Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian TỔNG HỢP LÝ THUYẾT – PHÂN DẠNG BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau Phương pháp : * Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) - Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P). - Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) . * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau . - Chứng minh hai đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia . - Nêú hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng . 2. Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước . Cho khối đa diện (H) , ta tìm thiết diện của (H) với mặt phẳng (P) , (P) qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước . - Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a,b cùng vuông góc với d thì : (P) // a (hay chứa a) (P) // b (hay chứa b) Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên . - Dựng mặt phẳng (P) như sau : Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d , trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M . mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng trên chính là (P) . Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học . Đường vuông góc và đường xiên . 1. Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước . Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp : Thực hiện các bước sau : *Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng ). *Xác định đường thẳng ( ) ( )c P Q= ∩ * Dựng AH vuông góc với c tại H - Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vuông góc với (P) . - Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P) Chú ý : - Trước khi chọn d và dựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío sẵn trên hình vẽ chưa. - Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m thì Ax (P)⊥ - Nếu AB // (P) thì khoảng cách giữa đường và mặt song song có. d(A,(P)) = d(B, (P)) - Nếu AB cắt (P) tại I thì tỉ số khoảng cách. d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 2. Ứng dụng của trục đường tròn Định nghĩa : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó . Ta có thể dùng tính chất của trục đường tròn để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . - Nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là một điểm cách đều 3 điểm A,B,C thì đường thẳng MO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; khi đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M, (ABC)) An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 1 Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian - Nếu MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đó A,B,C là ba điểm không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A,B,C; khi đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương tròn qua ba điểm A,B,C . 3. Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm cố định A trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luôn đi qua điểm cố định O . Phương pháp : - Dựng ( ),( ( ))AH P H P⊥ ∈ , theo định lý ba đường vuông góc ta có HM d⊥ - Trong mặt phẳng (P), · 1HMO v= nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P) 4. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của một điểm cố định trên mặt phẳng di động . Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H của một điểm cố dịnh A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đường thẳng d cố định . Phương pháp : - Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d - Tìm ( ) ( )c P Q= ∩ - Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P) . Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q), · 1AHE v= nên H thuộc đường tròn đường kính AE . 5. Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng Cách xác định góc giữa a và (P) . Phương pháp : - Tìm giao điểm O của a với (P) - Chọn điểm A a∈ và dựng ( ),( ( ))AH P H P⊥ ∈ khi đó · · AOH ( ,( ))a P= Mặt phẳng vuông góc 1. Mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . Phương pháp : - Cách 1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia . - Cách 2 : chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 90 0 . * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . - Cách 1 : Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P) . - Cách 2 : Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) . - Cách 3 : Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A, B, C thuộc (P) . - Cách 4 : Sử dụng định lý : " Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với (P) " . - Cách 5 : Sử dụng định lý :" Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P) thì a v/góc với (P) ". 2. Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng . Thiết diện . Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a không vuông góc với (P) . Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) . Phương pháp : - Từ một điểm trên a dựng b vuông góc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b) . Chú ý : Nếu có đường thẳng ( )d P⊥ thì (Q) // d hay (Q) chứa d . An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 2 Quan H Vuụng Gúc Trong Khụng Gian A. CC VN CHNH: 1. Vộct, cỏc phộp toỏn vộct trong khụng gian v ng dng. 2. Chng minh vuụng gúc: ng thng vuụng gúc vớ ng thng, ng thng vuụng gúc vi mt phng v hai mt phng vuụng gúc. 3. Cỏc bi toỏn tớnh gúc: Gúc gia ng thng v ng thng, ng thng v mt phng, gúc gia hai mt phng. 4. Cỏc bi toỏn tớnh khong cỏch: Khong cỏch T mt im n mt ng thng, n mt mt phng. Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau v cỏch loi khong cỏch quy v dng trờn. 5. Bi toỏn dng thit din, tớnh din tớch thi din. 6. Mt phng trung trc, trc ng trũn, tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp v lng tr. 7. Cỏc hỡnh a din c bit v tớnh cht ca nú. B. BI TP: Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng: 1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. a) Chứng minh BC (SAB) b) Gọi AH là đờng cao của SAB. Chứng minh: AH (SBC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) SO (ABCD) b) IJ (SBD) 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. c) Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC) d) Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK) e) Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy ra HK AI 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC f) Chứng minh: BC (AID) g) Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH (BCD) 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Goị H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chứng minh rằng: a) BC (OAH) b) H là trực tâm của ABC c) 2222 1111 OCOBOAOH ++= 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = 2a . Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD. .a Chứng minh: SH (ABCD) .b Chứng minh: AC SK và CK SD 7. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đờng tròn (O; R). CD là dây cung của đờng tròn (O) qua I. Trên đ- ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng: a. Tam giác SDE vuông ở S b. SD CE c) Tam giác SCD vuông. An Vn Long THPT Trn Hng o page 3 Quan H Vuụng Gúc Trong Khụng Gian Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc: 8. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD a. Chứng minh: AB (BCD) b. Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC) c. Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH (ADC) 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 60 0 , SA (ABCD) và SA = 6a . Chứng minh: a. (SAC) (ABCD) và (SAC) (SBD) b. (SBC) (SDC) 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh: SO (ABCD); (SAC) (SBD) b. Một mặt phẳng ( ) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D. Chứng minh AC BD và 2 tam giác ABC và ADC đối xứng với nhau qua mp(SAC) 11.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn SD = 6 2 a vuông góc với (ABC). Chứng minh: a. Mặt phẳng (SAB) (SAC) b. Mặt phẳng (SBC) (SAD) 12.Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD = 2 3 a . Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đờng chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB=a. a. Chứng minh tam giác ASC vuông b. Chứng minh: (SAB) (SAD) 13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a. (ABC) (BCD) b. (ABC) (ACD) 14.Cho ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với (ABC) a. (ABB) (ACC) b. Gọi AH, AK là các đờng cao của các tam giác ABC và ABC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với (AHK) Loại 3: Góc của 2 đ ờng thẳng: 15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với AB và AD, SA = 2 3 3 a . Tính góc của 2 đờng thẳng: a. SB và DC (30 0 ) b. SD và BC (cos = 42 14 ) 16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. An Vn Long THPT Trn Hng o page 4 Quan H Vuụng Gúc Trong Khụng Gian Tính góc giữa AB và CI (cos = 3 6 ) 17.Cho hình lập phơng ABCD.ABCD a) Tính góc giữa: AB và BC; AC và CD (60 0 và 90 0 ) b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CD. Hãy tính góc giữa: MN và CD; BD và AD; AP và DN. (60 0 , 45 0 , 90 0 ) Loại 4: Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng: 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 6a vuông góc với đáy. Tính góc của: a) SC với (ABCD) (60 0 ) b) SC với (SAB) 7 tan 7 = ữ c) SB với (SAC) 14 sin 14 = ữ 19. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB. a) Chứng minh SI (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) 15 tan 5 = ữ b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD) 3 6 ;sin 2 4 a = ữ c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) (ABCD). Tính góc hợp bởi SI với (SDC) 2 tan 3 = ữ 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lợt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60 0 a) Tính MN, SO 10 30 ; 2 2 a a MN SO = = ữ b) Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD) 2 sin 5 = ữ Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng: 21. Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (60 0 ) 22. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (30 0 ) b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy 2 tan 3 = ữ 23. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 0 và hình chiếu H của đỉnh A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC. a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2) b) Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC (tan = 3) c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABBA) và mặt đáy ( ) tan 2 3 = An Vn Long THPT Trn Hng o page 5 Quan H Vuụng Gúc Trong Khụng Gian 24. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = 3a vuông góc với (ABCD). Tính góc: a) (SAB) và (ABC) (90 0 ) b) (SBD) và (ABD) ( ) tan 6 = c) (SAB) và (SCD) (30 0 ) 25. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 60 0 (SA = a) 26. Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB = 3 a , vẽ SO (ABCD) và SO = 6 3 a a) Chứng minh: góc ASC = 90 0 b) Chứng minh: (SAB) (SAD) 27. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, DBC vuông cân tại D. Biết AB = 2a, AD = 7a . Tính góc giữa (ABC) và (DBC) (30 0 ) Loại 6: Các bài toán về khoảng cách: 28. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (BCD) và AB = a. Tính k/c: a) Từ D đến (ABC) ( 3 2 a ) b) Từ B đến (ACD) ( 21 7 a ) 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB = b. Tính khoảng cách: a) Từ S đến (ABCD) ( 2 2 1 4 2 b a ) b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB ( 5 5 a ) c) Từ AD đến (SBC) ( 2 2 4 2 a b a b ) 30. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SC = SA = SB = AD = a 2 . Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC a) Chứng minh (SIJ) (SBC) b) Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB ( 42 7 a ) 31. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng(BCCB) ( 3 2 a ) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) ( 21 7 a ) c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACCA) và tính d(A ,(ABC)) ( 2 2 a ) 32. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng SA = a và SA (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: An Vn Long THPT Trn Hng o page 6 Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian a) SB µ AD b) AB vµ SC ( 2 2 a ; 2 2 a ) 33. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = a vµ vu«ng gãc víi ®¸y. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®êng th¼ng: a) SC vµ BD b) AC vµ SD ( 6 6 a ; 3 3 a ) An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 7 . Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian TỔNG HỢP LÝ THUYẾT – PHÂN DẠNG BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Đường. (hay chứa b) Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên . - Dựng mặt phẳng (P) như sau : Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng