Đang tải... (xem toàn văn)
TÓM TẮT GIÁO KHOA TOÁN 12 - PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 PH N I TĨM T T GIÁO KHOA A ð I S I PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH Phương trình b c hai Cho phương trình b c hai ax + bx + c = (a ≠ 0) (3) có ∆ = b2 − 4ac 2) ∆ = : (3) có nghi m kép x = − 1) ∆ < : (3) vô nghi m 3) ∆ > : (3) có hai nghi m phân bi t x1,2 = b 2a −b ± ∆ −b ± b2 − 4ac = 2a 2a ð nh lý Vi–et (thu n ñ o) S = x + x = − b 2 a 1) Cho phương trình ax + bx + c = có hai nghi m x1, x2 c P = x x = a S = x + y x, y nghi m c a phương trình X2 − SX + P = 2) N u bi t P = x.y B ng xét d u c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0, ∆ > : 2) a < 0, ∆ > : x −∞ x1 x2 +∞ x −∞ x1 x2 +∞ f(x) + – + f(x) – + – 3) a > 0, ∆ = : x −∞ f(x) + 5) a > 0, ∆ < : x −∞ f(x) xkép 4) a < 0, ∆ = : x −∞ f(x) – + +∞ + xkép 6) a < 0, ∆ < : x −∞ f(x) +∞ – B ng bi n thiên c a hàm s b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0: 2) a < 0: b x −∞ − +∞ x −∞ 2a f(x) +∞ +∞ f(x) CT −∞ +∞ – +∞ b 2a Cð − +∞ −∞ So sánh nghi m c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c v i m t s x < α < x2 < β 2) f(α ).f(β) < ⇔ α < x1 < β < x2 ∆ > 4) af(α) > ⇔ x1 < x2 < α S 3) af(α) > ⇔ α < x1 < x2 S >α 2 Phương trình đ i s b c cao Phương trình b c n t ng qt có d ng a x n + a1x n−1 + + a n −1x + a n = (a ≠ 0) Thông thư ng ta ch gi i đư c phương trình b c tr lên b ng cách nh m nghi m 7.1 Phương trình b c ba: ax3 + bx2 + cx + d = ( a ≠ ) (4) 1) Phương pháp gi i Bư c Nh m nghi m x = α c a (4) (b m máy tính) Bư c Chia ax + bx2 + cx + d cho ( x − α ) (dùng sơ đ Horner), đưa (4) v phương trình tích: (x − α)(ax2 + Bx + C) = 2) Sơ ñ Horner α a a b αa+b=B c αB+c=C Trang d αC+d=0 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 7.2 Phương trình b c b n đ c bi t a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = ( a ≠ ) (5) Phương pháp gi i: ð t t = x2, t ≥ (5) ⇔ at2 + bt + c = b) Phương trình có d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e v i a + c = b + d (6) Phương pháp gi i: ð t t = (x + a)(x + c), ñưa (6) v phương trình b c theo t c) Phương trình có d ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (7) a+b Phương pháp gi i: ð t t = x + , đưa (7) v phương trình trùng phương theo t d) Phương trình trùng phương ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = ( a ≠ ) (8) Phương pháp gi i + bx ± + c = Bư c Chia v cho x2, (8) ⇔ a x2 + 2 x x , ñưa (8) v phương trình b c hai theo t x P(x) >0 B t phương trình h u t Q(x) Bư c L p tr c xét d u chung cho P(x) Q(x) Bư c D a vào tr c xét d u ñ k t lu n nghi m ði u ki n ñ phương trình có nghi m kho ng (a; b) a) ð nh lý Hàm s f(x) liên t c [a; b] th a f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghi m (a; b) (ngư c l i khơng đúng) b) ð nh lý Bư c ð t t = x ± Hàm s f(x) liên t c [a; b] có f / (x) > (ho c f / (x) < ) kho ng (a, b) phương trình f(x) = có khơng q nghi m (a, b) II PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VƠ T Các h ng ñ ng th c c n nh A, A ≥ B 3B2 ; 2) A2 ± AB + B2 = A ± + ; 1) A2 = A = −A, A < 2 2 x + b − ∆ 4) ax + bx + c = a 2a 4a 3) (A ± B) = A ± B ± 3AB ( A ± B ) ; 3 2 Phương trình b t phương trình ch a giá tr t ñ i B ≥ 1) A = B ⇔ A2 = B2 ⇔ A = ±B ; 2) A = B ⇔ ; 3) A < B ⇔ − B < A < B ; A = ±B B > B ≥ 4) A < B ⇔ ; 5) A > B ⇔ B < ∨ −B < A < B A < −B ∨ A > B Phương trình b t phương trình vô t A ≥ ∨ B ≥ 1) A = B ⇔ ; 2) A = B ⇔ B ≥ ∧ A = B2 ; 3) A + B = ⇔ A = B = ; A = B A ≥ ∧ B ≥ ∧ C ≥ B ≥ 4) A + B = C ⇔ ñưa v d ng A = B ; 5) A > B ⇔ ; A+ B =C A > B ( 6) 9) ) A ≥ ∧ B > AB⇔ ∨ ; A ≥ A > B2 A ≥ ∨ B ≥ 10) 2n A = 2n B ⇔ ; A = B 7) 8) 11) A< 2n B ≥ A =B⇔ A = B2n III PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Hàm s mũ y = ax (a > 0) 1) Mi n xác ñ nh D = ℝ 3) 0< a< 1: Hàm ngh ch bi n ℝ lim a x = +∞, x →−∞ 2) Mi n giá tr G = (0; +∞) 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n ℝ lim a x = x →+∞ Trang lim a x = 0, x →−∞ lim a x = +∞ x →+∞ B ⇔ A < B; ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 M t s cơng th c c n nh (gi s ñi u ki n ñư c th a) 1) a = (a ≠ 0) ; 2) a−n = ; 3) a m a n = a m + n ; an 4) a m : a n = a m−n ; m a m am n 5) ( a ) = a ; 6) (ab) = a b ; 7) = ; 8) a n = a m m b b Hàm s logarit y = logax (0 < a ≠ 1) : y = logax ⇔ x = ay 2) Mi n giá tr G = ℝ 1) Mi n xác ñ nh D = (0; +∞) 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n D 3) < a < 1: Hàm ngh ch bi n D lim y = +∞, lim y = −∞ lim y = −∞, lim y = +∞ m n m.n m m m x → 0+ x →+∞ x → 0+ x →+∞ M t s công th c c n nh (gi s ñi u ki n ñư c th a) 1) a loga x = x ; 5) log aα b β = 2) eln x = x ; β log a b ; 6) log a b = ; α log b a 9) log a (bc) = log a b + log a c ; 3) a logb c = c logb a ; 7) log a b = log c b ; log c a 4) log a x2n = 2n log a x ; 8) log a b.log b c = log a c ; b 10) log a = log a b − log a c c Phương trình b t phương trình mũ b n a f(x) = b b > 1) ⇔ ; 0 < a ≠ f(x) = log a b b > f(x) < log b a f(x) > b a 3) ⇔ ; b ≤ 0 < a < ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ a f(x) > a g(x) 5) ⇔ f(x) < g(x) ; 0 < a < Phương trình b t phương trình logarit b n log f(x) = b 1) a ⇔ f(x) = a b ; 0 < a ≠ log f(x) > b 3) a ⇔ < f(x) < a b ; 0 < a < log f(x) > log a g(x) 5) a ⇔ < f(x) < g(x); 0 < a < a = ∀x ∈ ℝ : f(x), g(x) ∈ ℝ 2) a f(x) = a g(x) ⇔ ; 0 < a ≠ f(x) = g(x) b > f(x) > log b a f(x) > b a 4) ⇔ ; b ≤ a > ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ a f(x) > a g(x) 6) ⇔ f(x) > g(x) a > log f(x) = log a g(x) f(x) > 2) a ⇔ ; 0 < a ≠ f(x) = g(x) log f(x) > b 4) a ⇔ f(x) > a b ; a > log f(x) > log a g(x) 6) a ⇔ f(x) > g(x) > a > IV H PHƯƠNG TRÌNH a x + b1y = c1 Nh c l i: H phương trình b c nh t hai n a x + b2 y = c Trang ThS Đoàn Vương Nguyên ð t D= a1 a2 b1 c , Dx = b2 c2 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 b1 a , Dy = b2 a2 c1 c2 x = Dx / D 1) D ≠ : H phương trình có nghi m nh t y = Dy / D 2) D = 0, Dx ≠ ho c Dy ≠ : H phương trình vơ nghi m 3) D = Dx = Dy = 0: H có vơ s nghi m th a a1x + b1y = c1 ho c a2x + b2y = c2 H phương trình đ ng c p Phương pháp chung 1) Nh n xét y = có th a h phương trình khơng, n u có tìm x thu đư c nghi m 2) V i y ≠ , ñ t x = ty thay vào h phương trình gi i tìm t, y x 3) Th l i nghi m x + xy + y = y − x = Ví d : , 2 2x − xy + y = 2x y + 3xy = 16 H phương trình đ i x ng lo i I (c phương trình đ u đ i x ng) Phương pháp chung 1) Xét ñi u ki n, ñ t S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P) 2) Gi i h tìm S, P r i dùng Vi–et đ o tìm x, y x y + xy2 = 30 Ví d : x + y = 35 H phương trình đ i x ng lo i II a D ng (đ i v trí x y phương trình tr thành phương trình kia) Phương pháp chung Cách Tr hai phương trình cho nhau, đưa v phương trình tích, gi i x theo y (hay ngư c l i) r i th vào m t hai phương trình c a h x + 2x = y 2x + + − y = Ví d : , y + 2y = x 2y + + − x = Cách (n u cách không th c hi n ñư c) C ng tr l n lư t hai phương trình đưa v h m i tương đương g m hai phương trình tích (thơng thư ng tương ñương v i h m i) x − 2x = y Ví d : y − 2y = x Cách S d ng hàm s ñơn ñi u ñ suy x = y 2x + + − y = x = sin y Ví d : , 2y + + − x = y = sin x b D ng (ch có phương trình đ i x ng) Cách ðưa phương trình ñ i x ng v d ng tích, gi i y theo x th vào phương trình cịn l i x − = y − Ví d : x y 2x − xy − = Cách Thư ng ñưa v d ng f(x) = f(y) ⇔ x = y v i hàm f(x) ñơn ñi u ex − ey = y − x Ví d : x y − 3y − 18 = H phương trình ch a mũ – logarit d ng khác Tùy t ng trư ng h p c th ch n phương pháp thích h p (thư ng dùng phương pháp th ) V B T ð NG TH C CAUCHY B t ñ ng th c Cauchy hai s Cho hai s không âm a b, ta có: a+b ≥ ab ð ng th c x y a = b Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 B t đ ng th c Cauchy n s Cho n s không âm a1, a2,…, an ta có: a1 + a + + a n ≥ n n a1.a a n ð ng th c a1 = a2 = … = an Chú ý: a + a2 + + a n n B t ñ ng th c Cauchy ngư c a1 a2 a n ≤ n VI S PH C S ph c phép tính b n a) ð nh nghĩa s ph c M i bi u th c d ng a + bi , a, b ∈ ℝ , i2 = −1 ñư c g i m t s ph c ð i v i s ph c z = a + bi , ta nói a ph n th c, b ph n o c a z T p h p s ph c ký hi u ℂ = { a + bi b) S ph c b ng a, b ∈ ℝ, i2 = −1 } a + bi = c + di ⇔ a = c b = d c) Bi u di n hình h c s ph c M i s ph c z = a + bi hồn tồn đư c xác b i m t c p s th c (a; b) ði m M(a; b) h t a ñ vng góc Oxy đư c g i m bi u di n s ph c z = a + bi d) Mơđun c a s ph c Gi s s ph c z = a + bi ñư c bi u di n b i ñi m M(a; b) m t ph ng t a ñ Oxy ð dài c a OM ñư c g i mơđun c a s ph c z ký hi u z V y a + bi = a + b2 e) S ph c liên h p Cho s ph c z = a + bi Ta g i a − bi s ph c liên h p c a z ký hi u z = a − bi NH N XÉT 1) Trên m t ph ng t a ñ ñi m bi u di n hai s ph c liên h p ñ i x ng v i qua tr c Ox 2) z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = a + bi hay z = z 3) z = a2 + (−b)2 = a + b2 = z f) Các phép tính b n 1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i 4) z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ; 3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; 5) z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = z ; 6) z1 z z z z = = , z2 ≠ z2 z2 z2 z2 Chú ý i) Phép nhân hai s ph c ñư c th c hi n theo quy t c nhân ña th c r i thay i2 = −1 k t qu nh n ñư c ii) Phép c ng phép nhân s ph c có t t c tính ch t c a phép c ng phép nhân s th c c + di iii) Trong th c hành, đ tính thương , ta nhân c t m u v i s ph c liên h p c a a + bi a + bi 4i) S th c a âm có hai b c hai ±i a g) Phương trình b c hai v i h s th c Cho phương trình b c hai ax2 + bx + c = v i a, b, c ∈ ℝ , a ≠ Bi t s c a phương trình ∆ = b2 − 4ac a) Khi ∆ = , phương trình có m t nghi m th c x = − b 2a Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 −b ± ∆ 2a b) Khi ∆ > , phương trình có hai nghi m th c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = c) Khi ∆ < , phương trình có hai nghi m ph c phân bi t xác đ nh b i cơng th c x1,2 = −b ± i ∆ 2a D ng lư ng giác c a s ph c ng d ng a) D ng lư ng giác c a s ph c i) Cho s ph c z khác có m bi u di n m t ph ng t a ñ M S đo (radian) c a góc lư ng giác tia ñ u Ox, tia cu i OM ñư c g i m t acgumen c a z ii) Cho s ph c z có mun r acgumen φ z = r(cosφ + isinφ) đư c g i d ng lư ng giác c a z b) Nhân chia hai s ph c Cho hai s ph c z = r(cosφ + isinφ) z’ = r’(cosφ’ + isinφ’), ta có: z' r' zz’ = r.r’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)] = [cos(ϕ '− ϕ) + i sin(ϕ '− ϕ)] (r > 0) z r c) Công th c Moivre: zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) d) Căn b c hai c a s ph c ϕ ϕ ϕ ϕ r cos + i sin r cos + π + i sin + π 2 2 2 ……………………………………………………… S ph c z dư i d ng lư ng giác (r > 0) có hai b c hai là: B LƯ NG GIÁC I CUNG VÀ GĨC – CƠNG TH C LƯ NG GIÁC Quan h gi a ñ radial (rad) 180 0 π = rad, rad = π 180 B ng chuy n ñ i thư ng dùng 300 450 ð π π Radial Bi u di n cung – góc lư ng giác 600 π N u cung (ho c góc) lư ng giác AM có s đo α + đư ng trịn lư ng giác cách đ u B ng giá tr lư ng giác c a cung (góc) đ c bi t Cung (góc) α 900 π 1200 2π 1350 3π 1500 5π π k2π k.360 (ho c a + ) v i k ∈ ℤ , n ∈ ℕ+ có n m M n n π π π 2 sin α cos α 2 2 tan α 3 3 π cot α 1800 0 Cung (góc) liên k t 5.1 Cung (góc) ñ i 1) cos(−x) = cos x ; 2) sin(−x) = − sin x ; 5.2 Cung (góc) bù 1) cos(π − x) = − cos x ; 2) sin(π − x) = sin x ; 5.3 Cung (góc) ph π π 1) cos − x = sin x ; 2) sin − x = cos x ; 2 2 5.4 Cung (góc) π 1) cos(x + π) = − cos x ; 2) sin(x + π) = − sin x ; 3) tan(−x) = − tan x ; 4) cot(−x) = − cot x 3) tan(π − x) = − tan x ; 4) cot(π − x) = − cot x π π 3) tan − x = cot x ; 4) cot − x = tan x 2 2 3) tan(x + π) = tan x ; 4) cot(x + π) = cot x Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 5.5 Cung (góc) 15 Bộ đề toán cấp tốc naêm 2009 π π 1) cos x + = − sin x ; 2 Công th c b n π π 2) sin x + = cos x ; 3) tan x + = − cot x ; 2 2 1) sin2x + cos2x = 1; 2) tgx.cotgx = 1; 3) + tan x = cos x π 4) cot x + = − tan x 2 4) + cot2 x = ; sin x Công th c c ng 1) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ; 2) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y ; 3) tan(x ± y) = tan x ± tan y ∓ tan x.tan y Công th c nhân ñôi 1) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – = – 2sin2x; 2) sin2x = 2sinxcosx; 3) tan 2x = tan x − tan x Công th c nhân ba 1) cos3x = 4cos3x – 3cosx; 2) sin3x = 3sinx – 4sin3x; 3) tan 3x = tan x − tan x − tan x 10 Công th c h b c + cos 2x − cos 2x cos x + cos 3x sin x − sin 3x 1) cos2 x = ; 2) sin2 x = ; 3) cos3 x = ; 4) sin x = 2 4 x 11 Công th c bi u di n sinx, cosx, tgx theo t = tg 2t − t2 2t 1) sin x = ; 2) cos