Đề Cương Ôn Tập Toán Lớp 11 HKI Tổ Toán - Trường THPT Trần Quang Khải PhÇn i: ®¹i sè HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau 2 sin 2 1/ cot(2 ) 2/ 4 cos 1 1 3/ sin 4/ 1 cos 1 x y x y x y y x x π + = − = + = = − − Bài 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) 1 siny x= + b) cos 1y x= − c) tan( ) 3 y x π = − Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau 1/ 2 3cos 2 / 3 1 sin 1y x y x= + = + − 4 4 3/ 2 os sin 4 / 3 2 | sin |y c x x y x= + − = − Bài 4: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số a) sinxy x= − c) y = cos x 2 + tanx PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 1. Phương trình sinx=a (1) a) 1 > a : (1) VN b) 1 ≤ a : *) Nếu a biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt : Giả sử a=sin α 2 (1) sin sin , . 2 x k x k Z x k α α α = + Π  ⇔ = ⇔ ∈  = Π − + Π  *) Nếu a không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt: Thì đặt a = sin α với: 22 Π << Π − α Ta viết: aarcsin = α arcsin 2 (1) sin sin , . arcsin 2 x a k x k Z x a k α = + Π  ⇔ = ⇔ ∈  = Π − + Π  Các trường hợp đăc biệt *) a=0 (1) /x k k Z⇔ = Π ∈ *) a= -1 2 2 (1) , 3 2 2 x k k Z x k Π  = − + Π   ⇔ ∈  Π  = + Π   *) a=1: (1) 2 , 2 x k k Z Π ⇔ = + Π ∈ *) 0 (1) :sin sinx β = 0 0 0 0 0 360 , . 180 360 x k k Z x k β β  = + ⇔ ∈  = − +   Tổng quát: (1) sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) 2 , . ( ) ( ) 2 f x g x f x g x k k Z f x g x k ⇔ = = + Π  ⇔ ∈  = Π − + Π  2. Phương trình cosx=a: (1) a) 1 > a : (1) VN b) 1 ≤ a : *) Nếu a biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt : Giả sử a = cos α : ./2coscos)1( Zkkxx ∈Π+±=⇔=⇔ αα *) Nếu a không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt: Thì đặt a = cos α với: Π<< α 0 ,Ta viết: aarccos = α (1) cos cos arccos 2 , .x x a k k Z α ⇔ = ⇔ = ± + Π ∈ Các trường hợp đăc biệt *) a=0: (1) , 2 x k k Z Π ⇔ = + Π ∈ *) a=-1: (1) 2 ,x k k Z⇔ = Π + Π ∈ . *) a=1: (1) 2 ,x k k Z⇔ = Π ∈ . 0 0 0 *) cos cos 360 , .x x k k Z β β = ⇔ = ± + ∈ Tổng quát: (1) cos ( ) cos ( )f x g x⇔ = ( ) ( ) 2 , .f x g x k k Z⇔ = ± + Π ∈ 3. Phương trình tanx=a: (1) ĐK: , 2 x k k Z Π ≠ + Π ∈ *) Nếu a biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt: Thì a = tan α : (1) tan tan , .x x k k Z α α ⇔ = ⇔ = + Π ∈ *) Nếu a không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt: Thì đặt a = tan α với 22 Π << Π − α . Ta viết: aarctan = α      Π+ Π ≠ Π+= ⇔=⇔ 1 2 arctan tantan)1( kx kax x α 1 ,k k Z∈ . Các trường hợp đăc biệt *) a = 0: (1) ,x k k Z⇔ = Π ∈ Friday, October 25, 2013 1 Đề Cương Ôn Tập Toán Lớp 11 HKI Tổ Toán - Trường THPT Trần Quang Khải *) a = -1: (1) , 4 x k k Z Π ⇔ = − + Π ∈ . *) a = 1: (1) , 4 x k k Z Π ⇔ = + Π ∈ . *) 0 0 0 (1) : tan tan 180 , .x x k k Z β β = ⇔ = + ∈ Tổng quát: 1 1 2 2 (1) tan ( ) tan ( ) ( ) ( ) ( ) , , . 2 ( ) 2 f x g x f x g x k f x k k k k Z g x k ⇔ =   = + Π  Π  ⇔ ≠ + Π ∈   Π  ≠ + Π   4. Phương trình cotx=a: (1) ĐK: ,x k k Z≠ Π ∈ *) Nếu a biểu diễn được qua cotan của góc đặc biệt: Thì a = cot α : (1) cot cot , .x x k k Z α α ⇔ = ⇔ = + Π ∈ *) Nếu a không biểu diễn được qua cotan của góc đặc biệt: Thì đặt a=cot α với Π<< α 0 Ta viết: aarccot= α 1 1 cot (1) cot cot , . x arc a k x k k Z x k α = + Π  ⇔ = ⇔ ∈  ≠ Π  Các trường hợp đăc biệt *) a=0: (1) , 2 x k k Z Π ⇔ = + Π ∈ *) a=-1: (1) , 4 x k k Z Π ⇔ = − + Π ∈ . *) a=1: (1) , 4 x k k Z Π ⇔ = + Π ∈ . *) 0 0 0 (1) :cot cot 180 , .x x k k Z β β = ⇔ = + ∈ Tổng quát: (1) cot ( ) cot ( )f x g x⇔ = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) , , . ( ) f x g x k f x k k k k Z g x k = + Π   ⇔ ≠ Π ∈   ≠ Π  II) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 1. Phương Trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Dạng: at+b=0 với: { } )(cot);(tan);(cos);(sin.0,, xfxfxfxftaRba ∈≠∈ PP giải: Tìm t đưa về phương trình cơ bản giải tìm x. 2. Phương Trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . Dạng: at 2 +bt+c =0 với: , , , 0.a b c R a∈ ≠ { } sin ( );cos ( );tan ( );cot ( )t f x f x f x f x∈ PP giải: Tìm t đưa về phương trình cơ bản giải tìm x. 3. Phương trình bậc nhất đối với sinf(x) và cosf(x) . Dạng: asinf(x)+bcosf(x) =c (1) PP giải: *) Khi a=0 hoặc b=0 bài toán trở thành dạng (1) giải được *) Khi 0 22 ≠+ ba : Chia 2 vế (1) cho 22 ba + ta đưa về dạng: [ ] 22 )(sin ba c xf + =± α hoặc [ ] 22 )(cos ba c xf + =± α Giải được. Đặc biệt: Khi c=0: (1) a b xf −=⇔ )(tan với: a 0 ≠ hoặc (1) b a xf −=⇔ )(cot với: b 0 ≠ . Lưu ý: Phương trình: asinf(x)+bcosf(x)=c có nghiệm khi và chỉ khi: 222 cba ≥+ 4) Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx . Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 . Nếu vế phải bằng d thì thay: d = d(sin 2 x+cos 2 x) a,b,c R ∈ và a,b,c không đồng thời bằng 0. PP giải: *) Kiểm tra trực tiếp cosx=0 *) Chia hai vế cho cos 2 x đặt t=tanx (*) ta được: at 2 +bt+c=0 giải được t. Thay vào (*) giải được x. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 1) 2 3 )202sin( 0 −=+ x 2) 0)120sin(2cos 0 =−− xx 3) 2 1 42 3 cos −=       Π − x 4) 3 1 tan 6 12 cot = + x 5) 0 tan(2 10 ) 3 0x − + = với 0 0 (0 ;180 )x∈ 6) 3 cos( 5) 2 x − = với ( ) ;x∈ −Π Π 7) ( ) ( ) 01sin23tan3 =−+ xx 8) 2 2 2cos sin 0x x+ + = 9) sin2x − 2cosx=0 10) 2 2 3 cos 3 sin sin 2 2x x x− + = 11) 2 2sin 3sin2x 3x + = 12) cos2 sinx=1x + 13) sin 3 cos 2x x− = 14) 3cos2sin =− xx 15) 2sin 2 x+sinxcosx − 3cos 2 x=0 16) cos2 cos4 cos6 cos8x x x x+ = + 17) 4sin 2 x + 3 3 sin2x − 2cos 2 x = 4 Câu 7: Giải một số phương trình lượng giác khác: 1) tan( ) cot 1 4 x x π + + = 2) 2 2 sin 3cos 3sin 2 1x x x+ = + Friday, October 25, 2013 2 Đề Cương Ôn Tập Toán Lớp 11 HKI Tổ Toán - Trường THPT Trần Quang Khải 3) x x x 3tan tan1 tan1 = − + 4) ( ) 2 2 sinx+cosx 2 3 os 1 2cosc x x+ = + 5) 4 4 1 cos sin sin cos 2 x x x x− + = 6) xxx 14sin132cos32sin2 =+ TỔ HỢP – XÁC SUẤT PHẦN 1: TỔ HỢP A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 1. Quy tắc cộng: Giả sử 1 công việc có thể tiến hành theo 1 trong k phương án k AAA , .,, 21 . • Phương án 1 A có thể thực hiện theo 1 n cách • Phương án 2 A có thể thực hiện theo 2 n cách • ……………………. • Phương án k A có thể thực hiện theo k n cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n 1 + n 2 + .+n k cách 2. Quy tắc nhân: Nếu 1 công việc phải trải qua k giai đoạn, trong đó: • Giai đoạn 1 có 1 n cách thực hiện • Giai đoạn 2 có 2 n cách thực hiện • ……………………. • Giai đoạn k có k n cách thực hiện Suy ra có k nnn 21 cách thực hiện công việc ấy. 3. Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n 0³ . Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của X được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P n . n P n ! 1.2 .n= = . Quy ước: 0! = 1. 4. Chỉnh Hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n 1³ . Mỗi cách chọn ra k ( ) 0 k n£ £ phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n A . k n n ! A n(n 1) .(n k 1) (n k) ! = - - + = - . Chú ý: Quy ước: 0! 