Trường THPT Nuyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 Tiết 1–2–3–4–5 Lớp 11B3 – 11B11 Ngày soạn: Ngày giảng: / / /2007 /2007 §1 HÀM SỐ LƯNG GIÁC I Mục đích yêu cầu: Giúp cho học sinh nắm được: Về kiến thức: – Học sinh nhớ lại bảng giá trị lượng giác – Hàm số y = sinx, hàm số y = cosx: biến thiên, tính tuần hoàn, đồ thị tính chất hai hàm số – Hàm số y = sinx, hàm số y = cosx: biến thiên, tính tuần hoàn, đồ thị tính chất hai hàm số – Tìm hiểu tính tuần hoàn hàm số lượng giác Về kỹ năng: – Vận dụng kiến thức học vào giải tập (tập xác định, tập giác trị, tính chất chẵn, tính chất lẽ, tính tuần hoàn, chu kỳ, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số lượng giác ) – Vẽ đồ thị hàm số lượng giác – Rèn luyện kỹ kỹ xảo giải tập Về thái độ: – Xây dựng tư logíc, linh hoạt, biết quy lạ quen – Học sinh học tập nghiêm túc, cẩn thận làm tập, tỉ mỉ giải tập II/ Chuẩn bị giáo viên học sinh: Giáo viên: Cần chuẩn bị hệ thống câu hỏi nhằm ôn tập toàn kiến thức lượng giác lớp 10 Phiếu học tập, đồ dùng dạy học Tài liệu hướng dẫn dạy học toán lớp 11, sách giáo viên Đại số giải tích lớp 11 Học sinh: Đọc nghiên cứu trước nhà (ôn tập lại kiến thức lượng giác lớp 10), giải tập sách giáo khoa Chuẩn bị số dụng cụ thước kẻ, bút chì, bút để vẽ đồ thị hàm số, bút, vở, sách, III/ Phương pháp: Hỏi đáp – Thuyết trình – Đặt vấn đề VI/ Tiến trình giảng: Ổn định tổ chức: Kiểm tra só số, Bài cũ: Bài mới: Tiết / /07 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG 1: I Định nghóa: * Em dùng máy tính bỏ túi điền giá trị thích hợp vào bảng sau x π π 1,5 3,1 4,25 HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ sinx cosx Từng cá nhân học sinh lấy máy tính y bỏ túi tính kết điền vào bảng bên B * Gọi học sinh lên bảng điền vào bảng Các em lại nhận xét làm bạn Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình A’ O B’ M2 M1 Trang A Hình 1.1 x Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY * Gọi học sinh lên bảng biểu diễn điểm cuối cung AM có số đo x là: HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ π π ; Em dựa vào hình vẽ bảng bạn cho biết số đo cung AM1; AM2 Cung AM1 có số đo là: Ở lớp 10 em học hàm số lượng giác Một em lên bảng xác định điểm cuối cung Cung AM2 có số đo là: π π t AM có số đo α đường tròn lượng giác I B H y J M x A’ O z x K A x B’ Hình 1.2 Em quan sát hình 1.2 cho biết giá trị Ta có: sinx = OH ; cosx = OK ; sinx = ?; cosx = ?; tanx = ?; cotx = ? tanx = OI ; cotx = OJ Giáo viên phát biểu định nghóa hàm số y = sinx Hàm số y = sinx y = cosx a Hàm số y = sinx + Quy tắc cho tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rian x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx sin: R  R x  y = sin Trong R tập xác định hàm số y = sinx Tương tự hàm số y = sinx em phát biểu định nghóa hàm số y = cosx Cá nhân học sinh tiếp thu, ghi chép + Quy tắc cho tương ứng số thực x với cosin góc lượng giác có số đo rian x gọi hàm số cosin b Hàm số y = cosx + Quy tắc cho tương ứng số thực x với cosin góc lượng giác có số đo rian x gọi hàm số côsin Kí hiệu: y = cosx cos: R  R Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY x  y = cosx Trong R tập xác định hàm số y = cosx Em cho biết tập xác định hàm số = sinx, y = cosx? HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ y Tập số thực R Hàm số y = tanx y = cotx Giáo viên phát biểu định nghóa hàm số y = tanx a Hàm số y = tanx Hàm số tang hàm số xác định sin x (cos x ≠ 0) công thức: y = cos x Kí hiệu: y = tanx Em cho biết tập xác định tập giá trị hàm số y = tanx Tập xác định hàm số y = tanx là: Tương tự em phát biểu định nghóa hàm số = cotx y π  D = R \  + kπ , k ∈ Z  2  Tập giá trị hàm số y = tanx:R a Hàm số y = cotx Hàm số cotang hàm số xác định cos x (sin x ≠ 0) công thức: y = sin x Kí hiệu: y = cotx Em cho biết tập xác định tập giá trị hàm số y = cotx Tập xác định hàm số y = cotx là: Em so sánh hai giá trị sin450 sin(–450) Từ em so sánh hai giá trị sinx sin(–x) Em so sánh hai giá trị cos60 sin(–60 ) 0 Từ em so sánh hai giá trị cosx cos(–x) D = R \ { kπ , k ∈ Z} Tập giá trị hàm số y = cotx: R Hai giá trị đối Hai giá trị đối Hai giá trị Thông qua vấn đề