CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 2005 Bài giải: Ta có f = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 2005 = (x 2 + 3x + 1) 2 + 2004 ≥ 2005 Dấu “ =” xảy ra ⇔ x 2 + 3x + 1 = 0 ⇔ 3 5 3 5 2 2 x − + − − = ∨ Vậy minf = 2004. Câu 2: Cho biểu thức: A = -a 2 – b 2 + ab + 2a + 2b A đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và khi nào? Bài giải: Ta có: A = -a 2 – b 2 + ab + 2a + 2b ⇔ 2A = -2a 2 – 2b 2 + 2ab + 4a + 4b = 8 – (a – b) 2 – (a – b) 2 – (b – 2) 2 ≥ 8 ⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 0 2 0 2 2. 2 0 2 a b a b a a a b b b − = =     − = ⇔ = ⇔ = =     − = =   Vậy: A đạt giá trị lớn nhất là 4 khi a = b = 2. MaxA = 4 khi a = b = 2 Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = 3(x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) – 2(xy + yz + zt + tx) – (x + y +z + t) + 10 Bài giải: Ta có: F = 3(x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) – 2(xy + yz + zt + tx) – (x + y +z + t) + 10 = (x – y) 2 + (y – x) 2 + (z – t) 2 + (t – z) 2 +(x 2 + x) + (y 2 – y) + (z 2 – z) + (t 2 – t) + 10 = (x – y) 2 + (y – x) 2 + (z – t) 2 + (t – z) 2 + (x - 1 2 ) 2 + (y - 1 2 ) 2 + (z - 1 2 ) 2 + (t - 1 2 ) 2 + 9 Do đó ta có: f ≥ 9 Dấu “=” xảy ra x = y = z = t = 1 2 Vậy minf = 9. Câu 4: Cho x và y là hau biến số thực, a là hằng số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f = (x – 2y + 1) 2 + (2x + ay + 5) 2 Bài giải: Ta có: f = (x – 2y + 1) 2 + (2x + ay + 5) 2 0.f ⇒ ≥ Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm. 2 1 0 4 2 5 0 x y a x ay − + =  ⇔ ≠ −  + + =  Do đó ta có: minf = 0 khi 4a ≠ − và 10 3 ; 4 4 a x y a a + = − = − + + * Nếu a = -4, ta có: f = (x – 2y + 1) 2 + (2x + ay + 5) 2 Đặt t – x – 2y +1, ta có: f = t 2 + (2t + 3) 2 = 5t 2 + 12t + 9 = 2 6 9 9 5 5 5 5 t f   + + ⇒ ≥  ÷   Dấu “=” xảy ra 6 5 10 11 0 5 t x y ⇔ = − ⇔ − + = Do đó: minf = 9 5 nếu a = -4 và (x, y) thỏa 5x – 10y + 11 = 0 Vậy * minf = 0 nếu a ≠ -4. • minf = 9 5 nếu a Câu 5: Cho ba số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4 ( ) a b c T a b c abc + + = + + Bài giải: Ta có (a 2 – bc) 2 + (b 2 + ca) 2 + (c 2 – ab) 2 ≥ 0 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2( )a b c a b b c c a a b c abc ⇒ + + + + + ≥ + + (1) Ta lại có : (a 2 – bc) 2 + (b 2 + ca) 2 + (c 2 – ab) 2 ≥ 0 4 4 4 2 2 2 2 2 2 0a b c a b b c c a ⇔ + + − − − ≥ (2) Từ (1) và (2) suy ra: 4 4 4 ( )a b c a b c abc + + ≥ + + Với a, b, c > 0 nên ta có: 4 4 4 1 ( ) a b c T a b c abc + + = ≥ + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0; 0; 0 0; 0; 0 a bc b ca c ab a b c a b b c c a  − = − = − = ⇔ = =  − = − = − =  Vậy minT = 1 khi a = b = c. Câu 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 3 3 3 T a b c= + + Bài giải: Đặt 6 6 6 , ,x a y b z c = = = Ta có: 3 3 3 , ,x a y b z c= = = 3 3 3 ; ;x a y b z c = = = 6 6 6 1x y z ⇒ + + = Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 2 6 6 6 2 2 2 4 4 4 2 2 2 ( ) 3 * ( )( ) T a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z = + + = + + ≤ + + + + ≤ + + + + = + + ⇒ + + ≤ + + Do đó ta có: 2 2 2 2 4 3 3 3 3 9 9 9 T x y z T T T T T ≤ + + = ⇒ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ Dấu “=” xảy ra 1 3 a b c ⇔ = = = Vậy: max T = 3 9 . Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: F = x 2 + y 2 Biết x và y là nghiệm của phương trình: 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 36. Bài giải: Ta có: 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 36 2 4 ( ) 36 36f f x y f⇔ + + = ⇒ ≤ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 3 2 5 8 5 36 0 3 2 x x xy y x y y  = ±  + + =  ⇔   + = =    m Do đó: maxf = 36 * 5x 2 + 8xy + 5y 2 = 36 ( ) 2 9 4 36 4f x y f ⇔ − − = ⇒ ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 5 8 5 36 2 0 x xy y x y x y  + + = ⇔ = = ±  − =  Do đó: minf = 4. Vậy * maxf = 36 minf = 4. Câu 8: Cho biểu thức: M = x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 Với x, y, t, z là các số nguyên không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t biết rằng: 2 2 2 2 2 2 21 3 4 101 x y z x y z  − + =  + + =  Bài giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 21 3 4 101 x y z x y z  − + =  + + =  2 2 2 2 2 2 2 2 4 122 2 122 2 122 122 61 x y z t M t M t M ⇒ + + + = ⇒ − = ⇒ = + ≥ ⇒ ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 0 Vậy: M đạt giá trị nhỏ nhất là 61. minM = 61 tại t = 0 Khi đó, ta có: 2 2 2 2 2 21 3 4 101 x y x y z  − =  + + =  Ta có: (1) ( ) ( ) 21x y x y x y ⇔ + − = ⇒ > x, y 0.N x y x y ∈ ⇒ + ≥ − > Do đó ta có: 21 7 11 5 1 3 10 2 x y x y x x x y x y y y + = + = = =     ∨ ⇔ ∨     − = − = = =     Từ (2) 2 2 3 101 34 0 5y y y⇒ < ⇒ < ⇒ ≤ ≤ Ta chọn y = 2 5 4x z ⇒ = ⇒ = Vậy: minM = 61 ứng với x = 5, y = 2, z = 4, t = 0. Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 P xy yz zx = + + + + + Trong đó x, y, z là các số dương thay đổi thỏa điều kiện. 2 2 2 3x y z + + ≤ Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: • (1 + xy) +(1 + yz) +(1 + zx) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 1 1xy yz zx ≥ + + + • 1 1 1 1 1 1 P xy yz zx = + + + + + ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 1 1xy yz zx ≥ + + + ( ) 9 3 9 3 xy yz zx P P xy yz zx ⇒ + + + ≥ ⇔ ≥ + + + Mà xy + yx + zx 2 2 2 3 3 2 x y z P ≤ + + ≤ ⇒ ≥ Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 1 Vậy: minP = 3 2 Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2 2 2 2 x y x x + = + + Bài giải: Xem hàm số: 2 2 2 2 x y x x + = + + Tập xác định của hàm số là R. Gọi 0 y là một giá trị của hàm. Ta có: 2 0 2 2 2 x y x x + = + + ( ) ( ) 2 0 0 0 1 2 1 0y x y x y ⇔ − + + − = (1) Xét hai khả năng: a. Nếu 0 0 1 0 0y y − = ⇔ = Ta có: (1) 0x ⇔ = . Phương trình có nghiệm, 0 1y = là một giá trị của hàm. b. Nếu 0 1y ≠ . Ta có: ( ) 2 2 2 0 0 0 0 8 1 7 16 8y y y y= − − = − + −V Phương trình có nghiệm 0 ⇔ ≥ V 2 0 0 7 16 8 0y y⇔ − + ≤ 0 8 2 2 8 2 2 7 7 y − + ⇔ ≤ ≤ Do đó ta có: * Maxy = 8 2 2 7 + * Miny = 8 2 2 7 + . Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 9 16a b c P b c a a c b a b c = + + + − + − + − Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Bài giải: Để cho gọn, ta đặt: 2 2 2 b c a x a c b y a b c z + − =   + − =   + − =  Với x, y, z > 0 a = y + z, b =z + x, c = x + y. Ta có: 8 18 32 2 4. 9. 16. 4. 9. 4. 9. 4. 16. 