Nhận xét Với việc khai triển hai bất đẳng thức ( — — 20 — Xe, + yey + zea) >0 (xOA + yOB +z0C) >0 — — —`2 ta dễ dàng nhận hai bất đẳng thức tổng quát yzcosA + zxcosB + xycosC < x? ty? +27 —_— yzcos2A + zxcos2B + xycos2C < — x+y? 42? Vx, y,Z VX, y, Z Vi dụ 5.28 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(x, ; y,) B(x) ; y) Chứng minh Soap =5 XIY2 —XzylÌ- q~ ->„m Giải (h.5-20) Dễ dàng chứng minh : 5= SoAB= Suyra OAOB _ Hình 5-20 sina , œ góc hai vecto OA,OB 4S?= lã2.|b| sin2œ = la? lel a - cosa) = fa?’ {6P — (lal.lél.cosa) = la?’ lol - (aby = (x? + vi )(x3 + v3) - (XX¿ + y\Y¿ Ỷ | = (X1Y2 — Koy) Vay S= 2lX: - XayI|82 Vi dụ 5.29 Cho số xạ, xạ, y¡, Y2 Chứng minh (x? + Ví x2 + ys) (X4Xo +, yo)" (bat dang thức Bu-nhi-a-cốp-xki) Giải Trên mặt phẳng toạ độ xét hai vectơ ä = (x,;y, ),b = (X2 ;Y2) Taco [al.{él > labl > lal? IP > @dy? => (x? + yi (x3 + y2) >(XIX + viy2) ng thc xyra ôâ>ọ//b xy) = Xj | Vi du 5.30 Cho hinh vuông ABCD; E trung điểm AB, F điểm cho AF= SAD Xác định vị trí điểm M đường thẳng BC cho EFM = Iv Giải (h.5-21) Gọi a độ dài cạnh hình vng Xét hệ toạ độ xOy cho D =O Dễ thấy E =3; a] Giả sử M=(a;y) ; F =(0; 2) (yeR) (553) _ Ta có —FM EF = | FM =(a; FE.FM H+ - 72) 23-3)" _ —Sa oye " co M=(a; y A ¬ a E B F - 28) mm < = (0; 0), C= (a; 0), A =(0; a) =0 O=D Cc x MAsina + MBsinB + MCsiny 5.21* Cho tam gidc ABC Chiing minh rang : A _ Bo C _ m, Cos-> + my cos + m, cos 4a +b+c) 85 5.22*, Cho tam gidc ABC Ching minh rang v6i moi diém M ta c6é a MA? + bME” + cˆMC? > , a“ 3a“b^c? +b’ +c >: 5.23* Cho tam giéc ABC Cac diém X, Y, Z theo thif tu chay đường thẳng BC, CA, AB Tìm vị trí X, Y, Z cho (YZ + ZX? + XY?) nhỏ 5.24, Trong mat phang toa dé cho ba diém A(1 ; 4); B(-2 Xác định toạ độ điểm M cho tổng MA” + 2MB” +3MC? ; -2) ; C(4 ; nhỏ 2) 5.25 Cho điểm A(-3 ; 6); B(1 ; -2) ; C(6; 3) a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC 5.26 Cho số ai, a›, bạ, bạ Chứng minh rang : a) (ay + ag)? + (b, + by)? < Ja? + b? + fa? + bệ b) vj(ay — az)2 + (bị — bạ}? > Ja’ 2 + bj - a3 2 +3) 5.27 Trên mặt phẳng toạ độ, cho hình bình hành với ba đỉnh có toạ độ số ngun Chứng minh diện tích hình bình hành số ngun §6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TOM TAT LÍ THUYẾT - HE THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1, Các định lí bŸ = ab' c? =ac' a’ = b” + c? (dinh li Py-ta-go) Các hệ be =h? 86 Hình 6-1] b bt “S|— ch e2 " bể VÀ c? II- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG Định lí cơsin a?