1 = ; n nn AP = 4. Tổ hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n 0³ . Mỗi cách chọn ra k ( ) 0 k n£ £ phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n C . k n n ! C k !(n k) ! = - . • Các tính chất của tổ hợp: +/ ( ) nkCC kn n k n ≤≤= − 0 +/ ( ) nkCCC k n k n k n ≤≤=+ + − 0 1 1 +/ n k n k n PCA . = B. CÁC DẠNG BÀI TẬP I. QUY TẮC ĐẾM: Câu 1: Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực khách cần chọn 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn?(13) Câu 2: Cho tập hợp { } 1;2;3;4;5;6;7;8;9A = a) Có boa nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số. Trong các số trên có bao nhiêu số mà ba chữ số đều khác nhau? b) Có bao nhiêu tập hợp A gồm 4 phần tử? Trong số tập hợp đó có bao nhiêu tập hợp có chứ số 9? Câu 3: Một công ty có 5 cổng ra vào. Một người khách đi đến công ty, hỏi: a) Có bao nhiêu cách ra vào công ty đó b) Có bao nhiêu cách ra vào công ty đó biết người đó phải vào 1 cổng và ra bằng một cổng khác Câu 4: Cho tập hợp A gồm 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể lập từ A bao nhiêu: a) số tự nhiên có 4 chữ số bất kì. (2058) b) số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. (720) c) số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau. (420) d) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. (420) e) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau bắt đầu bằng số 1. (120) f) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có tận cùng không là chữ số 5. (620) g) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000. (180) II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Câu 1: Có 6 bì thư khác nhau và 5 tem thư khác nhau. Người ta chọn và dán 3 tem lên 3 bì thư, mỗi bì thư dán một tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? (1200) Friday, October 25, 2013 3 Đề Cương Ôn Tập Toán Lớp 11 HKI Tổ Toán - Trường THPT Trần Quang Khải Câu 2: Với các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn: a) gồm 6 chữ số ( 6 6 ) b) gồm 6 chữ số khác nhau (6!) c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 (3.5!) Câu 3: Một đa giác lồi n cạnh thì có bao nhiêu đường chéo? ( ( 3) 2 n n − ) Câu 4: Trong hộp có 7 viên bi xanh, 5 bi đỏ, 3 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi: a) có đúng 2 viên bi xanh b) số bi xanh bằng số bi đỏ c) mỗi loại bi có ít nhất một viên (có đủ ba màu) Câu 5: Rút gọn biểu thức a) A= 5! ( 1)! . ( 1) ( 1)!3! m m m m + + − b) B= 1 2 ( 3)! ( 2)! n n n P P n A n + − − + Câu 6: Giải phương trình sau: 2 2 3 . . 8P x P x− = ( x =-1;x = 4) Câu 7: Tìm n sao cho: 3 2 1 2( 3 ) n n n A A P + + = (n = 4) III. NHỊ THỨC NIUTƠN Câu 1: Khai triển các nhị thức sau: a) 6 (2 3)x + b) 7 (2 )x y− c) 6 2 1 x x   −  ÷   Câu 2: Cho nhị thức 10 4 1 x x   +  ÷   a) Tìm số hạnh thứ 6 của khai triển b) Tìm số hạng không chứa x của khai triển c) Tìm hệ số của số hạng chứa 6 x Câu 3: Cho nhị thức: ( ) 7 2yx − a) Tìm hệ số của số hạng có chứa 25 yx b) Khai triển nhị thức trên Câu 4: Tính các tổng sau: a) 0 1 2 . n n n n n n S C C C C= + + + + b) 0 1 2 2 2 2 . 2 . 2 k k n n n n n n n n S C C C C C= + + + + + + Câu 5: Chứng minh rằng : 0 2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 . . n n n n n n n n C C C C C C − + + + = + + + Câu 6: Tìm là số nguyên dương n để hệ số của 2 x trong khai triển biểu thức ( ) ( ) 1 2 n f x x= − bằng 180. PHẦN 2: XÁC SUẤT A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Biến cố • Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. • Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A ⊂ Ω. • Biến cố không: ∅ • Biến cố chắc chắn: Ω • Biến cố đối của A: \A A= Ω • Hợp hai biến cố: A ∪ B • Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B) • Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅ • Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia. 2. Xác suất • Xác suất của biến cố: P(A) = ( ) ( ) n A n Ω • 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0 • Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) • P( A ) = 1 – P(A) • Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì: P(A.B)=P(A).P(B) B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Câu 1: Gieo đồng thời 2 đồng xu. Tìm xác suất để có a) Hai mặt cùng sấp xuất hiện b) Một mặt sấp, một mặt ngửa c) Có ít nhất 1 mặt sấp Câu 2: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa. c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa Câu 3: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8. b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. d) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau. e) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. Câu 4: Trong một cái hộp đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một lúc 4 viên bi a) Tính xác suất để lấy được 4 viên bi cùng màu. b) Tính xác suất để lấy được 3 viên bi trắng và 1 viên bi xanh. c) Tính xác suất để lấy được 4 viên bi khác màu. suất để lấy được hai viên khác màu DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUI NẠP A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Để c/m mệnh đề A(n) đúng ∀ n ∈ N * ta thực hiện: B1: C/m A(n) đúng khi n=1. B2: ∀ n ∈ N * giả sử A(n) đúng với n=k Friday, October 25, 2013 4 Đề Cương Ôn Tập Toán Lớp 11 HKI Tổ Toán - Trường THPT Trần Quang Khải B3: Cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1. B. BÀI TẬP: 1. Chứng minh rằng: a) + + + .+ = b) (1 – )(1 – )…(1 – ) = c) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n 2 (n + 1) n ∈ N 2.Chứng minh rằng: a) n 3 + 11n chia hết cho 6 ∀ n b) 2 n+2 > 2n + 5 c) 4 2n +2 – 1 chia hết cho 15 ∀ n d) 2 n – n > II. DÃY SỐ: Câu 1: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau : a) u n = b) u n = Câu 2: Cho dãy số u n = a) Xác định 5 số hạng đầu tiên b) Số là số hạng thứ mấy của dãy số Câu 3: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 1 và u n + 1 = u n + 7 ∀ n ≥ 1 a) Tính u 2 , u 4 và u 6 b) Chứng minh rằng: u n = 7n – 6 ∀n ≥ 1 Câu 4: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) u n = n 2 – 5 b) u n = (– 1) n .n c) u n = n + cos 2 n Câu 5: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) u n = b) u n = c) u n = Câu 9: Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức u 1 = 0 và u n +1 = u n + 4 a)Chứng minh rằng u n < 8 ∀ n b)Chứng minh rằng dãy (u n ) tăng và bị chặn III. CẤP SỐ CỘNG A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u n ) là CSC ⇔ u n =u n-1 + d, ∀ n ≥ 2. + d không đổi gọi là công sai. + Kí hiệu CSC: ÷ u 1 , u 2 , u 3 , …, u n , … ĐL1: (u n ) là CSC ⇔ 2 11 +− + = kk k uu u , (k ≥ 2) ĐL 2: Cho cấp số nhân (u n ). Ta có: u n =u 1 +(n-1)d. ĐL 3: Cho CSC (u n ), gọi S n =u 1 +u 2 +…+u n . Ta có : 2 )( 1 nuu S n n + = , ∀ n ≥ 1. Chú ý: [ ] 2 )1(2 1 ndnu S n −+ = , ∀ n ≥ 1 B. BÀI TẬP: Câu 1: Cho cấp số cộng thoả mãn a 10 = 15 ; a 5 = 5 .Tính a 7 Câu 2: Cho cấp số cộng thoả mãn    =+ =−+ 8aa 10aaa 62 473 Tính a 5 ; S 9 Câu 3: Cho cấp số cộng thoả mãn    = =− 75a.a 8aa 72 37 Tính a 10 ; S 100 Câu 4: Tìm cấp số cộng biết a)    =+ =−+ 26aa 10aaa 64 352 b)    =+ =+ 1170aa 60aa 2 12 2 4 157 Câu 5: Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400. Hỏi cấp số IV. CẤP SỐ NHÂN: A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 1. Định nghĩa: (sgk) (u n ) là CSN ⇔ . 2 1 u u q n n n = ∀ ≥ − Số q được gọi là công bội của CSN 2. Tính chất: Đlí 1: (sgk) 2 . 1 1 u u u k k k = − + 3. Số hạng tổng quát: Đlí 2: (sgk) 1 1 . n n u u q − = với 0p ≠ 4. Tổng n số hạng đầu tiên của CSN Đlí 3: (sgk) 1 (1 ) 1 n n u q S q − = − với q B. BÀI TẬP: Câu 1.Cho cấp số nhân có u 2 =– 8;u 5 = 64. Tính u 4 ;S 5 Câu 2.Cho cấp số nhân thoả: a)    =+ =+ 180aa 60aa 35 24 tìm a 6 ; S 4 b)    =++ =− 91aaa 728aa 531 17 tìm a 4 ; S 5 c)    =+ =+ 20aa 1460aa 31 17 tìm a 2 ; S 5 PhÇn ii: h×nh häc Friday, October 25, 2013 5 ờ Cng ễn Tõp Toan Lp 11 HKI Tụ Toan - Trng THPT Trõn Quang Khai CHNG I: PHEP DI HINH VA PHEP ễNG DANG A. TOM TT LI THUYấT: I. PHEP TINH TIấN 1) inh Ngha: Cho v r , v T r l phộp bin hỡnh bin mi im M thnh in M sao cho: ' MM v= uuuuur r 2) Tớnh Cht: (sgk) + Nu v T r (M) = M , v T r (N) = N Thỡ M N = MN v ' ' M N MN= uuuuur uuuur 3) Biu thc to : ' ' x x a y y b = + = + II. PHEP ễI XNG TRUC: 1) nh ngha: Phộp i xng trc d kớ hiu: d l phộp bin hỡnh bin mi im M thnh im M sao cho d l trc i xng ca MM 2) Tớnh Cht: (SGK) + Nu d (M) = M , v d (N) =N Thỡ M N = MN 3) Biu thc to : + Truc ụi xng Ox: ' ' x x y y = = + Truc ụi xng Oy: ' ' x x y y = = III. PHEP ễI XUNG TM 1) inh nghia: Phep biờn hinh biờn iờm I thanh chinh no, biờn mụi iờm M khac I thanh M sao cho I la trung iờm cua oaan thng MM gl phep ụi xng tõm. 2) Tớnh cht: 3) Biu thc to ca phộp i xng tõm qua O Goi M(x; y) la anh cua M(x; y) qua phep ụi xng tõm O. Ta co: ' ' x x y y = = 4) Biu thc to ca phộp i xng tõm vi tõm l I(a;b) M (x ;y ) la anh cua M(x;y) qua phep ụi xng tõm I. Ta co: ' ' 2 2 x a x y b y = = 4) Hỡnh cú tõm i xng (sgk) IV. PHEP QUAY: 1) ẹũnh nghúa: (sgk) Kớ hieọu pheựp quay taõm O, goực quay laứ Q (O, ) . 2) Tinh chõt (sgk) V. PHEP VI T: 1) n phộp v t: (sgk) 2) Tớnh cht phộp v t (sgk) 3) Biu thc to ca phộp v t qua O Goi M(x; y) la anh cua M(x;y) qua phep vi t tõm O ty sụ k. Ta co: ' ' x kx y ky = = 4) Biu thc to ca phộp v t vi tõm l I(a;b) Goi M(x; y)la anh cua M(x;y) qua phep vi t tõm I ty sụ k, ta co: ' ' (1 ) (1 ) x kx k a y ky k b = + = + B. CAC DANG BAI TP: Cõu 1: Cho iờm M(1; -2) va vect (2;3)v = r . Tim toa ụ iờm A sao cho: a) ( ) v A T M= r b) ( ) v M T A= r Cõu 2: Trong mt phng Oxy cho bn im A(-3; 2), B(1; -2), C(2; 5). Gi A 1 l nh ca A qua phộp tnh tin theo vect BC uuur . Gi A 2 l nh ca A 1 qua phộp i xng tõm O. Tỡm ta A 2 . Cõu 3: Trong mt phng Oxy cho ng thng d co phng trỡnh : 2 3 0x y = v ng trũn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 3 4C x y + = a) Vit phng trỡnh ng trũn 'd l nh ca d qua phộp tinh tiờn theo v r b) Vit phng trỡnh ng trũn ( ) 'C l nh ca ( ) C qua phộp tinh tiờn theo v r Cõu 4: Trong mp Oxy cho ng thng d ct trc Ox ti A(-2; 0), ct trc Oy ti B(0; 3). Vit phng trỡnh ng thng d l nh ca d qua phộp tnh tin vec t v r (-4;1) Cõu 5: Cho iờm M(2;1) ng thng d: 2 1 0x y+ = va ng tron (C): 2 2 2 4 2 0x y x y+ + = . Tim? a) Anh M cua M qua phep ụi xng truc Ox, Oy. b) Anh d cua d qua phep ụi xng truc Ox, Oy. c) Anh (C) cua (C) qua phep ụi xng truc Ox, Oy. Cõu 6: Trong mt phng Oxy cho im M( 2;1). Phộp di hỡnh cú c bng cỏch thc hin liờn tip phộp i xng truc Ox v phộp tnh tin theo vect (2;3)v r bin M thnh im N. Tỡm ta im N Cõu 7: Trong mt phng ta Oxy cho im A(2,-2) v ng thng d cú phng trỡnh: 2x+ y 1 = 0 va ng trong (C) co phng trinh la: ( ) ( ) 2 2 1 3 25x y + + = a) Tỡm nh ca A v d va (C) qua phộp i xng tõm O b) Tỡm nh ca A, d, (C) qua phộp i xng tõm A. Friday, October 25, 2013 6 O M' M Đề Cương Ôn Tập Toán Lớp 11 HKI Tổ Toán - Trường THPT Trần Quang Khải Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( ) ( ) ( ) 1, 2 ; 3,0 ; 3, 2A B C − − . a) Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O. b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O. Câu 9: Cho hình lục giác đều ABCDEF. Tìm trục và tâm đối xứng của hình Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình: 2x + y – 1 = 0 và (C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ − + − = a) Tìm ảnh của A và d và (C) qua phép quay tâm O góc quay 0 90 . b) Tìm ảnh của A và d và (C) qua phép quay tâm O góc quay - 0 90 . Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2). Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự k = -2 và phép đối xứng tâm O sẽ biến M thành các điểm N. Tìm tọa độ của N Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự : a) Tâm G, tỉ số 1 2 b) Tâm G, tỉ số 2 c) Tâm A, tỉ số - 2 Câu 14: Cho tam giác ABC. Dựng ảnh của nó có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm A tỉ số 2 và phép đối xứng tâm B CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ SONG SONG CHỦ ĐỀ 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β : A. Phương pháp giải: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng α và β ta đi tìm hai điểm chung I ; J của α và β  α ∩ β = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý :  Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung  M ∈ d và d ⊂ α  M ∈ α     β⊂α⊂ =∩ b;a Mba (P) trong M là điểm chung B. Bài tập: Câu 1: a)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD); (BCD); (ACD) b)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) Câu 2: Cho tứ diện ABCD; trên AB; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho: NC AN MB AM ≠ . Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD) Câu 3: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD; BC .Gọi M; N là trung điểm AB; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A. Phương pháp giải: 1) Chứng minh A; B; C thẳng hàng : Chỉ ra A ; B ; C ∈ α Chỉ ra A ; B ; C ∈ β Kết luận : A; B; C ∈ α ∩ β ⇒ A; B; C thẳng hàng 2) Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : Đặt a ∩ b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P B. Bài tập: Câu 1: Trong không gian cho ba tia Ox; Oy; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A; A’; trên Oy lấy B; B’ trên Oz lấy C; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D; BC cắt B’C’ tại E; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E; F thẳng hàng Câu 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD; BC. Gọi M; N là trung điểm AB; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm của AB và CD là I; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S; I; J thẳng hàng ? Câu 3: Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α không song song AB cắt AC; BC; AD; BD lần lượt tại M; N; R; S . Chứng minh AB; MN; RS đồng quy ? CHỦ ĐỀ 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG A. Phương pháp giải: Friday, October 25, 2013 7 α β I J • • M N • • a b P α β A C • •• B Đề Cương Ôn Tập Toán Lớp 11 HKI Tổ Toán - Trường THPT Trần Quang Khải 1) Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :  Giả sử : a không chéo b  Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong cùng mặt phẳng α ( đồng phẳng )  Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc mâu thuẫn với một điều đúng nào đó 2) Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng  Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn điểm đó cắt nhau hoặc song song với nhau B. Bài tập: Câu 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a) Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng b) Chứng minh AB chéo với CD ? Câu 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D a) Chứng minh AC chéo BD ? b) Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB hoặc CD không ? c) O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng CHỦ ĐỀ 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α A. Phương pháp giải: Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ? Phương pháp 1: Tìm a ⊂ α Chỉ ra được a, d nằm trong cùng mặt phẳng và chúng cắt nhau tại M  Vậy d ∩ α = M Phương pháp 2: Tìm β chứa d thích hợp Giải bài toán tìm giao tuyến a của α và β Trong β : a ∩ d = M  Vây d ∩ α = M B. Bài tập: Câu 1: A; B; C; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) Câu 2: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ? c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ? CHỦ ĐỀ 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG α VỚI KHỐI ĐA DIỆN A.Phương pháp giải: Lần lượt xét giao tuyến của ( α ) với các mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng ( α ) Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm. Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; . . . trong mặt phẳng α cũng nhờ vào quá trình đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản : i) Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến ii) Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ? B. Bài tập: Câu 1: Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA; AB; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F; K. CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG *) Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P A. Phương pháp giải: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) . Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) . B. Bài tập: Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy trung điểm M; trên BC lấy điểm N bất kì. Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD . a) Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( α ) Friday, October 25, 2013 8 b a α • A α B C D • • • • A α B C D • • • • α d a M • α M β d a Đề Cương Ôn Tập Toán Lớp 11 HKI Tổ Toán - Trường THPT Trần Quang Khải b) Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ? Câu 2: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB. ( α ) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD. a) Mặt phẳng ( α ) cắt S.ABCD theo tiết diện là hình? b)Chứng minh SA // ( α ). Friday, October 25, 2013 9 . Truc i xng Oy: ' ' x x y y = = III. PHEP I XUNG TM 1) inh nghia: Phep biờn hinh biờn i m I thanh chinh no, biờn m i iờm M khac I thanh. bản : i) Xác định thi t diện bằng cách kéo d i các giao tuyến ii) Xác định thi t diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ c) Chứng minh (CGM) i qua trung i m SA