x = ; 3) tan x = 2 1+ t 1+ t − t2 12 Công th c bi n đ i tích thành t ng 1 1) cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] ; 2) sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] ; 2 3) sin x cos y = [sin(x − y) + sin(x + y)] 13 Công th c bi n đ i t ng thành tích x+y x−y x+y x−y 1) cos x + cos y = cos cos ; 2) cos x − cos y = −2 sin sin ; 2 2 x+y x−y x+y x−y 3) sin x + sin y = sin cos ; 4) sin x − sin y = cos sin ; 2 2 sin(x ± y) sin(y ± x) 5) tan x ± tan y = ; 6) cot x ± cot y = cos x cos y sin x sin y 14 Công th c ñ c bi t c n nh 1) + sin2x = (sinx + cosx)2; 2) – sin2x = (sinx – cosx)2; 3) sin4x + cos4x = – sin22x; 4) sin6x + cos6x = – sin22x 5) sin x + cos x = sin ( x + π / ) = cos ( x − π / ) ; 6) sin x − cos x = sin ( x − π / ) = − cos ( x + π / ) II PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC Phương trình lư ng giác b n x = α + k2π 1) cos x = cos α ⇔ ,k ∈ Z x = −α + k2π 3) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z Phương trình b n đ c bi t c n nh π 1) cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z 2) cos x = ⇔ x = k2π, k ∈ Z 3) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z x = α + k2π 2) sin x = sin α ⇔ ,k ∈ Z x = π − α+k2π 4) cot x = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z 4) sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z π + k2π, k ∈ Z π 6) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ Z 5) sin x = ⇔ x = Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 Các d ng phương trình lư ng giác 2.1 D ng b c hai theo m t hàm s lư ng giác 1) acos2x + bcosx + c = 3) a.tan2x + b.tanx + c = 2) asin x + bsinx + c = 4) a.cot2x + b.cotx + c = Phương pháp gi i toán Bư c ð t n ph t = cosx (ho c t = sinx, t = tanx, t = cotx) ñi u ki n c a t (n u có) Bư c ðưa phương trình v d ng at2 + bt + c = Chú ý N u phương trình lư ng giác ñư c bi n ñ i thành phương trình b n tr lên sau gi i xong, ta ph i d a vào đư ng trịn lư ng giác ñ t ng h p nghi m (n u có) 2.2 D ng b c nh t theo sinx cosx asinx + bcosx + c = (*) (a b khác 0) Phương pháp gi i toán b Cách Chia hai v (*) cho a ñ t = tan α a c c (*) ⇔ sin x + tan α cos x = ⇔ sin(x + α) = cos α a a a b Cách Chia hai v (*) cho a2 + b2 ñ t = cos α, = sin α 2 a +b a + b2 (*) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = c a +b Chú ý: ði u ki n đ phương trình có nghi m là: 2 ⇔ sin(x + α ) = c a + b2 a2 + b ≥ c2 2.3 D ng ñ ng c p (thu n nh t) theo sinx cosx a) ð ng c p b c hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = (*) Phương pháp gi i toán π Cách Ki m tra x = + kπ có nghi m c a (*) khơng (n u có ta thu đư c nghi m) π V i x ≠ + kπ , chia hai v c a (*) cho cos2x: (*) ⇔ atan2x + btanx + c = Cách Dùng công th c h b c nhân ñôi, ta ñưa (*) v b c nh t theo sin2x cos2x b) ð ng c p b c cao (gi i tương t ) 2.4 D ng ñ i x ng ñ i v i sinx cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = (*) Phương pháp gi i toán π t2 − Bư c ð t t = sinx + cosx = sin x + ⇒ − ≤ t ≤ sin x cos x = 4 Bư c Thay vào (*) r i ta gi i phương trình b c hai theo t Chú ý Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = có cách gi i tương t v i t = sinx – cosx 2.5 D ng phương trình khác Khơng có cách gi i t ng qt, tùy t ng tốn c th ta dùng cơng th c bi n ñ i ñ ñưa v d ng ñã bi t cách gi i III GI I TOÁN TRONG TAM GIÁC Liên h góc tam giác ABC A = π − (B + C) 1) A + B + C = π ⇒ B = π − (C + A) C = π − (A + B) A π B+C = − 2 2 B A+B+C π = π−C+A 2) = ⇒ 2 2 2 C π A+B = − 2 2 Các ñ nh lý tam giác ABC Trong ∆ABC , ta ký hi u: 4) ma, mb, mc l n lư t ñ dài trung n xu t phát t 1) a, b, c l n lư t c nh ñ i di n góc A, B, C đ nh A, B, C 5) ha, hb, hc l n lư t ñ dài ñư ng cao xu t phát t 2) R, r l n lư t bán kính đư ng trịn ngo i ti p n i ti p ñ nh A, B, C a+b+c n a chu vi ∆ABC 3) p = 6) S di n tích c a ∆ABC Trang ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 2.1 ð nh lý Phythagore (Pitago) Cho ∆ABC vng t i A đư ng cao AH, ta có: a2 = b + c2 H qu 1) BA2 = BH.BC, CA2 = CH.CB 3) 2) AH.BC = AB.AC 2.2 ð nh lý hàm s cosin 1) a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 2.3 ð nh lý hàm s sin 2) b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB AH = AB + AC2 3) c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC a b c = = = 2R sin A sin B sin C Cơng th c tính ñ dài ñư ng trung n 2b2 + 2c2 − a2 ; 1) m a = 2a2 + 2c2 − b2 ; 2) m b = 2a2 + 2b2 − c2 ; 4 Công th c tính di n tích 1 1) S = ah a = bh b = ch c ; 2 3) m c = 4) m2 + m2 + m = a b c 2) S = (a + b2 + c2 ) 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B ; 2 abc ; 5) S = p(p − a)(p − b)(p − c) 4R …………………………………………… 4) S = 3) S = p.r; C GI I TÍCH I TÍNH CH N – L C A HÀM S ð nh nghĩa 1) T p h p D ⊂ ℝ ñư c g i ñ i x ng ⇔ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D 2) Cho hàm s y = f(x) có MXð D ⊂ ℝ đ i x ng a) f(x) ñư c g i hàm s ch n ⇔ f(−x) = f(x), ∀x ∈ D b) f(x) ñư c g i hàm s l ⇔ f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D Chú ý ð th c a hàm s l ñ i x ng qua g c t a ñ ð th c a hàm s ch n ñ i x ng qua tr c tung II ð O HÀM – VI PHÂN C A HÀM S Quy t c tính đ o hàm Cho u(x), v(x), w(x) hàm s theo bi n s x có đ o hàm Ta có: 1) (a.u)/ = a.u/ (a ∈ ℝ) 2) (u ± v)/ = u/ ± v/ 3) (u.v)/ = u/ v + u.v/ , (u.v.w)/ = u/ v.w + u.v/ w + u.v.w/ u / a / u/ v − u.v/ v/ 4) = (v ≠ 0) , = −a (v ≠ 0, a ∈ ℝ) v v v2 v2 B ng ñ o hàm c a hàm s sơ c p (hàm s đư c cho b i cơng th c) ð o hàm c a hàm s sơ c p b n ð o hàm c a hàm s h p u = u(x) 1) ( xα ) = α.xα−1 1) ( uα ) = α.u/ u α−1 / 2) = − x x2 / u/ 2) = − u u2 / 3) ( x) / = / 3) x ( u) / = u/ u 4) ( sin x ) = cos x 4) ( sin u ) = u/ cos u 5) ( cos x ) = − sin x 5) ( cos u ) = −u/ sin u / / / 6) ( tan x ) = / cos2 x / = + tan2 x 6) ( tan u ) = / Trang u/ cos2 u = u/ (1 + tan u) ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 7) ( cot x ) = −1 / sin x 7) ( cot u ) = −u / = −(1 + cot2 x) / sin2 u = −u/ (1 + cot2u) 8) ( e x ) = ex 8) ( eu ) = u/ eu 9) ( a x ) = a x ln a 9) ( a u ) = u/ a u ln a / / / 10) ( ln x ) / 11) ( log a x = x ) = / / 10) ( ln u x.ln a ) / 11) ( log a u = u/ u ) = / u/ u.ln a Vi phân df(x) = f / (x)dx hay dy = y/dx III HÀM S ðƠN ðI U – C C TR C A HÀM S Hàm s ñơn ñi u ax + b Tr y = , hàm s l i (b c 3, b c 4, b c 2/1) ta dùng