=b2+ c?~ 2becosA b = c? + a — 2cacosB c? = a + bể — 2abcosC Dinh li sin a b c sinA sinB sinC - Các cơng thức tính diện tích = 28ha = phụ = 2chc S= csin A = casinB —2 a) = bsinc ~ abc S= aR S = /p(p — a)(p — b)(p — c) (Hê-rông) =pr = (p - a)rạ = (p — b)rp = (p — C)Tạ _4 Bán kính đường trịn nội tiếp, bàng tiếp =(prep i= Íhb b i= a)tan A 2w= ( — b)tan 2w=( —e)tan C ptan-~ ~= p tan 22 ptan-= 87 Cơng thức tính độ dài trung tuyến mà _ 2(b“+c?)-a? m2 = 2€ 2 +a°)-—b 2, mộ = 42\_ TT Cơng thức tính độ dài phân giác * = lộ = lỆ© = p(p - a) (b+)? 4ca (p—b) (c+a PAP 4ab (a+b) p(p - ©) B CAC vi DU Ví dụ 6.1 Cho tam giác ABC Chứng minh : t2, cotA + cotB + cotC arbre = 4S Gidi Theo dinh li césin cosA = b* +07 -a? s 2bc =~ 22 cosA _ b? +07 - a? —> cotA = b* +c? -a? sinA — 2bcesinA ~ 4S Vay cotA + cotB + cotC = bˆ+c?-a^ 2S + ct +a*—-b* 2S + a2+bP-c? 2S a“ +b° t2, +c" 22 | = ——Tg——— (đpcm) Nhận xét Công thức cotA = b* +c? =a? 2S cịn gọi định lí cơtang, có hiệu lực việc giải nhiều tốn khác Ví dụ 6.2 Cho tam giác ABC BM, CN trung tuyến Chứng minh điều kiện sau tương đương : 88 a) BM L CN; A b) b? +c? = Sa’: c) cotA = 2(cotB + cotC) Gidi e a) © b) Đặt G = BM ê CN (h.6-2), ta thấy BM | CN BG? + CG? = BC? N  Hinh 6-2 M - => 4m; + 4m? = 9a? > 2(c?+ a2) — b* + 2(a? + b*) — c? = 9a? âb2+c2=5a7 ôc)âb) b? +c? -a? { cotA == 2(cotB + cotC) = ————— 2S Cae 45 — + — 2S ob +e _—a?=4a?©b°+c2= 5a Ví dụ 6.3 Cho tam giác ABC Chứng minh : RD — £0 Lhi wt nh? B =60 Giải + I “a+b b+c _ Lh: a oltre tee + P= œA2†b+c a+b+c C > by atbee a+b b+c Cc 2M _ _ — a ab tbe 7! © c(b +c) + a(a + b) = (a+ b)(b +c) ©cb+c7+a + ab = ab + bỂ + ác + be 2.2 12— ©c+a-b=acc ©cosB= c?Ằ+a2 -b -bể c+a Tac _il| =5 3 => cotA + cotB + cotC > V3 Ví dụ 6.6 Cho tam giác ABC có m, = 3, m, + mẹ + mẹ = Giải Ta có m, =e ©a=b=c© AABC đẻu Chứng minh rng : (+ b+â), = m =c ơ" Y +b“)-c _£ 2fa =3c2 = 2(a? +b2)—~c? =3c? => a* +b?= 2c” => 90 2(b? +0?)-a? = 3b? 2(a?+c?)—b2=3a? => [4m¿=3p?2 _ 2 > | 4m? = 3a Jee B |mạ =-Tb m V3 =m, +m,+m,=3=(a+b+0) Vi du 6.7 Cho tam giác ABC Chứng minh : b+c> + V3l, Gidi Theo công thức tính độ dài đường phân giác bất đẳng thức Cơ-si ta có : a a pt N3h = 5+ _a b+c „ 4p 3a 2† Vay b+o2 „xo 3(p~ a) + P 2ybe/3(p — a)p _ =z† a b+c 3b se) sa =b+c + V3l, , , Đăng thức xảy me | b=c 3(p — a) = p ©a=b=c