so sánh từ định nghóa hàm số lượng giác em cho biết Hai giá trị hàm số lượng giác hàm số chẵn, hàm số lượng giác hàm số lẻ Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Tiết / /07 Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY II Tính tuần hoàn hàm số hàm số lượng giác: Em số giá trị T cho sin(x + T) = sinx Em số giá trị T cho + T) = tanx tan(x HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx laø haøm số lẻ Hàm số y = cosx hàm chẵn Theo tính chất giá trị lượng giác ta có số T có dạng 2π; 4π; kπ với k ∈ Z Vậy người ta chứng minh với T = 2π số Theo tính chất giá trị lượng giác dương bé cho sin(x + 2π) = sinx ta có số T có dạng π; 2π; cos(x + 2π) = cosx, với x ∈ R kπ với k ∈ Z tan(x + π) = tanx, ∀x ∈ cot(x + π) = cotx, ∀x ∈ π  D = R \  + kπ , k ∈ Z  2  D = R \ { kπ , k ∈ Z } Em cho biết hàm số y = sin; y = coax; y = tanx vaø y = cotx tuần hoàn với chu kì T bao nhiêu? III Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác: Hàm số y = sinx Em cho biết tập xác định hàm số y = sinx Em cho biết tập giá trị hàm số y = sinx Em cho biết hàm số y = sinx hàm số chẵn hàm số lẻ Em cho biết hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T bao nhiêu? Em quan sát hình trang sách giáo khoa cho biết hàm số y = sinx đồng biến hay nghịch biến  π π  đoạn 0;   ; π  2    Dựa vào tính biến thiên hàm số trình bày em lên bảng vẽ bảng biến thiên hàm số [0; π] Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình – Hàm số y = sinx y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2π – Hàm số y = tanx y = cotx tuần hoàn với chu kì T = π Tập xác định D = R Tập giá trị T = [–1; 1] Hàm số y = sinx hàm số lẻ Hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Hàm số y = sinx đồng biến đoạn  π 0;  nghịch biến đoạn   π   ; π   Trang Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ x Để vẽ đồ thị hàm số y = sinx ta cần vẽ đồ thị đoạn thẳng có độ dài bao nhiêu? Do hàm số y = sinx lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O ta đồ thị hàm số đoạn [-π; 0] Từ có đồ thị hàm số đoạn [-π; π] Gọi học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm số y = sinx đoạn thẳng có độ dài 2π Em quan sát hình trang sách giáo khoa Đây đồ thị hàm số y = sinx ta thực dời đồ thị hàm số hình trang sách giáo khoa sang bên trái sang bên phải theo phương song song với trục hoành đoạn thẳng có độ dài 2π π y = sinx –1 –1 Để vẽ đồ thị hàm số y = sinx ta cần vẽ đồ thị đoạn thẳng có độ dài 2π y -π − π x O y -1 π π π x O Hàm số y = cosx Em cho biết tập xác định hàm số y = cosx Em cho biết tập giá trị hàm số y = cosx Em cho biết hàm số y = cosx hàm số chẵn hàm số lẻ Em cho biết hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T bao nhiêu? Tập xác định D = R Tập giá trị T = [–1; 1] Hàm số y = cosx hàm số chẵn Em quan sát hình trang sách giáo khoa cho biết hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến đoạn [0; π] Hàm số y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Dựa vào tính biến thiên hàm số trình bày em lên bảng vẽ bảng biến thiên hàm số đoạn [0; π] Hàm số y = cosx nghịch biến đoạn [0; π] Khi ta có đồ thị hàm số y = sinx, để vẽ đồ thị hàm số y = cosx ta việc tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái theo phương song song với trục Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình x y = sinx π –1 Trang Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY hoành đoạn có độ dài π Vì cosx = sin(x + HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ π ) y -1 x O Tieát / /07 Hàm số y = tanx Em cho biết tập xác định hàm số y = tanx Em cho biết tập giá trị hàm số y = tanx Tập xác định π  D = R \  + kπ , k ∈ Z  2  Em cho biết hàm số y = tanx hàm số chẵn hàm số lẻ Em cho biết hàm số y = tanx tuần hoàn với chu Tập giá trị T = R kỳ T bao nhiêu? Hàm số y = tanx hàm số lẻ Em quan sát hình trang 11 sách giáo khoa cho biết hàm số y = tanx đồng biến hay nghịch Hàm số y = tanx hàm số tuần hoàn  π với chu kỳ T = π  biến khoảng  ;  2 Dựa vào tính biến thiên hàm số trình bày Hàm số y = tanx đồng biến trên, em lên bảng vẽ bảng biến thiên  π  khoaûng  ;  π  2  hàm số khoảng  ;  2 Do hàm số y = tanx hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ  π  qua gốc tọa độ thị hàm số khoảng  ;  2  π π O ta đồ thị hàm số khoảng  − ;   2  π π Từ có đồ thị hàm số khoảng  − ;  Gọi  2 học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm số y = tanx đoạn thẳng có độ dài π Em quan sát hình trang 12 sách giáo khoa Đây đồ thị hàm số y = tanx ta thực dời đồ thị hàm số hình trang 12 sách giáo khoa sang bên trái sang bên phải đoạn thẳng có độ dài π Các ví dụ: Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình x π y = sinx +∞ y x π − O Trang π Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY  π * Hàm số y = sinx nghịch biến khoảng 0;  2  a Đúng b Sai  π * Hàm số y = cosx nghịch biến khoảng 0;  2  a Đúng b Sai  π * Hàm số y = tanx nghịch biến khoảng 0;  2  a Đúng b Sai HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Sai Đúng Tiết / /07 Hàm số y = cotx Em cho biết tập xác định hàm số y = cotx Sai Em cho biết tập giá trị hàm số y = cotx Em cho biết hàm số y = cotx hàm số chẵn hàm số lẻ Em cho biết hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kỳ T bao nhiêu? Em quan sát hình 10 trang 13 sách giáo khoa cho biết hàm số y = cotx đồng biến hay nghịch biến khoảng (0; π) Tập xác định D = R \ { kπ , k ∈ Z} Tập giá trị T = R Hàm số y = cotx hàm số lẻ Dựa vào tính biến thiên hàm số trình bày Hàm số y = cotx hàm số tuần hoàn trên, em lên bảng vẽ bảng biến thiên với chu kỳ T = π hàm số khoảng (0; π) Hàm số y = cotx nghịch biến Để vẽ đồ thị hàm số y = tanx khoảng (0; π) ta vẽ khoảng (0; π) đoạn thẳng có độ dài π Gọi học sinh lên bảng vẽ đồ thị hàm số y = tanx đoạn x π thẳng có độ dài π +∞ y = sinx –∞ Em quan sát hình 11 trang 14 sách giáo khoa Đây đồ thị hàm số y = cotx ta thực dời đồ thị hàm số hình 10 trang 14 sách giáo khoa sang bên trái sang bên phải đoạn thẳng có độ dài y π Ví dụ: Em chọn khẳng định khẳng định sau: a Tập xác định hàm số y = tanx R b Tập xác định hàm số y = cotx R c Tập xác định hàm số y = cosx R Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình x O π Trang Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY d Tập xác định hàm số y = R cos x e Hàm số y = cotx luôn đồng biến tập xác định f Hàm số y = cotx luôn nghịch biến tập xác định h Hàm số y = tanx luôn nghịch biến tập xác định g Tập xác định hàm số y = tanx Tiết / /07 π  D = R \  + kπ , k ∈ Z  2  HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Các khẳng định là: c; f; g VI Bài tập: Bài tập 1: Hãy xác định giá trị x đoạn 3π   − π ;  để hàm số y = tanx:   a Nhận giá trị b Nhận giá trị c Nhận giá trị dương d Nhận giá trị âm * Hướng dẫn học sinh làm * Gọi học sinh lên bảng thực so sánh a x ∈ {–π; 0; π; 2π} học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với  3π π 5π  ; ; b x ∈ −  làm bảng rút nhận xét  4  * Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc c phải sai lầm thiếu sót π   π   3π   x ∈  − π ; −  ∪  0;  ∪  π ;  Baøi tập 2: Hãy tìm tập xác định hàm soá sau: + cos x a y = sin x + cos x b y = − cos x π  c y = tan  x −  3  π  d y = cot  x +  6  d  2  2    π  π   3π  x ∈  − ;  ∪  ; π  ∪  ; 2π    2    * Hướng dẫn học sinh cách làm toán tìm tập xác định * Gọi học sinh lên bảng thực so sánh a Để hàm số y = + cos x có nghóa sin x học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với sinx ≠ làm bảng rút nhận xét ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z * Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc Vậy tập xác định hàm số phải sai lầm thiếu sót Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY Bài tập 3: Chứng minh sin2(x+kπ) = sin2x với số nguyên k Từ vẽ đồ thị hàm số y = sin2x HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ y= * Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất hàm số b lượng giác để chứng minh sin2(x+kπ) = sin2x vẽ đồ thị hàm số y = sin2x * Gọi học sinh lên bảng thực so sánh c học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét * Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc d phải sai lầm thiếu sót + cos x là: sin x D = R \ { kπ , k ∈ Z} D = R \ { k 2π , k ∈ Z }  5π  D = R \  + kπ , k ∈ Z  6   π  D = R \  − + kπ , k ∈ Z    Ta coù: sin2(x+kπ) = sin(2x+k2π) =sin2x, k ∈ Z