t > 10 ⇔ 10 x > 10 ⇔ x > 1 Tập nghiệm : S = (1 ; +∞) d) 9 x – 5.3 x + 6 ≤ 0 ⇔ 9 x – 5.3 x + 6 ≤ 0 Đặt : t = 3 x , t > 0 Bất phương trình trở thành : t 2 – 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3 Giao điều kiện nhận : 2 ≤ t ≤ 3 ⇔ 2 ≤ 3 x ≤ 3 ⇔ log 3 2 ≤ x ≤ 1 Tập nghiệm : S = [log 3 2 ; 1] M8. Giải bất phương trình sau : a) 2 x + 2 – x – 3 < 0 b) 7 x – 7 1 – x ≥ 6 c) 3 1+ x + 3 1 – x ≤ 10 d) 2 2 x x x x 1 5 5 − − + + > 6 a) 2 x + 2 – x – 3 < 0 ⇔ 2 x + x 1 2 – 3 < 0 Đặt : t = 2 x , t > 0 Bất phương trình trở thành : t + 1 t – 3 < 0 ⇔ t 2 – 3t + 1 < 0 ⇔ 3 5 2 − < t < 3 5 2 + (nhận) ⇔ 3 5 2 − < 2 x < 3 5 2 + ⇔ 2 2 3 5 3 5 log x log 2 2 − + < < Tập nghiệm : S = (…) b) 7 x – 7 1 – x ≥ 6 ⇔ 7 x – x 7 7 – 6 ≥ 0 Đặt : t = 7 x , t > 0. Ta được : t – 7 t – 6 ≥ 0 ⇔ t 2 – 6t – 7 ≥ 0 ⇔ t 1 t 7  ≤ −  ≥  Giao điều kiện nhận : t ≥ 7 ⇔ 7 x ≥ 7 ⇔ x ≥ 1 Tập nghiệm : S = [1 ; +∞) c) 3 1+ x + 3 1 – x ≤ 10 ⇔ 3.3 x + x 3 3 ≤ 10 Giải tích 12 4 THPT Lưu Tấn Phát Đặt : t = 3 x , t > 0 Bất phương trình trở thành : 3t + 3 t – 10 ≤ 0 ⇔ 3t 2 – 10t + 3 ≤ 0 ⇔ 1 t 3 3 ≤ ≤ Giao điều kiện nhận : 1 t 3 3 ≤ ≤ ⇔ x 1 3 3 3 ≤ ≤ ⇔ – 1 ≤ x ≤ 1 Tập nghiệm : S = [–1 ; 1] d) 2 2 x x x x 1 5 5 − − + + > 6 ⇔ 2 2 x x x x 5 5 5 − − + > 6 Đặt : t = 2 x x 5 − ¬ không đặt đk t > 0 cũng được Bất phương trình trở thành : t + 5 t – 6 > 0 ⇔ t 2 – 6t + 5 ≥ 0 ⇔ t 1 t 5  ≤  ≥   t ≤ 1 ⇔ 2 x x 5 − ≤ 1 ⇔ x 2 – x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1  t ≥ 5 ⇔ 2 x x 5 − ≥ 5 ⇔ x 2 – x ≥ 1 ⇔ x 2 – x – 1 ≥ 0 ⇔ 1 5 x 2 1 5 x 2  − ≤    + ≥  Tập nghiệm : S = [0 ; 1] ∪ (–∞ ; ?] ∪ [? ; +∞) M9*.Giải bất phương trình sau : a) 4.9 x + 12 x – 3.16 x > 0 b) 4 x + 6 x ≥ 10.9 x – 1 c) 4 x – 2.5 2x < 10 x a) 4.9 x + 12 x – 3.16 x > 0 Chia hai vế cho 16 x ta được : 2x x 3 3 4. 3 0 4 4     + − >  ÷  ÷     Đặt : t = x 3 4    ÷   , t > 0. Ta được : 4t 2 + t – 3 > 0 ⇔ t 1 3 t 4  < −   >   Giao điều kiện nhận : t > 3 4 ⇔ x 3 4    ÷   > 3 4 ⇔ x > 1 Tập nghiệm : S = (1 ; +∞) b) 4 x + 6 x ≥ 10.9 x – 1 ⇔ 4 x + 6 x ≥ 10.9 x – 1 Chia hai vế cho 9 x ta được : 2x x 2 2 10 3 3 9     + ≥  ÷  ÷     . Đặt : t = x 2 3    ÷   , t > 0 Bất phương trình trở thành : t 2 + t ≥ 10 9 ⇔ 9t 2 + 9t – 10 ≥ 0 ⇔ 5 t 3 2 t 3  ≤ −    ≥   Giao điều kiện nhận : t ≥ 2 3 ⇔ x 2 3    ÷   ≥ 2 3 ⇔ x ≥ 1 Tập nghiệm : S = [1 ; +∞) c) 4 x – 2.5 2x < 10 x Chia hai vế cho 10 x ta được : x x 2 5 2 1 5 2     − <  ÷  ÷     ⇔ x x 2 2 1 5 2 5   − <  ÷      ÷   Đặt : t = x 2 5    ÷   , t > 0 . Ta được : 2 t 1 t − < ⇔ t 2 – t – 2 < 0 ⇔ – 1 < t < 2 Giao điều kiện nhận : 0 < t < 2 ⇔ 0 < x 2 5    ÷   < 1 ⇔ x > 0 Tập nghiệm : S = (0 ; +∞) M11.Giải bất phương trình sau : a) x x 3 3 3 2 < − b) x x 1 1 1 3 5 3 1 + ≤ + − a) x x 3 3 3 2 < − Đặt : t = 3 x . Ta được : t 3 t 2 < − ⇔ t 3 0 t 2 − < − ⇔ 2t 6 0 t 2 − + < − ⇔ t 2 t 3  <  >  ⇔ x x 3 2 3 3  <  >   ⇔ 3 x log 2 x 1  <  >  Tập nghiệm : S = (– ∞ ; log 3 2) ∪ (1 ; +∞) Giải tích 12 > < > < 5 THPT Lưu Tấn Phát b) x x 1 1 1 3 5 3 1 + ≤ + − Đặt : t = 3 x ¬ không đặt đk t > 0 cũng được Bất phương trình trở thành : 1 1 t 5 3t 1 ≤ + − ⇔ 1 1 0 t 5 3t 1 − ≤ + − ⇔ − ≤ + − 2t 6 0 (t 5)(3t 1) ⇔  < −   < ≤   t 5 1 t 3 3 ⇔  < −   < ≤   x x (VN)3 5 1 3 3 3 ⇔ – 1 < x ≤ 1 Tập nghiệm : S = (– 1 ; 1] PHỤ LỤC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2  Dạng : ax 2 + bx + c 0  PP : Xét dấu vế trái → tìm nghiệm  VD :  x 2 – x – 6 > 0 ⇔ < −   >  x 2 x 3  x 2 – x – 6 ≤ 0 ⇔ – 2 ≤ x ≤ 3  x 2 – 12 ≥ 0 ⇔  ≤ −  ≥   x 2 3 x 2 3  x 2 – 12 < 0 ⇔ − < <2 2 x 2 2  x 2 + 4x + 4 ≥ 0 ⇔ x ∈ IR  x 2 + 4x + 4 ≤ 0 ⇔ x = – 2  x 2 + 4x + 4 > 0 ⇔ x ≠ – 2  x 2 + 4x + 4 < 0 (vơ nghiệm)  x 2 – x + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ IR  x 2 – x + 1 ≤ 0 (vơ nghiệm)  x 2 – x + 1 > 0 ⇔ x ∈ IR  x 2 – x + 1 < 0 (vơ nghiệm) BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THƯƠNG  Dạng : P(X) Q(x) 0  PP : Xét dấu vế trái → tìm nghiệm tử, mẫu  VD :  + − x 2 x 1 > 0 ⇔ < −   >  x 2 x 1  + − x 2 x 1 ≤ 0 ⇔ – 2 ≤ x < 1  + − − 2 x x 12 5 x ≤ 0 ⇔ – 4 ≤ x ≤ 3 hoặc x > 5 S = [– 4 ; 3] ∪ (5 : +∞) Giải tích 12 + −2 3 o o + -- −∞ +∞ x VT + − 2 3 2 3 o o + -- −∞ +∞ x VT + −2 o + −∞ +∞ x VT + −∞ +∞ x VT + −2 o + −∞ +∞ x VT 1 -- + −4 o + −∞ +∞ x VT 5 -- 3 o -- 6 THPT Lưu Tấn Phát Giaûi tích 12 . Để gi i BPT bậc hai ax 2 + bx + c <> 0 hoặc BPT dạng thương ta xét dấu vế tr i. (xem phụ lục) VÍ DỤ MINH HỌA (Có nhiều cách trình bày l i gi i) DẠNG. ≤ −2 1 ⇔ 1 1 x ≥ ⇔ 1 1 0 x − ≥ Gi i tích 12 giữ chiều đ i chiều 2 THPT Lưu Tấn Phát ⇔ 1 x 0 x − ≥ ⇔ 0 < x ≤ 1 Tập nghiệm : S = (0 ; 1] e) 1 3 2x 1 log