CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn Đặt x = |a| sint; với a2 − x2 t ∈ [ 0; π ] x = |a| cost; với a  π π t ∈  − ;  \ { 0}  2 Đặt x = sint ; với a π  t ∈ [ 0; π ] \   2 x = cost ; với x2 − a2  π π t ∈ − ; ÷  2 Đặt x = |a|tant; với t ∈ ( 0; π ) x = |a|cost; với a + x2 a+x a − x a−x a+x ( x − a) ( b − x) a + x2 I= ∫ 2 Bài 1: Tính Giải: Đặt x = acos2t Đặt x = a + (b – a)sin2t  π π t ∈ − ; ÷  2 Đặt x = atant; với − x2 dx x2  π π t ∈ − ;   2  ⇒ dx = - sint dt Đặt x = cost, Đổi cận: π x t 1 1− x − cos 2t sint I= ∫ dx −∫ dt x2 cos 2t π Khi đó: = = π  π ∫ sin t sin t dt cos 2t π = sin t ∫ cos 2t dt =  ∫  cos t − 1÷dt    π π t ∈− ;   2 = π ( tan t − t )  π π t ∈ 0;  1− =   nên sint ≥ ⇒ sin t = sin t ) (v? = a Bài 2: Tính Giải: I = ∫ x a − x dx  π π t ∈ − ;   2  ⇒ dx = acostdt Đặt x = asint, Đổi cận: x t a π π a Khi đó: π a ∫ sin I = ∫ x a − x dx = ∫a sin t a ( − sin t ) acostdt π = a ∫ sin tcos 2tdt = 2tdt = π a4   t − sin 4t ÷ π a ∫ ( − cos4t ) dt   0 = = 16 π = a Bài 3: Tính Giải: I = ∫ x − x dx  π π t ∈ − ;   2  ⇒ dx = costdt Đặt x = sint, Đổi cận: x π t π Khi đó: I = ∫ x − x dx = ∫ sin π t − sin t costdt π 1  t − sin 4t ÷ π ∫ ( − cos4t ) dt   0 = = = 16 = 2 ∫ sin tcos tdt 40 π = ∫ sin 2tdt 40 π Bài 4: Tính Giải: I = ∫ x − x dx Đặt t = − x ⇔ t2 = – x2 ⇒ xdx = -tdt Đổi cận: x t 1 Khi đó: I = ∫ x − x dx I = ∫ x − x xdx = 1 ∫ ( − t ) t.tdt ∫ ( t = = − t ) dt  t3 t5   − ÷ 50 = = 15 e2 I= Bài 5: Tính Giải: dx ∫ x ln e x dx Đặt t = lnx ⇒ dt = x Đổi cận: x e e2 t e2 dx dt I=∫ ∫ t5 x ln x e Khi đó: = = Bài 6: Tính Giải:   15  − ÷1 = 64  4t  I = ∫ x ( x + 1) dx ⇒ x dx = Đặt t = x + ⇒ dt = 4x dx Đổi cận: x t Khi đó: dt 4   31 ∫ t dt =  20 t ÷1 = 20   = 41 I = ∫ x ( x + 1) dx π I = ∫ sin xcoxdx Bài 7: Tính Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x t π Khi đó: I= Bài 8: Tính Giải: I = ∫ sin xcoxdx = ∫ t dt = π 12 ∫ tan xdx π 12 Ta có: π 12 0 sin x ∫ tan xdx = ∫ cos x dx Đặt t = cos4x ; Đổi cận: ⇒ dt = −4s in4 xdx ⇒ sin xdx = − x π 12 t Khi đó: π 12 π 12 I= dt ∫ tan xdx = ∫ 1 sin x dt dt 1 dx = − ∫ = ∫ = ln t = ln cos x 41 t 41 t 4 2 π Bài 9: Tính Giải: I = ∫ cos xdx π π π ∫ cos xdx = ∫ cos xcoxdx = ∫ ( − sin x ) Ta có: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x t Khi đó: 0 π π 0 coxdx π I = ∫ cos xdx = ∫ ( − sin x ) coxdx = ∫ ( − t 2 ) 2 π  2t t  dt = ∫ ( − 2t + t ) dt =  t − + ÷ =  18  π Bài 10: Tính Giải: dx cos x I =∫ Đặt t = tanx ; Đổi cận: x t π Khi đó: ⇒ dt = dx cos x π π  t3  1 I=∫ dx = ∫ ( + tan x ) dx = ∫ ( + t ) dt =  t + ÷ = cos x cos x 30  0 π I =∫ π cos x dx s in x Bài 11: Tính Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π π x t π π 1 cos x (1 − s in x) 1− t2 1    I=∫ dx = ∫ cosxdx = ∫ dt = ∫  − 1÷dt =  − − t ÷ = 2 s in x t   t  π s in x π 1t 6 2 Khi đó: π I = ∫ sin xcos xdx Bài 12: Tính Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x t Khi đó: π π  t4 t6  1 I = ∫ sin xcos xdx = ∫ sin x ( − sin x ) cosxdx = ∫ t ( − t ) dt = ∫ ( t − t ) dt =  − ÷ =   12 0 0 3 π 3 I = ∫ esin x sin xdx Bài 13: Tính Giải: Đặt t = sin2x ; ⇒ dt = s in2 xdx Đổi cận: π x t π Khi đó: I = ∫e sin x sin xdx = ∫ et dt = et = e − π sin x dx + cos x I =∫ Bài 14: Tính Giải: Đặt t = + cos2x ; ⇒ dt = − s in xdx ⇒ s in xdx = − dt Đổi cận: x t π π 2 sin x dt dt dx = − ∫ = ∫ = ( ln t ) = ln 2 1 + cos x t t I=∫ Khi đó: π Bài 15: Tính Giải: I = ∫ tan xdx Đặt t = tanx ; Đổi cận: ⇒ dt = ( + tan x ) dx = ( + t ) dt ⇒ dx = x t Khi đó: π 0 dt t +1 π 1 1 t3 t  2t t 1 d ( t + 1)  I = ∫ tan xdx = ∫ dt = ∫  t − ÷dt = ∫ tdt − ∫ dt = − = t +1 t +1  t +1 2 ∫ t2 +1 0 0 0 = 1 1 1 − ln ( t + 1) = − ln = ( − ln ) 2 2 Bài 16: Tính Giải: dx 1+ x I =∫ Đặt t = x ; ⇒ t = x ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: x t 1 1 1 t   I =∫ dx = ∫ dt = 2∫ 1 − ÷dt = ( t − ln + t ) = ( − ln ) 1+ t 1+ t  x 1+ 0 Khi đó: Bài 17: Tính Giải: I = ∫ x 3 − x dx − x ⇒ t = − x ⇒ x3 dx = − t dt Đặt t = Đổi cận: x t Khi đó: I = ∫ x 3 − x dx = 0 I= Bài 18: Tính Giải: ∫x −1 dx + 2x + Ta có: 3 41 ∫ t dt = 16 t = 16 40 1 ∫1 x + x + dx = −∫1 − ( x + 1) + ( 3) dx  π π t ∈  − ; ÷ ⇒ dx = ( + tan t ) dt  2 Đặt x + = tan t với Đổi cận: x -1 π t π π 36 π I=∫ dx = ∫ dt = t = 18 x + 2x + −1 Khi đó: x3 I =∫ dx + x8 Bài 19: Tính Giải: 1 x3 x3 dx = ∫ dx ∫ + x8 0 1+ ( x ) Ta có:  π π t ∈  − ; ÷ ⇒ x 3dx = ( + tan t ) dt 4  2 Đặt x = tan t với Đổi cận: x t I =∫ Khi đó: e I =∫ 1 π + ln x dx x t = + ln x ⇒ t = + ln x ⇒ 2tdt = Đặt Đổi cận: x t π π x x 1 + tan t 1 π dx = ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = t = 1+ x + tan t 40 16 0 1+ ( x ) Bài 20: Tính Giải: π 1 dx x e e Khi đó: I =∫ 1 + ln x dx = x ( ) t3 2 2 −1 ∫ t.2tdt =2 ∫ t dt =2 = 1 2 ln ( − x ) dx 2− x Bài 21: Tính Giải: I =∫ t = ln ( − x ) ⇒ dt = Đặt Đổi cận: x t