Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số 2 1 2 x y x − = − (C) . 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số. 2.Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc (C) và có hoành độ x o- = 1 Câu II (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: 4 3x – 3.2 3x – 4 = 0 2. Tính tích phân: I = 1 0 2 ln( 1)x x dx + ∫ 3. Cho hàm số: = cos x y e x . Giải phương trình: ' ''y y y− + = 0 Câu III (1,0 điểm) Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, O là tâm của đường tròn đáy. Biết chu vi đường tròn đáy là 12 π , chều cao SO bằng độ dài đường kính của đường tròn đáy. Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu IV.a (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm A(–2, 4, 3) và mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 12 = 0 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) 2) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua A và ( α ) chứa trục Oz. Câu V.a (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức: z = (2–3i) 2 .i 2009 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu IV.b (2,0 điểm) Cho mặt phẳng ( α ): x + 2y –2z – 6 = 0 và đường thẳng 2 3 ( ): 1 2 4 2 x t y t z t = +   ∆ = −   = −  1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ( ∆ ) và (P) vuông góc với ( α ). 2) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 1; –13) đến đường thẳng ( ∆ ) Câu V.b (1,0 điểm) Giải phương trình: z 4 – 3z 2 – 9 = 0 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ( Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu I (3,0 điểm) 1)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2 1 2 x y x − = − (C) 2 Điểm + Tập xác định: D = { } \ 2R 0,25 + Đạo hàm: y’ = 2 3 ( 2)x − − < 0 với mọi x thuộc D 0,25 + Tiệm cận đứng: x = 2 + Tiệm cận ngang: y = 2 0,5 + Bảng biến thiên: 0,5 + Đồ thị 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 O 2 0,5 2) Tìm pttt với (C) tại điểm M thuộc (C) và có hoành độ x o = 1 1 Điểm + Tiếp tuyến tại M(x o ,y 0 ) : y – y 0 = f ’(x o )( x – x o ) 0,25 + x o = 1 ⇒ y o = –1 ; f ’(x o ) = – 3 0,5 + Vậy tiếp tuyến : y = – 3(x – 1) – 1 = –3x + 2 0,25 Câu II 1. Giải phương trình: 4 3x – 3.2 3x – 4 = 0 (*) 1 Điểm + Đặt t = 2 3x , t > 0 0,25 + (*) trở thành: t 2 – 3t – 4 = 0 ⇔ t = 4 hay t = –1 < 0 ( loại) 0,5 + t = 4 ⇔ 2 3x = 4 ⇔ 3x = 2 ⇔ x = 2/3. Vậy phương trình có nghiệm x = 2/3 0,25 x −∞ 2 +∞ y’ − − 2 +∞ y −∞ 2 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM (3,0 điểm) 2. Tính tích phân: I = 1 0 2 ln( 1)x x dx + ∫ 1 Điểm + Đặt: ln( 1) 2 u x dv xdx = +   =  ⇒ 2 1 1 1 du dx x v x  =  +   = −  0,5 + I = (x 2 – 1)ln(x+1) 1 0 1 0 ( 1)x dx− − ∫ 0,25 + I = 1/2 0,25 3) Cho hàm số: = cos x y e x . Giải phương trình: ' ''y y y− + = 0 1 Điểm + y’= cos x e x – sin x e x 0,25 + y” = – 2e x sinx 0,25 + ' ''y y y− + = – e x sinx + ' ''y y y− + = 0 ⇔ – e x sinx = 0 ⇔ sinx = 0 ( vì e x > 0 với mọi x) 0,25 + Nghiệm phương trình là: x k π = ( k ∈ ¢ ) 0,25 Câu III (1,0 điểm) Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, O là tâm của đáy. Chu vi đáy 12 π , chều cao SO bằng đường kính của đáy. Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón. 1 Điểm + Chu vi đáy : 2 π r = 12 π ⇒ r = 6 0,25 + Chiều cao: h = SO = 2r = 12, + Suy ra đường sinh l = 2 2 12 6+ = 6 5 0,25 + S xq = π rl = 36 5 π (đvdt) và V = 1/3 π r 2 h = 144 π (đvtt) 0,25 Hình vẽ 0,25 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 2R O S Câu IV.a (2,0 điểm) Điểm A(–2, 4, 3) và mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 12 = 0 2 Điểm 1) Khoảng cách d(A; (P)) 1 Điểm + d(A; (P)) = 2 2 2 2 3 6 12 2 ( 3) 6 o o o x y z − + + + − + 0,25 + d = 2 0,25 + Đường thẳng (d) vuông góc mp(P) nên có vectơ chỉ phương (2; – 3; 6) 0,25 + (d): 2 2 4 3 ( ) 3 6 x t y t t z t = − +   = − ∈   = +  ¡ 0,25 2)Mặt phẳng ( α ) qua A và chứa trục Oz. 1 Điểm + Mặt phẳng ( α ) chứa trục Oz nên có dạng: Ax + By = 0 ( Có thể giả sử dạng( α ): x + By = 0) 0,25 + A thuộc ( α ) ⇒ –2A + 4B = 0 hay A = 2B 0,25 + Chọn B= 1 suy ra A = 2 0,25 + Vậy ( α ): 2x + y = 0 0,25 Câu V.a (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức: z = (2–3i) 2 .i 2009 1 Điểm + (2–3i) 2 = 4 – 12i + 9i 2 = –5 –12i 0,25 + i 2009 = i 4x502 +1 = i 1 = i 0,25 + z = (–5 –12i)i =12 – 5i 0,25 + Vậy: 2 2 12 ( 5)z = + − = 13 0,25 Cho mặt phẳng ( α ): x + 2y –2z – 6 = 0 và đường thẳng 2 3 ( ) : 1 2 4 2 x t y t z t = +   ∆ = −   = −  1) Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng ( ∆ ) và vuông góc với ( α ). 1 Điểm + Gọi u r =(3; – 2; –2) và v r = (1; 2; –2) 0,5 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Có [ ] (8;4;8) 4(2;1;2)u v∧ = = r r + mp(P) qua điểm (2; 1; 4) và nhận n r =(2;1;2) làm pháp vectơ nên có dạng : 2(x – 2) + (y – 1) +2(z – 4) = 0 0,25 + Vậy (P): 2x +y + 2z – 13 = 0 0,25 2) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 1; –13) đến đường thẳng ( ∆ ) 1 Điểm + Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ∆ ) ⇒ H(2+3t;1 – 2t; 4 – 2t) 0,25 + MH uuuur =(3t; –2t; 17 – 2t) vuông góc với u r =(3; – 2; –2) + MH uuuur . u r = 0 ⇔9t +4t – 34 + 4t = 0 ⇔ t = 2 + Suy ra H( 8; –3; 0) 0,5 + d(M,( ∆ )) = MH = 2 2 2 6 ( 4) 13+ − + = 221 . Vậy d(M,( ∆ )) = 221 0,25 Câu V.b (1,0 điểm) Giải phương trình: z 4 – 2z 2 – 11 = 0 1 Điểm + Đặt t = z 2 . Phương trình trở thành: t 2 – 2t – 11 = 0 (*) 0,25 + (*) có hai nghiệm t = 1 2 3± 0,25 + t = 1 2 3+ > 0 ⇔ z 2 = 1 2 3+ ⇔ z = 1 2 3± + + t = 1 2 3− < 0 ⇔ z 2 = 1 2 3− ⇔ z = 2 3 1i± − 0,25 + Vậy phương trình có bốn nghiệm: z 1,2 = 1 2 3± + ; z 3,4 = 2 3 1i± − 0,25 . Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu. (3,0 điểm) 1)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2 1 2 x y x − = − (C) 2 Điểm + Tập xác định: D = { } 2R 0,25 + Đạo hàm: y’ = 2 3 ( 2)x − − < 0 với mọi