12 24 16 52 26. a b c P b c a a c b a b c y z z x x y x y z y x y x z z P x y x y x x = + + + − + − + − + + + = + +       = + + + + + ≥ + + = ⇔ ≥  ÷  ÷  ÷       Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 7 2 3 2 3 4 3 2 5 2 x a y z y x z y b z x x z x x c x y  = + =  =    = ⇒ = + =     =   = + =  Chọn x = 2 ⇒ a = 7, b = 6, c = 5 ⇒ P = 26 Vậy minP = 26. Câu 12: Cho các số thực dương x, y, z: Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2 xyz M x y z z x = + + + Bài giải: Vân dụng bất đẳng thức Côsi: 2 0 2 0 2 0 x y xy y z yz z x zx + ≥ > + ≥ > + ≥ > Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 1 1 8 8 x y y z z x xyz xyz M x y y z z x + + + ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z Vậy maxM = 1 8 khi x = y = x. Câu 13: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1M x y z       = + + +  ÷  ÷  ÷       Bài giải: Ta có: 1 1 1 1 1 1M x y z       = + + +  ÷  ÷  ÷       1 1 1 1 1 1 1 1 x y z xy yz zx xyz = + + + + + + + Với x, y, z > 0 và x + y + z = 1, vân dụng bất đẳng thức Côsi ta có: • 3 1 1 27 3 27 x y z xyz xyz + +   ≤ = ⇔ ≥  ÷   • 2 3 1 1 1 1 3. 27 xy yz zx xyz   + + ≥ ≥  ÷   • 3 1 1 1 1 9 x y z xyz + + ≥ ≥ Dấu “=: xảy ra 1 3 1 9 27 27 64 x y z M ⇔ = = = ⇒ ≥ + + + = Vậy minM = 64. Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 8 6 5 5 1 5 5 C x x y y     = − − − + −  ÷  ÷     Bài giải: 2 2 2 2 2 2 8 6 5 5 1 5 5 4 16 3 9 5 5 1 5 25 5 25 4 3 5 5 4 5 5 C x x y y x y C x y     = − − − + −  ÷  ÷             = − − − − + − −      ÷  ÷                 ⇔ = − − − + +  ÷  ÷     Do đó ta có: C ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 4 4 0 5 5 3 3 0 5 5 x x y y   − = =     ⇔     + = = −     Vậy: maxC = 4 tại x = 4 5 , y = - 3 5 Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2 4y x x = − + − Bài giải: Chứng minh bài toán phụ: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ac bd a b c d + ≤ + + Dấu “=” xảy ra a b c d ⇔ = Chọn a = 2x − , c = 1, b = 4 x − , d = 1 với 2 4(*)x ≤ ≤ . Ta có: ( ) [ ] 2 2 2 2 4 ( 2) 4 .2 4 2 y x x x x y y = − + − ≤ − + − ⇔ ≤ ⇔ ≤ Vì y > 0 nên ta có: 0 2y < ≤ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 4 2 4 3 x x x x x − = − ⇔ − = − ⇔ = thỏa (*) Vậy max y = 2 tại x = 3. Câu 16: Tìm số nguyên không âm x, y, z sao cho 2 2 2 2 2 2 3 54 2 4 5 74 3 7 x y z x y z  + = +  + = +  Và tổng x + y + z đạt giá trị bé nhất. Bài giải: Xét 2 2 2 2 2 2 3 54 2 4 5 74 3 7 x y z x y z  + = +  + = +  ⇔ 2 2 2 2 2 2 15 270 10 20 15 222 9 21 x y z x y z  + = +  + = +  Suy ra: 2 2 48y z − = ( ) ( ) 48y z y z ⇔ − + = (1) Ta lại có: ( ) ( ) 2y z y z y − + + = (2) Từ (1) và (2) suy ra y + z và y – z cùng chẵn. Mặt khác x, y, z nguyên không âm 0y z y z ⇒ + > − > Từ đó ta có: 12 4 y z y z + =   − =  hoặc 8 6 y z y z + =   − =  hoặc 24 2 y z y z + =   − =  8 4 y z =  ⇒  =  hoặc 7 1 y z =   =  hoặc 13 11 y z =   =  Và tìm được 46 8 4 x y z =   =   =  hoặc 16 7 1 x y z =   =   =  hoặc 256 13 11 x y z =   =   =  Do tổng x + y + z đạt giá trị nhỏ nhất nên 16 7 1 x y z =   =   =  . Câu 17: Cho ( ) ( ) 3 3 2 2 3 4 4 0x y x y x y + + + + + + = và xy > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 1 1 x y + Bài giải: ( ) ( ) 3 3 2 2 3 4 4 0x y x y x y + + + + + + =