Ly thuyet va bai tap chuong II hinh học

9 1K 5
Ly thuyet va bai tap chuong II hinh học

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng Chương II. . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ỨNG DỤNG Bài 1. GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 O ĐẾN 180 O 1. Đònh nghóa Với mỗi góc α (0 o ≤ α ≤ 180 o ), ta xác đònh điểm M(x, y) trên đường tròn đơn vò sao cho · MOx = α cos x sin y y x tan cot x y • α = • α = • α = • α = Nhận xét : tan α xác đònh khi α ≠ 90 o . cot α xác đònh khi α ≠ 0 o , α ≠ 180 o Lưu ý sin(180 o – α ) = sin α cos(180 o – α ) = – cos α tan(180 o – α ) = – tan α ( α ≠ 90 o ) cot(180 o – α ) = – cot α (0 o < α < 180 o ) sin α > 0 với 0 o < α < 180 o Nếu góc α nhọn thì cos α , tan α , cot α dương.Nếu góc α tù thì cos α , tan α , cot α âm Từ đònh nghóa ta có các công thức sau : 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan .cot 1 sin cos tan cot cos sin 1 1 1 tan 1 cot cos sin • α + α = • α α = α α • α = • α = α α • + α = • + α = α α 2. Giá trò lượng giác của một số góc đặc biệt Góc 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 Tan 0 3 3 1 3 kxđ Cot kxđ 3 1 3 3 0 Bài tập Bài 1. Tính giá trò các biểu thức: ( ) 2 2 0 1 A sin cos2 tan 15 2cos6 2 = α + α + α + + α với 0 30α = . 0 2 0 0 B 3 sin120 cos 150 cot135 .= − + 2 0 2 0 2 0 2 0 C cos 1 cos 12 cos 78 cos 89 .= + + + 2 0 2 0 2 0 2 0 D sin 3 sin 15 sin 75 sin 87 .= + + + 0 0 0 0 0 E cos20 cos 40 cos60 . cos160 cos180= + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 0 0 0 a sin90 bcos 45 F 2a cos60 2abcos180 b 2 cos 45 − = + + G = (2cos 2 30 o + sin135 o – 3tan120 o )(cos180 o –cot45 o ) H = 3sin 2 45 o –2cos 2 135 o – 4sin 2 50 o –4cos 2 50 o +5tan55 o cot55 o Bài Tính giá trò còn lại của góc α biết: 1 O x y y 1 x M α Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng sin α = 1 3 với 0 0 < α < 90 0 cos α = 8 17 cot α = 2 2 sin 15 0 = 6 2 4 − cos α = 1 3 tan α = – 1 2 sin α = 5 13 cot α = 3 2− Bài 3. Tính giá trò các biểu thức. A = 3cos 4sin cos sin α + α α + α , biết tan α = 2 B = 2 2 2 2 3sin 4sin cos cos 2sin 3cos α − α α + α α − α , biết cot α = 4 C = 3cot 4tan cot ta n α − α α + α , biết sin α = 2 3 . D= sin 4 α + cos 4 α ,biết cot α = m, E = sin α .cos α α F = sin 4 α + cos 4 α , biết sin α + cos α = a G = tan 2 α + cot 2 α H = tan 3 α + cot 3 α , biết tan α + cot α = a K = ( ) 2 2 3 3 sina 2cos a sin a sin a cos a − + , biết tana = 4 L = 3 3 3sin 2cos 5sin 4cos α − α α + α , biết tan α = 3 Bài 4 Rút gọn biểu thức. A = cosx + sinx.tanx. B = 1 cos x. 1 cos x.+ − C = sina. 2 1 tan a+ D = cos 2 a + cos 2 a.tan 2 a K = ( ) ( ) 2 2 sin a 1 cot a cos a 1 tan a+ + + E = 2 2cos a 1 sin a cosa − + G = ( ) 2 2 2 1 sin a cot a 1 cot a− + − H = 2 2 2 4 cos a sin a.cos a sin a+ + F = 2 2 2 2 cos a cot a sin a tan a − − Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với x. A = 4 2 2 2 cos a sin a.cos a sin a+ + B = ( ) 2 2 2 2 2 1 tan x 1 4tan x 4sin x.cos x − − C = ( ) 2 2 2 2 1 cos x 1 tan x.cot x 1 si n x cos x − + − − Bài 6 Chứng minh các đẳng thức sau : 1) ( ) 2 sin x cos x 1 2sin x.cos x+ = + 2) ( ) 2 sin x cosx 1 2sin x.cos x− = − 3) sin 4 α – cos 4 α = 2sin 2 α – 1 4) sin 4 α + cos 4 α = 1 – 2sin 2 