Từ suy hàm số y = sin2x hàm số tuần hoàn với chu kỳ π Hơn Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = sin2x hàm số lẻ Vì hàm số sau: vậy, ta vẽ đồ thị hàm soá y= a y = − sin x  π sin2x đoạn 0;  lấy đối b y = cos x +1  2 xứng qua O, đồ thị đoạn * Hướng dẫn học sinh vận dụng tập giá trị hàm số  π π  y = sinx vaø y = cosx để tìm trị lớn nhỏ − ;  Cuối tịnh tiến theo   hàm số phương song song với trục hoành * Gọi học sinh lên bảng thực so sánh đoạn có độ dài π, ta đồ thị học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với hàm số y = sin2x R làm bảng rút nhận xét * Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót b Để cos x có nghóa ≤ cosx ≤ ⇔ ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ cos x + ≤ ⇔ ≤ y ≤ Vậy hàm số y = cos x +1 đạt giá trị lớn là: ymax = đạt giá trị nhỏ ymin = v Cũng cố – dặn dò: Giáo viên nhắc lại kiến thức cần nhớ yêu cầu học sinh học thuộc: Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 – Tập xác định, tập giá trị hàm số lượng giác – Tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác – Tính tuần hoàn chu kỳ hàm số lượng giác – Xác định tính đồng biến, nghịch biến vẽ đồ thị hàm số lượng giác – Về nhà học nghiên cứu học thuộc khái niệm, tính chất, phương pháp giải dạng tập để vận dụng vào giải tất tập lại sách giáo khoa (thuộc phần này) Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 10 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 Kiểm tra cũ: Em nêu định nghóa dãy số tăng, dãy số giảm daừy soỏ bũ chaởn Có cách cho dÃy số ? hÃy liệt kê cách ấy? Bài mới: NỘI DUNG Tiết 41 / /0 HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ Trình bày định nghóa cấp số cộng Định nghóa: Cho dãy số (un) định  u1 = a n , ∀ ∈N   u n+ = u n + d * vaø a, d hai số thực cho sẳn gọi cấp số cộng Với a số hạng cấp số cộng d công sai cấp số cộng Từ định nghóa em có nhận xét gì? Để dãy số (un) cấp số cộng người ta dùng kí hiệu: u1; u2; ; un Chú ý: – Để dãy số (un) cấp số cộng người ta dùng kí hiệu: u1; u2; ; un Ta xét ví dụ sau: cho dãy số (un) 1; 3; 5; 7; 9; ; n Là cấp số cộng Có số hạng đâu tiên công sai d Em ch biết số hạng công sai cấp số cộng Cấp số cộng có tính chất Số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1))d Tính chất số hạng cấp số cộng: un = u n −1 + u n +1 , ∀n ≥ Tổng n số hạng cấp số cộng Cho cấp số cộng u1; u2; ; un ta coù: n n Sn = [ u1 + u n ] = [ 2u1 + ( n − 1) d ] 2 * Số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1))d * Dãy số (un) cấp số cộng ta có: u n −1 + u n +1 , ∀n ≥ un = * Tổng n số hạng cấp số cộng Cho cấp số cộng u1; u2; ; un ta coù: Sn = n [ u1 + u n ] = n [ 2u1 + (n − 1)d ] 2 Hướng dẫn cho học sinh chứng minh tính Lên bảng trình bày chất trình bày bên Ví dụ: Cho cấp số cộng (un) có u2 + u5 – u3 = 10 vaø u4 + u6 = 23 Tìm u1; d S10 Giải: Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 85 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ Theo đề ta có: Hướng dẫn học sinh giải tìm u1; d; S10 Áp dụng công thức: un = u1 + (n – 1).d  u + u5 − u3 = 10 vaøo hệ:   u + u6 = 23 Áp dụng ⇒ u1; d công thức Sn = n [ 2u1 + (n −1)d ] để tính S10  u + u5 − u3 = 10   u + u6 = 23  u1 + d + u1 + 4d − u1 − 2d = 10 ⇔  u1 + 3d + u1 + 5d = 23 – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp ⇔ làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét Tiết 42 / /0  u1 + 3d = 10   2u1 + 8d = 23  11  u1 =  ⇔ d =   Áp dụng công thức: – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay n Sn = [ 2u1 + ( n −1)d ] mắc phải sai lầm thiếu sót Ta có: S10 = 10  11 3 245 2 + (10 −1)  = 2   Bài tập: Bài tập 1: Cho cấp số cộng (un) có u3 = 15 u14 = 18 Tìm u1; d S20 Hướng dẫn học sinh giải tìm u1; d; S10 Áp dụng công thức: un = u1 + (n – 1).d  u3 = 15 vào hệ:   u14 = 18 Áp dụng Giải: Theo đề ta có: ⇒ u1; d công thức Sn  u3 = 15   u14 = 18 = n [ 2u1 + (n −1)d ] để tính S10 – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp ⇔ làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét  u1 + 2d = 15 ⇔  u1 + 13d = 18  159  u1 = 11   d =  11  n – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay Áp dụng công thức: Sn = [ 2u1 + ( n −1)d ] mắc phải sai lầm