k t qu sau: cx + d f(x) ñ ng bi n kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≥ ∀x ∈ (a; b) f(x) ngh ch bi n kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≤ ∀x ∈ (a; b) C c tr c a hàm s ð nh lý Cho y = f(x) xác ñ nh kho ng (a; b) ch a x0 N u f(x) ñ t c c tr t i x0 có đ o hàm t i x0 f / (x ) = Chú ý a) Hàm s có th đ t c c tr t i x0 khơng có đ o hàm t i x0 b) Hàm s có f / (x ) = có th khơng đ t c c tr t i x0 ð nh lý Cho hàm s f(x) có đ o hàm kho ng ch a x0 a) N u f / (x) ñ i d u t + sang – t i x = x f(x) đ t c c ñ i t i x0 b) N u f / (x) ñ i d u t – sang + t i x = x f(x) đ t c c ti u t i x0 ð nh lý Cho hàm s f(x) có đ o hàm đ n c p hai liên t c kho ng ch a x0 f / (x ) = f / (x ) = a) N u // f(x) đ t c c ti u t i x0; b) N u // f(x) đ t c c ti u t i x0 f (x ) > f (x ) > ðư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ñ th hàm s (tham kh o) a) Hàm s b c ba Cho hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d có đ th (C) Gi s (C) có hai m c c tr A(x1; y1) B(x2; y2) x1, x2 nghi m c a phương trình y/ = , đ vi t phương trình đư ng th ng qua A B ta th c hi n bư c sau: Bư c Chia y cho y/ ta ñư c y = (px + q)y/ + αx + β (*) y = (px + q).y/ ( x ) + αx + β y = αx1 + β 1 Bư c Th t a ñ c a A B vào (*) ta có: ⇔ / y2 = (px2 + q).y ( x ) + αx2 + β y = αx + β Bư c ðư ng th ng (AB) : y = αx + β Chú ý: Giá tr c c tr yCT = αxCT + β b) Hàm s h u t y = Cho hàm s y = ax + bx + c (tham kh o) dx + e ax + bx + c có đ th (C) Gi s (C) có hai m c c tr A(x1; y1) B(x2; y2) x1, x2 nghi m dx + e c a phương trình y/ = , đ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A B ta th c hi n bư c sau: Bư c ð t U = ax2 + bx + c, V = dx + e ta có y/ = U/ V − UV/ V2 (*) Bư c Th t a ñ c a A B vào (*) ta có: y/ (x1,2 ) = U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/(x1,2 ) V (x1,2 ) ⇒ U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/ (x1,2 ) = Trang 10 ThS Đoàn Vương Nguyên PH N II 15 B 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð LUY N T P ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 ñi m) mx + Cho hàm s y = (1), m tham s x−m Kh o sát s bi n thiên v ñ th c a hàm s (1) m = 2 Tìm u ki n tham s m đ hàm s (1) ngh ch bi n t p xác đ nh Câu II (2,0 m) Tìm nghi m x ∈ [1; 3] c a phương trình: sin 2x + cos 2x + sin x − cos x − = 2 Gi i b t phương trình: 3log x + 2x log3 x ≤ 243 Câu III (1,0 ñi m) π Tính tích phân I = ∫ tgx − x + cos2 x dx Câu IV (1,0 m) Cho hình tr có thi t di n qua tr c hình vng c nh b ng 2a Trên hai đư ng trịn đáy tâm O O’ l y l n lư t hai ñi m A, B cho AB = a Tính th tích kh i t di n OO’AB theo a Câu V (1,0 m) Tìm u ki n c a tham s m đ h phương trình sau có nghi m th c: 1 + log (4y − 3x − 3) = log (4y) x + − x2 − 2y − y2 + m = II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch ñư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho ñi m A(2; 1) ñư ng th ng (d): x – y = Tìm m B thu c (d) cho cos OAB = − Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz, cho ñi m A(1; 6; 2), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4), D(5; 1; 3) Vi t phương trình m t c u tâm A ti p xúc m t ph ng (BCD) Tìm t a đ ti p ñi m Câu VII.a (1,0 ñi m) 1 1 Rút g n t ng S = + + + + , v i n ≥ 2, n ∈ ℤ A2 A A An Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho ∆ABC vng t i A Bi t t a đ ñ nh B(1; 1) ñư ng tròn ñư ng kính AB (C) : x + y − 4x − 2y + = c t c nh BC t i H cho BC = 4BH Tìm t a đ đ nh A C x = Trong không gian Oxyz cho ñư ng th ng d : y = −t ñi m A(1; 0; 0) z = t Tìm m B thu c ñư ng th ng d cho cos OAB = − Câu VII.b (1,0 ñi m) k Ch ng minh: Ck + 4Ck −1 + 6Cn−2 + 4Ck −3 + Ck −4 = Ck + , v i ≤ k ≤ n n, k ∈ ℤ n n n n n ……………………H t…………………… Trang 26 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x + (m − 1)x − m (1), m tham s Kh o sát s bi n thiên v ñ th c a hàm s (1) m = –2 Tìm ñi u ki n tham s m ñ phương trình x + (m − 1)x − m = có nghi m phân bi t Câu II (2,0 ñi m) cos6 x + sin6 x − sin 2x = Gi i phương trình: − sin x Gi i phương trình: x − 3x.9log2 x + 2.27log2 x = Câu III (1,0 m) Tính tích phân I = ∫ x − − dx −2 Câu IV (1,0 m) Cho hình chóp S.ABCD có đư ng cao SA b ng a ñáy ABCD hình ch nh t v i AB = a, AD = a G i M, N trung ñi m c a AD SC K giao ñi m c a AC BM Ch ng t BK ⊥ (ANK) tính di n tích c a ∆ANK theo a Câu V (1,0 m) Cho x, y không âm th a x + y = Tìm max, c a P = + x 2009 + + y 2009 II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch ñư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 ñi m) Trong m t ph ng Oxy, cho hai ñi m A(1; 1), B(–2; 3) ñư ng th ng (d): 2x – 3y + = Ch ng t ñư ng th ng (d) c t ño n th ng AB Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz, cho ñi m A(0; 1; 2) hai ñư ng th ng: x y −1 z +1 x +1 y−3 z d1 : = = , d2 : = = −1 −2 Vi t phương trình m t ph ng (P) qua m A song song v i c hai ñư ng th ng d1, d2 Câu VII.a (1,0 ñi m) M t h p có 12 viên ph n g m: viên màu xanh, viên màu tr ng viên màu ñ Ch n t h p viên, tính s cách ch n cho viên đư c ch n ph i có ñ màu Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ∆ABC có ñi m M(–1; 1) trung ñi m c a c nh AB (AC) : 2x + y − = , (BC) : x + 3y − = Tìm t a đ đ nh A, B c a ∆ABC Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m A(0; 1; 2) hai ñư ng th ng: x y −1 z +1 x +1 y−3 z d1 : = = , d2 : = = −1 −2 Tìm m M d1, N d2 cho ba ñi m A, M, N th ng hàng Câu VII.b (1,0 ñi m) Ch n ng u nhiên l n lư t (có hoàn l i) t ng s n ph m t m t kho hàng cho ñ n g p ph ph m d ng Bi t xác su t ch n ñư c ph ph m m i l n ch n 3% Tính xác su t cho ph i ch n ñ n l n th 5? ……………………H t…………………… Trang 27 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I (2,0 ñi m) x+3 Cho hàm s y = (1) x+2 Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C) c a hàm s (1) Tìm m đ (C) c t (d) : y = x − m t i ñi m phân bi t A, B AB nh nh t Câu II (2,0 ñi m) Gi i phương trình: 5(1 + cos x) = + sin x − cos4 x Gi i b t phương trình: log2 x − 2x + + log (x2 − 2x + 2) ≤ Câu III (1,0 ñi m) π Tính tích phân I = sin x ∫ cos 2x − cos x dx π Câu IV (1,0 ñi m) Cho t di n S.ABC có đư ng cao SA b ng 2a ∆ABC có AB = AC = a, C = 300 G i M, N l n lư t hình chi u c a A SB, SC Tính th tích c a kh i AMBCN theo a Câu V (1,0 ñi m) Cho s th c dương x, y, z, t th a x + y + z + t ≤ Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 1 P = x + y + z + t + y z t x II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch đư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 ñi m) Trong m t ph ng Oxy, cho đư ng trịn (C): x2 + y2 – 4y = ñư ng th ng (d): x – y – = Tìm m M (d) cho đư ng trịn tâm M, bán kính b ng ti p xúc ngồi v i (C) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m A(1; 2; 3) hai ñư ng th ng: x y +1 z−2 x y−3 z d1 : = = , d2 : = = −1 1 −2 −1 Tìm m B ñ i x ng ñi m A qua ñư ng th ng d1 Câu VII.a (1,0 ñi m) − 2i Cho s ph c z = (1 + i)2 Tính z + 2i Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 m) Trong m t ph ng Oxy, cho ñư ng tròn (C): x2 + y2 – 4y = ñư ng th ng (d): x – y = Tìm m M (d) cho đư ng trịn tâm M, bán kính b ng ti p xúc v i (C) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m A(1; 2; 3) hai ñư ng th ng: x y +1 z−2 x y−3 z d1 : = = , d2 : = = −1 1 −2 −1 Vi t phương trình đư ng th ng d3 qua A, vng góc d1 c t d2 Câu VII.b (1,0 ñi m) 1−i Vi t s ph c z = + + i − dư i d ng lư ng giác − 3i ……………………H t…………………… ( ) Trang 28 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x − 8x + (1) Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C) c a hàm s (1) Tìm ñi u ki n c a tham s m ñ ñ th (C) ti p xúc v i ñư ng th ng (d) : y = mx − Câu II (2,0 ñi m) tan2 x + tan x π Gi i phương trình: sin x + = 4 tan x + Gi i h phương trình: 33x +1 + 5.8x − 2.6x = 2.27 x + 3.8x + 3.6x = Câu III (1,0 m) Tính th tích kh i trịn xoay hình ph ng S gi i h n b i 4y = x2 y = x quay quanh Ox Câu IV (1,0 m) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a G i G tr ng tâm ∆SAC kho ng a Tính kho ng cách t tâm O c a ñáy ñ n (SCD) th tích kh i chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 ñi m) Cho s th c dương x, y, z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x y z P = 4(x + y ) + 4(y + z3 ) + 4(z3 + x ) + + + y z x cách t G ñ n (SCD) b ng II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch đư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 ñi m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho ñi m A(2; 1) (d1): x – y – = 0, (d2): x – 2y – = Vi t phương trình ñư ng tròn (C) ti p xúc v i (d1) t i A có tâm thu c (d2) Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O(0; 0; 0) ñ nh A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S 0; 0; 2 G i M trung ñi m c nh bên SA ( ) Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng SC DM Câu VII.a (1,0 ñi m) Tìm h s c a x4 khai tri n ( − 3x ) , bi t A2 + C2 = 315 v i n ∈ ℕ, n ≥ n n n Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho ∆ABC có đ nh A(2;–7) Bi t trung n CM đư ng cao BK l n lư t có phương trình x + 2y + = 0, 3x + y + 11 = Tìm t a đ ñ nh B C Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O(0; 0; 0) ñ nh A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S 0; 0; 2 G i M trung ñi m c nh bên SA ( ) M t ph ng (CDM) c t SB t i ñi m N Tính th tích c a kh i t di n S.CMN Câu VII.b (1,0 m) Tìm h s l n nh t khai tri n ( 2x + ) 19 ……………………H t…………………… Trang 29 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc naêm 2009 ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = −x + 3x + (1) Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C) c a hàm s (1) G i (d) ñư ng th ng ñi qua ñi m M(–1; 5) có h s góc k Tìm u ki n c a k ñ ñ th (C) c t (d) t i ñi m phân bi t Câu II (2,0 m) Gi i phương trình: π − sin x tan2 x − = 2 sin x Gi i phương trình: + log 27 x + log x = + log x + log 81 x Câu III (1,0 m) π Tính tích phân I = sin 2x ∫ + sin x − cos 2x dx Câu IV (1,0 ñi m) Cho t di n ABCD có c nh CD = 2a, AB = BC = CA = AD = DB = a G i I, K l n lư t trung ñi m c a c nh AB, CD Ch ng t r ng IK ño n vng góc chung c a AB, CD tìm tâm c a m t c u ngo i ti p t di n ABCD Câu V (1,0 ñi m) Cho s th c x, y th a x2 + y2 = Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c: P= 1+x + 1+ y II PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy cho (d1): 3x + 4y + = 0, (d2): 4x – 3y – = Vi t phương trình đư ng trịn (C) ti p xúc v i (d1), (d2) có tâm thu c (d3): x – 6y – 10 = Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho ba ñi m A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) m t ph ng (P): x + 2y + 2z – = Tìm t a đ m M cách ñ u A, B, C (P) Câu VII.a (1,0 ñi m) 15 x + Tìm h s c a x khai tri n x Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho (C) : x + y − 4x = (d) : x + y − = Tìm t a đ đ nh hình vng ABCD ngo i ti p (C), bi t đ nh A thu c (d) Trong khơng gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñi m A(3; 1; 2) B(1; 2; 0) Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a A, B t o v i mp(Oxy) góc ϕ th a cos ϕ = Câu VII.b (1,0 ñi m) 2008 2009 Rút g n t ng S = 2011C2009 + 2010C1 + 2009C2009 + + 3C2009 + 2C2009 2009 ……………………H t…………………… Trang 30 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 ñi m) ( 3m + ) x − m Cho hàm s y = (1), m tham s x+m Kh o sát s bi n thiên v ñ th c a hàm s (1) m = Tìm u ki n c a m ñ ti p n v i ñ th hàm s (1) t i giao ñi m M v i tr c hồnh song song đư ng th ng (d): y = – x – Câu II (2,0 ñi m) x Gi i phương trình: − tgx − = sin x + tgxtg 2 cos2 x 3 x3 Gi i phương trình: log log x − log = + log x Câu III (1,0 ñi m) Tính tích phân I = ∫ ln ( x ) x + − x dx −1 Câu IV (1,0 m) Cho hình kh i lăng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ có AA’ = h, AB = a G i M, N, P l n lư t trung ñi m c nh AB, AC CC’ M t ph ng (MNP) c t c nh BB’ t i Q Tính th tích V c a kh i ña di n PQBCNM theo a h Câu V (1,0 ñi m) 2x − y ).51−2x + y = + 22x−y +1 ( + Gi i h phương trình: y + 4x + + ln ( y + 2x ) = II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch ñư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho ñư ng th ng (d1): x – 2y + = (d2): 4x + 3y – = Vi t phương trình đư ng trịn (C) có tâm I (d1), ti p xúc (d2) bán kính R = x = t Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñư ng th ng d1 : y = t ñi m M(2; 2; 0) z = Vi t phương trình đư ng th ng d2 qua M, vng góc v i d1 n m (P): x – y + z = Câu VII.a (1,0 ñi m) () Cho s ph c z = + i Tính z2 + z Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 m) x + (2m + 1)x + m2 + m + Cho hàm s y = (1), m tham s 2(x + m) Tìm m đ ñ th c a hàm s (1) có ñi m c c đ i, c c ti u tính kho ng cách gi a hai m Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho ñi m M thu c m t c u (S): x + y2 + z2 − 2x + 4y + 2z − = Tìm t a ñ ñi m M ñ kho ng cách t ñó ñ n m t ph ng (P): 2x – y + 2z – 14 = b ng Câu VII.b (1,0 ñi m) Vi t s ph c z = ( 3−i ) 2009 dư i d ng lư ng giác ……………………H t…………………… Trang 31 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 m) 2x + Cho hàm s y = x−2 Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C) c a hàm s ñã cho Tìm t t c giá tr c a tham s m ñ ñư ng th ng y = 2x + m c t (C) t i hai ñi m phân bi t cho ti p n c a (C) t i hai m song song v i Câu II (2,0 ñi m) Gi i phương trình: 3(2 cos2 x + cos x − 2) + (3 − cos x) sin x = Gi i b t phương trình: 2log3 x +1 − 5.2log3 x + ≤ Câu III (1,0 m) Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n b i ñ th hàm s y = x ln2 (x + 1) , tr c tung, tr c hoành x2 + ñư ng th ng x = e − Câu IV (1,0 ñi m) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân v i AB = AC = 5cm Bi t (SBC) ⊥ (ABC), c nh SA = 6cm SB = SC = 3cm Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC Câu V (1,0 ñi m) Tìm t t c giá tr m ñ b t phương trình x + 3x − ≤ m ( x − x −1 ) có nghi m II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch đư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho ñi m I(1; 2) ñư ng th ng (d): 3x + 4y – = Vi t phương trình đư ng trịn (C) tâm I c t (d) t i hai ñi m A, B cho ∆IAB vuông cân x y−2 z Trong khơng gian t a đ Oxyz cho m A(1; 1;–1) ñư ng th ng d : = = Vi t phương trình m t c u (S) có tâm A ti p xúc v i ñư ng th ng d Câu VII.a (1,0 m) T m t nhóm g m nam n ch n liên ti p l n (có hồn l i) ngư i Tìm xác su t cho l n ch n có nh t l n ch n ñư c nhi u nh t ngư i n ? Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho ñư ng th ng (d1): x – 2y + = m M(1; 1) Vi t phương trình ñư ng th ng (d2) qua M t o v i (d1) góc ϕ th a cos ϕ = 65 Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho hai ñư ng th ng: x = m + mt x = 3t y = −1 + t d : y = − mt d1 : z = t z = + t Tìm giá tr c a m đ hai ñư ng th ng d1 d2 c t Câu VII.b (1,0 m) M t lơ hàng ch a 20 s n ph m có ph ph m Ch n t lô hàng s n ph m L p công th c tính xác su t ch n đư c k ph ph m, v i ≤ k ≤ 7 8 Ch ng minh r ng C8C12 + C1C12 + C8C12 + + C8C12 + C8C12 = C20 ……………………H t…………………… Trang 32 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = −x + 3x + (m − 1)x − m2 (1), m tham s Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C) c a hàm s (1) m = Vi t phương trình ti p n v i (C), bi t ti p n có h s góc bé nh t Câu II (2,0 ñi m) 1 Gi i phương trình: sin x + cos4 x = sin 2x 3.22x + 6x − 2.3y = Gi i h phương trình: y = 21+log x Câu III (1,0 ñi m) π Tính tích phân I = cot xdx x +1 ∫ sin π Câu IV (1,0 m) Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng 3cm G i M, N trung ñi m c a c nh SB, SC Bi t (AMN) ⊥ (SBC) , tính th tích c a kh i chóp S.ABC Câu V (1,0 ñi m) Ch ng t phương trình ln(x + 1) − ln(x + 2) + = −1 có nghi m th c nh t x+2 II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch ñư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho bi t ti p n chung c a hai đư ng trịn (C1): x2 + y2 – 4x + 2y – = (C2): x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = c t ñư ng th ng n i tâm t i m M Tìm t a đ c a ñi m M Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho ñi m M(1;–1; 1) Vi t phương trình đư ng th ng x −1 y z−3 x+2 y−3 z qua M c t c hai ñư ng th ng d1 : = = d2 : = = −1 −2 Câu VII.a (1,0 ñi m) T m t nhóm g m 25 ngư i, có c p v ch ng ngư i ta ch n ngư i cho khơng có c p v ch ng Tính s cách ch n Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 m) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho ∆OAB vng t i A Bi t phương trình c nh OA 3x − y = , B ∈ Ox bán kính c a đư ng trịn n i ti p ∆OAB b ng Tìm t a đ A, B Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz, vi t phương trình đư ng th ng c t c hai ñư ng th ng x −1 y z−3 x+2 y−3 z d1 : = = d2 : = = đ ng th i vng góc v i mp(Oxy) −1 −2 Câu VII.b (1,0 ñi m) 10 + 5 Tìm s h ng h u t khai tri n Nh th c ……………………H t…………………… Trang 33 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = −x + 3x − có ñ th (C) Kh o sát s bi n thiên c a hàm s v ñ th (C) Tìm u ki n m đ phương trình: x − 3x + − log m = có nghi m th c phân bi t Câu II (2,0 ñi m) Gi i phương trình: sin x + sin x − = sin 2x + x − y = xy(ln y − ln x) Gi i h phương trình: x − 3y +1 + = Câu III (1,0 m) Tính tích phân I = sin 2x − (x + 1)2007 ∫ (x + 2)2009 dx Câu IV (1,0 ñi m) Cho đư ng trịn (C) có đư ng kính AB = 20cm M trung ñi m c a cung AB Trên tia Ax vng góc v i m t ph ng ch a (C) l y ñi m S cho AS = 15cm M t ph ng (P) qua A vng góc v i SB, c t SB SM l n lư t t i H K Tính th tích c a kh i chóp S.AHK Câu V (1,0 m) Cho s th c dương x, y, z th a x + y2 + z2 ≤ Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 1 1 1 P = 4(x + y)(y + z)(z + x) + + + 2 x y z II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch ñư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy cho ñư ng tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 ñi m M(7; 3) Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua M c t (C) t i A, B phân bi t cho AB = Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m O(0; 0; 0), A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) m t ph ng ( P ) : 2x + y − z + = Ch ng t r ng m t ph ng (P) không c t ño n th ng AB Câu VII.a (1,0 ñi m) M t t p th g m 14 ngư i có A B T t p th ngư i ta ch n t cơng tác g m ngư i cho t ph i có t trư ng, n a A B khơng đ ng th i có m t Tính s cách ch n Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñi m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy cho hai ñư ng th ng (d1): x + y – = 0, (d2) : x + y – = m A(2; 2) Tìm t a đ c a ñi m B thu c (d1) C thu c (d2) đ ∆ ABC vng cân t i A Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz, cho ñi m O(0; 0; 0), A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) m t ph ng ( P ) : 2x + y − z + = Vi t phương trình m t c u (S) ñi qua ñi m O, A, B có kho ng cách t tâm I đ n m t ph ng (P) b ng Câu VII.b (1,0 ñi m) 1.C0 2.C1 3.C2 (n + 1).Cn n n n n Cho bi t C + C + C = 211 Tính t ng S = + + + + A1 A2 A3 A1 +1 n ……………………H t…………………… n n n Trang 34 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S 10 I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I (2,0 ñi m) 2x − Cho hàm s y = có đ th (C) 1−x Kh o sát s bi n thiên c a hàm s v ñ th (C) G i I giao ñi m hai ti m c n c a (C) Tìm hai nhánh c a (C) hai ñi m A, B cho AB vng góc v i đư ng th ng OI có đ dài AB ng n nh t Câu II (2,0 m) Gi i phương trình: cotgx + + tgx + 2cotg2x − = Gi i b t phương trình: log x + log 0,5 x ≤ ( − log16 x ) Câu III (1,0 ñi m) π Tính tích phân I = ∫ cos x π tan x + cos2 x dx Câu IV (1,0 m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a M t ph ng (SAC) vng góc v i đáy, ASC = 900 SA t o v i ñáy m t góc b ng 300 Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 m) Cho s th c x, y th a ñ ng th c x + y − x − + y + − = ( Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a A = ) (x − 2)(y + 1) II PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch đư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho ∆ABC cân có ñáy BC ð nh A có t a đ s dương, hai ñi m B C n m tr c Ox, phương trình AB : y = 7(x − 1) Cho bi t chu vi ∆ABC b ng 18 Tìm t a đ đ nh A, B, C Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñi m A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) m t ph ng ( P ) : 3x − 8y + 7z − = Tìm t a đ c a m C (P) cho ∆ABC ñ u Câu VII.a (1,0 ñi m) L p 12A g m 45 h c sinh, có 29 n T l p ngư i ta ch n bí thư đồn, phó bí thư y viên H i có m y cách ch n cho ngư i đư c ch n ph i có n Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñi m) x2 + x − có hai ñi m A, B phân bi t mà t i ti p n song x −1 song v i Ch ng t r ng A B ñ i x ng qua giao ñi m I c a ti m c n Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho m t ph ng (P) : x + 2y + 2z + 20 + 131 = ba ñi m A(1; 1; 0), B(3;–1; 0), C(–3; 3; 0) Tìm t a ñ ñi m M cách ñ u A, B, C (P) Câu VII.b (1,0 ñi m) Trên ñ th c a hàm s y = Vi t s ph c sau dư i d ng lư ng giác: z = (1 − i)2008 ( 3+i ) 2009 ……………………H t…………………… Trang 35 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S 11 I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I (2,0 ñi m) − 2x Cho hàm s y = có đ th (C) x +1 Kh o sát s bi n thiên c a hàm s v ñ th (C) 2a Vi t phương trình ti p n v i (C), bi t ti p n ñi qua g c t a đ O(0; 0) b Tìm nh ng ñi m (C) có t ng kho ng cách t đ n ti m c n c a (C) nh nh t Câu II (2,0 ñi m) π π Gi i phương trình: cos3 x − − sin 2x + sin x + − = 4 4 Gi i phương trình: log 3−2x (2x − 9x + 9) + log 3−x (4x − 12x + 9) − = Câu III (1,0 m) dx Tính tích phân I = ∫ −2x − 4x + −1 Câu IV (1,0 ñi m) Cho kh i lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có di n tích đáy S = 30cm2 AA’ = 10cm M t m t ph ng (P) c t c nh AA’, BB’, CC’ l n lư t t i A1, B1, C1 Bi t AA1 = 3cm, BB1 = 4cm CC1 = 5cm Tính th tích hai ph n c a kh i lăng tr ñư c phân chia b i (P) Câu V (1,0 ñi m) Cho s th c x, y th a x2 + y2 + xy = Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c: M = x + y + x y − 2xy(x + y)2 + 3xy II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch đư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho ∆ABC có c nh AC ñi qua ñi m M(0;– 1) Cho bi t AB = 2AM, ñư ng phân giác (AD): x – y = 0, ñư ng cao (CH): 2x + y + = Tìm t a đ ñ nh c a ∆ABC Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, vi t phương trình c a đư ng th ng d qua ñi m M(3;–1;–4) c t tr c Oy song song v i m t ph ng (P): 2x + y = Câu VII.a (1,0 ñi m) Cho t p h p A có n ph n t (n > 6), bi t s t p h p ch a ph n t c a A b ng 21 l n s t p h p ch a ph n t c a A Tính s t p h p l n nh t ch a k ( ≤ k ≤ n ) ph n t c a A Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 m) Trong khơng gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñư ng th ng: x = + 3t x −1 y+2 z−5 d1 : y = + 2t d2 : = = −3 z = − 2t Ch ng minh r ng d1 d2 ñ ng ph ng Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a d1 d2 Tính th tích kh i t di n gi i h n b i (P) m t ph ng t a ñ Câu VII.b (1,0 ñi m) n Xét t ng S = (n + 3)C0 + (n + 2)C1 + (n + 1)C2 + + 3Cn v i n ≥ 4, n ∈ Z n n n Tính n, bi t S = 8192 ……………………H t…………………… Trang 36 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S 12 I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 m) Cho hàm s y = −x + 2x + có đ th (C) Kh o sát s bi n thiên c a hàm s v đ th (C) Tìm nh ng m M tr c tung cho t v ñư c ti p n ñ n ñ th (C) Câu II (2,0 ñi m) Gi i phương trình: + sin 2x + − = ( cotgx + ) sin 2x cos x Gi i b t phương trình: Câu III (1,0 m) log2 x 2x Tính tích phân I = ∫ x+ ≥ x3 x +1 log x 2 dx Câu IV (1,0 ñi m) Cho ∆ABC cân t i A, n i ti p đư ng trịn tâm O bán kính R = 10cm A = 1200 Trên ñư ng th ng vng góc v i mp(ABC) t i A l y ñi m S cho SA = 3cm G i I trung ñi m BC Tính s đo góc gi a SI v i (ABC) bán kính c a m t c u ngo i ti p t di n SABC Câu V (1,0 ñi m) Tìm ñi u ki n c a m đ phương trình sau có nghi m th c thu c ño n 1; + : m x − 2x + + + x(2 − x) = ( ) II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch ñư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho hai đư ng trịn (C1 ) : x + y − 10x = (C2 ) : x + y + 4x − = Vi t phương trình ti p n chung ngồi c a (C1) (C2) Trong khơng gian v i h t a ñ Oxyz cho m t ph ng (P): x – y + = hai ñi m A(0; 1; 2), B(– 1; 1; 0) Tìm t a đ m M n m m t ph ng (P) cho ∆MAB vng cân t i B Câu VII.a (1,0 m) Tìm h s c a s h ng ch a x3 khai tri n nh th c ( x − 3x − ) 12 Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 m) x = −t x = t y = 3t d : y = 3t c t Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñư ng th ng d1 : z = z = m t ph ng (P): y – = l n lư t t i A, B Tính S∆OAB ch ng t hai ñư ng th ng d1 d2 chéo Vi t phương trình m t ph ng (P) song song v i d1, d2 có kho ng cách đ n d1 g p l n kho ng cách ñ n d2 Câu VII.b (1,0 ñi m) +1+ i 1− Tìm s ph c z th a đ ng th c: z2 = 1+i ……………………H t…………………… ( Trang 37 ) ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S 13 I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x − (2m − 1)x2 + (m2 − 6m)x + m2 − 4m (1), m tham s Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C) c a hàm s (1) m = Tìm đư ng th ng x =1 nh ng m t k hai ti p n ñ n (C) Câu II (2,0 ñi m) Gi i phương trình: 2cos3x + sin x cos x + = 2(sin x + cos x) x + log y = Gi i h