I. Đặt vấn đề Trong chơng trình toán ở trờng phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho ngời làm toán trí thông minh, sự sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một công cụ sắc bén của toán học. Nhng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Đã có rất nhiều tài liệu đa ra một số phơng pháp rất tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn: - Phơng pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Phơng pháp sử dụng tam thức bậc 2. - Phơng pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển. - Phơng pháp sử dụng phản chứng. - Phơng pháp sử dụng quy nạp. - Phơng pháp sử dụng đạo hàm. - Phơng pháp sử dụng hình học. - Phơng pháp sử dụng hàm lồi. Mặc dù vậy song vẫn là cha đủ bởi sáng tạo của mỗi ngời làm toán là vô hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phơng pháp l- ợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Phơng pháp l- ợng giác hoá đã đợc một số sách của các tác giả đề cập nh giáo s Phan Đức Chính, giáo s Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu . viết. Nhng do cấu trúc mục tiêu của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phơng pháp này hay nói cách khác là cha thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó. Là một giáo viên gần 20 năm giảng dạy với các đối tợng học sinh khá giỏi của các lớp chọn tôi đã phân chia phơng pháp này thành 5 dạng bài tập. Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để thực hiện các bớc lợng giác hoá bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số, để rồi dùng các kết quả của bất đẳng thức lợng giác chứng minh bất đẳng thức đại số. Qua thực tế giảng dạy ở các lớp chọn khối 11 trờng THPT tôi nhận thấy việc phân chia dạng của tôi là hợp lý, lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng tìm ra ph- ơng pháp chứng minh đợc bất đẳng thức bằng cách áp dụng các phơng pháp t duy này của tôi. Tôi sẽ trình bày về hiệu quả của phơng pháp này đối với học sinh ở phần 4 kết quả trắc nghiệm thực tế của sáng kiến. Các tài liệu tham khảo 1. Bất đẳng thức của giáo s Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 1995. 2. Các bài toán chọn lọc về bất đẳng thức 2 tập của giáo s Phan Huy Khải - NXB Giáo dục Hà Nội 2000. 3. Phơng pháp lợng giác hoá của PTS Vũ Thế Hựu - NXB Giáo dục 2002. 1 II. giải quyết vấn đề 1. Các kiến thức cần nắm 1.1. Các hệ thức cơ bản + 1sincos 22 =+ + 1 + tg 2 = )k 2 ( cos 1 2 + + tg . cotg = 1 ( 2 k ) + 1 + cotg 2 = )k( sin 1 2 1.2. Công thức cộng góc + cos( ) = cos cos sin sin + sin( ) = sin cos cos sin + tg ( ) = )k 2 ;( tgtg1 tgtg + + cotg( ) = gcotgcot 1gcot.gcot )k;( 1.3. Công thức nhân + sin2 = 2 sin cos + cos2 = cos 2 - sin 2 = 2cos 2 - 1 = 1 - 2sin 2 + tg2 = ) 2 k 4 ( tg1 tg2 2 + + cotg2 = ) 2 k ( gcot2 1gcot 2 + sin3 = 3sin - 4sin 3 + cos3 = 4cos 3 - 3cos + tg3 = 3 k 6 ( tg31 tgtg3 3 3 + ) 1.4. Công thức hạ bậc + cos 2 = 2 2cos1 + + sin 2 = 2 2cos1 + tg 2 = + 2cos1 2cos1 )k 2 ( + 1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích: + cos + cos = 2cos 2 cos 2 + + cos - cos = - 2sin 22 sin + + sin + sin = 2sin 22 cos + + sin - sin = = - 2cos 2 sin 2 + + tg tg = cos.cos )sin( )k 2 ;( + 1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng: 2 + cos.cos = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.sin = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.cos = )]sin()[sin( 2 1 ++ 2. Nội dung của sáng kiến Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác ở nhiều sách đều đa ra các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác rất mơ hồ cha có hệ thống, cha phân chia thành các dạng bài tập. Với các kiến thức về chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác mà tôi đợc biết tôi đã phân chia thành 5 dạng bài tập cơ bản mà tôi sẽ giới thiệu sau đây. Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đa ra phơng pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển 1 vế của bất đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức l- ợng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bằng các bất đẳng thức lợng giác đơn giản nh: 2 2 | sin | 1;| cos | 1; sin 1; cos 1 ( *) n n n N * Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lợng giác sau đều có nghĩa) Biểu thức đại số Biểu thức lợng giác tơng tự Công thức lợng giác 1 + x 2 1 + tg 2 t 1+tg 2 t = tcos 1 2 4x 3 - 3x 4cos 3 t - 3cost 4cos 3 t - 3cost = cos3t 2x 2 - 1 2cos 2 t - 1 2cos 2 t - 1 = cos2t 2 x1 x2 ttg1 tgt2 2 ttg1 tgt2 2 = tg2t 2 x1 x2 + ttg1 tgt2 2 + ttg1 tgt2 2 + = sin2t xy1 yx + + tgtg1 tgtg + tgtg1 tgtg = tg(+) x 2 - 1 1 cos 1 2 1 cos 1 2 = tg 2 . một số phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1 1) Ph ơng pháp: 3 a) Nếu thấy x 2 + y 2 = 1 thì đặt = = cosy sinx với [0, 2] b) Nếu thấy x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) thì đặt = = cosay sinax với [0, 2] 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 Chứng minh rằng: 2 S = a(c+d) + b(c-d) 2 Giải: Đặt = = ucosb usina và = = vcosd vsinc S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) 2)dc(b)dc(aS2]2,2[ 4 )vu(sin2S ++= += (đpcm) VD2: Cho a 2 + b 2 = 1. Chứng minh rằng: 2 25 b 1 b a 1 a 2 2 2 2 2 2 ++ + Giải: Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos b 1 b a 1 a ++ += ++ + = cos 4 + sin 4 + 4 sin.cos sincos sincos4 sin 1 cos 1 44 44 44 44 + + ++=+ + = ( ) 4 sin.cos 1 1sincos 44 44 + ++ = ( ) [ ] 4 sin.cos 1 1sincos2sincos 44 2222 + ++ = 2 25 4 2 17 4)161( 2 1 14 2sin 16 12sin 2 1 1 4 2 =+=++ + + (đpcm) Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a 2 +b 2 =1 VD3: Cho a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng: A = 2334b)324(a)321(2ab32ba 22 ++++ Giải: Biến đổi điều kiện: a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1) 2 + (b-2) 2 = 1 4 Đặt += += += = = cossin32cossinA cos2b sin1a cos2b sin1a 22 A 2) 6 2sin(22cos 2 1 2sin 2 3 22cos2sin3 === (đpcm) VD4: Cho a, b thoả mãn : 7 12b 5a ++ = 13 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 (a-1) 2 + (b + 1) 2 1 Đặt =+ = cosR1b sinR1a với R 0 222 R)1b()1a( 1cosRb 1sinRa =++ = += Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+++=++ R 13 5 arccossinRcos 13 12 sin 13 5 R113cosR12sinR5 +=+==+ Từ đó (a-1) 2 + (b+1) 2 = R 2 1 a 2 + b 2 + 2(b - a) - 1 (đpcm) II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin| 1. Ph ơng pháp : a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x khi x khi = = b) Nếu thấy |x| m ( 0m ) thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x m khi x m khi = = 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x) p + (1-x) p 2 p |x| 1 ; P 1. Giải: Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x) p + (1 - x) p = (1+cos) p + (1-cos) p = p22pp2p2p p 2 p 2 2 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2 sin2 2 cos2 = + + = + 5 (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng: 23123223 22 +≤−+=≤− aaaA Gi¶i: Tõ ®k 1 - a 2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 nªn §Æt a = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 2 a1 − = sinα. Khi ®ã ta cã: A= α+α+=αα+α=−+ 2sin)2cos1(3sincos2cos32a1a2a32 222 = 3 3 2sin232sin 2 1 2cos 2 3 2 +       π +α=+       α+α 2323 +≤≤−⇒ A (®pcm) VD3: Chøng minh r»ng: [ ] )(a)a()a(a 122221111 2332 −+≤−−+−+ Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ α=− α =+ α =− sina1; 2 cos2a1; 2 sin2a1 2 (1)⇔ 2 cos 2 sin2222 2 sin 2 cos22. 2 cos 2 sin21 33 αα +≤       α − ααα + ⇔ 2 cos 2 sin1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 αα +≤       α + αα + α       α − α       α + α ⇔ 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 ≤α= α − α =       α − α       α + α ®óng ⇒ (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: S = ( ) ( ) 21314 2332 ≤−−+−− aaa)a( Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 2 a1 − = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4 3333 α−α+α−α=α−α+α−α = 2 4 3sin23cos3sin ≤       π +α=α+α ⇒ (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng A = ( ) 211311 2222 ≤−−−+−+− )b)(a(ababba Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a 2 ≥ 0 ; 1 - b 2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn. §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈       ππ − 2 ; 2 Khi ®ã A = )cos(3sincoscossin β+α−βα+βα = = 2 3 )(sin2)cos( 2 3 )sin( 2 1 2)cos(3)sin( ≤       π −β+α=β+α−β+α=β+α−β+α (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a 3 - 24a 2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] 6 Giải: Do a [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos. Ta có: A = 13342624522424 323 ==++++ coscoscos)cos()cos()cos( (đpcm) VD7: Chứng minh rằng: A = 2 2 3 3 2 [0, 2]a a a a + Giải: Do a [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ]. Ta có: A = =+++ coscos)cos()cos()cos( 31313112 22 = 2 3 sin2cos 2 3 sin 2 1 2cos3sin += = (đpcm) III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg 2 = 1 cos 1 tg cos 1 2 2 2 = )k( + 2 1) Ph ơng pháp: a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức 1x 2 thì đặt x = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức 22 mx thì đặt x = cos m với 2 3 , 2 ;0 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng A = 2 1 3 2 1 a a a + Giải: Do |a| 1 nên : Đặt a = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 == tgtg1a 22 . Khi đó: A = 2 3 sin2cos3sincos)3tg( a 31a 2 +=+=+= + (đpcm) VD2: Chứng minh rằng: - 4 A = 2 2 a 1a125 9 1a Giải: Do |a| 1 nên: Đặt a = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 == tgtg1a 22 . Khi đó: 7 A = 2 2 a 1a125 = (5-12tg)cos 2 = 5cos 2 -12sincos= + 2sin6 2 )2cos1(5 = ++= + 13 5 arccos2cos 2 13 2 5 2sin 13 12 2cos 13 5 2 13 2 5 - 4 = 91. 2 13 2 5 13 5 arccos2cos 2 13 2 5 A)1( 2 13 2 5 =+ ++=+ (đpcm) VD3: Chứng minh rằng: A = ab 1b1a 22 + 1 ; 1a b Giải: Do |a| 1; |b| 1 nên . Đặt a = cos 1 ; b = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 . Khi đó ta có: A = 1)sin(cossincossincoscos)tgtg( +=+=+ (đpcm) VD4: Chứng minh rằng: a + 22 1a a 2 1a > Giải: Do |a| > 1 nên: Đặt a = cos 1 với = = sin 1 tg 1 . cos 1 1a a 2 ;0 22 . Khi đó: a+ 22 2sin 22 sin 1 . cos 1 .2 sin 1 cos 1 1a a 2 = + = (đpcm) VD5: Chứng minh rằng 26xy31y41xy 22 ++ ; 1x y Giải: Bất đẳng thức )( yy y xx x 126 3 14 1 1 2 2 + + Do |x|; |y| 1 nên Đặt x = cos 1 ; y= cos 1 với , 2 ,0 . Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos) 26 Ta có: S sin + cos +=++ cos5sin)cos)(sin34( 2222 2 2 2 2 (1 5 )(sin cos ) 26 + + = (đpcm) IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg 2 = 2 cos 1 1. Ph ơng pháp: a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x 2 ) thì đặt x = tg với 2 , 2 8 b) Nếu x R và bài toán chứa (x 2 +m 2 ) thì đặt x = mtg với 2 , 2 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: S = 1 1 4 1 3 32 3 2 + + )x( x x x Giải: Đặt x = tg với 2 , 2 =+ cos x 1 1 2 , khi đó biến đổi S ta có: S = |3tg.cos - 4tg 3 .cos 3 | = |3sin - 4sin 3 | = |sin3| 1 (đpcm) VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 22 42 )a21( a12a83 + ++ Giải: Đặt a 2 = tg với 22 , thì ta có: A = 22 42 )tg1( tg3tg43 + ++ = += + ++ 22222 222 4224 cossin2)cos(sin3 )sin(cos sin3cossin4cos3 = 3 - 3 2 0 2 2 2sin 3A 2 1 3 2 5 2 2sin 22 = == Với = 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với = 4 a = 2 1 thì MinA = 2 5 VD3: Chứng minh rằng: 2 1 )b1)(a1( )ab1)(ba( 22 ++ + a, b R Giải: Đặt a = tg, b = tg. Khi đó )tg)(tg( )tgtg)(tgtg( )b)(a( )ab)(ba( ++ + = ++ + 2222 11 1 11 1 = + cos.cos sin.sincos.cos . cos.cos )sin( .coscos 22 = [ ] 2 1 2 2 1 +=++ )(sin)cos()sin( (đpcm) VD4: Chứng minh rằng: c,b,a )a1)(c1( |ac| )c1)(b1( |cb| )b1)(a1( |ba| 222222 ++ ++ + ++ Giải: Đặt a = tg, b = tg, c = tg. Khi đó bất đẳng thức )tg1)(tg1( |tgtg| )tg1)(tg1( |tgtg| )tg1)(tg1( |tgtg| 222222 ++ ++ + ++ + cos.cos )sin( .coscos cos.cos )sin( .coscos cos.cos )sin( .coscos |sin(-)|+|sin(-)| |sin(-)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có: 9 |sin(-)|= |sin[(-)+(-)]| = |sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)| |sin(-)cos(-)|+|sin(-)cos(-)|=|sin(-)||cos(-)|+|sin(-)||cos(-)| |sin(-)|.1 + |sin(-)|.1 = |sin(-)| + |sin(-)| (đpcm) VD5: Chứng minh rằng: 0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >+++ Giải: (1) 1 d b 1 a c 1 ab cd d b 1 a c 1 1 1 )db)(ca( cd )db)(ca( ab + + + + + ++ + ++ Đặt tg 2 = a c , tg 2 = b d với , 2 ,0 Biến đổi bất đẳng thức 1sinsincoscos )tg1)(tg1( tg.tg )tg1)(tg1( 1 2222 22 22 22 += ++ + ++ cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm) Dấu bằng xảy ra cos(-) = 1 = b d a c = VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 1a |1a|4a6 2 2 + + Giải: Đặt a = tg 2 . Khi đó A = 1 2 tg 1 2 tg .4 2 tg1 2 tg2 .3 1 2 tg |1 2 tg |4 2 tg6 2 2 22 2 + + + = + + A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A 2 = (3sin + 4 |cos|) 2 (3 2 + 4 2 )(sin 2 + cos 2 ) = 25 A 5 Với sin = 1 a = 1 thì MinA = - 3 ; với 4 |cos| 3 sin = thì MaxA = 5 V. Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác 1) Ph ơng pháp: a) Nếu =+++ > 12 0 222 xyzzyx z;y;x thì === Ccosz;Bcosy;Acosx ) 2 ;0(C;B;A :ABC 10 [...]... (đpcm) 3 Các bài toán đa ra trắc nghiệm Trớc khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2 lớp 11A1 và 11A2 ở trờng tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trớc trong thời gian 2 tuần Với các bài tập sau: Bài 1: Cho a2 + b2 = 1 CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| 13 Bài 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5 CMR: 2a + b 10 a; b 0 Bài 3: Cho CMR: a a+ b= 2 4 Bài 4: Cho a;... kiến trong phần ôn tập kỳ I của lớp 11 tôi đã chọn 2 lớp 11A1 và 11A2 là 2 lớp chọn trong đó 11A1 là lớp chọn A còn 11A2 là lớp chọn B vì vậy với kiến thức của các em lớp 11A1 khá hơn lớp 11A2 tôi sẽ dùng 2 lớp này để tiến hành làm đối chứng cụ thể nh sau: Đầu tiên tôi đã ra bài về nhà cho các em các bài tập 1, 4, 9 của 10 bài tập trên