Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức Trong chuyên đề này chúng ta sẽ sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức.Nội dung của chuyên đề này hết sức đơn giản đó là : Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng Khi đó ta có thể xem vế trái của (*) là một tam thức bậc hai của một biến nào đó rồi sử dụng định lí thuận hoặc định lí đảo của tam thức bậc hai để chứng minh (*). Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai. Bài 1)Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác còn x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện ax+by+cz=0.Chứng minh (1) Bài giải: Từ ax+by+cz=0 Vậy: (1) (2) Nếu y=0 thì (2) -->(2) đúng -->(1) đúng. Nếu ,khi đó: Quan niệm vế trái của (3) là tam thức bậc hai của có hệ số của là a>0 và Từ |b-c|<a--> , tương tự và Vậy --> nên vế trái của (3) luôn >0-->(3) đúng -->(1) được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0 Bài 2)Cho và abc=1.Chứng minh rằng: Từ abc=1 và do nên chắc chắn a>0.Ta có: (1) Xét tam thức bậc hai Ta có hệ số của là 1>0 và Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x)>0 với mọi x đúng-->dpcm Dạng 2)Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Bài 1)Cho (a+c)(a+b+c)<0.Chứng minh: Nếu a=0 thì từ giả thiết ta có c(b+c)<0 (1) Bất đẳng thức phải chứng minh có dạng (2) Từ (1) suy ra vậy (2) đúng -->dpcm. Nếu xét tam thức bậc hai sau: Từ f(0)=a+b+c ; f(-1)=2(a+c) -->từ gải thiết ta có f(0)f(-1)<0.Theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai suy ra phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt .hay Một số bài tập vận dụng: 1)Cho các số a,b,c,d,m,n thảo mãn : .Chứng minh rằng: 2)Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta đều có: Trên đây là một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức điển hình , rất mong sau khi đọc xong bài viết này các bạn có thể vận dụng vào những bài bất đẳng thức thành thạo hơn. . Phương pháp tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức Trong chuyên đề này chúng ta sẽ sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh. xem vế trái của (*) là một tam thức bậc hai của một biến nào đó rồi sử dụng định lí thuận hoặc định lí đảo của tam thức bậc hai để chứng minh (*). Dạng