Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng Toán học 17 MATLAB VI MễN HC CC PHNG PHP S ng Quang Vin Cụng ngh thụng tin Vin khoa hc v cụng ngh Vit nam Trong bỏo cỏo ny chỳng tụi cp n vic s dng MATLAB trong vic ging dy mụn Cỏc phng phỏp s v gii thiu v mt th vin cỏc chng trỡnh/hm mó ngun phc v cho mụn hc ú. 1. Gii thiu s lc v MATLAB MATLAB phn mm ni ting ca cụng ty MathWorks, l mt ngụn ng hiu nng cao cho tớnh toỏn k thu t nh c vit trong logo ca phn mm ny. Nú tớch hp tớnh toỏn, hin th v lp trỡnh trong mt mụi trng d s dng. Cỏc ng dng tiờu biu ca MATLAB bao gm: H tr toỏn hc v tớnh toỏn Phỏt trin thut toỏn Mụ hỡnh, mụ phng Phõn tớch, kho sỏt v hin th s liu ha khoa hc v k thut Phỏt trin ng dng vi cỏc giao din ha. Tờn ca phn mm MATLAB bt ngun t thut ng Matrix Laboratory. u tiờn nú c vit bng FORTRAN cung cp truy nhp d dng ti phn mm ma trn c phỏt trin bi cỏc d ỏn LINPACK v EISPACK. Sau ú nú c vit bng ngụn ng C trờn c s cỏc th vin nờu trờn v phỏt trin thờm nhiu lnh vc ca tớnh toỏn khoa hc v cỏc ng dng k thut. Ngoi MATLAB c bn vi cỏc kh nng rt phong phỳ s c cp sau, phn mm MATLAB cũn c trang b thờm cỏc ToolBox cỏc gúi chng trỡnh (th vin) cho cỏc lnh vc ng dng rt a dng nh x lý tớn hiu, nhn dng h thng, x lý nh, mng n ron, logic m, ti chớnh, ti u húa, phng trỡnh o hm riờng, sinh tin hc, . õy l cỏc tp hp mó ngun vit bng chớnh MATLAB da theo cỏc thut toỏn mi, hu hiu m ngi dựng cú th chnh sa hoc b sung thờm cỏc hm mi. Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng Toán học 18 MATLAB c thi t k gi i cỏc bi toỏn b ng s ch khụng nhm mc ớch chớnh l tớnh toỏn ký hiu nh MATHEMATICA v MAPLE. Tuy nhiờn, trong MATLAB cng cú th tớnh toỏn ký hiu c nh cỏc hm trong Symbolic Math ToolBox. Mt s c trng chớnh ca MATLAB: MATLAB l ngụn ng thụng dch. Vỡ th nú cú th lm vic hai ch : tng tỏc v lp trỡnh. Trong ch tng tỏc MATLAB thc hin tng lnh c gừ trong ca s lnh sau du nhc lnh v kt qu tớnh toỏn c hin ngay trong ca s ny, cũn th c hin trong mt ca s khỏc. Lnh tng tỏc cú th l n gin, thớ d tớnh sin(1.5) hoc v fplot('sin(1 ./ x)', [0.01 0.1]), cú th l cu trỳc iu kin, thớ d if x<=0; y=0; else; y=1; end hoc cỏc cu trỳc lp xỏc nh v khụng xỏc nh. Trong ch lp trỡnh mt tp lnh c son tho v ghi thnh mt tờp uụi .m (m-file). Cỏc hm cng c t chc thnh cỏc m-file. Mt chng trỡnh cú th gm nhiu m- file. chy chng trỡnh ch cn gừ tờn m-file chớnh trong ca s lnh ri Enter. Cỏc hm trong MATLAB c bn (khụng k cỏc th vin chuyờn dng c gi l cỏc ToolBox) c chia lm 2 loi: hm trong v hm ngoi. Cỏc hm trong l cỏc hm c ci t sn (built-ins) tc l tn ti di dng mó nh phõn nờn ta khụng th xem c mó ngun ca chỳng, thớ d cỏc hm sin, sqrt, log, clear, clc, õy l cỏc hm hay c s dng hoc cỏc hm ũi hi nhiu thi gian x lý. Cỏc hm ngoi l cỏc hm tn ti di dng mó ngun m ngi dựng cú th tham kho hoc chnh sa, b sung khi cn thit, thớ d log10, ode23, fzero, . Phn t d liu chớnh ca MATLAB l cỏc ma trn (mng) m kớch thc ca chỳng khụng cn khai bỏo trc nh trong cỏc ngụn ng lp trỡnh khỏc. Tuy nhiờn, tng tc x lý cn bỏo trc cho MATLAB bit kớch thc ti a ca mng phõn b b nh bng mt lnh gỏn, chng hn A(20,30)=0. Cỏc kh nng chớnh ca MATLAB c bn: Thc hin cỏc tớnh toỏn toỏn hc bao gm: ma trn v i s tuyn tớnh, a thc v ni suy, phõn tớch s liu v thng kờ, tỡm cc tr ca hm mt bin hoc nhiu bin, tỡm nghim ca phng trỡnh, tớnh gn ỳng tớch phõn, gii phng trỡnh vi phõn. ha 2 chiu v 3 chiu: MATLAB cung cp rt nhiu cỏc hm ha, nh ú ta cú th nhanh chúng v c th ca hm bt k 1 bin hoc 2 bin, Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng Toán học 19 v c cỏc kiu mt, cỏc contour, trng vn tc, .Ngoi ra MATLAB cũn v rt tt cỏc i tng 3 chiu phc tp nh hỡnh tr, hỡnh cu, hỡnh xuyn, v cung cp kh nng x lý nh v hot hỡnh. Xõy dng giao din ngi dựng: vi MATLAB 7 ngi dựng cú th d dng xõy dng giao din gm cỏc thc n, nỳt lnh, hp thoi, hp chn, .m khụng cn phi vit mó nh cỏc phiờn bn trc õy. 2. MATLAB vi mụn hc Cỏc phng phỏp s Nh cú cỏc kh nng v u th nh ó núi trờn MATLAB c cng ng hn lõm trờn th gii chp nhn rng rói nh mt cụng c phc v cho ging dy, nghiờn cu toỏn hc v phỏt trin cỏc ng dng k thut. Hn 3500 trng i hc nht l cỏc trng i hc k thut ó a MATLAB vo ging dy v nghiờn cu. Hin nay ó cú trờn 700 u sỏch v MATLAB dnh cho giỏo viờn, sinh viờn v cỏc nh chuyờn mụn. Trờn Internet cỏc ti liu cú liờn quan n MATLAB rt nhiu. Nu vo trang Web http:\\www.google.com.vn tỡm kim theo t khúa MATLAB ta s tỡm thy nhiu triu kt qu cú liờn quan, trong ú cú nhiu ti liu gii thiu v dy v MATLAB. Thớ d: A practical introduction to MATLAB ta a ch ht tp://www.math.mtu.edu/~msgoken/ ,MATLAB summary and Tutorial ti http://www.math.ufl.edu/help/matlab-tutorial. Vit nam, theo tụi c bit, MATLAB ó c a vo ging dy cho sinh viờn, hc viờn cao hc hoc gii thiu ti mt s khoa, trng i hc v cng ó xut bn mt s u sỏch v MATLAB dnh cho sinh viờn cỏc khi khoa hc v k thut. ó cú nhiu sinh viờn ngnh Toỏn v cỏc ngnh k thut s dng MATLAB lm ỏn tt nghip. Tuy nhiờn mc ph bin ca MATLAB cha phi l cao. Vi u th v tớnh toỏn s tr MATLAB rt thớch hp cho vic ging dy mụn hc Cỏc phng phỏp s- mụn hc khụng th thiu c i vi sinh viờn toỏn, lý, cụng ngh thụng tin v cỏc ngnh k thut. Vic s dng MATLAB lp trỡnh cỏc thut toỏn ca mụn hc ny cú cỏi li l n gin, d dng v cỏc th hin th kt qu v kim tra kt qu cỏc chng trỡnh t vit so vi kt qu ca cỏc hm ó ci t sn vỡ MATLAB c bn cha ng rt nhiu cỏc hm tớnh toỏn toỏn hc nh ó núi trong mc 1. Nhn thc c iu ny, trong quỏ trỡnh ging dy mụn hc Cỏc phng phỏp s tụi ó khuyn cỏo sinh viờn khai thỏc v s dng MATLAB lp trỡnh thay cho s dng ngụn ng truyn thng l PASCAL hoc C. Trong giỏo trỡnh Cỏc phng phỏp s vit cui nm 2003 nhng cha xut bn Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng Toán học 20 tụi ó minh ha cỏc thut toỏn bng cỏc chng trỡnh vit bng MATLAB v trong phn Ph lc tụi ó cung cp mt s kin thc c bn v phn mm ny lm c s ban u sinh viờn cú th t hc thờm v MATLAB. Giỏo trỡnh ny tụi cng ó cho photocopy ph bin. Hin nay trờn th gii ngi ta ó xut bn khỏ nhiu sỏch v cỏc ph ng phỏp s vi cỏc chng trỡnh vit bng MATLAB. Cỏc chng trỡnh ny thng c t chc thnh cỏc ToolBox v cung cp min phớ trờn Internet. Di õy l danh sỏch mt s sỏch v a ch cỏc Web site ni gii thiu hoc cú th ti v cỏc ToolBox phn mm ng hnh vi sỏch: 1. Gerald Recktenwald, Numerical methods with MATLAB, Prentice Hall, 2000. Companion Software: nmm (Numerical methods with MATLAB) ToolBox. http://www.prenhall.com/recktenwald 2. Shoichiro Nakamura, Numerical Analysis and Graphic Visualization with MATLAB, Prentice Hall, 