α .cos 2 α 5) sin 6 α + cos 6 α = 1 – 3sin 2 α .cos 2 α 6) 1 – cot 4 α = 2 4 2 1 sin sin − α α 7) 2 2 2 1 sin 1 2 tan 1 sin + α = + α − α 8) 2 2 6 2 2 tan sin tan cot cos α − α = α α − α 9) 3 sin cos cos α + α α = 1 + tan α + tan 2 α + tan 3 α 10) sin 2 α .tan 2 α + 4sin 2 α – tan 2 α + 3cot 2 α = 3 11) 2 2 sin (1 cot ) cos (1 tan ) sin cos α + α + α + α = α + α 12) 2cos 1 cos sin 1 sin cos 1 cos α + α + α = − α + α + α Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 2 Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng I. Góc giữa hai vectơ Cho hai vectơ a r b r . Từ một điểm O nào đó, vẽ OA a , OB b= = uuur r uuur r . Khi đó : Số đo của góc · AOB gọi là số đo của góc giữa hai vectơ a r b r , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ a r b r . Ký hiệu : ( a r , b r ) A Chú ý  · 0 0 180o AOB≤ ≤ hay · 0 AOB π ≤ ≤ .  0 ,a b α = ⇔ r r cùng hướng, 0 180 ,a b α = ⇔ r r ngược hướng B  Nếu một trong hai vectơ là vectơ 0 r thì ta xem góc giữa hai vectơ đó là tùy ý từ 0 o đến 180 o .  Nếu ( a r , b r ) = 90 o , ta nói hai vectơ vuông góc. Ký hiệu : ( a r ⊥ b r ) II.Tích vô hướng của hai vectơ 1. Đònh nghóa Tích vô hướng của hai vectơ a r b r là một số, ký hiệu : a r . b r , được đònh nghóa bởi : ,a.b = a . b .cos(a b) r r r r r r Như vậy:  · uuur uuur OA.OB = OA.OB.cosAOB  2 2 .a a a a= = r r r r hay 2 2 . .AB AB AB AB= = uuur uuur uuur ( công thức bình phương vô hướng)  0. .0 0a a= = r r r r với mọi vectơ a r . 2. Kết quả  ( ) , 0 ,a b a b= ⇔ r r r r cùng hướng . . .a b a b= r r r r  ( ) 0 , 180 ,a b a b= ⇔ r r r r ngược hướng . . .a b a b= − r r r r  ( ) 0 , 90 . 0a b a b< ⇔ > r r r r ( ) 0 , 90 . 0a b a b> ⇔ < r r r r  ( ) 0 , 90 . 0a b a b a b= ⇔ ⊥ ⇔ = r r r r r r (đây là điều kiện để hai vec tơ vuông góc với nhau) 3. Tính chất của tích vô hướng  Với ba vectơ a r , b r , c r , tùy ý với mọi số thực k ⇔ ⊥ 1) a.b = b.a 2) a.b = 0 a b 3) (k a).b = a.(kb) = k(a.b) 4) a.(b ± c) = a.b ± a.c r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r  Các hằng đẳng thức 2 2 2 2 2 2 2 (a ± b) = a ± 2a.b + b a - b = (a + b).(a - b) = a - b r r r r r r r r r r r r r r 4. Ứng dụng của tích vô hướng a) Công thức chiếu Cho hai vectơ OA uuur , OB uuur . Gọi B / là hình chiếu của B lên đường thẳng OA . Ta có : 3 a r b r b r a r O Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng . = / OA OB OAOB uuuur uuur uuur uuur b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn Đònh nghóa Cho đường tròn (O, R) một điểm M cố đònh. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Khi đó ta có tích vô hướng MA.MB uuuur uuur là một hằng số bằng MO 2 – R 2 . Hằng số này gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O, R). Ký hiệu : P M/(O) Nếu MT là tiếp tuyến với đường tròn tại T thì ta cũng có MT 2 = MO 2 – R 2 Vậy: P M/(O) = MA.MB uuuur uuur = MO 2 – R 2 = MT 2 6. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Cho hai véc tơ a r = (x, y) b r = (x / , y / ). Ta có : ' ' 1) 2) x.x y.y 3) 4) , 5) ) ) ⊥ ⇔ + = / / 2 2 / / 2 2 B A B A 2 2 / 2 / 2 a.b = x.x + y.y a b 0 a = x + y x.x + y.y cos(a b) = AB = (x - x ) + (y - y ) x + y (x + (y r r r r r r r Bài tập Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính : a) uuur uuur uuur uuur AB.AC ; AB.BC b) − uuur uuur uuur AB(2AB 3AC) ĐS : a) 2 a 2 ; – 2 a 2 ; b) 2 a 2 Bài 2 a) Cho các véc tơ đơn vò r r a ; b với − = r r 2a b 3 . Tính r r a.b ĐS : ½ b) Cho = = − = + r r r r r r a 2 ; b 3 ; a b 1 . Tính a b ĐS :5 c) Cho ⊥ = = r r r r a b ; a 1 ; b 2 CMR : − ⊥ + r r r r (2a b) (a b) Bài 3. Cho các véc tơ r r a ; b a) = = = − + r r r r r r r r o a 3; b 2;(a,b) 120 .Tính a b ; 2a 3b b) + = − = + ⊥ + r r r r r r r r r r a b 2; a b 4;(2a b) (a 3b).Tính a ; b c) − ⊥ + + ⊥ − r r r r r r r r r r (3a 5b) (2a b);(a 4b) (a b);Tính cos(a,b) ĐS : a) 19 , 6 ; b) 3 , 1 ; c) 19 5 43 Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính : a) uuur uuur uuur uuur AB.AC ; AB.BD b) + + uuur uuur uuur uuur (AB AD)(BD BC) c) − − uuur uuur uuur uuur (AC AB)(2AD AB) . ĐS : a) a 2 ; – a 2 ; b) a 2 ; c) 2a 2 Bài 5. Cho tam giác ABC có trọng tâm G AB = 2 ; BC = 4 ; CA = 3. Tính : a) uuur uuur AB.AC . Suy ra giá trò của cosA b) uuur uuur AG.BC + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur GA.GB GB.GC GC.GA c) Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A.Tính uuur uuur uuur AD theo AB AC .Tính độ dài đoạn AD. ĐS : a) – 9/2 ; – ¼ ; b) 5/3 ; – 29/6 ; c) = + = uuur uuur uuur 3 2 3 6 AD AB AC ; AD 5 5 5 Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120 o a) Tính độ dài đoạn BC trung tuyến AM. 4 M T O A B O A B B / Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng b) Gọi I, J đònh bởi + = − = uur uur r uur uur r 2IA IB 0 ; JB 2JC 0 . Tính độ dài đoạn IJ.ĐS : a) 7 2 133 19 ; ; b) 2 3 Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a 3 . Gọi AM là trung tuyến = uuuur uuur 2 a AM.BC 2 . Tính độ dài các đoạn AB AC. ĐS : a 2 ; a CHỨNG MINH HAI VÉC TƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC - CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC . Bài 8. Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K là trực tâm các tam giác ABO, CDO. I J là trung điểm AD, BC. CMR : HK ⊥ IJ. Bài 9. Cho tam giác ABC. CMR : Điều kiện cần đủ để hai trung tuyến BM CN vuông góc với nhau là AC 2 + AB 2 = 5BC 2 . Bài 10. Cho tứ giác ABCD a) CMR : AB 2 – BC 2 + CD 2 – DA 2 = uuur uuur 2AC.DB b) Suy ra : Điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vuông góc với nhau là : AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 . Bài 11. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M tùy ý. CMR : a) = uuuur uuuur uuur uuuur MA.MC MB.MD b) MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 c) + = uuur uuuur uuuur uuuur 2 MA MB.MD 2MA.MO Bài 12. Cho tam giác ABC cân đỉnh A, H là trung điểm BC, D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm HD. CMR : AM ⊥ BD. TÌM QUỶ TÍCH Bài 13. Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý a) CMR : Véc tơ = + − ur uuuur uuur uuuur V 2MA MB 3MC không phụ thuộc vào vò trí của điểm M. b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : 2MA 2 + MB 2 – 3MC 2 = uuuur ur 2MO.V c) Tìm tập hợp những điểm M thỏa : 2MA 2 + MB 2 = 3MC 2 Bài 14. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong các trường hợp sau : a) = uuuur uuur uuuur uuuur MA.MB MA.MC b) MA 2 + + = uuuur uuur uuuur uuuur MA.MB MA.MC 0 c) MA 2 = uuur uuuur MB.MC Bài 15. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M trong các trường hợp sau : a) − − = uuuur uuur uuur uuuur (MA MB)(2MB MC) 0 b) + + = uuuur uuur uuur uuuur (MA MB)(MB MC) 0 c) + = uuuur uuur uuuur uuuur 2 2MA MA.MB MA.MC Bài 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tìm tập hợp những điểm M trong các trường hợp sau : a) + = uuuur uuuur uuur uuuur 2 MA.MC MB.MD a b) + = uuuur uuur uuuur uuuur 2 MA.MB MC.MD 5a c) MA 2 + MB 2 + MC 2 = 3MD 2 d) + + − = uuuur uuur uuuur uuuur uuur 2 (MA MB MC)(MC MB) 3a e) 2MA 2 + MB 2 = MC 2 + MD 2 CÁC BÀI TOÁN CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG LIÊN QUAN ĐẾN TOẠ ĐỘ Bài 17. Cho r a = (5,3) ; r b = (2,0) ; r c = (4,2) a) Tìm véc tơ r x thỏa r x = 20 r x ⊥ r c . b) Tìm 2 số m n sao cho m r a + r b +n r c = r 0 . c) Biểu diễn véc tơ r a theo 2 véc tơ r b r c . ĐS : a) r x = (2 ,– 4) hay r x = (–2,4); b) m = 2 ; n = –3 ; c) r a = – 1 2 r b + 3 2 r c . Bài 18. Cho r a = (3,2) ; r b = (–1,5) ; r c = (–2, –5) a) Tìm tọa độ các véc tơ sau : r u = 2 r a + r b – 4 r c r v = – r a + 2 r b + 5 r c b) Tìm 2 số p, q sao cho : r c = p r a + q r b c) Tính : r a . r b ; r b . r c ; r a ( r b + r c ) ; r b ( r a – r c ) ĐS : a) r u = (13,29); r v = (–15,– 17); b) = − = − 15 11 p , q 17 17 ; c) 7; -22; -9; 30 Bài 19. Cho r a = (3,7) ; r b = (–3,–1) a) Tính góc giữa các cặp véc tơ : r a r b ; r a + r b r a - r b ; r a r a + r b b) Tìm điều kiện của m, n sao cho m r a + n r b vuông góc với r a . c) Tìm véc tơ biết r a . r c = 17 r b . r c = – 5. ĐS : b) 29m – 8n = 0 ; c) r c = (1,2) 5 Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng Bài 20. Cho A(3,1) , B(1,3) , C(3,5) , D(5,3) a) Tìm một véc tơ đơn vò cùng hướng với uuur AB b) CMR : ABCD là hình vuông. c) Tìm E sao cho ABDE là hình bình hành ĐS : a) (– 1 2 , 1 2 ) ; c) E(7,1) Bài 21. Xét tính chất tam giác ABC biết : a) A (–1,1) ; B(1,3) ; C(2,0). b) A(10,5) ; B(3,2) ; C( 6 ,–5). c) CMR : ABCD là hình thang cân với A(–1,–3), B(0,4), C(3,5), D(8,0) Bài 22. Cho M(1,4) , N(3,0) , P(-1,1) là trung điểm 3 cạnh của 1 tam giác . a)Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác b) Tìm tọa độ 2 điểm I, J chia đoạn MN thành 3 đoạn bằng nhau. c) Tìm Q sao cho MNQP là hình bình hành. ĐS : a) (–3,5) ; (5,3) , (1,–3) ; b) (5/3,8/3) , (7/3,4/3) ; c) (–3,5) Bài 23. Cho A(–5,6) , B(– 4,–1) , C(4,3) a) CMR : Ba điểm ABC tạo thành 1 tam giác. b) Tìm tọa độ chân đường cao A / kẻ từ A trực tâm H của tam giác c) Tìm tọa độ trọng tâm G tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : ba điểm I, H, G thẳng hàng. d) Tính chu vi diện tích bán kính đường tròn nội tiếp tam giác . e) Tìm điểm M thỏa : uuuur MA + 2 uuur MB + 3 uuuur MC = r 0 . ĐS : b) A / (–2,0),H(–3,2) ; c) G(–5/3,8/3),I(–1,3) ; d) 30 ; 5 2 +3 10 +4 5 ; + + 60 5 2 3 10 4 5 e) M(-1/6,13/6) Bài 24. Cho A(1,5) , B(– 4,–5) , C(4,–1). Tìm tọa độ các điểm : chân đường phân giác trong, chân đường phân giác ngoài kẻ từ A tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. ĐS : (1,–5/2) ; (16,5) ; (1,0) Bài 25. Cho A(1,–2), B(3,–1). a) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho đường trung trực của đoạn AM đi qua O. b) Tìm C trên Oy sao cho tam giác ABC cân tại A. ĐS : 1) M( 5 ,0), M(– 5 ,0) ; 2) C(0,2) , C(0,–6) CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TÍCH Bài 26. Cho đường tròn tâm O , bán kính bằng 7cm điểm I sao cho OI = 11cm. a) Tính phương tích của điểm I đối với đường tròn b) Qua I dựng hai các tuyến IAB ICD với đường tròn b 1 ) Biết IA = 12cm. Tính IB b 2 ) Biết CD = 1cm. Tính IC ID Bài 27. Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 4. Lấy một điểm I sao cho OI = 6. Gọi A B là hai điểm trên đường tròn sao cho IA = 5 IB = 6 . IA IB lại cắt đường tròn tại A 1 B 1 . Tính IA 1 IB 1 Bài 28. Cho hai đường tròn (O) (O 1 ) cắt nhau tại A B. Một đường thẳng tiếp xúc với (O) tại M tiếp xúc với (O 1 ) tại M 1 . CMR : đường thẳng AB đi qua trung điểm của MM 1 . Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. D E lần lượt là hình chiếu của H xuống AB AC. CMR : Tứ giác BCED nội tiếp đường tròn. Bài 30. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến tại B với đường tròn P là trung điểm của đoạn OB. a) Tìm điểm Q sao cho : AP.AQ = 4R 2 b) Một cát tuyến qua A cắt (O) d lần lượt tại M N. CMR : Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn . 6 Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng Bài 31. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong góc A cắt đường tròn tại D cắt BC tại E . CMR : DB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE. Bài 32. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trên đường tròn tâm C bán kính CA lấy điểm M không ở trên đường thẳng BC. CMR : CM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM. BÀI 3 HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c + Độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt là m a , m b , m c . + Độ dài các đường cao kẻ từ A, B, C lần lượt là h a , h b , h c . + Bán kính các đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác lần lượt là R , r. + S là diện tích tam giác p là nửa chu vi. I. Đònh Côsin trong tam giác Hệ quả 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b + c - a c + a - b a + b - c cosA = cosB = cosC = 2bc 2ca 2ab II. Đònh sin trong tam giác : a b c = = = 2R sinA sinB sinC III Đònh đường trung tuyến : + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 a a 2 2 2 2 2 2 2 2 b b 2 2 2 2 2 2 2 2 c c a b c a b + c = 2m + hay m = - 2 2 4 b c a b c + a = 2m + hay m = - 2 2 4 c a b c a + b = 2m + hay m = - 2 2 4 IV. Diện tích tam giác : • • • • • a b c 1 1 1 S = ah = bh = ch 2 2 2 abc S = 4R 1 1 1 S = absinC = acsinB = bcsinA 2 2 2 S = pr S = p(p - a)(p - b)(p - c) Bài t ậ p 7 A B C h a m a a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA b 2 = c 2 + a 2 – 2ac.cosB c 2 = a 2 + b 2 – 2ab.cosC Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng Bài 1 Tính góc A của tam giác ABC trong các trường hợp : a) b(b 2 – a 2 ) = c(c 2 – a 2 ) (với b khác c) b) b(b 2 – a 2 ) = c(a 2 – c 2 ) ĐS : a) 120 o ; b) 60 o Bài 2 Tính các góc , S , R , r , độ dài các đường cao, đường trung tuyến của tam giác ABC biết : a) a = 5 ; b = 6 ; c = 7 . b) a = 6 ; b = 2 ; c = 1 + 3 . Bài 3 Tam giác ABC có AB = 3 ; AC = 4 ; S = 3 3 . Tính độ dài BC . ĐS : ∨37 13 Bài 4 Tam giác ABC có hai trung tuyến BM = 6 CN = 9 góc · BGC = 120 o (G là trọng tâm tam giác). Tính các cạnh tam giác. ĐS : 2 19 ; 2 13 ; 4 7 Bài 5 Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB BC bằng 3, AB = 7 , C = 60 o . Tính BC . ĐS : 3 + 22 Bài 6 Tam giác ABC có a) AC = 2 , AB = 3 , BC = 4 đường cao BD. Tính CD b) AB = 3 ; BC = 5 , AC = 6. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2AM. Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho 3KB = 2KC. Tính MK.ĐS : a) 11/4 ; b) 2 8 15 Bài 7 Tam giác ABC vuông tại B. Kéo dài AC về phía C một đoạn CD = AB = 1. Biết góc · CBD = 30 o . Tính AC. ĐS : 3 2 Bài 8 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là trung điểm AB. Tính bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác : BDM ; OMC ; CDM ĐS : a 10 a 10 5a ; ; 4 4 8 Bài 9 Tam giác ABC có A = 60 o , h c = 3 , R = 5. Tính các cạnh của tam giác . ĐS : +5 3 ; 2 ; 1 6 2 Bài 10 Tam giác ABC có B = 60 o , R = 2. Tính bán kính đường tròn qua A, C tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . ĐS : 2 Bài 11 Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 , AC = 4. Tính bán kính đường tròn qua B, C trung điểm I của AC . ĐS : 5 13 6 Bài 12 Tam giác ABC có AB = 2 , AC = 3 , BC = 4. Tính bán kính đường tròn qua B, C trung điểm I của AB . ĐS : 4 46 3 15 Bài 13 Tam giác ABC có = ≠ b c m c 1 b m . CMR : a) 2a 2 = b 2 + c 2 . b) 2cotgA = cotgB + cotgC Bài 14 Tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm AC, BD . a) CMR : AB 2 + BC 2 +CD 2 +DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4IJ 2 b) Suy ra điều kiện cần đủ để một tứ giác là hình bình hành . Bài 15 Cho tam giác ABC. Chứng minh : a) S = 2R 2 sinAsinBsinC b) S = Rr(sinA + sinB + sinC) c) cotA + cotB + cotC = 2 2 2 a b c 4S + + d) a b c 1 1 1 1 h h h r + + = Bài 16 Tam giác ABC có b + c = 2a . CMR : sinB + sinC = 2sinA = + a b c 2 1 1 h h h 8 Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ ứng dụng Bài 17 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c tỷ lệ với −6 2 3; 2 ; 2 . Tính các góc của tam giác ĐS : a) 120 o , 45 o , 15 o Bài 18 Tam giác ABC có AB = 3 ; AC = 5 ; BC = 7. Tính độ dài các đường phân giác trong ngoài của góc A. ĐS : 15 15 3 ; 8 2 . Bài 19 Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn đẳng thức : c 4 – 2(a 2 + b 2 )c 2 + a 4 + a 2 b 2 + b 4 = 0. Chứng minh : C = 60 o hay C = 120 o Bài 20 Cho hai điểm cố đònh A, B với AB = 8a > 0. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA 2 + MB 2 = 82a 2 ĐS : Đường tròn (O, 5a) với O là trung điểm AB Bài 21 Cho hai điểm A, B cố đònh với AB = 4a > 0. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA 2 – MB 2 = 24a 2 ĐS : Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm H với H đònh bởi OH = 3a (chiều từ A đến B) Bài 22 Cho M là điểm tùy ý trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. CMR : + + = MD ME MF 1 AD BE CF . 9 . a + b - c cosA = cosB = cosC = 2bc 2ca 2ab II. Đònh lý sin trong tam giác : a b c = = = 2R sinA sinB sinC III Đònh lý đường trung tuyến : + + + 2 2 2 2. ( a r , b r ) = 90 o , ta nói hai vectơ vuông góc. Ký hiệu : ( a r ⊥ b r ) II. Tích vô hướng của hai vectơ 1. Đònh nghóa Tích vô hướng của hai vectơ a r

Ngày đăng: 24/10/2013, 18:11

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan