TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH 8 CƠ BẢN Bài 1. Cho ∆ ABC Điểm O nằm trong tam giác , các tia AO , BO , CO cắt các cạnh đối diện ở M , N , D . Chứng minh rằng : CD OD BN ON AM OM ++ =1 Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AC > BD ) . Kẻ CE ⊥ AB , CF ⊥ AD. Chứng minh rằng : AB.AE + AD.AF = AC 2 . Bài 3. Cho ∆ ABC . Điểm M thuộc BC ( M khác B,C). Quq M kẻ các đường thẳng song song với AB và AC cắt AB tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng : AC AE AB AD + =1 Bài 4. Cho tứ giác ABCD có ∠ B = ∠ D = 90 o . Từ M trên AC ta kẻ đường thẳng song song AB cắt BC ở N , và kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD ở P . Chứng minh rằng : CD MP AB MN + =1 Bài 5. Cho ∆ ABC các tia phân giác AM , BN , CP . Chứng minh rằng : NA NC PB PA MC MB =1 Bài 6. Cho ∆ ABC vuông cân tại A . Qua C kẻ đường thẳng cắt cạnh AB ở D . Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với CD ở I cắt AC ở E. Chứng minh rằng : AD = AE. Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB //CD) . O là giao điểm hai đường chéo . Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AD và BC ở M và N . Chứng minh rằng : MNCDAB 211 =+ TNG HP MT S BI TP HèNH 8 C BN Bi 8. Cho ABC u . M l trung im ca BC .Mt gúc xMy =60 0 quay xung quanh im M ; Mx ct AB D v My ct AC E. 1. Chng minh : Tớch BD . CE khụng i. 2. Chng minh : MDB v EDM ng dng ECM v EMD ng dng 3. Chng minh rng khi gúc xMy quay xung quanh im M thỡ khong cỏch t im M n ng thng DE khụng i. Bi 9. Cho ABC nhn . Dng v phớa ngoi ca tam giỏc, cỏc tam giỏc ABM v ACN vuụng cõn ti A . Gi D,E,F l cỏc trung im ca MB , BC , CN. 1. Chng minh : BN = CM. 2. Chng minh : BN CM. 3. Chng minh DEF vuụng cõn Bi 10. Cho hỡnh thang cõn ABCD( BC // AD). Gi M, N theo th t l trung im ca BC, AD. Trờn AB kộo di v phớa A ly im P bt kỡ, PN ct BD ti Q. Chng minh rng: MN l phõn giỏc ca gúc PMQ. Bi 11. Cho hỡnh vuụng ABCD. Ly im M min trong hỡnh vuụng sao cho MDC= MCD=15 0 . Ly im N min ngoi hỡnh vuụng sao cho tam giỏc NDC u. a) Chng minh: T giỏc MNCB l hỡnh thoi. b) Chng minh: Tam giỏc MAB u. Bi 12. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp . 2. Tính góc CHK. 3. Chứng minh KC. KD = KH.KB Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào Hướng dẫn: Gọi I, K, R thứ tự là giao điểm của PM, MQ với AD; PQ với BC. Ta có: M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC => MN ⊥ AD Do đó, để cm: MN là phân giác của góc PMQ, ta chỉ cần chứng minh: ∆IMK cân tại M. Thật vậy: Do BC // AD => ; IN PN AN PN IN AN MR PR BR PR MR BR = = => = Và: ; KN NQ NQ ND NK ND MR QR QR BR MR BR = = ⇒ = Mà: N là trung điểm của AD => AN = ND => AN ND IN NK IN NK BR BR MR MR = ⇒ = ⇒ = ∆IMK có MN vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => ∆IMK cân tại M => đpcm Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M ở miền trong hình vuông sao cho · · 0 15MDC MCD= = . Lấy điểm N ở miền ngoài hình vuông sao cho tam giác NDC đều. c) Chứng minh: Tứ giác MNCB là hình thoi. d) Chứng minh: Tam giác MAB đều. Hướng dẫn: a) ∆MDC cân tại M( vì · · 0 15MDC MCD= = ) => MD = MC; · 0 150CMD = ∆NDC đều => ND = NC = DC  MN là đường trung trực của CD. => MN ⊥CD ∆MDC cân tại M, MN là đường trung trực  MN là tia phân giác của góc CMD  · · 0 1 75 2 NMC CMD= = Mà: · · · 0 0 0 60 15 75NCM NCD DCM= + = + =  ∆MNC cân tại N => MN = NC = CD = BC Mặt khác: MN ⊥CD; BC⊥CD => MN // BC Tứ giác MNCB có: MN // BC; MN = BC; MN = NC  MNCB là hình thoi. b) MNCB là hình thoi => MB = BC = AB Chứng minh tương tự ta cũng có: MNDA là hình thoi => MA = AD = AB Vậy: MB = MA = AB => Tam giác AMB đều. N M D C B A . tuyến => ∆IMK cân tại M => đpcm Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M ở miền trong hình vuông sao cho · · 0 15MDC MCD= = . Lấy điểm N ở miền ngoài hình. TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH 8 CƠ BẢN Bài 1. Cho ∆ ABC Điểm O nằm trong tam giác , các tia AO , BO , CO