1996. Companion Software: Numerical Analysis and Graphic Visualization Toolbox. ftp://ftp.mathworks.com/pub/books/nakamura/, http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange 3. Charles F. Van Loan, Introduction to Scientific Computing: A Matrix-Vector Approach Using MATLAB, Prentice Hall, 1997, ftp://ftp.cs.cornell.edu/pub/cv. 4. David Kincaid & Ward Cheney,Numerical Analysis, 2e, Brooks/Cole Publishing Company, 1996 ftp://ftp.brookscole.com/brookscole/Mathematics/Texts_by_Author/Kincaid _Cheney/matlab. 5. John H. Mathews, Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, 2e, Prentice Hall, 1992, ftp://ftp.mathworks.com/pub/books/mathews/ 6. George Lindfield & John Penny, Numerical Methods Using MATLAB, Prentice Hall/Ellis Horwood, 1995, 7. G. J. Borse, Numerical Methods With MATLAB: A Resource for Scientists and Engineers, PWS Publishing Company, 1997, 8. Gunnar Backstrom, Practical Mathematics Using MATLAB 5, Studentlitteratur, 1997 9. G.W. Recktenwald Numerical Methods with MATLAB: Implementations and Applications, Prentice Hall, 2000. www.me.pdx.edu/~gerry/nmm 10. Paolo Brandimarte, Numerical Methods in Finance: A MATLAB-Based Introduction, Wiley, 2001. Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng Toán học 21 11.Laurene V. Fausett , Applied Numerical Analysis Using Matlab, Prentice Hall, 1999. 12.Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris, Applied Numerical Methods Using MATLAB, Wiley, 2005. 13. Howard Wilson, Louis H. Turcotte, David Halpern, Advanced Mathematics and Mechanics Applications Using MATLAB, Third Edition, CRC Press, 1998. Trong phn tip theo chỳng tụi gii thiu s lc v Numerical methods with MATLAB ToolBox nmm ca Recktenwald. 3. Th vin chng trỡnh NMM ToolBox v cỏc phng phỏp s NMM ToolBox l mt th vin cha khong 150 chng trỡnh/hm vit bng MATLAB v 40 tp d liu t cỏc ng dng rt a dng c t chc thnh cỏc th mc: data, eigen, errors, fit, intergrate,interact, interpolate, linalg, ode, program, rootfind and utils. Cỏc chng trỡnh/hm u cho di dng mó ngun MATLAB nờn ngi dựng cú th xem tham kho thut toỏn v t mỡnh chnh sa theo ý mun hoc da vo ú vit cỏc hm khỏc. Tr th mc data cha cỏc tp d liu mu cho cỏc thớ d, th mc utils cha mt s hm tin ớch v th mc interact cha mt s hm v thớ d demo v cỏc loi ng, mt, contour, cũn cỏc th mc khỏc cha cỏc hm v cỏc thớ d minh ha v giỏ tr riờng, sai s, ng phự hp, tớch phõn s, ni suy, h phng trỡnh i s tuyn tớnh v phi tuyn, gii s phng trỡnh vi phõn thng, tỡm nghim ca phng trỡnh phi tuyn v mt s chng trỡnh tớnh toỏn khỏc. Di õy trớch chn mt s hm trong cỏc th mc ca NMM ToolBox th hin cỏc thut toỏn rt c bn cú trong bt k giỏo trỡnh phng phỏp tớnh no. Th mc Intergrate: Hm I = trapezoid(fun,a,b,npanel) v hm I = simpson(fun,a,b,npanel) tớnh gn ỳng tớch phõn theo cụng thc hỡnh thang v cụng thc Simpson tng ng ca hm cú tờn l fun t a n b vi s on chia u l npanel. Hm demoTrap v hm demoSimp khụng tham s minh ha s dng hm trapezoid v simpson tớnh tớch phõn ca hm s x*exp(-x) trờn on [0,5] vi cỏc s on chia l 2 4 8 16 32 64 128 256. Cỏc hm I = plotTrapInt(fun,a,b,npanel)v plotSimpInt(fun,a,b,nsub) cho biu din ha cỏc cụng thc hỡnh thang v Simpson. Hm [x,w] = GLNodeWt(n) tớnh cỏc nỳt v trng s ca cụng thc