Khi đó: −dx 2− x 1 ln2 ln ln ( − x ) t ln ln 2 I =∫ dx = − ∫ tdt = ∫ tdt = = 2− x 2 ln π Bài 22: Tính Giải: cosx dx + sin x I =∫  π π t ∈  − ; ÷⇒ cosxdx = ( + tan t ) dt  2 Đặt sin x = tan t với Đổi cận: π x π t π Khi đó: π I =∫ Bài 23: Tính Giải: π π 4 cosx + tan t π I=∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = 2 + sin x + tan t 0 π dx sin x x 1 x 2dt ⇒ dt =  + tan ÷dx ⇒ dx = 2 2 1+ t2 Đặt 1 2tdt dx = = dt 2t + t t sin x 1+ t2 Ta tính: Đổi cận: π π x 3 t t = tan π I=∫ dx = π sin x Khi đó: e Bài 24: Tính Giải: I =∫ 1 = ln 3 = − ln 3 dx x ( + ln x ) Đặt Đổi cận: x t dx x 1 e I =∫ 1 Bài 25: Tính Giải: ∫ t dt = ( ln t ) 3 t = + ln x ⇒ dt = Khi đó: e 2 dt dx = ∫ = ln t = ln x ( + ln x ) t I = ∫ x 5e x dx t = x ⇒ dt = x dx ⇒ x dx = Đặt Đổi cận: x t 0 1 I = ∫ x 5e x dx = Khi đó: I= 1+ Bài 26: Tính Giải: ∫ 1+ ∫ 1 1 t 1 e 1 te dt = tet − ∫ et dt = − et = ∫ 30 30 3 x2 + dx x4 − x2 + x +1 dx = x − x2 + 1+ ∫ Ta có: t = x− Đặt Đổi cận: 1+ x2 x −1 + x dx = 1+ ∫ 1   1 + ÷  x  dx 1  x − ÷ +1  x  1   ⇒ dt =  + ÷dx x  x  x t dt dt I =∫ 1+ t2 1+ 1 Khi đó: t = tan u ⇒ dt = ( + tan u ) du Đặt Đổi cận: x π t π π π dt + tan u π I =∫ =∫ du = ∫ du = u = 2 1+ t + tan u 0 0 Vậy dx I =∫ x 1+ x Bài 27: Tính Giải: 2 dx x dx =∫ ∫ 3 + x3 x Ta có: x + x t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = x dx ⇒ x dx = Đặt Đổi cận: x t 2tdt 3 Khi đó: I =∫ = dx x + x3 =∫ x dx x3 + x3 = 3 dt ∫ t −1 = 3  1  ∫  t − − t + ÷dt =     −1 ( ln t − − ln t + ) =  ln tt +  =  ln − ln − ÷ = ln + = ln 3 ÷  + ÷ 2 −1   3  ( ) ( ) −1 2 Bài 28: Tính Giải: 3x3 I =∫ dx x + 2x + 2 3x3 x3 dx = ∫ ∫ x + x + ( x + 1) dx Ta có: Đặt t = x + ⇒ dt = dx Đổi cận: x t Khi đó: 3 3 ( t − 3t + 3t − 1) ( t − 1) 3x3 3x3 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = x + 2x + t2 t2 0 ( x + 1) 1  t2 1 3   = ∫  3t − + − 3t −2 ÷dt =  − 9t + ln t + ÷ = ( 32 − 12 ) − ( − 1) + ( ln − ln1) + − = ln − t t 1   1 10 t = tan x ⇒ dt = 18 Đặt Đổi cận: x t dt dt dx = ( + tan x ) dx ⇒ dx = = 2 cos x + tan x + t π 1  dt t −1  1 dt 1 tdt 1 dt dt = ∫ = ∫ − − ∫ + ∫ 1+ 2 t + ( + t ) ( + t )  ( + t ) ( + t )  02 t t2 + 14 22   4 43 I =∫ J1 J2 J3 Khi đó: J1 = Tính: Tính: ln dt ∫ t + = ln t + = 20 1 ln tdt d ( t + 1) J2 = ∫ = ∫ = ln t + = t +1 t +1 4 π dt π ∫ t + = ∫ du = 20 J3 = Tính: ln ln π π ln I= − + = + 8 Vậy π I =∫ π Bài 55: Tính Giải: π (với t = tanu) dx sin x