phương trình: ( 2y − y + 12 ) 3x = 81y Câu III (1,0 m) Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n b i ñ th hàm s : y = ex + , tr c hồnh hai đư ng th ng x = ln3, x = ln8 Câu IV (1,0 m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, SA = SB = a M t ph ng (SAB) vng góc v i m t ph ng (ABCD) Tính bán kính m t c u ngo i ti p c a t di n S.ABD Câu V (1,0 ñi m) Cho a, b, c c nh c a tam giác có chu vi b ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: (a + b − c) P= 4c (b + c − a) + 4a (c + a − b) + 4b II PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch đư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 m) Trong m t ph ng Oxy cho hai ñi m A(1; 0), B(3; −1) ñư ng th ng (d): x − 2y −1 = Tìm m C thu c (d) cho di n tích tam giác ABC b ng Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñư ng th ng x y z x +1 y z d1 : = = , d2 : = = m t ph ng ( P ) : x − y + z = 1 −2 1 Tìm t a đ hai m M ∈ d1 , N ∈ d2 cho MN ( P ) MN = Câu VII.a (1,0 ñi m) Tìm h s c a s h ng ch a x10 khai tri n (1 + x)10(x + 1)10 T suy giá tr c a t ng S = ( C10 ) + ( C1 ) + ( C10 ) + + ( C10 ) 10 10 2 2 Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho ∆ ABC v i B(– 6; 0), C(6; 0) Tìm t a đ c a đ nh A bi t cos A = − ñ dài ñư ng cao AH = 10 x = x = t y = t d : y = t Trong khơng gian Oxyz cho đư ng th ng chéo d1 : z = z = + t Vi t phương trình m t c u (S) có đư ng kính đo n vng góc chung c a d1 d2 Câu VII.b (1,0 m) Tìm s ph c z th a: z3 = −i ……………………H t…………………… Trang 38 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc naêm 2009 ð S 14 I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = 2x − 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + (1), m tham s Kh o sát s bi n thiên v ñ th c a hàm s (1) m = Tìm giá tr c a tham s m ñ ñ th c a hàm s (1) có m c c ñ i ñi m c c ti u ñ i x ng v i qua ñư ng th ng (d): y = x + Câu II (2,0 m) Gi i phương trình: + sin 2x + cos3 2x = sin 4x x x +1 Gi i phương trình: log 3(2 + 1) log (2 + 2) + log 2 = 3 Câu III (1,0 m) e3 Tính tích phân I = ∫ e − ln x ln2 x dx Câu IV (1,0 m) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc v i m t ph ng (ABCD), SA = 3a ðáy ABCD hình bình hành, AB = a, BC = 2a ABC = 600 G i M, N l n lư t trung ñi m c a BC SD Ch ng minh MN song song v i m t ph ng (SAB) Tính th tích kh i t di n ACMN theo a Câu V (1,0 ñi m) 1 Cho s th c dương x, y, z th a ñ ng th c + + = x y z Ch ng minh b t ñ ng th c: x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ x + yz y + zx z + xy II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch đư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho ñư ng tròn (C): x2 + y2 – 2x = T ñi m M(1; 4) v ti p n MA, MB v i (C) (A, B ti p m) Vi t phương trình đư ng th ng AB tính đ dài dây cung AB Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho hai ñi m A(1;–1; 3), B(2; 4; 0) m t c u (S) : x + y + z2 − 2x + 4z + = Vi t phương trình m t ph ng (P) ñi qua A, B c t m t c u (S) theo giao n ñư ng trịn có bán kính b ng Câu VII.a (1,0 m) Tìm s h ng ch a x khai tri n (1 + x + x + x )10 Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho (C1): x2 + y2 = 16 (C2): x2 + y2 – 2x = Vi t phương trình ñư ng tròn tâm I, xI = ti p xúc v i (C1) ti p xúc v i (C2) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho m t c u (S) : x2 + y + z2 − 2x − 4y − 6z = G i giao ñi m c a (S) v i tr c t a ñ A, B, C (khác O) Xác ñ nh tâm K c a đư ng trịn ngo i ti p ∆ABC Câu VII.b (1,0 ñi m) Cho ñ ng th c: Cn ++1 + Cn ++1 + Cn ++1 + + C2n −1 + C2n +1 = 28 − ( n ∈ ℕ, n ≥ ) 2n 2n 2n 2n +1 2n Tìm h s c a s h ng ch a x10 khai tri n rút g n bi u th c (1 − x + x − x )n ……………………H t…………………… Trang 39 ThS Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 ð S 15 I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 ñi m) 2x − Cho hàm s y = có đ th (C) x −1 Kh o sát s bi n thiên c a hàm s v ñ th (C) G i I giao ñi m hai ti m c n c a (C) Tìm t a đ m M thu c (C) cho ti p n c a (C) t i M vng góc v i đư ng th ng IM Câu II (2,0 ñi m) 1 Gi i phương trình: cos8 x + sin8 x = log x + − log y = Gi i h phương trình: log2 x − − log y = −1 Câu III (1,0 m) e Tính tích phân I = ln x ∫ (x + 1)2 dx e Câu IV (1,0 m) Cho hình nón có bán kính ñáy R = 10cm thi t di n qua tr c tam giác đ u M t hình tr n i ti p hình nón có thi t di n qua tr c hình ch nh t có hai c nh song song v i tr c hình tr dài g p đơi hai c nh cịn l i Tính th tích c a kh i tr Câu V (1,0 ñi m) Cho s th c không âm x, y, z th a x + y + z = Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P= xy yz zx + + 1+z 1+x 1+ y II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch ñư c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo chương trình Chu n Câu VI.a (2,0 ñi m) Trong m t ph ng Oxy cho ∆ABC vuông t i A(1; 0) (BC): y – = ðư ng tròn (C) tâm A ti p xúc (BC) c t c nh AC t i trung m M Tìm t a đ c a B C Trong khơng gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñư ng th ng x y z+4 x −1 y z−1 d1 : = = d2 : = = −1 −2 −1 Vi t phương trình hai mp l n lư t ch a d1, d2 song song v i Câu VII.a (1,0 ñi m) Tìm s ph c z th a: z2 = − 3.i Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho ñư ng th ng (d1): x – 3y = 0, (d2 ) : 2x + y − = (d3): x – y = Tìm t a đ đ nh hình vng ABCD bi t A, C l n lư t thu c (d1), (d2) hai đ nh cịn l i thu c (d3) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho ba ñư ng th ng: x y z+4 x −1 y z−1 x y z d1 : = = , d2 : = = d3 : = = −1 −2 −1 −3 Vi t phương trình đư ng th ng c t d1, d2 song song v i d3 Câu VII.b (1,0 ñi m) Ch ng minh r ng: ( C2009 ) + ( C1 ) + + ( C2008 ) + ( C2009 ) = C2009 2009 2009 2009 4018 2 ……………………H t…………………… Trang 40 ... + y = 35 H phương trình đ i x ng lo i II a D ng (ñ i v trí x y phương trình tr thành phương trình kia) Phương pháp chung Cách Tr hai phương trình cho nhau, đưa v phương trình tích, gi i... Bộ đề toán cấp tốc năm 2009 7.2 Phương trình b c b n đ c bi t a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = ( a ≠ ) (5) Phương pháp gi i: ð t t = x2, t ≥ (5) ⇔ at2 + bt + c = b) Phương trình. .. th xét h phương trình c a d1 d2 đ suy v trí tương đ i sau: 1) H phương trình có nghi m nh t ⇔ d1 c t d2 2) H phương trình có vơ s nghi m ⇔ d1 trùng d2 3) H phương trình vơ nghi m a1, a phương ⇔