PHÒNG GIÁO DỤC THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NĂM HỌC 2010 -2011 Môn : TOÁN – LỚP 9 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) A_Phần trắc nghiệm : (2điểm) Chọn đáp án trong các phương án trả lời sau: Câu 1: (1điểm) Biểu thức 324324 −−+ có giá trị là: a) 32 ; b) 3 ; c) - 32 ; d) 2 Câu 2 : (1điểm) Số đo góc A trong hình vẽ là: a) 55 0 ; b) 65 0 ; c) 75 0 ; d) 85 0 B_Phần tự luận : (18điểm) Bài 1: (4điểm) a) (2điểm). Tìm x ; y ; t thoả mãn hệ phương trình:    =− =+ 1 2 2 txy yx b)(2điểm). Giải phương trình : x 2 – 2x – 4y + y 2 + 5 = 0 Bài 2: (5điểm). Cho biểu thức : )1(2 1 1 2 )1(2 1 3 2 a a a a − + − + − + =Α a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của a để A>0 c) Tìm a để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3 : (5điểm). Cho ∆ABC ( cả 3 góc đều nhọn ) nội tiếp đường tròn tâm o .Đường phân giác của góc A cắt BC tại D cắt (o) ở E . Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I . Vẽ đường kính EOF. Gọi M là giao điểm của AF với BC . a) Chứng minh ∆AID cân b) Chứng minh AF . AM = AE . AD c) Chứng minh M đối xứng với D qua I . Bài 4: (4điểm) . Gọi M là một điểm nằm trong ∆ABC và P là chu vi của ∆ (tam giác) đó . Chứng minh : PCMBMAM P <++< 2 ----------HẾT--------- A B D C E F .O 20 0 30 0 CHÍNH TH CĐỀ Ứ ĐÁP ÁN : Đề thi học sinh giỏi môn toán A_ Phần trắc nghiệm : Câu 1 : d) Câu 2 : b) B_ Phần tự luận : Bài 1:    =−− −= ⇔    =+ =+ 1)2( 2 1 2 22 tyy yx txy yx    +− −= ⇔    =−+− =+ 2222 )1( 2 0012 2 ty yx tyy yx Từ phương trình (2) : Vì 0 2 ≥t và 0)1( 2 ≥−y nên 0)1( 22 =+− ty    = = ⇔      = =− 0 1 0 0)1( 2 2 t y t y Thay y=1 vào phương trình (1) ⇒ x=1 . Vậy nghiệm của hệ là : (x=1 ; y=1 ; t = 0) b) x 2 – 2x – 4y + y 2 +5 = 0 ⇔ ( x 2 - 2x +1) + ( y 2 + 4y +4) =0 ⇔ ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 = 0 ⇔    = = ⇔      =− =− 2 1 0)2( 0)1( 2 2 y x y x Bài 2 : a) Rútgọn 3 2 1 2 )1(2 1 )1(2 1 a a aa − + − − − + =Α ĐK: a>0 và a ≠ 1 )1)(1(2 2 )1(2 11 2 2 ++− + − − ++− =Α aaa a a aa 1 1 )1)(1( 1 )1)(1(2 2 )1( 1 222 2 ++ − = ++− − = ++− + − − =Α aaaaa a aaa a a b) Vì 0 4 3 ) 2 1 (1 22 >++=++ aaa Với mọi a Nên 0 1 1 2 < ++ − aa hay A <0 với mọi a. c) tìm GTNN của A Vì ⇒ ++ − =Α 1 1 2 aa A nhỏ nhất khi a 2 + a + 1 =1 ⇒ a = 0 hay A đạt GTNN la -1 khi a = 0 Bài 3: Vẽ hình đúng , ghi được giả thiết và kết quả được Điểm 1 1 0,25 0.25 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 1 0,5 1 1,5 0,5 (1) (2) E A I M B C F • 0 A B C N M Chứng minh : a) C/m ∆ AID cân Sđ IAD 2 1 Sđ(AB + BE) (góc giữa 1 tiếp tuyến và 1dây cung ) Sđ ADI = 2 1 Sđ(AB + EC) (góc có đỉnh nằm trong đường tròn mà EB = EC ) ( Vì AD là phân giác) ⇒ IAD = IDA hay ∆ IAD cân tại I b) C/m AF.AM =AE . AD EOF là đường kính EB = EC ⇒ EF ⊥ BC EAF = 1V (Góc nội tiếp chắn giữa đường tròn) M = E ( Góc có cạch tương ứng vuông góc) ⇒ ∆ AMD ≈ ∆AEF (gg) ( AFAMAEAD AE AM AF AD =⇒=⇒ đpcm) c) C/ m : M đối xứng với D qua I . AEF = FAX ( cùng chắn cung AF ) Mà FAX = IAM (đđ) ⇒ M = A 1 ⇒ ∆IAM cân tại I ⇒ IM = IA mà IA = ID ⇒ IM = ID I ;M ; D thẳng hàng M đối xứng với D qua I (đpcm) Bài 4 : Sử dụng bất dẳng thức về cạch trong tam giác ta có: BA < MA + MB BC < MB + MC AC < MA + MC Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có : BA + BC + AC < 2( MA + MB + MC) hay P < 2( MA +MB +MC) 2 P ⇒ < MA + MB + MC (1) Kéo dài BM cắt AC tại N . Ta sẽ C/m : MB + MA < CB + CA Thật vây : AM < AN + MN BN <BC + CN Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ta có : AM + BM < AN + MN + BC +CN Hay AM + BM + MN < AC + BC + MN ⇒ AM + BM < AC + BC (a) Tương tự MB + MC < AB +AC (b) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,75 0,75 0,75 0,75 0,5 0,5 MA + MC < BA + BC (c) Cộng vế với vế của (a) ,(b) ,( c) ta có: MA + MB + MC < AB + BC + CA hay MA + MA + MC < P (2) Từ (1) và(2) ta được 2 P < MA + MB + MC < P . THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NĂM HỌC 2010 -2011 Môn : TOÁN – LỚP 9 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao. MA < CB + CA Thật vây : AM < AN + MN BN <BC + CN Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ta có : AM + BM < AN + MN + BC +CN Hay AM + BM + MN <