dx π ∫ sin x = ∫ π π π sin xdx sin xdx =∫ sin x π − co s x 3 Ta có: t = cosx ⇒ dt = − sin xdx 19 Đặt Đổi cận: π π x t Khi đó: 2 2 −dt dt  1  dt dt 1 3 I =∫ =∫ = ∫ + dt + ∫ = − ( ln t − − ln t + ) = −  ln − ln ÷ = ÷ =− ∫ 2 1− t  1− t 1+ t  t −1 t +1 2 2 1− t 0 1 = − ln = ln 3 20 x + sin x dx cos x I =∫ Bài 56: Tính Giải: Ta có: 1 x + sin x xdx sin x I =∫ dx = ∫ +∫ dx 2 cos x cos x cos x 0 14 4 3 I1 I2 π xdx cos x I1 = ∫ Tính u = x  du = dx  ⇒   dv = cos x dx v = tan x Đặt  Áp dụng cơng thức tính tích phân phần ta được: π π π π π π 3 xdx π sin x π 3 d ( cosx ) π I1 = ∫ = x tan x − ∫ tan xdx = −∫ dx = +∫ = + ( ln cosx ) = cos x cosx cosx 0 0 0 π + ln = π π π −d ( cosx ) sin x I2 = ∫ dx = ∫ = = −1 = cos x cos x cosx 0 Tính π − ln + Vậy x3 I =∫ dx x2 + x+ Bài 57: Tính Giải: Ta có: I= I =∫ x + x +1 =∫x x3 x3 dx = ∫ ( x+ 0 x2 + − x x +1 x + 1.dx − ∫ x = ∫ x ( )( ) x +1 − x ) dx = ∫ x3 ( x2 + − x x2 + − x2 ) dx = ∫( x ) x + − x dx = x5 1 x + 1.xdx − = ∫ x x + 1.xdx − 0 20 Đặt t = x + ⇒ dt = xdx Đổi cận: x t Khi đó: 21 2 ) ( 2 1 1 1 1 I = ∫ ( t − 1) t dt − = ∫ t − t dt − = − + ∫ t dt − ∫ t dt 21 5 21 21 1 2 2 2 1 2 2 = − +  t − t ÷ = − + − − + = − + − =− + 2 31 5 5 3 5 15 15 I= x dx − 4x ∫ −1 Bài 58: Tính Giải: 21 Đặt t = − x ⇒ dt = −4dx Đổi cận: x -1 t 1 I= ∫ −1 = Khi đó: 5−t   9  − ÷dt − t x 1  4 dx = ∫ = ∫ dt = ∫ dt − ∫ tdt = 16 t 812 t 16 − 4x t 9 5 13 t − t = ( − 1) − ( 27 − 1) = − = 8 16 24 12 I = ∫ x − xdx Bài 59: Tính Giải: 22 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận: x t -8 Khi đó: I = ∫ x − xdx = ∫ ( − t ) t ( −dt ) = ∫ ( −8 −8 ) 3 468 3 0 t − t dt =  t − t ÷ = − ( −2 ) + ( −2 ) = −  −8 7 4 π dx π  π sin x sin  x + ÷ 6  I =∫ Bài 60: Tính Giải: π π π 3 dx dx 2dx I=∫ =∫ =∫ = π π    π sin x + sin xcosx π sin x sin  x + ÷ ( sin x )  sin x + cosx ÷ 6 6    22 π =∫ π π 2dx ( co s x ) ( tan x + tan x ) =∫ π 2d ( tan x ) ( tan x ) ( π ) tan x + = 3∫ π d ( tan x ) ( tan x )( ) tan x + = π 1   = 3∫  − d ÷ ( tan x ) = tan x +  π  tan x π π d tan x + d ( tan x ) = 2∫ − 2∫ = ( ln tan x ) − ln tan x + π tan x tan x + π π 6 3 = ln − ln = ln  ÷ 2 dx I = ∫ 2x e +3 Bài 61: Tính Giải: x x 23 Đặt t = e ⇒ dt = e dx Đổi cận: x t e Khi đó: ( π ) ( ) π   =  ln − ln ÷− ( ln − ln ) π 3  e e e e d ( t2 ) dx dt tdt 2tdt I = ∫ 2x = = = = e + ∫ t ( t + 3) ∫ t ( t + ) ∫ t ( t + 3) ∫ t ( t + ) 1 1 e e 1 1 1  e2 +  = ∫ − d ( t ) = ln t − ln ( t + 3)  =  − ln ÷ ÷ 1 t t +3 6   I= dx ∫ ( 11 + 5x ) −2 Bài 62: Tính Giải: 24 Đặt t = 11 + x ⇒ dt = 5dx Đổi cận: x -2 t 6 dx dt −1 1 I=∫ = ∫ =− = + = 51t 5t 30 −2 ( 11 + x ) Khi đó: e sin ( ln x ) I =∫ dx x Bài 63: Tính Giải: t = ln x ⇒ dt = 25 Đặt Đổi cận: dx x 23 x t Khi đó: e e 1 sin ( ln x ) I =∫ dx = ∫ sin tdt = −cost = −cos1 + cos = − cos1 x I = ∫ x − 9dx Bài 64: Tính Giải: t2 + 2t t + t2 − t2 − x2 − = t − x = t − = ⇒ dx = dt 2t 2t 2t 26 Đặt Đổi cận: x t Khi đó: 9  t2 t − t2 − 81   t 81  I = ∫ x − 9dx = ∫ dt = ∫  − + ÷dt =  − ln t − ÷ = 2t 2t 2t 4t  6t  8 3 3 t = x + x2 − ⇒ x = I= ∫ ( sin x + cosx ) π − 12 Bài 65: Tính Giải: I= π π π − 12 dx π 1 π  dx = ∫ dx = − cot  x + ÷ = π π 4 π 2  − sin  x + − ÷ 12 4 12  π ∫ ( sin x + cosx ) 2 I = ∫ sin xdx Bài 66: Tính 27 Đặt t = x ⇒ dx = 2td Đổi cận: x t Khi đó: I = ∫ t sin tdt u = t  du = dt ⇒  Đặt  dv = sin tdt v = −cosx Áp dụng cơng thức tính tích phân phần ta được: 1 1 I = −2 ( tcost ) + ∫ costdt = −2 ( tcost ) + ( sin t ) = ( sin1 − cos1) 0 0 24 B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Tích phân hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax P(x) đa thức Đặt u = P ( x )    dv =  u = ln x  Tích phân hàm số dạng P(x)lnx P(x) đa thức Đặt  dv = Bài 1: Tính I = ∫ xe x dx  du = dx u = x  ⇒  2x 2x  dv = e dx v = e  Đặt Áp dụng cơng thức tính tích phân phần: 1 1 1 2x 1 2x 2x 1 e2 + 2x I = ∫ xe dx = xe − ∫ e dx = e − ∫ e d ( x ) = e − e x = e − ( e − 1) = 20 2 40 4 π x dx cos x I=∫ Bài 2: Tính u = x du = dx  dx ⇒   v = tan x  dv = co s x  Đặt Áp dụng cơng thức tính tích phân phần: π π π π π π 3 x π sin x π 3 d ( cosx ) π π I=∫ dx = x tan x − ∫ tan xdx = −∫ dx = +∫ = + ln cosx = − ln 2 cos x cosx cosx 3 0 0 0 I = ∫ x e x dx Bài 3: Tính   du = xdx u = x ⇒  x x  dv = e dx v = e Đặt  Áp dụng cơng thức tính tích phân phần: 1 x x x I = ∫ x e dx = x e − 2∫ xe dx = e − ∫ xe x dx 0 0 J = ∫ xe x dx Tiếp tục tính: u = x du = dx ⇒  x dv = e dx v = e x Đặt  25 Áp dụng cơng thức tính tích phân phần: 1 x x J = ∫ xe dx = xe − ∫ xe x dx = 0 Vậy I = e - Bài 4: Tính I = ∫ ( 3x + 1) e −3 x dx du = 3dx u = x +  ⇒ −3 x  −3 x  dv = e dx v = − e  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần: I = ∫ ( 3x + 1) e −3 x dx = − 1 11 1 1 ( 3x + 1) e −3x + ∫ e −3x dx = − ( 3x + 1) e −3x − ∫ e −3 x d ( e −3x ) = − ( 3x + 1) e −3x − e −3 