cu phng Gauss-Legendre bc n. Ph¸t triÓn c«ng cô tin häc trî gióp cho gi¶ng d¹y, nghiªn cøu vµ øng dông To¸n häc 22 − Hàm I = gaussQuad(fun,a,b,npanel,nnode) tính gần đúng tích phân theo công thức Gauss-Legendre với số nút trên mỗi đoạn con là nnode. − Hàm demoGauss minh họa tính tích phân của hàm số x*exp(-x) trên đoạn [0,5] bằng công thức Gauss-Legendre. − Hàm compIntRules không tham số so sánh các công thức hình thang, Simpson và Gauss-Legendre trên thí dụ hàm x*exp(-x) trên đoạn [0,5]. Thí dụ áp dụng: Trong cửa sổ lệnh thực hiện lệnh fun = inline('x.*exp(-x)'), rồi lệnh plotTrapInt(fun,0,1,5) MATLAB sẽ tính được tích phân bằng 0.2609 và vẽ hình dưới đây Thư mục Interpolate − Hàm yi = lagrint(x,y,xi) tính nội suy hàm cho bởi bảng giá trị (x,y) tại xi bằng đa thức nội suy Lagrange. − Hàm [yhat,dy,cout] = newtint(x,y,xhat) tính nội suy bởi đa thức Newton. − Hàm linterp(x,y,xi)nội suy từng mẩu tuyến tính. − Hàm [yhat,aa,bb,cc,dd] = splint(x,y,xhat,opt1,opt2) nội suy bởi hàm spline bậc 3 với các loại điều kiện biên khác nhau. − Hàm compSplinePlot demo hàm spline với các loại điều kiện biên khác nhau. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Hình 1. Minh họa công thức hình thang Ph¸t triÓn c«ng cô tin häc trî gióp cho gi¶ng d¹y, nghiªn cøu vµ øng dông To¸n häc 23 Thư mục RootFind − Hàm r = bisect(fun,xb,xtol,ftol) tìm nghiệm của phương trình f(x)=0 bằng phương pháp chia đôi. − Hàm r = newton(fun,x0,xtol,ftol)tìm nghiệm của phương trình f(x)=0 bằng phương pháp Newton. − Hàm xm = demoBisect(xleft,xright,n) minh họa phương pháp chia đôi giải phương trình x - x^(1/3) – 2 = 0. − Hàm x = demoNewton(x0,n) minh họa phương pháp Newton. Thư mục Fit − Hàm [c,R2] = linefit(x,y)tìm đường thẳng phù hợp (hồi quy tuyến tính). − Hàm lineTest minh họa đường thẳng phù hợp. − Hàm c = xexpfit(x,y) tìm đường phù hợp dạng y = c(1)*x*exp(c(2)*x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu. − Hàm demoXexp(n)minh họa hàm trên 0 2 4 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Natural end conditions knots x*exp(-x) spline 0 2 4 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Zero-slope end conditions knots x*exp(-x) spline 0 2 4 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Not-a-knot end conditions knots x*exp(-x) spline 0 2 4 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Exact-slope end conditions knots x*exp(-x) spline Hình 2. Spline bậc 3 với các điều kiện biên khác nhau Ph¸t triÓn c«ng cô tin häc trî gióp cho gi¶ng d¹y, nghiªn cøu vµ øng dông To¸n häc 24 0 1 2 3 4 5 6 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x values y data and fit function 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x y c1 = 4.524 c2 = -2.915 10 points in synthetic data set original noisy fit Hình 3. Đường thẳng phù hợp Hình 4. Đường y = c 1 *x*exp(c 2 *x) phù hợp Thư mục Linalg − Hàm x = GEshow(A,b,ptol)chỉ ra các bước giải hệ phương trình Ax=b bằng phương pháp khử Gauss không trụ xoay. − Hàm C = Cholesky(A)tìm khai triển Cholesky của ma trân đối xứng, xác định dương A = C'*C. − Hàm [L,U] = luNopiv(A,ptol)tìm khai triển A = L*U không xoay. − Hàm [L,U,pv] = luPiv(A,ptol) tìm khai triển A = L*U có xoay Thư mục ode − Hàm [t,y] = odeEuler(f,tn,h,y0) giải số phương trình vi phân dy/dt=f(t,y) trên đoạn [0, tn] với điều kiện đầu y(0)=y0, bước lưới h bằng phương pháp Euler. − Hàm [t,y] = odeRK4(f,tn,h,y0)- phương pháp Runge-Kutta bậc 4. − Hàm demoEuler(h)minh họa phương pháp Euler giải phương trình dy/dt = t - 2*y; y(0) = 1. − Hàm demoRK4(h) minh họa phương pháp Runge-Kutta bậc 4 giải phương trình dy/dt = t - 2*y; y(0) = 1. − Hàm [t,y] = odeRK4sys(diffeq,tn,h,y0)giải hệ phương trình vi phân thường với véc tơ hàm vế phải diffeq. − Hàm demoSystem minh họa phương pháp giải hệ phương trình vi phân thường. Để có thể hiểu các hàm nêu trên và các hàm khác trong NMM ToolBox chỉ cần nắm được một số quy ước về cách viết ma trận, trích ma trận, véc tơ, một số hàm cài đặt sẵn như: sum, max, min, prod, norm, sort, length, size (cho kích cỡ ma Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng Toán học 25 trn), zeros (to ma trn vi cỏc phn t 0), linspace (to vộc t cỏc im cỏch u), eye (to ma trn n v), tril v triu (tr v ma trn tam giỏc di v trờn), inline (xõy dng hm s dng dũng), feval (tớnh giỏ tr ca hm) , mt s hm ha nh plot, subplot, set, fill, xlabel, ylabel, legend, title. 4. Mt s nhn xột kt lun i vi vic hc tp v nghiờn cu mụn Phng phỏp s núi riờng v cỏc mụn Toỏn ng dng núi chung nh Ti u húa, Xỏc xut-Thng kờ thỡ MATLAB l mt mụi trng lý tng vỡ nú n gin, d s dng, h tr nhiu hm ci t sn v rt nhiu hm di dng mó ngun (ca MATLAB c bn v cỏc ToolBox Optimization, Statistics, Spline, Wavelet, Curve Fitting) cng nh h tr ha phong phỳ. Ngi s dng khụng phi mt thi gian vo vic lp trỡnh m cú th dnh nhiu thi gian v cụng sc cho tỡm hiu v phỏt trin thut toỏn. i vi cụng vic phỏt trin cỏc phn mm ng dng toỏn hc thỡ MATLAB cng l mụi trng lý tng vỡ nú cng cung cp cụng c xõy dng giao din thõn thin mt cỏch nhanh chúng. Khụng ch nh võy, MATLAB cũn l mụi trng vụ cựng thun li cho vic hc tp, nghiờn cu v phỏt trin cỏc ng dng a dng trong nhiu lnh vc khỏc nhau ca khoa hc v cụng ngh t iu khin, trớ tu nhõn to n ti chớnh, vin thụng, . Chớnh vỡ th, MATLAB c ụng o cỏc gii khoa hc v cụng ngh s dng rng rói v c ging dy, ph bin trờn ton th gii. Vit nam chỳng ta cng phi lm c iu ny. TI LIU THAM KHO 1. ng Quang , Matlab-mt mụi trng tớnh toỏn k thut v ha nhanh, Tuyn tp bỏo cỏo Hi tho Phỏt trin cụng c tin hc tr giỳp cho ging dy, nghiờn cu v ng dng toỏn hc, H ni, 9-10/4/1999, 194-198. 2. Lờ Vit D Khng, Matlab mt cụng c tin hc mnh tr giỳp hu hiu vic ging dy v nghiờn cu trong nhiu lnh vc khoa hc v k thut, Tuyn tp trờn, 55-74. 3. ng Quang , Xõy dng mt s hm gii phng trỡnh o hm riờng cp bn b sung cho ToolBox PDE ca MATLAB, Hi tho Mt s vn chn lc ca cụng ngh thụng tin v truyn thụng, Thỏi nguyờn, 8/2003. 4. MATLAB Help ca MATLAB version 7.0.1, 9/2004. Ph¸t triÓn c«ng cô tin häc trî gióp cho gi¶ng d¹y, nghiªn cøu vµ øng dông To¸n häc 26 5. Web site http://mathworks.com 6. Trang Web http://www.prenhall.com/recktenwald . phương pháp giải hệ phương trình vi phân thường. Để có thể hiểu các hàm nêu trên và các hàm khác trong NMM ToolBox chỉ cần nắm được một số quy ước về cách. odeRK4(f,tn,h,y0)- phương pháp Runge-Kutta bậc 4. − Hàm demoEuler(h)minh họa phương pháp Euler giải phương trình dy/dt = t - 2*y; y(0) = 1. − Hàm demoRK4(h) minh họa phương