Yêu cầu các em cả 2 lớp 11A1 và 11A2 làm 3 bài tập này ra giấy và... 11A2 song không đợc biết các phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thc nên hầu hết không làm đợc 3 bài tập tôi đã cho Nhng ngợc lại đối với kết quả bài làm của học sinh lớp 11A2 tôi thấy rất khả quan hầu hết các em đều làm đợc bài tập đầu còn bài tập 2 một số em đã không biết chuyển từ đầu bài về dạng 1 để giải một số khác đã biết biến đổi đợc bất đẳng thức để có thể áp dụng dạng 1 xong cha biến... dung 5 phơng pháp dùng lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số của tôi sau đó tôi đã ra bài về nhà bài tập 2, 5, 7 trong phần 10 bài tập trên và yêu cầu học sinh cả 2 lớp về nhà giải Kết quả thu đợc nh sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB 3-4 0-2 11A1 50 0 0 0 12 38 11A2 52 0 20 25 7 0 Nhìn vào kết quả trên và thực tế bài làm của học sinh tôi nhận thấy các em học sinh của lớp 11A1 mặc dù có t chất hơn lớp 11A2... 0 Với kết quả nh trên và thực tế bài làm của các em tôi nhận thấy các phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số mà tôi đa ra có kết quả tốt, nó là một công cụ rất hữu hiệu để giúp các em có thêm một cách mới để chứng minh bất đẳng thức đại số bổ sung cho các em một phơng pháp lợng giác hoá các bài toán nói chung làm cho các em tự tin hơn khi gặp các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong... đẳng thức có một phơng pháp t duy về chứng minh bất đẳng thức đại số Do kinh nghiệm cha có nhiều nên bài viết của tôi không tránh khỏi khuyếm khuyết mặc dù tôi đã rất cố gắng xắp xếp về mặt phơng pháp, lợng bài tập và cấu trúc của bài viết Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bài viết đợc tốt hơn Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn! Ngc Hi, ngày 04 tháng 12năm 2010 16 ... x; y; z > 0 Bài 5: Cho 2 2 2 x + y + z + 2xyz = 1 a) xyz 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a a b c CMR: 1 8 3 b) xy + yz + zx 4 3 c) x2 + y2 + z2 4 1 d) xy + yz + zx 2xyz + 2 e) 1 x 1 y 1z + + 3 1+ x 1+ y 1+ z 13 Bài 6: CMR: 1 1+ a 2 + 1 1+ b 2 2 1 + ab a, b (0, 1] Bài 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9 (ab + bc + ca) a, b, c > 0 x, y, z > 0 x y z 33 Bài 8: Cho CMR... cao vì một số em lớp 11A2 tiếp thu các phơng pháp chậm, ứng dụng giải bài tập cha sáng tạo Vì vậy tôi quyết định thực nghiệm lần thứ 3, tôi dạy cả lớp 11A1 và 11A2 vào một buổi chiều 3 tiết dạy đầy đủ 5 phơng pháp và các ví dụ minh hoạ, tôi gọi các em lên bảngáp dụng giải các ví dụ tại lớp thấy các em làm rất tốt, sau đó tôi cho bài tập 3, 6, 8, 10 về nhà và yêu cầu các em nộp cho tôi vào ngay ngày hôm... và thực tế bài làm của các em tôi thấy hầu hết các em không làm đợc ở lớp 11A1 Một số em biết làm bài tập 1 bằng phơng pháp đặt "a=sin", "b=cos" xong cha đi đến bất đẳng thức cần chứng minh, lớp 11A2 hầu hết các em không làm đợc hoặc bế tắc hoàn toàn Đứng trớc thực trạng 14 nh vậy tôi quyết định đa sáng kiến của tôi dạy cho lớp 11A2 là lớp có vốn kiến thức yếu hơn so với lớp 11A1 Tôi đã tập trung các... học sinh, việc tiếp thu kiến thức mới và công việc giải toán thì ngời thầy giáo phải là ngời tiên phong trong việc phát huy tính tích cực của mình để tìm ra những phơng pháp giải toán mới, tìm ra những công cụ mới để ngày càng hoàn thiện hơn bản thân và cống hiến cho những ngời làm toán những công cụ hữu hiệu để có thể đi sâu vào thế giới của toán học Trên đây là ý kiến của tôi về một số phơng pháp