1 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HƯNG YÊN GV: Nguyễn Ngọc Minh Trường THPT Nguyễn Siêu Cho dãy số (u n ) với 1 u n = 2n - 3 . Tìm lim u n Xét dãy số (v n ) với v n = 2n – 3. Tìm lim v n KIỂM TRA BÀI CŨ Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh Trường: THPT Nguyễn Siêu Ngày dạy: 19- 02- 2009 Dãy số có giới hạn +∞ 1 Dãy số có giới hạn - ∞ 2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 3 VD1: Cho dãy số (u n ): u n = 2n - 3 Cho M= 2009. Tìm n để u n > M M là số dương bất kì. Ta có thể tìm được n để u n > M hay không? Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn +∞ Định nghĩa: Dãy số (u n ) có giới hạn là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. 1. Dãy số có giới hạn +∞ Ta viết: lim u n = +∞ hoặc u n → +∞ 1. Dãy số có giới hạn +∞ VD2: Áp dụng định nghĩa để chứng minh lim n = +∞ Lấy M là số dương tùy ý 2. Dãy số có giới hạn – ∞ VD3: Cho u n = n – 2008 2009 . Tìm lim u n Hướng dẫn: Xét u n > M ⇔ n > M Như thế nếu chọn n > M ta có u n > M Xét dãy số (u n ) với u n = n Vậy lim n = +∞ *) Định nghĩa Định nghĩa: Dãy số (u n ) có giới hạn là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Ta viết: lim u n = +∞ hoặc u n → +∞ (sgk) Đáp số: lim u n =+∞ Ta viết lim u n = – ∞ hoặc u n → – ∞ 1. Dãy số có giới hạn +∞ Nếu lim |u n |= +∞ thì lim u n 1 =0 *) Các dãy số có giới hạn +∞ và –∞ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực Nếu lim|u n |= +∞ thì lim |u n | 1 =? VD5: Chọn đáp án đúng: Dãy số (u n ) với u n = (-1) n có giới hạn là: a) 0 c) + ∞ b) – ∞ d) Không có giới hạn *) lim u n = + ∞ ⇔ lim(– u n ) = – ∞ Vì lim (2n-3) = + ∞ nên lim(-2n+3) = – ∞ VD4: lim (-2n + 3)= ? 2. Dãy số có giới hạn – ∞ *) Định nghĩa (sgk) Ta viết lim u n = – ∞ hoặc u n → – ∞ Định nghĩa: Dãy số (u n ) có giới hạn là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Ta viết: lim u n = +∞ hoặc u n → +∞ Hướng dẫn *) Định lí 1. Dãy số có giới hạn +∞ 2. Dãy số có giới hạn – ∞ 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Nếu lim u n = ± ∞ và limv n = ± ∞ thì lim(u n v n ) được cho bởi: lim u n lim v n lim(u n v n ) +∞ +∞ +∞ +∞ – ∞ – ∞ – ∞ +∞ – ∞ – ∞ – ∞ +∞ VD6: Chứng minh rằng lim n 2 = +∞ Vì n 2 = n.n và lim n = +∞ nên lim n 2 = +∞ Hướng dẫn: a) Quy tắc 1: lim n k = với k ∈Ν *+∞ 1. Dãy số có giới hạn +∞ 2. Dãy số có giới hạn – ∞ 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực a) Quy tắc 1 VD7: Tìm lim u n Dấu của L lim(u n v n ) +∞ + +∞ +∞ – – ∞ – ∞ + – ∞ – ∞ – +∞ b) Quy tắc 2: Nếu lim u n = ± ∞ và limv n = L ≠ 0 thì lim(u n v n ) được cho bởi: 3n 2 - 101n - 51 -5 b) lim VD8: Tìm a) lim (3n 2 – 101n – 51) a) lim (n sinn - 2n 2 ) n sinn - 2n 2 1 b) lim a) Ta có: (3n 2 – 101n – 51) = n 2 (3 – – ) 101 n 51 n 2 Vì lim n 2 = +∞ và lim(3 – – ) = 3 > 0 101 n 51 n 2 Nên lim (3n 2 – 101n – 51) = +∞ b) Đáp số: 0 Hướng dẫn, đáp số Đáp số a) – ∞ b) 0 1. Dãy số có giới hạn +∞ 2. Dãy số có giới hạn – ∞ 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực VD9: Tìm b) Quy tắc 2 Dấu của L Dấu của v n lim + + +∞ + – – ∞ – + – ∞ – – +∞ c) Quy tắc 3: Nếu lim u n = L ≠ 0, limv n = 0 và v n >0 hoặc v n <0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim u n v n u n v n 2n 2 - n 3n 3 + 2n -1 a) lim 3n - 2 -2n 3 + n b) lim a) Quy tắc 1 được cho bởi: Hướng dẫn, đáp số a) Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n 3 ta được 2n 2 - n 3n 3 + 2n -1 3 + 2 n 2 1 n 3 – 2 n 1 n 2 – = 3 + 2 n 2 1 n 3 – Vì lim( ) = 3 2 n 1 n 2 – lim( )=0 và 2 n 1 n 2 – >0 ∀n nên 2n 2 - n 3n 3 + 2n -1 lim = +∞