CHƯƠNG 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1. Khái niệm số nhiều biến 2. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến 3. Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến 4. Bài toán cực trò của hàm nhiều biến 5. Bài toán ng dụng trong kinh tế 1. Khái niệm số nhiều biến 1.1. Đònh nghóa hàm n biến Cho D⊂Rn, D≠∅ Một quy tắc f cho tương ứng mỗi điểm x=(x1,x2, ,xn)∈D với một và chỉ một số w∈R là một hàm n biến số, có miền xác đònh trên D, kí hiệu w=f(x1,x2, xn) Nếu hàm w được cho bởi biểu thức giải tích f(x1,x2, ,xn) thì miền xác đònh của w=f(x1,x2, ,xn) là miền D⊂Rn sao cho f(x1x2, ,xn) có nghóa ∀x=(x1,x2, xn)∈D. 1. Khái niệm số nhiều biến 1.2. Đồ thò của hàm n biến Tập G={(x1,x2, ,xn,w)∈Rn+1: w=f(x1,x2, ,xn) ∀x=(x1,x2, xn)∈D} được gọi là đồ thò của hàm n biến w=f(x1,x2, ,xn) xác đònh trên D. TD: Cho hàm số a) Tìm miền xác đònh của w b) Tìm f(0,1) Giải: a) (x,y)∈D⇔4-x2-y2≥0 ⇔ x2+y2≤4 D là hình tròn tâm gốc toạ độ, bán kính bằng 2. b) 2 2 ( , ) 4= = − −w f x y x y 2 2 (0,1) 4 0 1 3= − − =f 2. Giới hạn và liên tục 2.1.Giới hạn của dãy điểm a) Khoảng cách 2 điểm: Trong Rn với x0=(x01,x02,….,x0n), x=(x1, x2,…., xn) Khoảng cách giữa 2 điểm x và x0 là: d(x,x0)= Tính chất – d(x,x0)≥0 – d(x,x0)=0⇔x≡x0 – d(x,x0)≤d(x,y)+d(y,x0) ∀y∈Rn − + + − 1 0 2 0 2 1 ( ) . ( ) n n x x x x 2. Giới hạn và liên tục 2.1.Giới hạn của dãy điểm a) Sự hội tụ của dãy điểm Dãy điểm {xk=(xk1,xk2, ,xkn)} hội tụ về x0=(x01,x02, ,x0n) nếu d(xk,x0)→0 (k→∞) Kí hiệu: xk→x0 hay Hệ quả: xk→x0⇔xki→x0i ∀i=1,2 n khi k→∞ b) Lân cận của một điểm Cho điểm x0∈Rn và số δ>0. Tập hợp δ(x0)={x∈Rn: d(x0,x)<δ} được gọi là một lân cận của x0 k k limx x →∞ = 0 2. Giới hạn và liên tục 2.2. Giới hạn của hàm n biến ĐN1: Hàm n biến f(x) xác đònh trong một lân cận của điểm x0 (có thể không xác đònh tại x0) có giới hạn là số L, nếu mọi dãy điểm xk→x0 ta luôn có: n n k K x x x x . x x Limf(x ) L và ghi Lim f(x) L →∞ → → → = = 0 1 1 0 2 2 0 2. Giới hạn và liên tục 2.2. Giới hạn của hàm n biến ĐN2: Tương tự ta có: n n n x x x x x x . . x x x Lim f(x) Limf(x) L →∞ → →∞ → →∞ → = ∞ = 0 1 1 1 0 2 2 2 0 2. Giới hạn và liên tục 2.2. Giới hạn của hàm n biến Chú ý: Các đònh lý về giới hạn của hàm n biến cũng được thiết lập tương tự như hàm một biến. Chẳng hạn: tổng, hiệu, tích, thương của các hàm có giới hạn hữu hạn tại một điểm là một hàm có giới hạn tại điểm đó. TD1: CM → → + = 2 2 0 0 1 lim( )sin 0 x y x y xy → → − + ≤ + ≤ + 2 2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) ( )sin ( ) 14 2 43 14 2 43 x y x y x y xy 2. Giới hạn và liên tục 2.2. Giới hạn của hàm n biến TD2: CM không tồn tại Giải: Xét: Từ (*), (**) suy ra điều phải chứng minh. x y xy Lim x y → → + 2 2 0 0 x x y x y x y xy x Lim Lim (*) x y x → → → = = = = + 2 2 2 2 0 0 0 1 2 2 x x y x y x y xy x Lim Lim (**) x y x → → → =− =− − = = − + 2 2 2 2 0 0 0 1 2 2 2. Giới hạn và liên tục 2.2. Liên tục của hàm n biến ĐN: Cho hàm n biến f(x) xác đònh trên D và x0∈D. Hàm f(x) liên tục tại x0 nếu: Hàm f(x) liên tục tại ∀x∈D, ta nói f(x) liên tục trên D. Hàm f(x) không liên tục tại điểm x0 ta nói f(x) gián đoạn tại x0. Ta cũng có tổng, hiệu, tích, thương các hàm liên tục tại x0 là một hàm liên tục tại x0. x x Limf(x) f(x ) → = 0 0