GIÁO TRÌNH TOÁN HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Trang 1 Chủ đề: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Bài 1 : Cho hàm số 32 33(21)1y xmx mx=− + − + . a) Khảo sát hàm số khi m=1. b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. c) Định m để hàm số giảm trên (1,4). Bài 2 : Cho hàm số 2 2y xx=− a) Tính y’’(1) b) Xét tính đơn điệu của hàm số. Bài 3: Cho hàm số 1 2 mx y x m − = + a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2. b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1. c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU Bài 1 : Cho hàm số 42 221yx mx m=− + − + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). Bài 2 : Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23 −++−= a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C). b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞). Bài 3 : Định m để hàm số 322 1 (1)1 3 y xmx mm x=−+−++ đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 4: Cho hàm số 32 () 3x 3 x+3m-4yfx x m==−+− a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1 :Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) 32 231yx x=+− trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) 2 4y xx=+ − . Trang 2 c) 3 4 2sinx- sin 3 y x= trên đoạn [0,π] d) 2 os2x+4sinxyc= x∈[0,π/2] e) 2 32yx x=−+ trên đoạn [-10,10]. Chủ đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ " Tập xác định " Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị " Tìm y’’ & tính lồi lõm, điểm uốn, bảng xét dấu y’’. " Giới hạn " Bảng biến thiên " Giá trị đặt biệt " Đồ thị " Tập xác định " Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị " Giới hạn & tiệm cận " Bảng biến thiên " Giá trị đặt biệt " Đồ th ị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.  Các dạng đồ thị hàm số: ) Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) ) Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ? Trang 3 ) Hàm số nhất biến : )bcad( dcx bax y 0≠− + + = Chủ đề: CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Các bước giải Bước c: Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau: Bước d: Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận: m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) . . g(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) . . . . . . f(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) . . . . . . Ví dụ 1: Bảng 1 Bảng 2 Bảng 3 y I x y O Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến x O I Trang 4 1. Biện luận phương trình 32 1 3 x x− = m ( dùng bảng 1) 2. Biện luận phương trình 32 1 3 x x− = 3m -2 ( dùng bảng 2) 3. Biện luận phương trình 32 1 3 x x− = 32 1 3 mm− ( dùng bảng 3) Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay. Nhấn mạnh cho học sinh nhớ và vận dụng thành thạo các công thức: • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b) → Ta sử dụng công thức () b a Sfxdx= ∫ (I) • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] → Ta sử dụng công thức () () b a Sfxgxdx=− ∫ (II) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. → Ta dùng công thức [] 2 = ∫ b a Vfxdx() π (III) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy. → Ta dùng công thức [] 2 = ∫ b a Vgydy() π (IV) Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. Giải: (0,75 đ) Ta có: e x = 2 ⇔ x = ln2 Diện tích hình phẳng cần tìm S = () 11 ln 2 ln 2 22 xx edx e dx−= − ∫∫ (0,25 đ) = () 1 ln 2 2(2)(22ln2)2ln24 x ex e e− =−−− =+ − (đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Trang 5 Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x 2 và trục Ox. Giải: Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Từ đồ thị ta có: 33 32 32 00 3(3)Sxxdxxxdx=−+ = −+ ∫∫ 3 4 3 0 4 x x ⎛⎞ =− + ⎜⎟ ⎝⎠ = 27/4 ( đvdt) Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2) Bài 1: Cho hàm số y = x 3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3: Cho hàm số y = (x +1) 2 (x –1) 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x 2 – 1) 2 – 2n + 1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 4: Cho hàm số mx mxm y − +− = )1( (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 2 ), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = 2 4 1 x ; y = xx 3 2 1 2 +− . Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x 2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. Bài 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x 2 và y = x quay quanh Ox. Trang 6 Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao diểm của hai đường cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) Ví dụ Cho hàm số 1 1 − + = x x y và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong. Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1 1 1 −= − + mx x x (điều kiện x khác 1) 0)2( 2 =+−⇔ xmmx 0))2(( =+−⇔ mmxx +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x = 2m m + . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm. + m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm. Bài tập: Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 32 2 32 xx yx= +− và đường thẳng (T): 13 1 () 12 2 ymx−= + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số 34 1 x y x + = − . KQ: -28 < a ≤ 0 Dạng 4: Cực trị của hàm số Yêu cầu đối với học sinh: ) Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình: " Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị. " Hàm số bậc 4 dạng : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị. " Hàm số nhất biến dạng: ax+b cx+d =y → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị. Bài tập: Định tham số m để: 1). Hàm số y = 32 1 (6)1 3 x mx m x+++− có cực đại và cực tiểu. Trang 7 Kết quả: m < - 2 hay m > 3 2). Hàm số y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 và khi đó x 2 – x 1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x 2 – x 1 = 1 3). Hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : 12 1212 ()(1) yy xxxx − − − = 2. Kết quả : m < 1 Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số? Bài tập về pttt của đồ thị: Bài 1: Cho hàm số y = x 2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0 a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 – m – 1, có đồ thị (C). a) Tìm các điểm cố định của (Cm). b) Lập pttt tại các điểm cố định đó. Bài 3: Cho hàm số y = -x 4 + 2mx 2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau Bài 4: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành Bài 5: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5) Bài 6) Cho hàm số y = x 3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 7) Cho hàm số y = 2x 3 – 3x 2 + 5. Lập pttt kẻ từ A( 19 12 ;4) Bài 8) Cho hàm số y = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O. Trang 8 Chủ đề HÀM SỐ. 1. Cho hàm số : Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Phương trình đường thẳng Phương trình hoành độ giao điểm của và là : Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt khác 3 2. Cho hàm số (1 ), có đồ thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình . Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt dương. Đặt Ta có : 3. Cho hàm số (C) Chứng minh đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng : y = 2x + 3. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) : (1) Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B. Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của phương trình (1) , nên do định lí Viet : và Vậy Trang 9 4. Cho hàm số Với những giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt? Phương trình có 3 nghiệm phân biệt có 3 nghiệm phân biệt đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt (Các bạn tự vẽ hình) 5. Cho hàm số , a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm . Hoành độ giao điểm với trục hoành là nghiệm phương trình . Đồ thị hàm số y = f(x) cắt Ox tại đúng 1 điểm đường thẳng y = a và đồ thị có một điểm chung duy nhất. Ta có : x -∞ 0 1 +∞ y' + || + 0 - y -∞ +∞ || || || || -∞ - 3 -∞ [...]... phương trình : Đặt Giải phương trình : Chia hai vế của phương trình trên cho Đặt 8 Giải phương trình Trang 32 ta được: ( do ) 9 Giải phương trình sau : Vậy nghiệm của phương trình là 10 Giải phương trình sau : Vậy phương trình có nghiệm 11 Giải phương trình : 12 Giải phương trình thì phương trình tương đương với : Đặt 13 Giải phương trình : 14 Giải phương trình : Đặt thì phương trình Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH... biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-3;-4) d Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành Trang 22 Bài 3 Cho hàm số y=f(x)=x3-3x2+4 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2) d Tính... đồ thị (C) và trục hoành Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng Trang 20 HÀM SỐ BẬC BA Y=AX3+BX2+CX+D Bài 1 Cho hàm số y=f(x)=-x3-3x2+4 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-1; 2) d Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành Trang 21 Bài 2 Cho hàm số y=f(x)=x3+3x2-4 a Khảo... phương trình : ( chia hai vế cho Đặt ) ( điều kiện y > 0) 7 Giải phương trình: Phương trình đã cho tương đương với : Giải phương trình Đặt Khi đó phương trình trở thành: (vì Giải phương trình Đặt ,phương trình đã cho trở thành Giải phương trình : Đặt ta có : Giải khác TXD: D=R (1) Trang 31 ) Giải phương trình : Đặt Giải phương trình sau: Nhận xét: là nghiệm Nhận xét: là nghịch biến trên Do đó cũng là hàm. .. tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành Trang 23 Bài 4 Cho hàm số y=f(x)=x3+6x2+9x+3 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-2; 1) d Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành Trang 24 HÀM SỐ PHÂN THỨC DẠNG Y = Bài 5 Cho hàm số y = f(x) = a b c d e 3x + 4 x+2... phương trình Tập xác định Phương trình Đặt Phương trình Trang 33 Ta có hệ Đáp số: 2 Giải phương trình Điều kiện PT Đáp số: 3 Giải phương trình: (*) Điều kiện: So với điều kiện (*) thì chính là nghiệm 4 Giải phương trình: Điều kiện tồn tại của Khi đó hay hay 5 Giải phương trình : Đk: và x # -2 6 Giải phương trình : Trang 34 và ( vì ) 7 Giải phương trình sau: Điều kiện: Áp dụng: 8 Giải phương trình. .. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Giải phương trình : (1) Đặt Khi đó (1) trở thành : ( Vì t > 0) Vậy Do đó nghiệm của phương trình là 2 Giải phương trình : Chia 2 vế của phương trình cho Ta có: (1) Đặt , với (1) trở thành => (Thoả mãn )=> => => 3 Giải phương trình : Phương trình đã cho tương đương với : Đáp số : 4 Giải phương trình: Đặt pt Trang 30 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 & x = -1 5 Giải phương trình: ... có 2 nghiệm phân biệt khác k 13 Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm giá trị của để phương trình có 6 nghiệm phân 14 Cho hàm số (*) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*) 2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình sau : 15 Cho hàm số a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Với giá trị nào của m phương trình có 3 nghiệm phân biệt Trang 19... có 1 nghiệm + Với phương trình (*) có 2 nghiệm + Với phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt 10 Cho hàm số (m là tham số ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6 b Với những giá trị nào của m thì phương trình a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị - TXĐ : R - Sự biến thiên : Xét dấu y' hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Hàm số có cực đại tại x = - 3, Hàm số có cực tiểu tại x... tìm là 6 Cho hàm số Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt TXĐ: R Hàm số đạt cực đại tại Hàm số đạt cực tiểu tại Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi các giá trị cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành Vậy với thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 7 Cho hàm số ( m là tham số ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m . GIÁO TRÌNH TOÁN HỌC ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Trang 1 Chủ đề: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Bài 1 : Cho hàm số 32 33(21)1y xmx. hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Hàm số có cực đại tại x = - 3, Hàm số có cực tiểu tại x = 1, Trang 15 đồ thị hàm số lõm đồ thị hàm số lồi Đồ thị hàm