thiếu soùt 20  159 3 Ta coù: S20 = 2 11 + ( 20 −1) 11 =   Bài tập 2: Tìm x đề ba số: 10 – 3x; 2x2 + 3; 3750 – 4x laäp thành cấp số cộng 11 Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 86 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ – Hướng dẫn học sinh tìm biến x để ba số: 10 – 3x; 2x2 + 3; – 4x lập thành cấp số cộng Bằng cách áp dụng công thức un = un −1 + u n +1 Giải: Từ suy giá trị x cần tìm Vì ba số: 10 – 3x; 2x2 + 3; – 4x lập thành cấp số cộng nên ta có: 2x + + − 4x – Gọi học sinh lên bảng thực so 10 – 3x = sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút ⇔ 10 – 3x = x + – 2x  −1 + 21 nhận xét x=  – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót −1 − 21 x =  ⇔ x2 + x – = ⇔   Vậy x = −1+ 21 −1− 21 x = 2 Bài tập 3: Tìm năm số hạng liên tiếp ba số: 10 – 3x; 2x2 + 3; – 4x lập thành cấp số cộng biết tổng chúng cấp số cộng 40 tổng bình phương chún 480 Hướng dẫn học sinh tìm năm số hạng liên tiếp cấp số cộng - Gọi năm số hạng liên tiếp cấp số cộng là: a – 2d; a – d; a; a + d; a + 2d  5a = 40 - Theo đề ta coù:  2  5a + 10d = 480 Từ suy kết toán – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót Giải: Gọi năm số hạng liên tiếp cấp số cộng laø: a – 2d; a – d; a; a + d; a + 2d Theo đề ta có:  a − 2d + a − d + a + a + d + a + 2d = 40  2 2  (a − 2d ) + (a − d ) + a + (a + d ) + (a + 2d ) = 48  5a = 40 a= ⇔ ⇔ 2  5a + 10d = 480  d = 16 Bài tập 4: Cho cấp số cộng (an) Chứng minh a =  raèng: * ⇔ d = a) ap + aq = am + an, (với m, n, p, q ∈ N vaø d = −4 m + n = q + p)  b) ap – a1 = aq + ap – q + Vaäy ta có hai cấp số cộng là: 0; 4; 8; 12; (với p, q ∈ N* q ≥ p) 16 hay 16; 12; 8, 4; c) (q – r)ap + (r – p)aq + (p – q)ar = Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 87 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ * (với p, q, r ∈ N ) – Hướng dẫn học sinh chứng minh đẳng thức sau + Áp dụng công thức: un = u1 + (n – 1) d + Biến đổi, rút gọn suy điều phải chứng minh – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay Chứng minh: Ta có: mắc phải sai lầm thiếu sót ap + aq = am + an ⇔ a1 + (p – 1)d + a1 + (q – 1)d = a1 + – Em chứng minh tương tự câu a) (n – 1)d+ + a1 + (m – 1)d ⇔ (p + q).d = (m + n).d Bài tập 4: Cho ba số a; b; c lập thành Theo đề ta có p + q = m + n cấp số cộng Chứng minh rằng: Vậy ap + aq = am + an a) a2 + 2bc = c2 + 2ab (với m, n, p, q ∈ N* vaø m + n = q + p) 2 b) a + 8bc = (2b + c) c) a2 + ab + b2; a2 + 2ac + c2; b2 + bc + c2 lập thành cấp số cộng + – Hướng dẫn học sinh chứng minh đẳng thức sau + Biến đổi đưa dạng a+c =b ⇒ 2b = a + c ⇒ điều phải chứng minh – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét Giải: a2 + 2bc = c2 + 2ab – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay ⇔ a2 – 2ba +b2 = b2 – 2bc + c2 mắc phải sai lầm thiếu sót ⇔ (a – b)2 = (b – c)2 ⇔ a – b = b – c – Hướng dẫn học sinh chứng minh tương tự ⇔ a + c = 2b (Vì a; b; c cấp số đẳng thức a) cộng) Vậy a2 + 2bc = c2 + 2ab V CŨNG CỐ - DẶN DÒ: - Học sinh nắm định nghóa tính chất cấp số cộng - Học sinh nắm phương pháp làm dạng tập cấp số cộng Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 88 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 - Bài tập nhà: , trang 97, 98 Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 89 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 Tiết 43 – 44 Lớp: 11B3 _ 11B11 Ngày soạn: Ngày lên lớp: / / / 2007 / 2007 §4 CẤP SỐ NHÂN I Mục đích yêu cầu: KiÕn thøc:Gióp häc sinh – Nắm vững khái niệm cấp số nhân Nắm đợc tính chất đơn giản số hạng liên tiếp cấp số nhân Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát công thức tính tổng n số hạng cấp số nhân kĩ năng: Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết cấp số nhân Biết vận dụng kết lý thuyết đà học để giải toán đơn giản liên quan đến cấp số nhân T duy: T logic, suy ln to¸n häc II Chuẩn bị phương tiện dạy học: B¶ng phơ II Phương pháp: Thuyết trình - hỏi đáp III Tiến trình giảng: Ổn định tổ chức: Kiểm tra só số, Kiểm tra cũ: Cho cấp số cộng (an) có a3 = 15, a4 =18 Tìm a1 d Bài mới: NỘI DUNG Tiết 43 / / 07 HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ Nêu định nghóa cấp số nhân Định nghóa: Cho dãy số (an) xác định  a1 = a  (∀ n ∈ N*, a, q ∈ R \ { 0} ) , gọi cấp số  an+ = an q nhân đó: a1 gọi số hạng cấp số nhân q gọi công bội cấp số nhân Từ định nghóa cấp số nhân ta có * Nếu dãy số (an) có hữu hạn số hạng gọi cấp số nhân hữu hạn nhận xét gì? * Nếu a > q > cấp số nhân (an) dãy số tăng, Nhận xét: * Nếu dãy số (an) có hữu hạn số hạng gọi cấp số nhân hữu hạn * Nếu a > q > cấp số nhân (a n) dãy số tăng, ∀ n ∈ N * ta coù: a n+1 ∀n∈ N * ta coù: an + = an.q > an Neáu a > < q < cấp số nhân (an) dãy số giảm, ta có: an + = an.q < an ∀n∈ N * = an.q > an * Nếu a > < q < cấp số nhân (a n) Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 90 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG dãy số giảm, an ∀ n ∈ N * ta có: a HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ n+1 = an.q < Số hạng tổng quát: Nếu cấp số nhân (an) với số hạng a1 công bội q: an = a1.qn - Tính chất số hạng cấp số nhân: Dãy số (an) cấp số nhân khi: a2n + = an.an + 2, hay Lên bảng trình bày ∀ n ∈ N * | an + 1| = a n a n +2 Hướng dẫn học sinh chứng minh Ví dụ: Trong cấp số nhân sau Tính số hạng a1, q, a8  a1 − a3 + a5 = 65 b   a1 + a7 = 325  a1 + a6 = 244 d   a3 + a4 = 36  a4 − a2 = 72 a   a5 − a3 = 144  a3 = 15 c   a5 = 135 Tiết 44 10/ 01/ 06 Giải:  a4 − a2 = 72 a   a5 − a3 = 144  a1q(q − 1) = 72 (1) ⇔  a1q (q − 1) = 144 (2) Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta có: q = Thay q = vào (1) ta có: Hướng dẫn học sinh áp dụng công thức a1.2(22 – 1) = 72 ⇒ a1 = 12 an để tìm a1, q, a8 Áp dụng công thức: an = a1.qn – ta có: Em làm câu b, c, d tương tự câu a a8 = a1.q7 = 12.27 =1356 – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót Công thức tính tổng Sn n số hạng cấp số nhân S n = a1 −q n −q Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình – Nếu q = ⇒ Sn = na1 Trang 91 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG Từ công thức tính tổng cấp số nhân ta có nhận xét gì? HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ a1 – Nếu q < ⇒ Sn = −q Nhận xét: – Nếu q = ⇒ Sn = na1 – Neáu q < a1 ⇒ Sn = − q Bài tập: Bài 1: Cho cấp số nhân (an), chứng minh rằng: a ap.ar = am.an (p + r = m + n, ) b a1.ap = ar.ap – r – (p ≤ r, p, r , n, m ∈ N * p, r ∈ N * ) Giải: Ta có: ap.ar = am.an ⇔ a1.qp – 1.a1.qr – = a1.qm – a1.qn – ⇔ qp + r – = qm + n – (Hiển nhiên p + r = m + n, p, r , n, m ∈ N * ) Em haõy áp dụng công thức an để chứng minh Vậy: ap.ar = am.an đẳng thức bên (p + r = m + n, Đối với câu b em làm tương tự câu a p, r , n, m ∈ N * ) – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót Bài tập 2: Tìm bốn góc tứ giác biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai Giải: Gọi A, B, C, D bốn góc tứ giác theo để ta có:  A + B + C + D = 360   D = 9B Hướng dẫn học sinh giải + Gọi góc tứ giác ABCD + thiết lập hệ phương trình theo biến góc tứ giác + Áp dụng công thức an cỉa cấp số ⇔ nhân để tính giá trị góc tứ giác ABCD – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét ⇔ – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót  A(1 + q + q + q3 ) = 3600 (q > 0)   Aq = Aq  A(1 + q + q + q3 ) = 3600 (q > 0) 2  q = Bài tập 3: Tính cạnh hình hộp chữ nhật, biết thể tích hình hộp a3, Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 92 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ diện tích toàn phần 2ma , m tham số ba kích thước hình hộp chữ nhật lập ⇔ thành cấp số nhân  A = 90  (q > 0)  q= Hướng dẫn: em làm tương tự giống Vậy A = 90; B = 270; C = 810; taäp = 2430 D – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót Giải: Theo hình vẽ ta có: AA’ = AD.q; AB = AD.q2 Maø: V = AA’.AD.AB = (AD.q)3 = a3 ⇒ a = AD.q (1) Ta lại có: STP = 2(AB + AD) AA’ + 2.AB.AD = 2.AD2.q(q2 + q + 1) = 2ma2 ⇒ 2.AD2.q(q2 + q + 1) = 2mAD2.q2 (2) Từ (1) (2) ⇒ q = ? Thay q vaøo (1) ⇒ AA’ = ?; AD = ?; AB = ? V Cũng cố - dặn dò: - Học sinh nắm công thức tính an, Sn cấp số nhân thông qua ví dụ, tập Rèn luyện kỹ kỹ xảo giải tập cấp số nhân - Bài tập nhà: 1, , trang 103 – 104 Tiết 45 Lớp: 11B3 _ 11B11 Ngày soạn: Ngày lên lớp: / / / 2007 / 2007 ÔN TẬP CHƯƠNG III Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 93 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 I Mục đích yêu cầu: KiÕn thøc: Gióp học sinh naộm ủửụùc: Nắm vững phửụng phaựp chứng minh quy nạp Nắm đợc caỏp soỏ coọng tính chất caỏp soỏ coọng - Nắm vững caỏp soỏ nhaõn tính chất cấp số nhân Kỹ năng: Biết dựa vào định nghĩa ®Ĩ nhËn biÕt mét cÊp sè nh©n – BiÕt vËn dụng kết lý thuyết đà học để giải toán đơn giản liên quan ®Õn cÊp sè nh©n, cấp số côïng T duy: T logic, suy luận toán học II chuẩn bị phơng tiện dạy học: Bảng phụ II Phửụng phaựp: Thuyeỏt trình - hỏi đáp III Tiến trình giảng: Ổn định tổ chức: Kiểm tra só số, Kiểm tra cũ: - Cho cấp số nhân (an) biết: a5 = 96, a9 = 192 Tìm a1, d, S5 Bài mới: NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ Bài 1: Chứng minh rằng: a un = n3 + 11n chia hết cho Giải: Hướng dẫn học sinh chứng minh: Ta có: un = n3 – n + 12n = (n – 1).n.(n + 1) + 12n – Đưa un un = n + 12n – n Mà (n – 1).n.(n + 1) tích ba số tự – Ta chứng minh n – n chia hết cho 12n nhiên liên tiếp nên n3 – n chia hết cho chia hết cho 12n chia hết cho (hiên nhiên đúng) Vậy un = n3 + 11n chia hết cho – Em chứng minh câu b tương tự caâu a b un = 4n + 15n – chia hết cho – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh Với n = u1 = 18 chia hết cho học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh Giả sử với n = k uk = 4k + 15k – chia với làm bảng rút nhận xét hết cho Ta cần chứng minh với n = k + u k + – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay chia hết cho mắc phải sai lầm thiếu sót Thật vậy: uk + = 4k + + 15(k + 1) – = 4.4k + 15k + 14 = 4.(4k + 15k – 1) – 45k + 18 chia hết cho (Vì (4k + 15k – 1) 9; 45k 9; 18 9) Vaäy un = 4n + 15n – chia heát cho Bài 2: Hãy tính a1, d, a6, S7 cấp số cộng sau: Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 94 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG  a5 = 19 a   a9 = 35  a5 + a7 = 30 c   a4 + a6 = 15 HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ  a15 + a7 = 60 b  a42 + a12 = 1170   a + 4d = 19  a1 = ⇔ ⇔  a + 8d = 35  d =  a5 = 19 a   a9 = 35 Hướng dẫn học sinh tính a1, d, a6, S7 - Áp dụng công thức: an = a1 + (n – 1).d Để tìm Áp dụng công thức: an = a1 + (n – 1).d Ta có: a6 = + (6 – 1).4 = 23 a1, d, a6 Áp dụng công thức: n - Áp dụng công thức: Sn = {2a1 + (n – 1).d} n Sn = {2a1 + (n – 1).d} Để tìm S7, Ta có: S7 = {2.3 + (7 – 1).4} = 105 Thầy: Em làm câu b, c tương tự câu a – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh Vậy: a1 = 3; d = 4; a6 = 23; S7 = 105 học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót Bài tập 3: Hãy xác định a1, q, a7, S7 cấp số nhân sau:  a5 = 96 a   a6 = 192  a3 + a5 = 90 b   a2 − a6 = 240  a5 = 96  a5 = 96 a  ⇔  a6 = 192  a5 q = 192 ⇒ q = Hướng dẫn học sinh tính a1, q, a7, S7 a 96 - Áp dụng công thức: an = a1.qn – để tính a1, q, Ta có a5 = a1.q4 ⇒ a1 = = = q a7 n–1 Áp dụng công thức: an = a1.q ta có: 1−qn - Áp dụng công thức: S n = a1 để tính S7 a7 = a1.q6 = 6.26 = 384 1−q Em haõy làm câu b tương tự câu a Áp dụng công thức: S n = a1 – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét S = a1 1−qn ta coù: 1−q 1− q7 − 27 = = 762 1−q 1−2 – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 95 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ Bài tập 4: tính tổng vô hạn sau: a + c 1 + + + b + + + + 27 1 1 + + + + 2 2 Dãy số dãy số giảm cấp số nhân có a1 = công bội q = Hướng dẫn học sinh laøm baøi 1 ; ; ; a1 Để tính S ta áp dụng công thức: S = 1−q Em có nhận xét dãy số 1; Em làm câu b, c tương tự câu a – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét Ta coù: S= 1 1− = = 2 – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót Bài 5: Cho a, b, c lập thành cấp số cộng chứng minh rằng: a a2 + 2bc = c2 + 2ab b a2 + 8bc = (2b + c)2 c a2 + ab + b2; c2 + ac + a2; b2 + bc + c2; lập thành cấp số cộng V Cũng cố - dặn dò: - Học sinh nắm kiến thức cỏ chương III - Yêu cầu học sinh rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng kiến thức có liên quan vào giải tập - Bài tập nhà: 1, 2, , 19 trang 107 – 108 – 109 – Baøi tập thêm: Em chứng minh rằng: a un = n2 + 4n +  n n n n  b + + + c 2n > 2n + 1, n ≥ Tiết 46 Lớp: 11B3 _ 11B11 Ngày soạn: / / 2007 Ngày lên lớp: / / 2007 ÔN THI HỌC KỲ MỘT I Mục đích yêu cầu: Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 96 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 KiÕn thøc:Gióp häc sinh – Nhí l¹i lý thuyết đà đợc học Phân biệt lý thuyết tơng đồng Rút kinh nghiệm giải tập kĩ năng: Tính toán toán tổ hợp chỉnh hợp hoán vị toán xác suất Giải đợc dạng phơng trình lợng giác Tính toán nhận biết hàm số lợng giác T duy: T logic, suy ln to¸n häc II Chuẩn bị phương tiện daùy hoùc: Saựch giaựo khoa vaứ tập photo sẵn III Phương pháp: Thuyết trình - hỏi đáp IV Tiến trình giảng: Ổn định tổ chức: Kiểm tra só số, Kiểm tra cũ: Em nêu công thức lượng giác Bài mới: NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ A Lý thuyết: * Chứng minh đẳng thức lượng giác Em nêu phương pháp chứng minh đẳng thức lượng giác * Công thức lượng giác, phương trình lượng giác hệ phương trình lượng giác Có ba cách chứng minh đẳng thức lượng giác A = B + Cách 1: Biến đổi A → B + Cách 2: Biến đổi B → A + Cách 3: Biến đổi A B thành C biểu thức trung gian Em nêu công thức lượng giác cách giải dạng phương trình lượng giác hệ phương trình lượng giác Trình bày * Cấp số cộng Em nêu tính chất cấp số cộng Trình bày * Cấp số nhân Em nêu tính chất cấp số cộng B Bài tập: Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau a sin x − cos x cos x − sin x = tg ( x − π Trình bày ) + sin x π x = cot g ( − ) cos x   x + 1.tg = tgx c   cos x  b Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 97 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 NỘI DUNG d cos3x.sinx – sin3x.cosx = sin4x HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ Hướng dẫn học sinh chứng minh đẳng thức tập bên + Áp dụng công thức lượng giác phù hợp với Giải: toán, biến đổi, rút gọn vế trái thành vế phải d cos3x.sinx – sin3x.cosx suy điều phải chứng minh = sinx.cosx(cos2x – sin2x) – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh = sin2x.cos2x học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh = sin4x với làm bảng rút nhận xét – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót Bài 2: Giải phương trình lượng giác sau: a 3.cosx + cos2x – cos3x + = 2sinx.sin2x b sin2x + tgx – = c (1 + cosx)sinx = + cosx + cos2x d cos2x – 3cosx = 4cos2 x Hướng dẫn học sinh giải phương trình lượng giác + Nhận dạng phương trình lượng giác + Áp dụng cách giải cho dạng phương trình lượng giác cụ thể + Giải tìm nghiệm phương trình lượng giác thỏa điều kiện toán (nếu có) – Gọi học sinh lên bảng thực so sánh học sinh khác lấy giấy nháp làm, so sánh với làm bảng rút nhận xét Giải: c (1 + cosx)sinx = + cosx + cos2x ⇔ (1 + cosx)(sinx – 1) = – sin2x ⇔ (1 + cosx)(sinx – 1) + (sin2x – 1) = ⇔ (sinx – 1).(1 + cosx + sinx + 1) = ⇔ (sinx – 1).(2 + cosx + sinx) = ⇔ (sinx – 1).(2 + cos(x –)) = ⇔ – Uốn nắn, sửa chữa, bổ sung chổ hay mắc phải sai lầm thiếu sót ⇔ sin x −1 =  cos( x − π ) = − (Loaïi)  x= π + k2π, k ∈ Z Bài 4: Cho cấp số cộng (an) a Tìm a1, d, a5, a10, S10, S20 b Tìm năm số hạng cấp số cộng  a2 + a5 − a3 = 10   a4 + a6 = 26 Lên bảng giải Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 98 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh NỘI DUNG Giáo án Đại số giải tích 11 HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ  a3 − a = −   a2 a7 = 35 Em vận dụng tính chất cấp số cộng để giải V Cũng cố - dặn dò: - Học sinh nắm phương pháp giải dạng tập thường gặp Biên soạn: Nguyễn Chiến Bình Trang 99 ... sách giáo khoa (thuộc phần này) Biên so? ??n: Nguyễn Chiến Bình Trang 19 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Tiết 11 → 16 Lớp 11 B3 – 11 B 11 Giáo án Đại số giải tích 11 Ngày so? ??n: / /2007 Ngày giảng: / /2007... sách giáo khoa (thuộc phần này) Biên so? ??n: Nguyễn Chiến Bình Trang 10 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Tiết → 10 Lớp 11 B3 – 11 B 11 Giáo án Đại số giải tích 11 Ngày so? ??n: ………/………/2007 Ngày giảng: ………/………/2007... sách giáo khoa (thuộc phần này) Biên so? ??n: Nguyễn Chiến Bình Trang 31 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Giáo án Đại số giải tích 11 Tiết 17 Lớp 11 B3 – 11 B 11 Ngày so? ??n: Ngày giảng: / / /2007 /2007 §