x = − 0 30 3 e 3 π Bài 5: Tính I = ∫ x sin xdx π π  − cos x 12 ÷ I = ∫ x sin xdx = ∫ x dx =  ∫ xdx − ∫ xcos xdx ÷ 2 0 0 ÷   Ta có: π π x2 π2 ∫ xdx = 2 = 0 28 π π π 29 Tính ∫ xcos2 xdx du = dx u = x  ⇒   dv = cos xdx v = sin x  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần: π π π π 12 cos x ∫ xcos2 xdx = x sin x − ∫ sin xdx = + = − 0 0 π Vậy I = ∫ x sin xdx = π2 +4 16 π Bài 6: Tính Giải: I = ∫ esin x sin xdx 26 π π I = ∫ esin x sin xdx = ∫ esin x sin xcosxdx Ta có: Đặt t = sin x ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x t Khi đó: π 0 I = ∫ esin x sin xcosxdx = ∫ tet dt u = t du = dt ⇒  dv = et dt v = et Đặt  Áp dụng cơng thức tính tích phân phần: 1 t t t t t ∫ te dt = te − ∫ e dt = te − e = 0 Vậy I = e Bài 7: Tính I = ∫ ( x + 1) ln xdx dx  u = ln x  du = ⇒ x   dv = ( x + 1) dx v = x + x   Đặt Áp dụng cơng thức tính tích phân phần: e e e e I = ∫ ( x + 1) ln xdx = ( x + x ) ln x − ∫ ( x + 1) dx = 2e + e − ( x + x ) = e + 1 1 Bài 8: Tính I = ∫ x ln ( x + 1) dx Đặt t = x + ⇒ dt = xdx Đổi cận: x t Khi đó: 2 I = ∫ x ln ( x + 1) dx = ∫ ln tdt 21 dx  u = ln t du = ⇒ t   dv = dt v = t  Đặt Áp dụng cơng thức tính tích phân phần: 27 ∫ ln tdt = t ln t 2 − dt = ln − 1 ∫ 1 Vậy I = ∫ x ln ( x + 1) dx = ln − π I = ∫ cosx ln ( sin x ) dx π Bài 9: Tính cosx  u = ln ( sin x ) dx   du = ⇒ sin x   dv = cosdx  v = sin x  Đặt Áp dụng cơng thức tính tích phân phần: π π π 2 I = ∫ cosx ln ( sin x ) dx = sin x ln ( sin x ) − ∫ cosxdx = in x ln ( sin x ) π π π 6 π I =∫ π π − sin x π π = ( ln − 1) π xdx sin x Bài 10: Tính u = x du = dx  dx ⇒   v = − cot x  dv = sin x  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần π π π 3 xdx π I = ∫ = − x cot x + ∫ cot xdx = − + ln sin x π π 3 π sin x 4 π π 9−4 3 = + ln π 36 2 ( ) π I = ∫ e x cos xdx Bài 11: Tính u = cosx du = − sin xdx ⇒  x dv = e dx v = e x Đặt  Áp dụng cơng thức tính tích phân phần π π π 2 I = ∫ e x cos xdx = e x cosx + ∫ e x sin xdx 0 43 I1 π Tính I1 = ∫ e x sin xdx 28 u = sin x du = cosxdx ⇒  dv = e x dx v = e x Đặt  Áp dụng công thức tính tích phân phần π π π π x x x x I1 = ∫ e sin xdx = e sin x − ∫ e co s xdx =e sin x − I 0 0 π π  π π 1 x e −1 I = ∫ e x cos xdx = e cosx + e x sin x ÷ = ÷ 2  0 ÷   Suy ra: π Bài 12: Tính + sin x x e dx + cosx I =∫ π π Ta có: π π π + sin x x e dx sin x x e dx sin x x e dx = ∫ +∫ e dx = ∫ +∫ e dx + cosx + cosx + cosx cos x + cosx 0 44 43 I2 43 I=∫ x x I1 π e x dx I1 = ∫ cos x Tính: x u = e  du = e x dx    dx ⇒  dv =  x x  v = tan cos   Đặt  Áp dụng cơng thức tính tích phân phần π π π π π x 2 e dx x x x x x I1 = ∫ = e tan − ∫ tan e dx = e − ∫ tan e x dx x cos 2 2 0 π π π x x co s 2 2sin sin x x 2 e x dx = tan x e x dx I2 = ∫ e dx = ∫ ∫ x + cosx 0 2cos 2 Tính: π Vậy I = e C TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP π Bài 1: Tính Giải: I=∫ sin x dx sin x + cosx 29 π − t ⇒ dx = − dt Đặt Đổi cận: π x π t Khi đó: π  π π sin  − t ÷ 2 co s t co s x 2  I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx co s t + s int co s x + s in x π π  π  0 sin  − t ÷ + cos  − t ÷ 2  2  x= π I + I = 2I = ∫ Vậy π π sin x + cosx π π dx = ∫ dx = x = ⇒ I = sin x + cosx 0 π Bài 2: Tính Giải: sin x I=∫ dx sin x + cos x π − t ⇒ dx = − dt Đặt Đổi cận: π x π t Khi đó: π π π  sin  − t ÷ 2 co s t co s3 x 2  I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx co s3 t + sin t co s3 x + sin x   3π 3π π 0 sin  − t ÷+ co s  − t ÷ 2  2  x= π π π sin x + cos x π π I + I = 2I = ∫ dx = ∫ dx = x = ⇒ I = sin x + cos x 0 Vậy 1 ex e− x I = ∫ x − x dx I = ∫ x − x dx e +e e +e 0 Bài 3: Tính tích phân: 3 Ta có: I + J = ∫ dx = 1 d ( e x + e− x ) e x − e− x e2 + x −x −1 I − J = ∫ x − x dx = ∫ x − x = ln e + e = ln ( e + e ) − ln = ln e +e e +e 2e 0 30 I= Từ suy ra: 1 e2 + 1 + ln 2 2e    π Bài 4: Tính Giải: I = ∫ ln J= 1 2e  1 + ln e + 1 2  + s inx dx 1+cosx π − t ⇒ dx = − dt Đặt Đổi cận: π x π t Khi đó: π π π  + s in  − t ÷ 2   dt = ln + co s t dt = ln + co s x dx I = − ∫ ln ∫ 1+sint ∫ 1+sinx π  π 0 1+cos  − t ÷ 2  x= Vậy π π π π 2 + s inx   + cosx  + cosx + s inx  I + I = I = ∫  ln + ln dx = ∫  ln dx = ∫ ( ln1) dx = ∫ 0dx = ⇒ I = ÷ ÷ + s inx + co s x  + s inx + co s x  0 0 0 π Bài 5: Tính Giải: sin x I=∫ dx sin x + cos x π − t ⇒ dx = − dt Đặt Đổi cận: π x π t Khi đó: π π π  sin  − t ÷ 2 co s t co s x 2  I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx co s t + sin t co s x + sin x   π π π 0 sin  − t ÷+ co s  − t ÷ 2  2  x= π π π sin x + cos x π π I + I = 2I = ∫ dx = ∫ dx = x = ⇒ I = sin x + cos x 0 Vậy 6 31 I= 2π ∫ sin ( sin x + nx ) dx Bài 6: Tính Giải: Đặt t = π − t ⇒ dt = −dx Đổi cận: 2π x π −π t Khi đó: −π π π −π I = − ∫ sin ( sin ( π − t ) + n ( π − t ) ) dt = π π −π = ∫ sin ( sin t + nπ − nt ) dt −π ∫ sin ( sin t − nt ) cos ( nπ ) dt + ∫ sin ( sin t − nt ) s in ( nπ ) dt π ⇒I= ∫ sin ( sin t − nt ) cos ( nπ ) dt −π Đặt y = −t ⇒ dy = − dt Đổi cận: −π π t π −π y Khi đó: (do sin ( nπ ) = ) −π π π π −π −π I = − ∫ sin sin ( − y ) + ny  cos ( nπ ) dy = ∫ sin [ − sin y + ny ] cos ( nπ ) dy = −   ∫ sin ( sin y − ny ) cos ( nπ ) dy π = − ∫ sin ( sin t − nt ) cos ( nπ ) dy = − I −π ⇒ I = −I ⇒ I = π Bài 7: Tính Giải: I=∫ 4sin x ( sin x + cosx ) dx π − t ⇒ dx = − dt Đặt Đổi cận: π x π t Khi đó: x= 32 π π π  4sin  − t ÷ 2 4co s t 4co s x 2  I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx 3 π  π  π  [ co s t + sin t ] [ co s x + sin x ] − t ÷+ co s  − t ÷ sin     2  π ⇒ I + I = 2I = ∫ π 4sin x ( sin x + cosx ) dx + ∫ π 4co s x ( sin x + cosx ) dx = ∫ π ( sin x + cosx ) dx = ∫ π π  = tan  x − ÷ = + = ⇒ I = 4  0 dx π 2 2cos  x − ÷ 4  D THAM KHẢO ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2010 Khối B – 2010 e Tính tích phân I = ln x ∫ x(2 + ln x) dx Giải e ln x dx ; u = ln x ⇒ du = dx x x ( + ln x ) x e u 1 1 u    I =∫ du = ∫  − du ÷ =  ln + u + ÷  + u ( + u) ÷ 2+u 0  ( + u) 0  I =∫ 2  3 =  ln + ÷− ( ln + 1) = ln  ÷− 3  2 Khối D – 2010 e 3  Tinh tich phân I = ∫  x − ÷ln x dx ́ ́ x 1 Giải e e e 3  I = ∫  x − ÷ln xdx = ∫ x ln xdx − 3∫ ln x dx x x 1 11 4 11 4 I1 I2 e I1 = ∫ x ln xdx ; Đă ̣t u = ln x ⇒ du = e dx x2 ; dv = xdx ⇒ v = x e e  x2  e2  x2  e2 + I1 =  ln x ÷ − ∫ xdx = −  ÷ = 2 1  1 dx Tinh I2 : Đă ̣t t = lnx ⇒ dt = ́ x 33  t2  e2 − I = ∫ tdt =  ÷ = Vâ ̣y I =  0 x = ; t = 0; x = e ; t = Khối A – 2010 Tính tích phân : I = ∫ x + e x + 2x 2e x dx + 2e x Giải I =∫ 1 1 x (1 + 2e x ) + e x ex x3 dx = ∫ x dx + ∫ dx ; I1 = ∫ x dx = = ; x x + 2e + 2e 3 0 1 ex d (1 + 2e x )  + 2e  dx = ∫ = ln(1 + 2e x ) = ln  ÷ x x + 2e + 2e   0 1  + 2e  Vâ ̣y I = + ln  ÷   I2 = ∫ 34 ... sin xcoxdx = ∫ t dt = π 12 ∫ tan xdx π 12 Ta có: π 12 0 sin x ∫ tan xdx = ∫ cos x dx Đặt t = cos4x ; Đổi cận: ⇒ dt = −4s in4 xdx ⇒ sin xdx = − x π 12 t Khi đó: π 12 π 12 I= dt ∫ tan xdx = ∫ 1... costdt = ∫ cos t.costdt = ∫ cos tdt = ∫  + cos2t  dt =  ÷  0 0 dx = ∫ π π π π π π 12 12 12 π sin 2t 12 2 = ∫ ( + 2cos 2t + cos 2t ) dt = ∫ dt + ∫ cos 2tdt + ∫ 2cos 2tdt = + + ∫ ( + cos... + x2 − ⇒ x = I= ∫ ( sin x + cosx ) π − 12 Bài 65: Tính Giải: I= π π π − 12 dx π 1 π  dx = ∫ dx = − cot  x + ÷ = π π 4 π 2  − sin  x + − ÷ 12 4 12  π ∫ ( sin x + cosx ) 2 I = ∫ sin xdx